1、如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B （2a）306a3 Ca4a2a8 D （1+a） （a1）1a2 4 （3 分）如图所示，已知 ABCD，EF 平分CEG，180，则2 的度数为（ ） A20 B40 C50 D60 5 （3 分）若正比例函数 ykx 图象的经过一、三象限，且过点 A（2a，4）和 B（2，a） ， 则 k 的值为（ ） A2 B2 C1 D1 6 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，C70，BD 是 AC 边上的高线，点 E 在 AB 上， 且 BE
2、BD，则ADE 的度数为（ ） 第 2 页（共 28 页） A20 B25 C30 D35 7（3分） 将直线L： yx1向左平移4个单位长度得到直线L， 则直线L的解析式为 （ ） Ayx+1 Byx+2 Cyx+3 Dyx+1 8 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点 E，连 接 OE若 OB6，菱形 ABCD 的面积为 54，则 OE 的长为（ ） A4 B4.5 C8 D9 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于半径为 6 的O 中，连接 AC，若 ABCD，ACB 45，ACDBAC，则 BC 的长度为（ ） A6 B
3、6 C9 D9 10 （3 分）已知抛物线 W：yx24x+c，其顶点为 A，与 y 轴交于点 B，将抛物线 W 绕原 点旋转 180得到抛物线 W，点 A，B 的对应点分别为 A，B，若四边形 ABAB为矩形， 则 c 的值为（ ） A B C D 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）分解因式：ax24ay2 12 （3 分）已知正六边形的周长为 12，则这个正六边形的边心距是 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数 y（x0）交于 点 A，与反比例函数 y（k0）交于点 B，过点 A 作 x 轴的垂线，过点
4、 B 作 y 轴的垂 线，两直线交于点 C，若ABC 的面积为 9，则 k 的值为 第 3 页（共 28 页） 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 AD 上，连接 BP、CP，则 sinBPC 的最大值为 三三.解答题（共解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分）分） 15计算：（） 2|1 |+3tan30 16化简： （1） 17如图，已知ABC，点 D 在 AB 边上，且ACD90，请用尺规作图法在 BC 边上求 作一点 P，使得APCADC （保留作图痕迹，不写作法） 18如图，已知点 A，D，C，B 在同一直线上，ADBC，DECF，AEBF；求证：
5、AE BF 192021 年高考方案与高校招生政策都将有重大的变化，我市某部门为了了解政策的宣传 情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分 第 4 页（共 28 页） 为 A，B，C，D 四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你 根据图中提供的信息完成下列问题： （1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中的 D 等对应的扇形圆心角的度数； （3）已知该校有 1500 名学生，估计该校学生对政策内容了解程度为 D 等的学生有多少 人？ 20如图，在建筑物顶部有一长方形广告牌架 CDEF，已知 CD2m，在地面
6、上 A 处测得广 告牌上端 C 的仰角为 ，且 tan，前进 10m 到达 B 处，在 B 处测得广告牌架下端 D 的仰角为 45，求广告牌架下端 D 到地面的距离 21 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中， 某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠 状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升 血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间的关系近似地满足图中折线 （1）求注射药物后每毫升血液中含药量 y 与时间 t 之间的函数关系式，并写出自变量的 取值范围； （2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时，对控制病情是有效的如果病 人按规定的剂量
7、注射该药物后，求控制病情的有效时间 第 5 页（共 28 页） 22现有 A，B，C，D 四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这四 张卡片背面向上洗匀后放在桌面上 （1）从中随机取出一张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ； （2）若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡 片都是轴对称图形的概率 23如图，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作ABC 的外接圆O，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F （1）求证：EF 是O 切线； （2）若 AB15，EF10，求 AE 的长
