1、2018-2019学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑2018-2019学年度第二学期教学质量检查高一数学满分60分，时间120分钟1（5分）cos420的值为（）ABCD2（5分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于平面yOz对称的点的坐标为（）A（1，2，3）B（1，2，3）C（1，2，3）D（1，2，3）3（5分）某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均
2、数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A4B5C6D74（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k3，则输出S（）A13B15C40D465（5分）已知（0，），sin2，则sincos（）ABCD6（5分）矩形ABCD中，AB6，AD4，若在该矩形内随机投一点P，那么使得ABP的面积不大于3的概率是（）ABCD7（5分）已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（）Asin2B2sin2Csin1D2sin18（5分）已知在ABC中，P为线段AB上一点，且3，若x+y，则x+2y（）ABCD9（5分）圆C1：x2+y24x+30与圆C2：（x+1）2+（y4）
3、2a恰有三条公切线，则实数a的值是（）A4B6C16D3610（5分）已知函数f（x）sin（x+）（xR，0）相邻两个零点之间的距离为，将yf（x）的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于y轴对称，则的一个值可能是（）ABCD11（5分）如图，已知边长为a的正三角形ABC内接于圆O，D为BC边中点，E为BO边中点，则为（）Aa2Ba2Ca2Da212（5分）已知函数f（x）cos（x+）在x时取最大值，在x时取最小值，则以下各式：f（0）0；f（）0；f（）1可能成立的个数是（）A0B1C2D3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.）13（5
4、分）已知向量（x，1），向量（1，2），若+与垂直，则x 14（5分）某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选 参加比赛15（5分）若tan3，则 16（5分）过直线l：ykx1上一点P作圆C：x2+2x+y24y+10的两条切线，切点分别为A，B，若APB的最大值为90，则实数k 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，如出指定区域的答案无效.）17
5、（10分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P的坐标是（1，2）（1）求sin，tan；（2）求；18（12分）已知向量（1，1），向量为单位向量，向量与的夹角为（1）若向量与向量共线，求；（2）若3与垂直，求cos219（12分）东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞我们都是追梦人”摄影图片展，通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在20，70之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直
6、方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄20，30）30，40）40，50）50，60）60，70）人数 若从年龄在30，50）的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在30，40）的概率20（12分）东莞市公交公司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的
7、间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如表数据：间隔时间（x分钟）81012141618等候人数（y人）161923262933调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”参考公式：用最小二乘法求线性回归方程x+的系数公式：，（1）若选取的是前4组数据，求y关于x的线性回归方程yx+a；（2）判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”；（3）为了使
8、等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟？21（12分）已知函数f（x）sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数g（x）f（x）+m在区间0，上有两个零点，求实数m的取值范围22（12分）已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线yx截得的弦长为（1）求圆C的方程；（2）设动直线yk（x2）与圆C交于A，B两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由2018-2019学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一
9、、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑2018-2019学年度第二学期教学质量检查高一数学满分60分，时间120分钟1（5分）cos420的值为（）ABCD【分析】准确应用诱导公式化简计算即可【解答】解：cos420cos（360+60）cos60故选：B【点评】本题考查诱导公式的运用，正确运用诱导公式是关键化简是对角的处理一般是“负角化正角，大角化小角”2（5分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于平面yOz对称的点的坐标为（）A（1，2，3）B（1，2，3）C（1，2，3）D（1，2，3）【
10、分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于平面yOz对称的点的坐标为（a，b，c）【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于平面yOz对称的点的坐标为（1，2，3）故选：C【点评】本题考查点的坐标的求法，考查关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点等基础知识，是基础题3（5分）某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A4B5C6D7【分析】根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论【解答】解：甲班学生成绩的平均分是
