1、2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2 （3 分）2018 年我国大学生毕业人数将达到 8200000 人，这个数据用科学记数法表示为 （ ） A8.2107 B8.2106 C82105 D0.82107 3 （3 分）如图是由 7 个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的几何体的形状图 是（ ） A B C D 4 （3 分）有一组数据：2，0，2，1，2，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A1，2 B2，2 C2，1 D1，1 5 （3 分）下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A B C D 6 （3 分）不等式 3x2（x1）的解集为（ ） Ax1
2、Bx1 Cx2 Dx2 7 （3 分）已知ABCDEF，若ABC 与DEF 的相似比为 2：3，ABC 的面积为 40， 则DEF 的面积为（ ） A60 B70 C80 D90 8 （3 分）如图，在ABC 中，BD 平分ABC，DEBC，且交 AB 于点 E，A60， BDC86，则BDE 的度数为（ ） 第 2 页（共 23 页） A26 B30 C34 D52 9 （3 分）关于一元二次方程 x22x+1a0 无实根，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca Da 10 （3 分）如图，已知矩形 OABC，A（4，0） ，C（0，4） ，动点 P 从点 A 出发，沿 AB CO
3、 的路线匀速运动，设动点 P 的运动路程为 t，OAP 的面积为 S，则下列能大致 反映 S 与 t 之间关系的图象是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）已知扇形的弧长是 3，半径是 3，则扇形的圆心角度数是 12 （4 分）分解因式：x216y2 13 （4 分）若 3a 和 2a+3 都是某正数的平方根，则某数为 14 （4 分）若+（3mn）20，则 nm 15 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴、y 轴分别相交于 A（1，0） 、B（3， 0） 、C（0，3）三点则该抛
4、物线的解析式是 16 （4 分）如图，将三角形 AOC 绕点 O 顺时针旋转 120得三角形 BOD，已知 OA4， OC1，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 第 3 页（共 23 页） 17 （4 分）如图，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，是等腰直角三角形，点 P1，P2， P3，在反比例函数 y的图象上，斜边 OA1，A1A2，A2A3，都在 x 轴上，则点 A2的坐标是 三、解答题（共三、解答题（共 3 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：2cos30（2017）0+|2|+（） 1 19 （6 分）先化简，再求值： （），其中
5、x 20 （6 分）如图，在ABC 中： （1）用直尺和圆规，在 AB 上找一点 D，使点 D 到 B、C 两点的距离相等（不写作法保 留作图痕迹） （2）连接 CD，已知 CDAC，B25，求ACB 的度数 四、解答题（共四、解答题（共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中 红球有 3 个，且从中任意摸出一个红球的概率为 0.75 （1）根据题意，袋中有 个蓝球； （2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球，请用画树状图或列表法求 “摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件 A
6、） ”的概率 P（A） 22 （8 分）近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看 第 4 页（共 23 页） 到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售若每台甲种空气净化器的进价比每 台乙种空气净化器的进价少 300 元，且用 6000 元购进甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净化器的数量相同 （1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？ （2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共 30 台，且进货花费不超过 42000 元， 问最少进货甲种空气净化器多少台？ 23 （8 分）如图，在ABCD 中，BAD 的平分线交 CD
7、于点 E，交 BC 的延长线于点 F， 连接 BE，F45 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB14，DE8，求 sinAEB 的值 五、解答题（共五、解答题（共 2 小题，每题小题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E，AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB：PC 1：2 （1）求证：AC 平分BAD； （2）探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AD3，求ABC 的面积 25 （10 分
