1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）我市 2019 年参加中考的考生人数约为 52400 人，将 52400 用科学记数法表示为 （ ） A524102 B52.4103 C5.24104 D0.524105 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2aa B （a2）3a6 Ca6a2a3 D （x+y）2x2+y2 5 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 且 x1 Bx1 Cx1 D1x1 6（3 分） 如图， PA、 PB 分别与O 相切于 A、 B 两点， 若C65， 则P 的度数为 （ ） A65 B130
2、C50 D100 7 （3 分）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如 下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（ ） A4，5 B5，4 C4，4 D5，5 8 （3 分）一个多边形每个外角都等于 30，这个多边形是（ ） A六边形 B正八边形 C正十边形 D正十二边形 9 （3 分）如图在同一个坐标系中函数 ykx2和 ykx2（k0）的图象可能的是（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 10 （3 分） 如图， 在等腰ABC 中， ABAC4cm， B30， 点 P 从点 B 出发， 以cm/s 的速度沿 BC
3、 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C 停止，若BPQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）实数 81 的平方根是 12 （4 分）分解因式：3x312x 13 （4 分）抛物线 y2x2+8x+12 的顶点坐标为 14 （4 分）如图，RtABC 中，B90，AB4，BC3，AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC
4、于 D，E 两点，则 CD 的长为 第 3 页（共 26 页） 15 （4 分） 如图， AB 是O 的直径， 点 C、 D 在圆上， D67， 则ABC 等于 度 16 （4 分）已知一副直角三角板如图放置，其中 BC6，EF8，把 30的三角板向右平 移，使顶点 B 落在 45的三角板的斜边 DF 上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的 面积为 17 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图，对称轴是直线 x1，有以下结论：abc 0； 4acb2； 2ab0； ab+c0； 9a3b+c0 其中正确的结论有 三、解答题（三、解答题（一） （本大题共一） （本大题共 3 小题，每
5、小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （） 14sin60（1 ）0+ 19 （6 分）先化简： （1+），请在1，0，1，2，3 当中选一个合适的数 a 代 入求值 20 （6 分）如图，在ABC 中，C90 （1）用尺规作图法作 AB 边上的垂直平分线 DE，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E （保留作 图痕迹，不要求写作法和证明） ； 第 4 页（共 26 页） （2）连结 BD，若 BD 平分CBA，求A 的度数 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8
6、 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承 地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查对收集的信息进行统计，绘制了下 面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： 图中 A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” 、C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” （1）被调查的总人数是 人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数 为 ； （2）补全条形统计图； （3） 若该校共有学生 1800 人， 请根据上述调查结果， 估计该校学生中 A 类有 人； （4）在抽取的 A 类 5 人中，刚好有 3 个女生 2 个男生，从中随机抽取两个同学担任两角 色
7、，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率 22 （8 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，线段 AG 分 别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：ADFACG； （2）若，求的值 第 5 页（共 26 页） 23 （8 分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成 本为每千克 18 元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元经试销发现，销售量 y（kg）与销售单价 x（元/kg）符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象 （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）设该
8、水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，AE 是BAC 的平分线，ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC 于点 G，交 AB 于点 F （1）求证：AE 为O 的切线； （2）当 BC4，AC6 时，求O 的半径； （3）在（2）的条件下，求线段 BG 的长 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为