8、 24如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于点 A（3，0） ，点 B（1，4） （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是 x 轴上方抛物线上一点，点 N 是直线 AB 上一点，若 A、O、M、N 以为顶 点的四边形是以 OA 为边的平行四边形，求点 M 的坐标 第 6 页（共 28 页） 25问题发现 （1）如图，ABC 为边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 边上一点且 CD 平分ABC 的 面积，则线段 CD 的长度为 ； 问题探究 （2）如图，ABCD 中，AB6，BC8，B60点 M 在 AD 上，点 N 在 BC 上， 若 MN 平分平行四边形 ABCD 的面积
9、，且 MN 最短，请你画出符合要求的线段 MM，并 求出此时 MN 与 AM 的长度 问题解决 （3）如图，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段 AB、BC、，已知 AB160 米，BC120 米，ABC90，的圆心在 AB 边上，现规划在空地上种植草坪，并 从的中点 P 修一条直路 PM（点 M 在 AB 上） 请问是否存在 PM，使得 PM 平分该空 地 的 面 积 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 此 时AM的 长 度 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 第 7 页（共 28 页） 2020 年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学二模试卷年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学
10、二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的）每小题只有一个选项是符合题意的） 1 （3 分）下列实数中，无理数是（ ） A3.14 B2.12122 C D 【分析】根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项 【解答】解：无理数是， 故选：C 【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开方 开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数 2 （3 分）如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找
11、到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形， 故选：B 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B （2a）306a3 Ca4a2a8 D （1+a） （a1）1a2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式a2+2ab+b2，不符合题意； B、原式230a30，不符合题意； C、原式a6，不符合题意； 第 8 页（共 28 页） D、原式1a2，符合题意， 故选：D 【点评】此题考查
12、了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 4 （3 分）如图所示，已知 ABCD，EF 平分CEG，180，则2 的度数为（ ） A20 B40 C50 D60 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求2 的度数 【解答】解：EF 平分CEG， CEG2CEF 又ABCD， 2CEF（1801）250， 故选：C 【点评】首先利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与 已知角的关系转化求解 5 （3 分）若正比例函数 ykx 图象的经过一、三象限，且过点 A（2a，4）和 B（2，a） ， 则 k 的值为（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】由正比
13、例函数的图象经过的象限，利用正比例函数的性质可得出 k0，由正比 例函数的图象经过点 A，B，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于 k，a 的方程 组，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：正比例函数 ykx 的图象经过一、三象限， k0 正比例函数 ykx 的图象过点 A（2a，4）和 B（2，a） ， ， 解得：或（舍去） 故选：D 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函 第 9 页（共 28 页） 数图象上点的坐标特征，找出关于 k，a 的方程组是解题的关键 6 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，C70，BD 是 AC 边上的高线，点 E 在
14、 AB 上， 且 BEBD，则ADE 的度数为（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得ABC 的度数，然后求得ABD 的度数，再次 利用等腰三角形的性质求得等腰三角形的底角的度数，从而求得ADE 的度数即可 【解答】解：ABAC，C70， ABCC70， BDAC， DBC20， ABD50， BEBD， EDBDEB65， ADE180659025， 故选：B 【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质， 难度不大 7（3分） 将直线L： yx1向左平移4个单位长度得到直线L， 则直线L的解析式为 （ ） Ayx+1 By
