1、2018-2019学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑1（5分）已知集合A0，1，2，BxR|x1，则AB（）A0，1B1Cx|1x1Dx|1x12（5分）直线l：xy20的斜率为（）A1BC1D3（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）AyByx2+1CyDy|x|14（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，
2、帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A6B7C8D95（5分）设a1og20.8，b0.82，c20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）AabcBcbaCcabDbac6（5分）当0a1时，下列选项中，函数ylogax和y（1a）x的大致图象正确的是（）ABCD7（5分）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（）AB2C4D88（5分）已知函数f（x）x2ax+2（aR）在区间1，+）上单调递增，则a的取值范围为（）A（2，+）B2，+）C（，2）D（，29（5分）过点（2，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）Ax2y0或xy10
3、Bx2y0或x+y30Cx+y30或xy10Dx2y010（5分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，则m11（5分）已知函数yf（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，若实数m满足f（log3m）f（1），则m的取值范围为（）A（0，B3，+）C（0，3，+）D，312（5分）已知函数f（x），若函数g（x）f2（x）+3f（x）+m（mR）有三个零点，则m的取值范围为（）AmBm28C28Dm28二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上13（5分）log
4、216log24 14（5分）已知直线l1：2xy+10与l2：4x+my30（mR）相互平行，则两直线l1与l2之间的距离为 15（5分）已知函数g（x）ax3+bx+3（a，b为常数），若g（2）1，则g（2） 16（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O上，底面ABC是直角三角形，且ABBC，侧棱AA14，则球O的体积为 三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无
5、效.17（10分）已知函数f（x）|x|，g（x）x+2（1）在同一直角坐标系中作出yf（x）与yg（x）的图象；（2）请写出yf（x）的一个函数性质，并给予证明；（3）请写出不等式f（x）g（x）的解集18（12分）已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，m），B（1，1），C（3，3）（1）求BC边所在直线的方程；（2）若AC边上的中线所在直线的方程为x+5y+n0（nR），求ABC的面积19（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次以
6、后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）（）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（）设现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，ADC120，AD1，PD（1）求证：ACPB；（2）求点D到面PAC的距离21（12分）已知二次函数f（x）x2+ax+1（aR）（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）若函数f（x）在区间1，1上的最大值为g（a
7、），求g（a）的最小值22（12分）已知函数f（x）ax22x+a3（aR）在区间1，1上有且仅有一个零点，求a的取值范围2018-2019学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑1（5分）已知集合A0，1，2，BxR|x1，则AB（）A0，1B1Cx|1x1Dx|1x1【分析】进行交集的运算即可【解答】解：A0，1，2，BxR|x1；AB0，1故选：A【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2（5分）直线l：xy20的斜率为（）A1BC
8、1D【分析】把直线方程化为斜截式，从而求得直线的斜率【解答】解：由xy20，得直线l：xy20的斜率为故选：B【点评】本题考查了直线斜率的求法，是基础题3（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）AyByx2+1CyDy|x|1【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可【解答】解：A函数的定义域为0，+），函数为非奇非偶函数，故A错误，B函数为偶函数，当x0时，函数为减函数，不满足条件故B错误，C函数为奇函数，在（0，+）上为减函数，不满足条件故C错误，Df（x）|x|1|x|1f（x），函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）x1是增函数，满足条件故D正确故
9、选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键4（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A6B7C8D9【分析】由俯视图可得最底层小正方体的个数，即所有小正方体的摞数，从左视图和主视图可以看出每摞小正方体的个数，相加可得答案【解答】解：由俯视图可得所有小正方体共6摞，每摞小正方体的个数如下图所示：故这些正方体货箱的个数为8个，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三