8、）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 均在坐标轴上，且 OA4， OC3，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；动点 N 从点 C 出发沿 CB 向终点 B 以同样的速度移动， 当两个动点运动了 x 秒 （0x4） 时， 第 5 页（共 23 页） 过点 N 作 NPBC 于点 P，连接 MP （1）直接写出点 B 的坐标，并求出点 P 的坐标（用含 x 的式子表示） ； （2）设OMP 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式；当 x 为何值时，S 有最大值？ 最大值是多少？ （3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻
9、，使OMP 是等腰三角形？若存在， 求出 x 的值；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 23 页） 2020 年四川省绵阳市江油外国语学校中考数学一模试卷年四川省绵阳市江油外国语学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：B 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2 （3 分）2018 年我国大学生毕业
10、人数将达到 8200000 人，这个数据用科学记数法表示为 （ ） A8.2107 B8.2106 C82105 D0.82107 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10，n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：82000008.2106 故选：B 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键 3 （3 分）如图是由 7 个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的几何体的形状图 是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：
11、从左边看第一层是两个小正方形，第二、三层左边一个小正方形， 故选：C 第 7 页（共 23 页） 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图象是左视图 4 （3 分）有一组数据：2，0，2，1，2，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A1，2 B2，2 C2，1 D1，1 【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出最中间的数即是中位数，在这组数 据中出现次数最多的是 2，从而得到这组数据的众数 【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列2，0，1，2，2， 所以中位数是 1； 在这组数据中出现次数最多的是 2， 即众数是 2， 故选：A 【点评】本题考查一组数据的中位数和众
12、数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从 小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求 5 （3 分）下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义即可解答 【解答】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意 故选：C 【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转 180 度后所得的图形与原图形 完全重合 6 （3 分）不等式 3x2（x1）的解集为（ ） Ax1 Bx1 Cx
13、2 Dx2 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项计算，即可得到答 案 【解答】解：去括号得，3x2x2， 移项、合并同类项得，x2， 故选：C 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解 题的关键 7 （3 分）已知ABCDEF，若ABC 与DEF 的相似比为 2：3，ABC 的面积为 40， 则DEF 的面积为（ ） A60 B70 C80 D90 【分析】根据ABC 与DEF 相似，相似比为 2：3，可得面积比为 4：9，进而可得答 案 【解答】解：ABC 与DEF 相似，相似比为 2：3， 面积比为 4
14、：9， ABC 的面积为 40， DEF 的面积为 90， 故选：D 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的面积的比等于相 似比的平方 8 （3 分）如图，在ABC 中，BD 平分ABC，DEBC，且交 AB 于点 E，A60， BDC86，则BDE 的度数为（ ） A26 B30 C34 D52 【分析】 先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 求出ABD 的度数， 再根据角平分线的定义求出DBC 的度数， 然后根据两直线平行， 内错角相等即可得解 【解答】解：BDCA+ABD， ABDBDCA866026， BD 平分ABC， DBCABD26， 又D
15、EBC， BDEDBC26 第 9 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角 平分线的定义，以及两直线平行，内错角相等的性质，准确识图是解题的关键 9 （3 分）关于一元二次方程 x22x+1a0 无实根，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca Da 【分析】根据一元二次方程 x22x+1a0 无实根，可以得到0，从而可以求得 a 的取值范围，本题得以解决 【解答】解：一元二次方程 x22x+1a0 无实根， （2）241（1a）0， 解得，a0， 故选：A 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，