9、菱形，点 C 的坐标为（8，0） ， AOC60，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M、N（点 M 在点 N 的上方） （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒（0t12） ，求 S 与 t 的函数表达式； （3）在 （2）的条件下，t 为何值时，S 最大？并求出 S 的最大值 第 6 页（共 26 页） 第 7 页（共 26 页） 2020 年广东省东莞市中考数学一模试卷年广东省东莞市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解
10、析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）计算|2|的结果是（ ） A2 B C D2 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案 【解答】解：|2|的结果是 2 故选：A 【点评】本题考查了绝对值，利用了负数的绝对值它的相反数是解题关键 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称
11、图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两 部分重合 3 （3 分）我市 2019 年参加中考的考生人数约为 52400 人，将 52400 用科学记数法表示为 （ ） A524102 B52.4103 C5.24104 D0.524105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多
12、少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：524005.24104， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2aa B （a2）3a6 Ca6a2a3 D （x+y）2x2+y2 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母 的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变
13、指数相乘，对 各选项计算后利用排除法求解 【解答】解：A、a2aa，故错误； B、正确； C、a6a2a4，故错误； D、 （x+y）2x2+2xy+y2，故错误； 故选：B 【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混 淆，一定要记准法则才能做题 5 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 且 x1 Bx1 Cx1 D1x1 【分析】根据分式的分母不为 0；偶次根式被开方数大于或等于 0；当一个式子中同时出 现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分 【解答】解：根据题意得到：， 解得 x1 且 x1， 故选：A 【点评】本题考查了函数
14、自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分 母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非 负数易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于 0 混淆 6（3 分） 如图， PA、 PB 分别与O 相切于 A、 B 两点， 若C65， 则P 的度数为 （ ） 第 9 页（共 26 页） A65 B130 C50 D100 【分析】由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP，OB 垂直于 BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知C 的度数求出AOB 的度数，在四边形 PABO
15、中，根据四边形的内角和定理即可求出P 的度数 【解答】解：PA、PB 是O 的切线， OAAP，OBBP， OAPOBP90， 又AOB2C130， 则P360（90+90+130）50 故选：C 【点评】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运 用性质及定理是解本题的关键 7 （3 分）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如 下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（ ） A4，5 B5，4 C4，4 D5，5 【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断 【解答】解：将数据从小到大排列
16、为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5， 这组数据的众数为：5； 中位数为：4 故选：A 【点评】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义 8 （3 分）一个多边形每个外角都等于 30，这个多边形是（ ） A六边形 B正八边形 C正十边形 D正十二边形 【分析】根据多边形的外角和为 360，而多边形每个外角都等于 30，可求多边形外 角的个数，确定多边形的边数 第 10 页（共 26 页） 【解答】解：多边形的外角和为 360，3603012， 这个多边形是正十二边形， 故选：D 【点评】本题考查了多边形内角与外角关键是利用多边形的外角和为 360的性质，求 多
17、边形的边数 9 （3 分）如图在同一个坐标系中函数 ykx2和 ykx2（k0）的图象可能的是（ ） A B C D 【分析】分两种情况进行讨论：k0 与 k0 进行讨论即可 【解答】解：当 k0 时，函数 ykx2 的图象经过一、三、四象限；函数 ykx2的开 口向上，对称轴在 y 轴上； 当 k0 时，函数 ykx2 的图象经过二、三、四象限；函数 ykx2的开口向下，对称 轴在 y 轴上，故 C 正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要 熟练掌握 10 （3 分） 如图， 在等腰ABC 中， ABAC4cm， B30， 点 P 从点 B