15、x+2 Cyx+3 Dyx+1 【分析】利用一次函数“左加右减”的平移规律即可得出答案 【解答】解：将直线：yx1 向左平移 4 个单位长度得到直线 L， 则直线 L 的解析式是：y（x+4）1，即 yx+1 第 10 页（共 28 页） 故选：A 【点评】此题主要考查了一次函图象与平移变换，正确记忆平移规律“左加右减，上加 下减”是解题关键 8 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点 E，连 接 OE若 OB6，菱形 ABCD 的面积为 54，则 OE 的长为（ ） A4 B4.5 C8 D9 【分析】由菱形的性质得出 BD12，由菱
16、形的面积得出 AC9，再由直角三角形斜边上 的中线性质即可得出结果 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， OAOC，OBODBD，BDAC， BD2OB12， S菱形ABCDACBD54， AC9， AEBC， AEC90， OEAC4.5， 故选：B 【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的 性质是解题的关键 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于半径为 6 的O 中，连接 AC，若 ABCD，ACB 45，ACDBAC，则 BC 的长度为（ ） 第 11 页（共 28 页） A6 B6 C9 D9 【分析】连接 OA、OB，作 BHAC 于 H，
17、如图，先证明，则利用圆周角定理得 到CADACB45，再利用圆内接四边形的性质计算出BAC60，接着利用 圆周角定理得到AOB90，所以 AB6，然后在 RtABH 中求出 BH，最后在 Rt BCH 中求出 BC 【解答】解：连接 OA、OB，作 BHAC 于 H，如图， ABCD， ， CADACB45， BAD+BCD180， ACD+ACB+CAD+BAC180， ACDBAC BAC+45+45+BAC180，解得BAC60， AOB2ACB90， OAB 为等腰直角三角形， ABOA6， 在 RtABH 中，BAH60， AHAB3，BHAH3， 在 RtBCH 中，BCH45，
18、BCBH36 故选：A 第 12 页（共 28 页） 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的 圆周角所对的弦是直径 10 （3 分）已知抛物线 W：yx24x+c，其顶点为 A，与 y 轴交于点 B，将抛物线 W 绕原 点旋转 180得到抛物线 W，点 A，B 的对应点分别为 A，B，若四边形 ABAB为矩形， 则 c 的值为（ ） A B C D 【分析】 由抛物线解析式得到点 A、 B 的坐标； 然后根据对称的性质得到点 A， B的坐标； 最后根据矩形的性质解答 【解答】解：由
19、 yx24x+c（x2）2+c4，得 A（2，c4） ，则 A（2，c+4） ， 由 yx24x+c，得 B（0，c） ，则 B（0，c） 因为四边形 ABAB为矩形， 所以 AABB，即 解得 c 故选：D 【点评】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根 据对称的性质求得点 A、B的坐标是解题的关键 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）分解因式：ax24ay2 a（x+2y） （x2y） 【分析】 观察原式 ax24ay2， 找到公因式 a， 提出公因式后发现 x24y2符合平方差公式， 利用平方差公式继续
20、分解可得 【解答】解：ax24ay2 a（x24y2） a（x+2y） （x2y） 【点评】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平 第 13 页（共 28 页） 方差公式进行二次因式分解 12 （3 分）已知正六边形的周长为 12，则这个正六边形的边心距是 【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的 有关知识解决 【解答】解：如图，连接 OA、OB；过点 O 作 OGAB 于点 G 在 RtAOG 中，OAAB2，AOG30， OGOAcos 302 故答案为： 【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，正确掌握正六边形的性质是解题
21、关键 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数 y（x0）交于 点 A，与反比例函数 y（k0）交于点 B，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂 线，两直线交于点 C，若ABC 的面积为 9，则 k 的值为 2 【分析】设直线 AB 的解析式为 yax，A（m，am） ，B（n，an） ，利用三角形面积公式 得到（nm） （aman）9，则 a（nm）218，再利用反比例函数图象上点的坐 标特征得到 mam8，nank，即 a，kan2，消去 a 得到18， 于是确定 m 与 n 的关系为 m2n，然后利用 a，kan2求出 k 的值 【解答】解：设直