11、85，79+78+80+80+x+85+92+91847，即x3乙班学生成绩的中位数是83，则中位数为80+y83，解得y3x+y3+36，故选：C【点评】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，比较基础4（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k3，则输出S（）A13B15C40D46【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S0，i1，k3，执行循环体，S1+301，i2，不满足条件ik，执行循环体，S1+314，i3，不满足条件ik，执行循环体，S1+3413，i4，满足条件ik，退出循环，
12、输出S13故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题5（5分）已知（0，），sin2，则sincos（）ABCD【分析】由已知可得sin0，cos0，再由sincos求解【解答】解：（0，），sin2，sin0，cos0，则sincos故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题6（5分）矩形ABCD中，AB6，AD4，若在该矩形内随机投一点P，那么使得ABP的面积不大于3的概率是（）ABCD【分析】由三角形面积公式及几何概型中的线段型可得：ABP的面积不大于3的概率是，得解【解答】解：过
13、点P作EFAB，则SABP|AB|AE|，由ABP的面积不大于3，则|AE|1，由几何概型中的线段型可得：ABP的面积不大于3的概率是，故选：C【点评】本题考查了三角形面积公式及几何概型中的线段型，属中档题7（5分）已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（）Asin2B2sin2Csin1D2sin1【分析】由弧长公式求得半径，求解三角形得答案【解答】解：如图，设扇形的半径为r，则2r2，即r1在BOC中，BCsin1，则圆心角所对的弦长是2sin1故选：D【点评】本题考查弧长公式的应用，是基础的计算题8（5分）已知在ABC中，P为线段AB上一点，且3，若x+y，则x+2y
14、（）ABCD【分析】根据可以得出，又根据及平面向量基本定理即可求出x，y，从而可求出x+2y【解答】解：；又；根据平面向量基本定理得，；故选：C【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理9（5分）圆C1：x2+y24x+30与圆C2：（x+1）2+（y4）2a恰有三条公切线，则实数a的值是（）A4B6C16D36【分析】由题意可得两圆外切，再由圆心距等于半径和列式求解【解答】解：化C1：x2+y24x+30为（x2）2+y21，则圆C1的圆心坐标为（2，0），半径为1；圆C2：（x+1）2+（y4）2a的圆心坐标为（1，4），半径为圆C1：x2+y24x+30与圆C2
15、：（x+1）2+（y4）2a恰有三条公切线，两圆外切则，解得a16故选：C【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，是基础的计算题10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（xR，0）相邻两个零点之间的距离为，将yf（x）的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于y轴对称，则的一个值可能是（）ABCD【分析】由题意根据正弦函数的图象零点和周期性求出，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律、三角函数的图象的对称性求出的一个值【解答】解：函数f（x）sin（x+）（xR，0）相邻两个零点之间的距离为，2，f（x）sin（2x+）将yf（x）的图象向右平移个单位长度，可得ysin（2x+）的
16、图象所得的函数图象关于y轴对称，则+k+，即 k+，kZ，的一个值可能是，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题11（5分）如图，已知边长为a的正三角形ABC内接于圆O，D为BC边中点，E为BO边中点，则为（）Aa2Ba2Ca2Da2【分析】由平面向量的线性运算及数量积的运算得：（）|cos2a2（）2，得解【解答】解：由图可知，（）（）|cos2a2（）2，故选：B【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，属中档题12（5分）已知函数f（x）cos（x+）在x时取最大值，在x时取最小值，则以下各式：f（0）0；f（）0；f
17、（）1可能成立的个数是（）A0B1C2D3【分析】由题意可得kT+（），k0时，求得2，2k+，kZ，代入计算即可得到所求结论【解答】解：函数f（x）cos（x+）在x时取最大值，在x时取最小值，可得kT+（），kZ，即有T，kZ，当k0时，T，2，由cos（+）1，可得+2k，即2k+，kZ，即f（x）cos（2x+），则f（0）cos，f（）cos，f（）cos，检验kZ，均不可能成立故选：A【点评】本题考查余弦函数的图象和性质，考查化简运算能力，属于基础题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.）13（5分）已知向量（x，1），向量（1，2），
18、若+与垂直，则x3【分析】可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值【解答】解：；与垂直；x3故答案为：3【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算14（5分）某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选乙参加比赛【分析】根据题意，分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小，由平均数、方差的统计意义分析可得答案【解答】解：根据题意，由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数，而甲乙的方差小于丙的方差，则三人中
19、乙的平均数最小且方差最小，故应该选乙参加比赛；故答案为：乙【点评】本题考查平均数、方差的统计意义，属于基础题15（5分）若tan3，则2【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解：tan3，故答案为：2【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题16（5分）过直线l：ykx1上一点P作圆C：x2+2x+y24y+10的两条切线，切点分别为A，B，若APB的最大值为90，则实数k1或【分析】由题意知圆C：（x+1）2+（y2）24的圆心为（1，2），半径r2连接CA、CB，若APB最大，需APC最大，即|PC|最短，此时|PC|为点C到直线l
20、：ykx1的距离，则由APB90可知四边形CAPB为正方形，所以（1，2）到直线l：ykx1的距离为，即d，化简整理解得即可【解答】解：由题意知圆C：（x+1）2+（y2）24的圆心为（1，2），半径r2，连接CA、CB，若APB最大，需APC最大，即|PC|最短，此时|PC|为点C到直线l：ykx1的距离，则由APB90可知四边形CAPB为正方形，所以（1，2）到直线l：ykx1的距离为，即d，整理得7k26k10，解得k1或k【点评】本题考查直线与圆的关系，涉及了点到直线的距离公式，以及平面几何的知识，属于容易题三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