18、 出发， 以cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C 停止，若BPQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） 第 11 页（共 26 页） A B C D 【分析】作 AHBC 于 H，根据等腰三角形的性质得 BHCH，利用B30可计算出 AHAB2，BHAH2，则 BC2BH4，利用速度公式可得点 P 从 B 点 运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s，然后分类讨论：当 0x4 时，作 QDBC 于 D， 如图 1，BQx，BP
19、x，DQBQx，利用三角形面积公式得到 yx2；当 4 x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ8x，BP4，DQCQ（8x） ， 利用三角形面积公式得 yx+8，于是可得 0x4 时，函数图象为抛物线的一 部分，当 4x8 时，函数图象为线段，则易得答案为 D 【解答】解：作 AHBC 于 H， ABAC4cm， BHCH， B30， AHAB2，BHAH2， BC2BH4， 点 P 运动的速度为cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s， 点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s， 当 0x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQx，BPx， 在 RtBD
20、Q 中，DQBQx， yxxx2， 当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ8x，BP4 在 RtBDQ 中，DQCQ（8x） ， 第 12 页（共 26 页） y（8x） 4x+8， 综上所述，y 故选：D 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到 y 与 x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）实数 81 的平方根是 9 【分析】首先根据平方根的定义可以求得结果 【解答】解：实数 81 的平方根是：9
21、故答案为：9 【点评】此题主要考查了平方根的性质，要注意区分平方根、算术平方根的概念 12 （4 分）分解因式：3x312x 3x（x2） （x+2） 【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分 解 【解答】解：3x312x 3x（x24）（提取公因式） 3x（x2） （x+2） 【点评】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用分解因式时，有公因 式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解 13 （4 分）抛物线 y2x2+8x+12 的顶点坐标为 （2，4） 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐 第 13 页
22、（共 26 页） 标 【解答】解：x2， 把 x2 代入得：y816+124 则顶点的坐标是（2，4） 故答案是： （2，4） 【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利 用公式法求解 14 （4 分）如图，RtABC 中，B90，AB4，BC3，AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，则 CD 的长为 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 CDAD，故 ABBD+ADBD+CD，设 CD x，则 BD4x，在 RtBCD 中根据勾股定理求出 x 的值即可 【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线， CDAD， ABBD+ADBD+C
23、D， 设 CDx，则 BD4x， 在 RtBCD 中， CD2BC2+BD2，即 x232+（4x）2， 解得 x 故答案为： 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两 端点的距离相等是解答此题的关键 15 （4 分） 如图， AB 是O 的直径， 点 C、 D 在圆上，D67， 则ABC 等于 23 度 第 14 页（共 26 页） 【分析】根据圆周角定理得到AD67、ACB90，根据直角三角形的性质 计算，得到答案 【解答】解：由圆周角定理得，AD67， AB 是O 的直径， ACB90， ABC906723， 故答案为：23 【点评】本题考查的是圆周角
24、定理、直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧所 对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 16 （4 分）已知一副直角三角板如图放置，其中 BC6，EF8，把 30的三角板向右平 移，使顶点 B 落在 45的三角板的斜边 DF 上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的 面积为 12 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，求出 EC、EG、AE 的长，得到阴影部分的面积 【解答】解：在直角BCF 中，F45，BC6， CFBC6 又EF8， 则 EC2 在直角ABC 中，BC6，A30， AC6， 则 AE62，A30， EGAE6， 第 15 页（共 26 页） 阴影部分的面积为：（
25、EG+BC） EC（6+6）212 故答案是：12 【点评】本题考查的是平移的性质，需要正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值 17 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图，对称轴是直线 x1，有以下结论：abc 0；4acb2；2ab0；ab+c0；9a3b+c0其中正确的结论有 【分析】由图象可知：a0，c0，根据对称轴及 a 与 b 的符号关系可得 b0，则可判 断的正误；根据抛物线与 x 轴有两个交点，可得0，则可判断的正误；由对称 轴是直线 x1，可判断的正误；由当 x1 时，y0，可判断的正误；由当 x 3 时，y0，可判断的正误 【解答】解：由图象可知：a0，c0，