22、线 AB 的解析式为 yax，A（m，am） ，B（n，an） ， ABC 的面积为 9， 第 14 页（共 28 页） （nm） （aman）9， a（nm）218， A（m，am）在反比例函数 y（x0）图象上，B（n，an）在反比例函数 y（x 0）图象上， mam8，nank，即 a，kan2， 18， 而 m0， 2（nm）3m， m2n， a， kn22 故答案为2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交 点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无 解，则两者无交点 14 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边
23、长为 4，点 P 在 AD 上，连接 BP、CP，则 sinBPC 的最大值为 【分析】作一个圆，使该圆经过 B、C 点且和 AD 相切，由外角知识及圆周角定理可知 BPCBGC（P、G 重合时取等号） ，根据三角形的面积公式即可算出取最大值时 sin BPC 的值 【解答】解：作一个圆，使该圆经过 B、C 点且和 AD 相切，如图所示 第 15 页（共 28 页） 任取线段 AD 上一点 P，连接 BP、CP，令 CP 与圆交于点 G，连接 BG BGCBPC+PBG， BPCBGC 当 P、G 两点重合时取等号，此时点 P 为 AD 的中点 ADAB4， AP2， 由勾股定理得：BP2，
24、PBC 的面积 SBPCPsinBPC22sinBPCBCAB4 4， sinBPC 故 sinBPC 的最大值为 故答案是： 【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识的，寻找点 P 位置时有些难度，此问借助了圆周角定理以及外角的有关知识寻找到BPC 最大时点 P 的位置，求BPC 的正弦值时巧妙的利用了三角形的面积的两种求解方程，减少了解直 角三角形的步骤 三三.解答题（共解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分）分） 15计算：（） 2|1 |+3tan30 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简 得出答案 【解答】解：原
25、式9（1）+3 3+1+ 4 第 16 页（共 28 页） 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 16化简： （1） 【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题 【解答】解： （1） （x1） x+1 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法 17如图，已知ABC，点 D 在 AB 边上，且ACD90，请用尺规作图法在 BC 边上求 作一点 P，使得APCADC （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】用尺规作图法在 BC 边上求作一点 P，使得APCADC 即可 【解答】解：如图，以 AD 为直径作圆交 BC 于点 P 点 P 即为所求 【点评】
26、本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握圆周角定理 18如图，已知点 A，D，C，B 在同一直线上，ADBC，DECF，AEBF；求证：AE BF 第 17 页（共 28 页） 【分析】由 DECF，得CDEFCD，进而由补角性质得ADEBCF，再由 AE BF，得AB，再由“ASA”可证ADEBCF，最后由全等三角形的性质得结 论 【解答】解：DECF， CDEFCD， ADEBCF， AEBF， AB， 在ABE 和ADF 中， ， ADEBCF（ASA） ， AEBF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，补角的性质，熟练运用 全等三角形的判定方法是本题的关键 19
27、2021 年高考方案与高校招生政策都将有重大的变化，我市某部门为了了解政策的宣传 情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分 为 A，B，C，D 四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你 根据图中提供的信息完成下列问题： 第 18 页（共 28 页） （1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中的 D 等对应的扇形圆心角的度数； （3）已知该校有 1500 名学生，估计该校学生对政策内容了解程度为 D 等的学生有多少 人？ 【分析】 （1）从两个统计图中可得 B 组的人数为 50 人，占调查人数的 25%，可求
28、出调查 人数，从而计算出 A 等人数和 D 等人数，补全条形统计图， （2）用 360乘以 D 组所占的百分比即可， （3）样本估计总体，用样本中 D 组所占的百分比乘以总人数即可 【解答】解： （1）5025%200 人，20060%120 人，200120502010 人， 答：调查人数为 200 人，补全条形统计图如图所示： （2）36018， 答：扇形统计图中的 D 等对应的扇形圆心角的度数为 18； （3）150075 人， 答：该校 1500 名学生中对政策内容了解程度为 D 等的学生大约有 75 人 【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，从两个统计图中获取有用的数据， 理
