1、数学试题 第 1 页 共 6 页 2020 年江苏省高考押题卷年江苏省高考押题卷 数数 学学 I 2020.6 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1. 已知集合M 1， 0， 1， 2 ， 集合 2 |20Nx xx， 则集合 MN 2. 已知复数 2 2i 1i z (i 为虚数单位)， 则 z 的共轭复数z 3. 为了解学生课外阅读的情况， 随机统计了 n 名学生的课外 阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方 图如图所示 已知在50 100)，中的频数为 24， 则 n 的值为 4. 如图，执行算法流程图，则输出
2、的 b 的值为 5. 已知 A、B、C 三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么 A 排 在 C 后一天值班的概率为 6. 底面边长和高都为 2 的正四棱锥的表面积为 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线经过点(36)，且它的两 条渐近线方程是3yx ，则该双曲线标准方程为 8已知 2 5 sincos 5 ，则sin2cos4的值为 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页包含填空题（第 114 题） 、解答题（第 1520 题）.本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟.考试
3、结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置. 3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效. 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠 (第 4 题) 数学试题 第 2 页 共 6 页 9. 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 35 21aa， 10 100S，则 20 S的值为 10. 埃及数学中有一个独特现象：除 2 3 用一个单
4、独的符号表示以外，其它分数都要写成若干 个单位分数和的形式例如 211 5315 可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给 5 个人，如果每人 1 2 ，不够；每人 1 3 ，余1 3 ，再将这 1 3 分成 5 份，每人得 1 15 ，这样每人分 得 11 315 形如 2 n (n 5， 7， 9， 11， )的分数的分解：2 11 5315 ，2 11 7428 ，2 11 9545 ， 按此规律， 2 n (n 5，7，9，11，) 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 :(2)4Cxy，点 P 是圆 C 外的一个动点， 直线 PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点若
5、直线 AB 过定点(1，1)，则线段 PO 长的最小 值为 12. 已知正实数 x，y 满足 2 1 ()1, x x yy 则 1 x y 的最小值为 13如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2AD，E, F 分别 为 AD，DC 的中点，AF 与 BE 交于点 O若 125OF OBAD AB， 则DAB 的余弦值为 14. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 43 1 tantanAB ，则 3c b 的最大值 为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域 内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分）
6、 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知向量 m(b，a 2c)， n(cosA 2cosC，cosB)，且 mn （1）求 sin sin C A 的值； （2）若 a2，3 5m，求ABC 的面积 A B C D F E O 数学试题 第 3 页 共 6 页 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ACAA，ACBC，D，E 分别为 A1C1，AB 的中点 求证： （1）AD平面 BCD； （2）A1E平面 BCD 17 （本小题满分 14 分） 如图， 某大型厂区有三个值班室 A， B， C 值班室 A 在值班室 B 的正北方
7、向 3 千米处， 值班室 C 在值班室 B 的正东方向 4 千米处 (1)保安甲沿 CA 从值班室 C 出发行至点 P 处，此时 PC=2，求 PB 的距离； (2)保安甲沿 CA 从值班室 C 出发前往值班室 A， 保安乙沿 AB 从值班室 A 出发前往值班 室 B，甲乙同时出发，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度为 3 千米/小时，若甲乙两 人通过对讲机联系， 对讲机在厂区内的最大通话距离为 3 千米(含 3 千米)， 试问有多 长时间两人不能通话? 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C： 2 2 22 1(0) y x ab ab 过点 6 1 2