10、视图还原实物图，其中准确把握空间几何体的几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键5（5分）设a1og20.8，b0.82，c20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）AabcBcbaCcabDbac【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：log20.8log210，00.821，20.8201；abc故选：A【点评】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数的定义6（5分）当0a1时，下列选项中，函数ylogax和y（1a）x的大致图象正确的是（）ABCD【分析】根据a的取值范围，分别判断两个函数的单调性即可【解答】解：当0a1时，01a1，则ylogax是减函数，
11、y（1a）x是过原点的增函数，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合对数函数和一次函数的单调性是解决本题的关键7（5分）将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（）AB2C4D8【分析】由旋转成的几何体是圆锥，知道底面圆的半径和高，计算圆锥的体积即可【解答】解：旋转成的几何体是圆锥，其底面半径为r2，高为h2，如图所示；则圆锥的体积为Vr2h222故选：A【点评】本题考查了圆锥的定义与体积计算问题，是基础题8（5分）已知函数f（x）x2ax+2（aR）在区间1，+）上单调递增，则a的取值范围为（）A（2，+）B2，+）C（，2）D（，2【分析
12、】根据二次函数的图象开口向上知：对称轴在区间的左边列式可得【解答】解：依题意对称轴x1，解得a2，故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属基础题9（5分）过点（2，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）Ax2y0或xy10Bx2y0或x+y30Cx+y30或xy10Dx2y0【分析】截距相等，有两种情况，一是过原点，截距都是0；二是直线的斜率为1【解答】解：直线过点（2，1），且在两坐标轴上的截距相等，当截距为0时，直线方程为：x2y0；当直线不过原点时，斜率为1，直线方程：x+y30直线方程为x2y0或x+y30故选：B【点评】本题考查直线的截距式方程，容易疏忽过原点的情况，
13、是基础题10（5分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，则m【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，与相交或平行误；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在A中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若m，则m与相交、平行或m，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
14、识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题11（5分）已知函数yf（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，若实数m满足f（log3m）f（1），则m的取值范围为（）A（0，B3，+）C（0，3，+）D，3【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化，结合对数不等式的解法进行求解即可【解答】解：函数yf（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递减，f（log3m）f（1），等价为f（|log3m|）f（1），即|log3m|1即1log3m1，得m3，即实数m的取值范围是，3，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，结合偶函数与单调性之间的关系进行转化
15、是解决本题的关键12（5分）已知函数f（x），若函数g（x）f2（x）+3f（x）+m（mR）有三个零点，则m的取值范围为（）AmBm28C28Dm28【分析】作出f（x）的图象，利用换元法转化为一元二次函数有两个零点，结合一元二次方程根的分布进行求解即可【解答】解：作出f（x）的图象如图：设tf（x），则由图象知当t4时，tf（x）有两个根，当t4时，tf（x）只有一个根，若函数g（x）f2（x）+3f（x）+m（mR）有三个零点，等价为函数g（x）h（t）t2+3t+m有两个零点，其中t14或t24，则满足，得，得m28，故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二
16、次方程是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上13（5分）log216log242【分析】进行对数的运算即可【解答】解：原式故答案为：2【点评】考查对数的定义，对数的运算性质14（5分）已知直线l1：2xy+10与l2：4x+my30（mR）相互平行，则两直线l1与l2之间的距离为【分析】利用两平行线间的距离公式直接求解【解答】解：直线l1：2xy+10与l2：4x+my30（mR）相互平行，m2，两直线l1与l2之间的距离为d故答案为：【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15
17、（5分）已知函数g（x）ax3+bx+3（a，b为常数），若g（2）1，则g（2）5【分析】根据题意，设f（x）g（x）3ax3+bx，由奇函数的定义分析可得函数f（x）为奇函数，则f（x）+f（x）0，即g（x）3+g（x）30，则有g（2）+g（2）6，结合g（2）的值，分析可得答案【解答】解：根据题意，设f（x）g（x）3ax3+bx，有f（x）a（x）3+b（x）（ax3+bx）f（x），则函数f（x）为奇函数，则f（x）+f（x）0，即g（x）3+g（x）30，变形可得g（x）+g（x）6，则有g（2）+g（2）6，g（2）1，则g（2）5；故答案为：5【点评】本题考查函数奇偶性的性