16、知道方程无实数根 时0 10 （3 分）如图，已知矩形 OABC，A（4，0） ，C（0，4） ，动点 P 从点 A 出发，沿 AB CO 的路线匀速运动，设动点 P 的运动路程为 t，OAP 的面积为 S，则下列能大致 反映 S 与 t 之间关系的图象是（ ） A B C D 【分析】分三段求解：当 P 在 AB 上运动时；当 P 在 BC 上时；当 P 在 CO 上时； 分别求出 S 关于 t 的函数关系式即可选出答案 【解答】解：A（4，0） 、C（0，4） ， 第 10 页（共 23 页） OAABBCOC4， 当 P 由点 A 向点 B 运动，即 0t4，SOAAP2t； 当 P 由
17、点 A 向点 B 运动，即 4t8，SOAAP8； 当 P 由点 A 向点 B 运动，即 8t12，SOAAP2（12t）2t+24； 结合图象可知，符合题意的是 A 故选：A 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出 S 关于 t 的 函数关系式 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）已知扇形的弧长是 3，半径是 3，则扇形的圆心角度数是 180 【分析】根据 l，结合题意可得出扇形圆心角的度数 【解答】解：扇形的弧长为 3，半径为 3， 3， 解得：n180 故答案为：180 【点评】此题考查了弧
18、长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的公式：l （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） 12 （4 分）分解因式：x216y2 （x+4y） （x4y） 【分析】 先把 x2和 16y2分别写成完全平方的形式， 再利用平方差公式进行因式分解即可 【解答】解：x216y2 x2（4y）2 （x+4y） （x4y） 故答案为： （x+4y） （x4y） 【点评】此题主要考查了用平方差公式进行因式分解，把 x2和 16y2分别写成完全平方的 形式再用平方差公式分解是解决问题的关键 13 （4 分）若 3a 和 2a+3 都是某正数的平方根，则某数为 81 或 9 【分析】根据一个
19、正数的两个平方根互为相反数，可知 3a+2a+30，a6，继而得 出答案 第 11 页（共 23 页） 【解答】解：一个正数的两个平方根互为相反数， 3a+2a+30 解得：a6 3（6）3+69 9281， 这个数为 81 或 3a2a+3，解得 a0， 这个数是 9， 故答案为：81 或 9 【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键 14 （4 分）若+（3mn）20，则 nm 4 【分析】根据非负数的性质列式求出 m、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】解：由题意得：m20，3mn0， m2，n6， nm624， 故答案为：4 【点评】本题考查非负
20、数的性质，解答本题的关键是求出 m、n 的值 15 （4 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴、y 轴分别相交于 A（1，0） 、B（3， 0） 、C（0，3）三点则该抛物线的解析式是 yx2+2x+3 【分析】根据题意设抛物线交点式，待定系数法求解可得 【解答】解：根据题意设抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ， 将点 C（0，3）代入，得：3a3， 解得：a1， y（x+1） （x3）x2+2x+3， 故答案为：yx2+2x+3 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键 16 （4 分）如图，将三角形 AOC 绕点 O 顺时针旋转
21、120得三角形 BOD，已知 OA4， OC1，那么图中阴影部分的面积为 5 （结果保留 ） 第 12 页（共 23 页） 【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面 积，利用扇形的面积公式即可求解 【解答】解：AOCBOD 阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD 的面积 5， 故答案为 5 【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇 形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积是解题关键 17 （4 分）如图，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，是等腰直角三角形，点 P1，P2， P3，在反比例函数 y的图象上，斜边 O
22、A1，A1A2，A2A3，都在 x 轴上，则点 A2的坐标是 【分析】过点 P1作 P1Mx 轴，由于OAP1是等腰直角三角形，因而 PAOA，因而可 以设 P1点的坐标是（a，a） ，把（a，a）代入解析式即可求出 a2，因而求出 P 的坐标 是（2，2） ，进一步得到 OA14，再根据P2A1A2是等腰直角三角形，设 P2的纵坐标是 b，因而横坐标是 b+4，把 P2的坐标代入解析式 y，即可求出 b，然后即可求出点 B 的坐标 【解答】解：如图，过点 P1作 P1Mx 轴于 M， OAP1是等腰直角三角形， P1MOM， 设 P1点的坐标是（a，a） ， 第 13 页（共 23 页） 把
23、（a，a）代入解析式得到 a2， P1的坐标是（2，2） ， 则 OA14， P2A1A2是等腰直角三角形，过点 P2作 P2Nx 轴于 N， 设 P2的纵坐标是 b， 横坐标是 b+4， 把 P2的坐标代入解析式 y， b+4， b22， 点 P2的横坐标为 2+2， P2点的坐标是（2+2，22） ， 点 A2的坐标是（4，0） 故答案为： （4，0） 【点评】本题考查了反比例函数的图象画法和它的性质，利用形数结合解决此类问题， 是非常有效的方法 三、解答题（共三、解答题（共 3 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：2cos30（2017）0+|2