8、，离心率 为 2 2 A，B 是椭圆上两点，且直线 OA 与 OB 的斜率之积为 1 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求直线 AB 的斜率； （3）设直线 AB 交圆 O： 222 xya于 C，D 两点，且 6 4 AB CD ，求COD 的面积 (第 17 题) 数学试题 第 4 页 共 6 页 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 * () n anN的前 n 项和为 Sn，() 2 nn n Sa( 为常数)对于任意的 * nN 恒成立 (1)若 1 1a ，求 的值； (2)证明：数列 n a是等差数列； (3)若 2 2a ，关于 m 的不等式|2|1 m Smm有且仅有
9、两个不同的整数解，求 的 取值范围 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 ln ( )( 1 x f xa ax R,且 a 为常数). (1)若函数 y=f(x)的图象在 x=e 处的切线的斜率为 2 1 e(1 e) (e 为自然对数的底数)，求 a 的值； (2)若函数 y= f(x)在区间(1，2)上单调递增，求 a 的取值范围； (3)已知 x，y(1，2)， 且 x+y=3，求证: (23)ln(23)ln 11 xxyy xy 0 数学试题 第 5 页 共 6 页 2020 年江苏省高考押题卷年江苏省高考押题卷 数数 学学 II(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括A，B
10、，C三小题，每小题 10 分. 请选定其中两 小 题 ，并在相应 的 答题区域 内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 A. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 曲线 22 1xy在矩阵 0 (0,0) 0 a Aab b 对应的变换下得到曲线 2 2 1. 9 x y (1)求矩阵 A； (2)求矩阵 A 的特征向量 B. 选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos sin x y ， (为参数)以原点 O 为 极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线
11、l 的极坐标方程为(sincos )2， 直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的值. C. 选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分) 已知 a，b，c 为正实数，满足 a+b+c=3，求 149 abc 的最小值. 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为解答题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题
12、卡的规定位置. 3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效. 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠 数学试题 第 6 页 共 6 页 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 五个自然数 12345 按照一定的顺序排成一列 (1)求 2 和 4 不相邻的概率； (2)定义：若两个数的和为 6 且相邻
13、，称这两个数为一组“友好数” 随机变量 X 表示上述五 个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求 X 的概率分布和数学期望 E(X) 23 （本小题满分 10 分） 已知 * 2,nnN数列 T 12 :, n a aa中的每一项均在集合 M =1,2,n中， 且任意两项 不相等，又对于任意的整数 i，j(1i0 符合要求8 分 （或者，当)2 , 1 (x，1lnx，所以01)ln1 (ln1xaxxaxax恒成立） 当1, 0 2 1 aa且)2 , 1 (x时，)(0)( xx在(1,2)上单调递增 要使得0ln1xaxax恒成立， 即要求101ln10) 1 (aaa 故1, 0
14、2 1 aa 综上所述，a的取值范围是 1 1,) 2 10 分 另解：因为 ax10 在(1，2)有意义，所以 a1 或 a1 2，6 分 f (x) a1 xalnx (ax1)2 ，因为 f(x)在(1，2)递增，f (x)0 在(1，2)恒成立， 即 a1 xalnx0 在(1，2)恒成立，即 alnx 1 xa0 在(1，2)恒成立， 令 g(x)alnx1 xa，x1，2 g (x)a x 1 x2 ax1 x2 当 ax10 时，即 a1 时，g (x)0，所以 g(x)递减， 所以 g(x)的最大值为 g(1)0，即1a0，a1，所以 a1. 8 分 当 ax10 时，即 a1