29、清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键，用样本估计总体是统计中常用的 方法 20如图，在建筑物顶部有一长方形广告牌架 CDEF，已知 CD2m，在地面上 A 处测得广 告牌上端 C 的仰角为 ，且 tan，前进 10m 到达 B 处，在 B 处测得广告牌架下端 D 的仰角为 45，求广告牌架下端 D 到地面的距离 第 19 页（共 28 页） 【分析】延长 CD 交 AB 的延长线于 H，设 DHxm，利用正切的定义用 x 表示出 BH， 根据正切的定义列式计算即可 【解答】解：延长 CD 交 AB 的延长线于 H，则 CDAB， 设 DHxm，则 CH（x+2）m， 在 RtDHB 中
30、，tanDBH， BHxm， 则 AHAB+BH（x+10）m， 在 RtCAH 中，tanCAHtan，即， 解得 x22 答：广告牌架下端 D 到地面的距离为 22m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键 21 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中， 某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠 状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升 血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间的关系近似地满足图中折线 （1）求注射药物后每毫升血液中含药量 y 与时间 t 之间的函数关系式，并写出自
31、变量的 取值范围； （2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时，对控制病情是有效的如果病 人按规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间 第 20 页（共 28 页） 【分析】 （1）观察函数的图象可知，本题的函数是个分段函数，应该按自变量的取值范 围进行分别计算 当 01 小时的时候，函数图象是个正比例函数，可根据 1 小时的含药量用待定系数法进 行求解； 当 110 小时时，函数的图形是个一次函数，可根据 1 小时和 10 小时两个时间点的含药 量用待定系数法求函数的关系式 （2）在 01 小时的时间段内，当含药量上升到 4 微克时，控制病情开始有效，那么让 这个区间的函数值
32、4 求出这个时间点 同理，可在 110 小时的时间段内求出另一个时间点，他们的差就是药的有效时间 【解答】解： （1）当 0t1 时，设 yk1t，则 6k11，k16，y6t； 当 1t10 时，设 yk2t+b， ， 解得， yt+， y； （2）当 0t1 时，令 y4，即 6t4， t（或 6t4，t） 当 1t10 时，令 y4，即t+4， t4 第 21 页（共 28 页） 注射药液小时后开始有效，有效时间长为：4（小时） 【点评】本题主要考查了分段函数的应用，要注意的是不同的自变量的取值范围内，函 数意义的不同 22现有 A，B，C，D 四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其
33、他均相同，将这四 张卡片背面向上洗匀后放在桌面上 （1）从中随机取出一张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是 ； （2）若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡 片都是轴对称图形的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算 可得 【解答】解： （1）从中随机抽取 1 张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为； 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有 6 种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称
34、图形的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求 第 22 页（共 28 页） 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率 23如图，已知以 RtABC 的边 AB 为直径作ABC 的外接圆O，B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交O 于 E，过 E 作 EFAC 交 BA 的延长线于 F （1）求证：EF 是O 切线； （2）若 AB15，EF10，求 AE 的长 【分析】 （1）要证 EF 是O 的切线，只要连接 OE，再证FEO90即可； （2）先证明FEAFBE，根据相似三角形对应边成比例求出 AF5，BF20，BE 2
35、AE再根据圆周角定理得出AEB90，利用勾股定理列方程，即可求出 AE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OE， B 的平分线 BE 交 AC 于 D， CBEABE EFAC， CAEFEA OBEOEB，CBECAE， FEAOEB AEB90， FEO90 EF 是O 切线 （2）解：在FEA 与FBE 中， FF，FEAFBE， FEAFBE， ， AFBFEFEF， AF（AF+15）1010， 第 23 页（共 28 页） 解得 AF5 BF20 ， BE2AE， AB 为O 的直径， AEB90， AE2+BE2152， AE2+（2AE）2225， AE3 【点评】本题考查了切