24、|+（） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角 函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式21+23 1+23 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 第 14 页（共 23 页） 19 （6 分）先化简，再求值： （），其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 x时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则 20 （6 分）如图，在ABC 中： （1）用直尺和圆规，在 AB 上找一点 D，使点 D 到 B
25、、C 两点的距离相等（不写作法保 留作图痕迹） （2）连接 CD，已知 CDAC，B25，求ACB 的度数 【分析】 （1）作 BC 的垂直平分线交于 AB 于一点，则交点为所求； （2）由垂直平分线的性质再结合已知条件即可求出ACB 的度数 【解答】解： （1）如图所示： 故点 D 为所求 （2）由（1）得 DCDB， BCDB25， ACDB+BCD50， 第 15 页（共 23 页） CDAC， AADC50， ACB180AB1805025105 【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分 线的性质得出BCDB25是解题关键 四、解答题（共四、解答题（
26、共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中 红球有 3 个，且从中任意摸出一个红球的概率为 0.75 （1）根据题意，袋中有 1 个蓝球； （2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球，请用画树状图或列表法求 “摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件 A） ”的概率 P（A） 【分析】 （1）设袋中有 x 个蓝球，根据概率公式得到0.75，然后解方程即可 （2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出两球中至少一个球为蓝球的结果 数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1
27、）设袋中有 x 个蓝球， 根据题意得0.75，解得 x1， 即袋中有 1 个蓝球 故答案为 1； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两球中至少一个球为蓝球的结果数为 6 种， 所以 P（A） 【点评】本题考查了列表法或画树状图法：用列表法或画树状图法展示所有等可能的结 果数 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率的公式求事件 A 和 B 的概率 22 （8 分）近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看 到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售若每台甲种空气净化器的进价比每 第 16 页（共 23 页） 台乙种空气净化
28、器的进价少 300 元，且用 6000 元购进甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净化器的数量相同 （1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？ （2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共 30 台，且进货花费不超过 42000 元， 问最少进货甲种空气净化器多少台？ 【分析】 （1） 解： 设每台甲种空气净化器为 x 元， 乙种净化器为 （x+300） 元， 根据用 6000 元购进甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净化器的数量相同， 列出方程求 解即可； （2）设甲种空气净化器为 y 台，乙种净化器为（30y）台，根据进货花费不超过 4
29、2000 元，列出不等式求解即可 【解答】 （1）解：设每台甲种空气净化器为 x 元，乙种净化器为（x+300）元，由题意得： ， 解得：x1200， 经检验得：x1200 是原方程的解， 则 x+3001500， 答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为 1200 元，1500 元 （2）设甲种空气净化器为 y 台，乙种净化器为（30y）台，根据题意得： 1200y+1500（30y）42000， y10， 答：至少进货甲种空气净化器 10 台 【点评】本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程 和不等式是解决问题的关键 23 （8 分）如图，在ABC
30、D 中，BAD 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F， 连接 BE，F45 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB14，DE8，求 sinAEB 的值 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）欲证明四边形 ABCD 是矩形，只需推知DAB 是直角； （2）如图，过点 B 作 BHAE 于点 H构建直角BEH通过解该直角三角形可以求得 sinAEB 的值在 RtBCE 中，由勾股定理得在 RtAHB 中， BHABsin457所以通过解 RtBHE 得到：sinAEB 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC DAFF F45， D