15、 2时，g (x)0，所以 g(x)递增， 所以 g(x)的最大值为 g(2)0，即 aln21 2a0，a 1 2 1ln2 又因为 1 2 1ln2 1 2，所以 a 1 2. 综上，a1 2或 a1.10 分 （3）由（2）可知当1a时，函数 f(x)在(1,2)上单调递增，此时 x x x x xf 1 ln 1 ln )( 当 2 3 1 x时， 2 3 ln2) 2 3 ()( fxf，而032x，所以 )32( 2 3 ln2 )1 ( ln )32()32( 2 3 ln2)()32( x x x xxxfx )32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( x x xx 12
16、 分 当2 2 3 x时， 2 3 ln2) 2 3 ()( fxf，而032x，所以 )32( 2 3 ln2 )1 ( ln2 )32()32( 2 3 ln2)()32( x x x xxxfx )32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( x x xx 14 分 综上，对于任意)2 , 1 (x，都有)32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( x x xx 故 0)622( 2 3 ln2)32( 2 3 ln2)32( 2 3 ln2 ) 1( ln)32( ) 1( ln)32( yxyx y yy x xx 16 分 另解：因为3 yx，所以yxxxx332，xyyyy
17、332 要证 23)ln23)ln 0 11 xxyy xy （ ，即证 )ln)ln 0 11 xyxyxy xy （ 12 分 不妨设y x ，当y x 时 )ln)ln 0 11 xyxyxy xy （ 成立； 当y x 时，即证 lnln 11 xy xy ，14 分 由（2）知，当1a 时， ln ( ) 1 x f x x 在1,2（）上递增 所以 lnln 11 xy xy 成立，综上 23)ln23)ln 0 11 xxyy xy （ 16 分 数学数学II（附加题）参考答案（附加题）参考答案 21 【选做题】 A解析： （1） 30 01 A 5 分 （2） 1 0 和 0
18、1 10 分 C已知 a、b、c 为正实数，满足3cba，求 cba 941 的最小值 解：因为 a、b、c 为正实数，由柯西不等式可知， 36)321 () 941 ( ) 9 () 4 () 1 )()()()() 941 )( 22 222222 c c b b a a cba cba cba cba 5 分 即12 3 3636941 cbacba 8 分 当且仅当 c c b b a a 941 即 32 cb a，也即 2 3 , 1, 2 1 cba时取等号 所以 cba 941 的最小值为 1210 分 【必做题】 22解： （1）记“2 和 4 不相邻”为事件A，则 5 3
19、)( 5 5 2 4 3 3 A AA AP3 分 答：2 和 4 不相邻的概率为 5 3 4 分 B.【解析】曲线 C： 2 4 x 2 y1， 3 分 xy20直线 l：则直线 l 的参数方程为 2 2 2 2 tx ty 2 ， ， 6 分 代入 2 4 x2 y1得 2 516 2tt 240，所以 2 t1 6 2 22 5 ， t 所以弦长 12 4 2 5 t tAB 10 分 （2）0,1,2的所有可能取值为， 5 1 )2( 5 5 3 3 2 2 2 2 A AAA P， 5 22 ) 1( 5 5 2 3 2 2 2 2 A AAA P， 5 222 )0( 5 5 2
20、2 2 2 1 4 2 2 1 4 2 2 1 4 A AACACAC P（先确定 3 的位置） （或 5 2 ) 1()2(1)0(PPP） 012 P 5 2 5 2 5 1 8 分 所以 2214 ( )0+1+2 5555 E10 分 23解： （1）若 1 3a ，则 2 13 2a，故 2 2a ，则 3 1a ； 若 2 3a ，则 23 23aa，则 3 2a，故 3 2a ，则 1 1a ； 若 3 3a ，则 12 1,2aa或 12 2,3aa 所以当3n 时，满足条件的数列T为3,2,1;1,3,2;1,2,3;2,1,3 故满足条件的 T 的个数为 4 3 分 （2）
21、设满足条件的数列T的个数为 n b，显然 12 1,2bb， 3 4b ， 不等式 ij iaja中取1ji ，则有 1 1 ii iaia ，即 1 1 ii aa ， 当 1 an时，则 2 1an，同理 3 2an，1 n a ， 即满足条件的数列只有 1 个； 当 i an(2)i n ，则 1 1 i an ，同理 2 2, in anai ， 即 i an以后的各项是唯一确定的， 5 分 i an之前的满足条件的数列的个数为 1i b； 所以当2n时， 121 1 nnn bbbb ( ) ，9 分 当n3时， 121 1 nn bbb ， 代入( ) 式得到 111 2 nnnn bbbb ，且满足 21 2bb 所以对任意 2n ，都有 1 2 nn bb 成立，又 1 1b ，所以 1 2n n b . 综上，满足条件的数列T的个数为 1 2n.10 分