21、，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，如出指定区域的答案无效.）17（10分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P的坐标是（1，2）（1）求sin，tan；（2）求；【分析】（1）直接利用任意角的三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式变形，然后化弦为切求解【解答】解：（1）角的终边过点P（1，2），|OP|则sin，tan2；（2）；【点评】本题考查任意角的三角函数的对于，考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题18（12分）已知向量（1，1），向量为单位向量，向量与的夹角为（1）若向量与向量共线，求；（2）若3与垂直，求cos2【分析
22、】（1）由向量共线的运算可得：当0时，|cos0，当时，|cos，（2）由平面向量数量积运算及二倍角公式可得：，即cos，所以cos22cos21，得解【解答】解：（1）由向量为单位向量，则|1，又向量（1，1），所以|，因为向量与向量共线且向量与的夹角为，当0时，|cos0，当时，|cos，综上可知：当0时，|cos0，当时，|cos，（2）因为3与垂直，所以（3）0，所以，即cos，所以cos22cos21，故cos2【点评】本题考查了向量共线的运算、平面向量数量积运算及二倍角公式，属中档题19（12分）东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞我们都是追梦人”摄影图片
23、展，通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在20，70之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄20，30）30，40）40，50）50，60）
24、60，70）人数12485若从年龄在30，50）的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在30，40）的概率【分析】本题思路常规，根据频率分布直方图求得平均数，中位数，第二问中根据分层抽样的原理求得各组数据应取得值最后一问则是利用二项式原理求得【解答】解：（1）由题意得，组距为10，则频率/组距为0.1即0.005+0.010+0.020+x+0.0400.1解得x0.025样本平均数为各组数据中间值乘上各组频率相加即平均数等于250.00510+350.0110+450.02010+550.04010+650.0251052中位数为整组数据最中间的数据即当一定数据的
25、频率之和为0.5时的值（0.005+0.010+0.020）100.35，（0.005+0.010+0.020+0.040）100.75则该值在第四组数据中，（0.005+0.010+0.020+0.040y）100.5解得，y0.37550+0.3751053.75则该组数据的中位数为53.75（2）设从五组数据中分别抽出a、b、c、d、e人根据从100人中抽取20人可得解得，a1，b2，c4，d8，e530，40中有2人，40，50中有4人，共6人则两人中有至少有一人来自30，40的概率为【点评】本题解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值20（12分）东莞市公交公
26、司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如表数据：间隔时间（x分钟）81012141618等候人数（y人）161923262933调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”参考公式：用最小二乘法求线性回归方程x+的系数公式：，（1）若选取的
27、是前4组数据，求y关于x的线性回归方程yx+a；（2）判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟？【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的回归方程中，分别取x16与18，得到y值，与题中给出的y值作差，与1比较大小得结论；（3）结合（1）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间【解答】解：（1）前4组数据是：间隔时间（x分钟）8101214等候人数（y人）16192326，958，504，1.7，2.3；（2）当x16时，1.716+2.329.5，29.5290.
28、51，当x18时，1.718+2.332.9，32.9330.11，求出的线性回归方程是“理想回归方程”；（3）由1.7x+2.338，得x21，故间隔时间最多可设置为21分钟【点评】本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题21（12分）已知函数f（x）sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数g（x）f（x）+m在区间0，上有两个零点，求实数m的取值范围【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求出，可得函数的解析式，再利用单调性得出结论（2）根据题意，函数ysin（4x+
29、）的图象和直线ym 在区间0，上有两个交点，结合正弦函数的图象特征，求出实数m的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）sinxcosx+cos2x（0）sin2x+sin（2x+）+ 的最小正周期为 ，2，f（x）sin（4x+）+令2k+4x+2k+，求得+x+，可得函数的减区间为+，+（2）若函数g（x）f（x）+msin（4x+）+m 在区间0，上有两个零点，即sin（4x+）m 在区间0，上有两个解，即函数ysin（4x+）的图象和直线ym 有两个交点在区间0，上，4x+，sin（4x+），1，m1，求得1m【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，正
30、弦函数的图象，属于中档题22（12分）已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线yx截得的弦长为（1）求圆C的方程；（2）设动直线yk（x2）与圆C交于A，B两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意设圆C的方程为（xa）2+y24（a0），圆心到直线yx的距离为，由弦心距公式可得，继而解出a的值，写出方程即可；（2）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（k2+1）x2（2+4k2）x+4k230，所以，若直线AN与直线BN关于x轴对称，则kANkBN，再把韦达定理代入，化简整理解出t的值，可得证【解答】解：（1）根据题意设圆C的方程为（xa）2+y24（a0），圆心到直线yx的距离为，由弦心距公式可得，即a1，所以圆C的方程为（x1）2+y24（2）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（k2+1）x2（2+4k2）x+4k230，所以，若直线AN与直线BN关于x轴对称，则kANkBN，即，化简整理得2x1x2（t+2）（x1+x2）+4t0，所以，化简整理解得t5，所以当点N为（5，0）时，直线AN与直线BN关于x轴对称【点评】本题考查了直线与圆的关系，涉及了点到直线的距离公式、弦心距公式、轴对称等相关知识，属于综合题，难度中等