18、质以及应用，注意f（x）g（x）3的奇偶性，属于基础题16（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O上，底面ABC是直角三角形，且ABBC，侧棱AA14，则球O的体积为36【分析】利用直角三角形斜边中点即为外心，通过上下底面外心连线的中点得到外接球球心，计算就简单了【解答】解：如图，D，D1分别为AC，A1C1的中点，O为DD1的中点，易知，O即为外接球球心，计算可得OA13，S球36，故答案为：36【点评】此题考查了三棱柱的外接球，难度较小三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解
19、答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17（10分）已知函数f（x）|x|，g（x）x+2（1）在同一直角坐标系中作出yf（x）与yg（x）的图象；（2）请写出yf（x）的一个函数性质，并给予证明；（3）请写出不等式f（x）g（x）的解集【分析】（1）根据绝对值和和一次函数的图象进行作图即可（2）结合函数奇偶性，单调性的性质进行判断即可（3）利用数形结合进行求解即可【解答】解：（1）f（x）|x|，则对应的图象为（2）函数f（x）是偶函数，f（x）|x|x|f（x），f（x）是偶函数（3）当x0时，由得，当x0时，由，得，由图象知若f（x）g（x），则4x，即不等式f（
20、x）g（x）的解集为（4，）【点评】本题主要考查函数的图象和性质，结合绝对值不等式的性质利用数形结合是解决本题的关键18（12分）已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，m），B（1，1），C（3，3）（1）求BC边所在直线的方程；（2）若AC边上的中线所在直线的方程为x+5y+n0（nR），求ABC的面积【分析】（1）利用斜率计算公式可得直线BC的斜率kBC，进而利用点斜式即可得出；（2）利用两点之间的距离公式、点到直线的距离公式即可得出【解答】解：（1），BC边所在直线的方程为：，即x2y+30；（2）把B（1，1）代入x+5y+n0，解得n4中线l的方程为x+5y40，AC的中点坐标为（
21、，），即m2A（0，2），点A到直线BC的距离d|BC|【点评】本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）（）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（）设现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也可
22、以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由【分析】（1）规定：“f（0）1”，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样（2）根据实际意义确定函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）先设仅清洗一次，计算出残留在农药量，清洗两次后，残留的农药量，再比较它们的大小关系即得【解答】解：（1）f（0）1，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：在0，+）上f（x）单调递减，且0f（x）1（3）设仅清洗一次，残留在农药量为，清洗两次后，残留的农药量为，则；于是，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时
23、，两种清洗方法具有相同的效果；当时，一次清洗残留的农药量较少【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，ADC120，AD1，PD（1）求证：ACPB；（2）求点D到面PAC的距离【分析】（1）推导出BDAC，PDAC，从而AC平面PBD，由此能证明ACPB（2）设点D到平面PAC的距离为h，由VPADCVDPAC，能求出点D到面PAC的距离【解答】证明：（1）底面ABCD是菱形，BDAC，PD平面ABCD，
24、AC平面ABCD，PDAC，BD，PD是平面PBD内的两条直交线，AC平面PBD，又PB平面PBD，ACPB解：（2）底面ABCD是菱形，ADCD1，又ADC120，AC，PD平面ABCD，PAPC，设点D到平面PAC的距离为h，且PD平面ABCD，VPADCVDPAC，即，PAC是等边三角形，解得h，点D到面PAC的距离为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（12分）已知二次函数f（x）x2+ax+1（aR）（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）若函数f（x）在区间
25、1，1上的最大值为g（a），求g（a）的最小值【分析】（1）求得f（x）的对称轴方程，由偶函数的图象可得a的值；（2）求得对称轴方程，推理对称轴和区间的关系，结合单调性可得g（a）的解析式，再由单调性可得g（a）的最小值【解答】解：（1）二次函数f（x）x2+ax+1的对称轴为x，由f（x）为偶函数，可得a0；（2）f（x）x2+ax+1的对称轴为x，当1即a2时，f（x）在1，1递增，可得g（a）f（1），且g（a）的最小值为1；当1即a2时，f（x）在1，1递减，可得g（a）f（1）a，且g（a）的最小值为3；当11，即2a2时，f（x）的最大值为g（a）f（）+1，当a1时，g（a）取得
26、最小值，综上可得g（a）的最小值为【点评】本题考查二次函数的对称性和单调性的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和化简运算能力、推理能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）ax22x+a3（aR）在区间1，1上有且仅有一个零点，求a的取值范围【分析】讨论a 是否为0，当a0时，考虑0的情况以及在1，1上具有单调性用零点定理解决【解答】解：（1）若a0，则f（x）2x3，令由f（x）0得，x1，1，不符题意，（2）当a0时，f（x）ax22x+a3，4a（a3），由题意可知：0可得，1a4，若a1，则0，函数的零点为x4，不满足题意；若a4，函数的零点是x1，满足题意；下面讨论0时，函数在区间1，1上有且仅有一个零点的情况，由零点判断定理有f（1）f（1）0，即（）0，解得，而0，f（1），只需要讨论f（1）0时，另一个零点是否在区间1，1内由f（1）0可得a此时f（x），所以另一个零点是x11，满足题意故实数a的取值范围为，4【点评】本题考查函数奇偶性的判断，函数方程与零点的应用以及二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题