26、 又对称轴是直线 x1， 根据对称轴在 y 轴左侧，a，b 同号，可得 b0， abc0， 故正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 4acb2， 故正确； 对称轴是直线 x1， 第 16 页（共 26 页） 1， b2a， 2ab0， 故正确； 当 x1 时，y0， ab+c0， 故正确； 对称轴是直线 x1，且由图象可得：当 x1 时，y0， 当 x3 时，y0， 9a3b+c0， 故错误 综上，正确的有 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合并明确二次函数的相关性质是 解题的关键 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每
27、小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （） 14sin60（1 ）0+ 【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第 三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果 【解答】解：原式241+21 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （6 分）先化简： （1+），请在1，0，1，2，3 当中选一个合适的数 a 代 入求值 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：原式 第 17 页（共 26 页） ， 当 a1，0，1 时，分式无意义
28、， 故当 a2 时， 原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键 20 （6 分）如图，在ABC 中，C90 （1）用尺规作图法作 AB 边上的垂直平分线 DE，交 AC 于点 D，交 AB 于点 E （保留作 图痕迹，不要求写作法和证明） ； （2）连结 BD，若 BD 平分CBA，求A 的度数 【分析】 （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得出 ADBD，再利用角平分线的性质求出即可 【解答】解： （1）如图所示，DE 为所求作的垂直平分线； （2）DE 是 AB 边上的垂直平分线， ADBD，ABDA， BD 平分
29、CBA，CBDABDA， C90，CBD+ABD+A90， A30 【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，熟练掌握线段垂 直平分线的性质是解题关键 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承 第 18 页（共 26 页） 地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查对收集的信息进行统计，绘制了下 面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图所提供的信息解答下列问题： 图中 A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” 、C 表
30、示“一般” ，D 表示“不喜欢” （1）被调查的总人数是 50 人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 216 ； （2）补全条形统计图； （3） 若该校共有学生 1800 人， 请根据上述调查结果， 估计该校学生中 A 类有 180 人； （4）在抽取的 A 类 5 人中，刚好有 3 个女生 2 个男生，从中随机抽取两个同学担任两角 色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率 【分析】 （1）由 A 类别人数及其所占百分比可得总人数，用 360乘以 C 部分人数所占 比例可得； （2）总人数减去其他类别人数求得 B 的人数，据此即可补全条形图； （3）用总人数乘以样
31、本中 A 类别人数所占百分比可得； （4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率 【解答】解： （1）被调查的总人数为 510%50 人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇 形圆心角的度数为 360216， 故答案为：50、216； （2）B 类别人数为 50（5+30+5）10 人， 补全图形如下： 第 19 页（共 26 页） （3）估计该校学生中 A 类有 180010%180 人， 故答案为：180； （4）列表如下： 女1 女2 女3 男1 男2 女1 女2女1 女3女1 男1女1 男2女1 女2 女1女2 女3女2 男1女2 男2女2 女3 女1女3 女2女3 男1女3
32、 男2女3 男1 女1男1 女2男1 女3男1 男2男1 男2 女1男2 女2男2 女3男2 男1男2 所有等可能的结果为 20 种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为 8， 被抽到的两个学生性别相同的概率为 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用解 题时注意：概率所求情况数与总情况数之比一般来说，用样本去估计总体时，样本 越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确 22 （8 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，线段 AG 分 别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：ADFACG； （2）若，求的值
33、 第 20 页（共 26 页） 【分析】 （1）由AEDB、DAECAB 利用相似三角形的判定即可证出ADE ACB；根据相似三角形的性质再得出ADFC，即可证出ADFACG； （2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案 【解答】 （1）证明：AEDB，DAECAB， AEDABC， ADFC， 又， ADFACG； （2）解：ADFACG， ， ， ， 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的 关键，属于基础题 23 （8 分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成 本为每千克 18 元的草莓，规定试销期间销售单价不