31、AE45 AF 是BAD 的平分线， EABDAE45 DAB90 又四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形 （2）解：如图，过点 B 作 BHAE 于点 H 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ADBC，DCBD90 AB14，DE8， CE6 在 RtADE 中，DAE45， DEADAE45 ADDE8 BC8 第 18 页（共 23 页） 在 RtBCE 中，由勾股定理得 在 RtAHB 中，HAB45， BHABsin457 在 RtBHE 中，BHE90， sinAEB 【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质注意： 本题中辅助线的
32、作法，通过构建直角三角形，通过勾股定理求得有关线段的长度，然后 通过解直角三角形来求锐角三角函数值 五、解答题（共五、解答题（共 2 小题，每题小题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E，AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB：PC 1：2 （1）求证：AC 平分BAD； （2）探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AD3，求ABC 的面积 【分析】 （1）首先连接 OC，由 PE 是O 的切线，AE 和过点
33、 C 的切线互相垂直，可证 得 OCAE，又由 OAOC，易证得DACOAC，即可得 AC 平分BAD； （2） 由 AB 是O 的直径， PE 是切线， 可证得PCBPAC， 即可证得PCBPAC， 然后由相似三角形的对应边成比例与 PB：PC1：2，即可求得答案； 第 19 页（共 23 页） （3）首先过点 O 作 OHAD 于点 H，则 AHAD，四边形 OCEH 是矩形，即可 得 AE+OC，由 OCAE，可得PCOPEA，然后由相似三角形的对应边成比例， 求得 OC 的长，再由PBCPCA，证得 AC2BC，然后在 RtABC 中，AC2+BC2 AB2，可得（2BC）2+BC25
34、2，即可求得 BC 的长，继而求得答案 【解答】 （1）证明：连接 OC， PE 是O 的切线， OCPE， AEPE， OCAE， DACOCA， OAOC， OCAOAC， DACOAC， AC 平分BAD； （2）线段 PB，AB 之间的数量关系为：AB3PB 理由：AB 是O 的直径， ACB90， BAC+ABC90， OBOC， OCBABC， PCB+OCB90， PCBPAC， P 是公共角， PCBPAC， ， PC2PBPA， PB：PC1：2， PC2PB， 第 20 页（共 23 页） PA4PB， AB3PB； （3）解：过点 O 作 OHAD 于点 H，则 AHAD
35、，四边形 OCEH 是矩形， OCHE， AE+OC， OCAE， PCOPEA， ， AB3PB，AB2OB， OBPB， ， OC， AB5， PBCPCA， ， AC2BC， 在 RtABC 中，AC2+BC2AB2， （2BC）2+BC252， BC， AC2， SABCACBC5 第 21 页（共 23 页） 【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三 角形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键 25 （10 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 均在坐标轴上，且 OA4， OC3，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单
36、位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；动点 N 从点 C 出发沿 CB 向终点 B 以同样的速度移动， 当两个动点运动了 x 秒 （0x4） 时， 过点 N 作 NPBC 于点 P，连接 MP （1）直接写出点 B 的坐标，并求出点 P 的坐标（用含 x 的式子表示） ； （2）设OMP 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式；当 x 为何值时，S 有最大值？ 最大值是多少？ （3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使OMP 是等腰三角形？若存在， 求出 x 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据矩形 OABC 中 OA4，OC3 以及矩形的性质，得出 B 点坐标
37、，再由 PGAB，得出OPGOBA，利用相似三角形对应边成比例得出 P 点坐标； （2）利用 PG 以及 OM 的长表示出OMP 的面积，再根据二次函数的性质求出最大值 即可； （3）OMP 是等腰三角形时，分三种情况：POPM；OPOM；OMPM画 出图形，分别求出即可 【解答】解： （1）矩形 OABC 中，OA4，OC3， B 点坐标为（4，3） 如图，延长 NP，交 OA 于点 G，则 PGAB，OGCNx 第 22 页（共 23 页） PGAB， OPGOBA， ，即，解得 PGx， 点 P 的坐标为（x，x） ； （2）在OMP 中，OM4x，OM 边上的高为x， S（4x） xx
38、2+x， S 与 x 之间的函数表达式为 Sx2+x（0x4） 配方，得 S（x2）2+， 当 x2 时，S 有最大值，最大值为； （3）存在某一时刻，使OMP 是等腰三角形理由如下： 如备用图 1，若 POPM，则 OGGMCNx， 即 3x4，解得：x， 所以 M（，0） ； 如备用图 2，若 OPOM，则OM， 即x4x，解得：x， 所以 M（，0） ； 如备用图 3，若 OMPM 时， PGx，GMOMOG（4x）x42x， PM2PG2+GM2（x）2+（42x）2， OM4x， （4x）2（x）2+（42x）2，解得：x， 所以，M（，0） 第 23 页（共 23 页） 综上所述，x 的值为或或 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三 角形的面积，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识， 综合性较强，难度适中利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键