36、线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆 心与这点（即为半径） ，再证垂直即可 24如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于点 A（3，0） ，点 B（1，4） （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是 x 轴上方抛物线上一点，点 N 是直线 AB 上一点，若 A、O、M、N 以为顶 点的四边形是以 OA 为边的平行四边形，求点 M 的坐标 【分析】 （1）把点 A、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得 b、c 的值即可； （2）需要分类讨论：四边形 AONM 是平行四边形和四边形 AOMN 是平行四边形两种情 况，根据平行四边形的对边相互
37、平行且相等和函数图象上点的坐标特征列出方程，借助 于方程解答即可 【解答】解： （1）把点 A（3，0） ，点 B（1，4）代入 yx2+bx+c，得 第 24 页（共 28 页） 解得 故该抛物线解析式是：yx2x+6； （2）设直线 AB 解析式是：ykx+t（k0） ，则把点 A（3，0） ，点 B（1，4）代入， 得 解得 则直线 AB 的解析式为 yx+3 设 N（a，a+3） 如图，当四边形 AONM 是平行四边形时，AOMN 且 AOMN，则 M（a3，a+3） 点 M 在抛物线 yx2x+6 上， a+3（a3）2（a3）+6 解得 a13，a21 点 M 的坐标是（0，6）或
38、（2，4） ； 如图，当四边形 AOMN 是平行四边形时，AONM 且 AOMN，则 M（a+3，a+3） 点 M 在抛物线 yx2x+6 上， a+3（a+3）2（a+3）+6 整理，得 a2+8a+90 解得 a14+，a24 点 M 的坐标是（0，6）或（2，4）或（1+，1+） 综上所述，点 M 的坐标是（0，6）或（2，4）或（1+，1+） 【点评】考查了二次函数综合题，难度不大，掌握待定系数法确定函数关系式，二次函 数和一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识点即可解题 第 25 页（共 28 页） 25问题发现 （1）如图，ABC 为边长为 2 的等边三角形，D 是 A
39、B 边上一点且 CD 平分ABC 的 面积，则线段 CD 的长度为 ； 问题探究 （2）如图，ABCD 中，AB6，BC8，B60点 M 在 AD 上，点 N 在 BC 上， 若 MN 平分平行四边形 ABCD 的面积，且 MN 最短，请你画出符合要求的线段 MM，并 求出此时 MN 与 AM 的长度 问题解决 （3）如图，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段 AB、BC、，已知 AB160 米，BC120 米，ABC90，的圆心在 AB 边上，现规划在空地上种植草坪，并 从的中点 P 修一条直路 PM（点 M 在 AB 上） 请问是否存在 PM，使得 PM 平分该空 地 的 面 积 ？ 若
40、 存 在 ， 请 求 出 此 时AM的 长 度 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 【分析】 （1）根据题意，CD 是ABC 的中线，利用等腰三角形的性质推出 CDAB，利 用勾股定理求解即可解决问题 （2）如图中，连接 AC、BD，交于 O，过 O 作直线 MN，交 AD 于 M，交 BC 于 N， 首先证明 MN 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分，当 MNBC 时，MN 是最短 （3）如图中，过点 P 作 POAC 交 AC 于 H，交 AB 于 O，作 PQAB 于 Q，连接 OC由，推出 S扇形OAPS扇形OPC，推出当 SOPMSOCB时，PM 平分该空地 的面积，利
41、用参数构建方程解决问题即可 【解答】解： （1）如图中， 第 26 页（共 28 页） CD 平分ABC 的面积， ADCD， CACB2， CDAB，ADBD1， CD 故答案为： （2）如图中，连接 AC、BD，交于 O，过 O 作直线 MN，交 AD 于 M，交 BC 于 N， 四边形 ABCD 为平行四边形， OAOC，ADBC， CADACB， AOMCON， AOMCON（ASA） ， SAOMSCON， 同理可得：OMDONB，AOBCOD， SOMDSONB，SAOBSCOD， SAOM+SAOB+SBONSCON+SCOD+SOMD， 即 MN 将四边形 ABCD 分成面积相
42、等的两部分， 当 MNBC 时，MN 是最短，如图1 中， 第 27 页（共 28 页） 过 A 作 AEBC 于 E， 在 RtABE 中，ABC60， sin60， AE63，BEAB3， ECBCBE5， OAOC，ONAE， ENCN ADBC，AEBC，MNBC， MNAE3，AMEN 此时 MN 的长度为 3，AM （3）如图中，过点 P 作 POAC 交 AC 于 H，交 AB 于 O，作 PQAB 于 Q，连接 OC 由题意，点 O 是所在圆的圆心， ， OPAC，AHHC， 在 RtABC 中，AC200， AOHPOQ，AHOPQO，OAOP， 第 28 页（共 28 页） OAHOPQ（AAS） ， AHPQ100， ， S扇形OAPS扇形OPC， 当 SOPMSOCB时，PM 平分该空地的面积， 设 OAOCx， 在 RtOCB 中，OC2BC2+OB2， x21202+（160x）2， 解得 x125， 设 OMy， 则有y10035120， 解得 y21， OM21，AMOA+OM125+21146 【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，扇形的面 积，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会；利用参数构建方程解决问题， 属于中考压轴题