34、低于成本单价，也不高于每千克 40 元经试销发现，销售量 y（kg）与销售单价 x（元/kg）符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象 （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为 W 元，求 W 的最大值 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据总利润每千克的利润销售量列出函数解析式，并配方成顶点式，再利用二 次函数的性质求解可得 【解答】解： （1）设 ykx+b， 将 x20、y300 和 x30、y280 代入，得：， 解得：， y2x+340（18x40） ； （2）根据题意，得：W（x18） （
35、2x+340） 2x2+376x6120 2（x94）2+11552， a20， 当 x94 时，W 随 x 的增大而增大， 在 18x40 中，当 x40 时，W 取得最大值，最大值为 5720 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式， 并根据总利润每千克的利润销售量的数量关系列出函数解析式，熟练掌握二次函数 的性质 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，AE 是BAC 的平分线，ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M，
36、点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC 于点 G，交 AB 于点 F （1）求证：AE 为O 的切线； （2）当 BC4，AC6 时，求O 的半径； （3）在（2）的条件下，求线段 BG 的长 第 22 页（共 26 页） 【分析】 （1）连接 OM，如图 1，先证明 OMBC，再根据等腰三角形的性质判断 AE BC，则 OMAE，然后根据切线的判定定理得到 AE 为O 的切线； （2）设O 的半径为 r，利用等腰三角形的性质得到 BECEBC2，再证明AOM ABE，则利用相似比得到，然后解关于 r 的方程即可； （3）作 OHBE 于 H，如图，易
37、得四边形 OHEM 为矩形，则 HEOM，所以 BH BEHE，再根据垂径定理得到 BHHG，所以 BG1 【解答】 （1）证明：连接 OM，如图 1， BM 是ABC 的平分线， OBMCBM， OBOM， OBMOMB， CBMOMB， OMBC， ABAC，AE 是BAC 的平分线， AEBC， OMAE， AE 为O 的切线； （2）解：设O 的半径为 r， ABAC6，AE 是BAC 的平分线， BECEBC2， OMBE， AOMABE， ，即，解得 r， 第 23 页（共 26 页） 即设O 的半径为； （3）解：作 OHBE 于 H，如图， OMEM，MEBE， 四边形 OHE
38、M 为矩形， HEOM， BHBEHE2， OHBG， BHHG， BG2BH1 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定和等腰三角形的性质； 会运用相似三角形的判定与性质计算线段的进行几何计算 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，点 C 的坐标为（8，0） ， AOC60，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M、N（点 M 在点 N 的上方） （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设OMN 的面积为 S，直线 l 运动时间为 t 秒（0
39、t12） ，求 S 与 t 的函数表达式； （3）在 （2）的条件下，t 为何值时，S 最大？并求出 S 的最大值 【分析】 （1）过 A 作 ADOC 于 D，在直角三角形 OAD 中，可根据 OA 的长和AOC 第 24 页（共 26 页） 的度数求出 OD 和 AD 的长，即可得出 A 点坐标，将 A 的坐标向右平移 8 个单位即可得 出 B 点坐标 （2） 当 l 过 A 点时， ONOD4， 因此 t4； 当 l 过 C 点时， ONOC8， 此时 t8 因 此本题可分三种情况： 当 0t4 时，直线 l 与 OA、OC 两边相交，此时 ONt，MNt，根据三角形的 面积公式即可得出
40、 S，t 的函数关系式 当 4t8 时，直线 l 与 AB、OC 两边相交，此时三角形 OMN 中，NM 的长与 AD 的 长相同，而 ONt，可得出 S，t 的函数关系式 当 8t12 时，直线 l 与 AB、BC 两边相交，可设直线 l 与 x 轴交点为 H，那么三角 形 OMN 可以 MN 为底，OH 为高来计算其面积OH 的长为 t，而 MN 的长可通过 MH NH 来求得，可得出关于 S，t 的函数关系式 （3）根据（2）中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出 S 的最大值及对应的 t 的值 【解答】解： （1）过点 A 作 ADOC 于 D， 四边形 OABC 为菱形，点 C
41、 的坐标为（8，0） ， OAABBCCO8 AOC60， OD4，AD4 A（4，4） ，B（12，4） ； （2）直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向运动与菱形 OABC 的两边相交有三种情况： 0t4 时，直线 l 与 OA、OC 两边相交， （如图） 第 25 页（共 26 页） MNOC， ONt MNONtan60t SONMNt2； 当 4t8 时，直线 l 与 AB、OC 两边相交， （如图） SONMNt42t； 当 8t12 时，直线 l 与 AB、BC 两边相交， （如图） 设直线 l 与 x 轴交于点 H MN4（t8）12t， SOHMNt（12t） t2+6t； 第 26 页（共 26 页） （3）由（2）知，当 0t4 时，S最大428， 当 4t8 时，S最大16， 当 8t12 时，St2+6t（t6）2+18 当 8t12 时，S16 综上所述，当 t8 时，S最大16 【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，图形面积的求法，二次函数的应用 等知识，利用分类讨论思想和数形结合的数学数形方法解决问题是本题的关键
