1、下列算式中，计算结果是负数的是（ ） A （2）+7 B|12| C3（2） D （1）2 2 （4 分）对于一元二次方程 x22x+10，根的判别式 b24ac 中的 b 表示的数是（ ） A2 B2 C1 D1 3 （4 分）如图中的两个梯形成中心对称，点 P 的对称点是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 4 （4 分）下列对二次函数 yx22x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D对称轴右侧部分下降 5 （4 分）已知圆 O 的半径是 3，A，B，C 三点在圆 O 上，ACB60，则弧 AB 的长是 （ ） A2 B C D 6 （4
2、分）随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的 100 元，下降到现在 的 64 元，求年平均下降率设年平均下降率为 x，通过解方程得到一个根为 1.8，则正 确的解释是（ ） A年平均下降率为 80%，符合题意 B年平均下降率为 18%，符合题意 C年平均下降率为 1.8%，不符合题意 D年平均下降率为 180%，不符合题意 7 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 A、B、D 在O 上，点 C 在O 外，BC 与 CD 交 圆于 E、F 两点，请判断ABC+ADC 的度数（ ） 第 2 页（共 26 页） A小于 180 B大于 180 C等于 180 D不能确定 8 （4
3、 分）如图，有 2 个白炽灯，能通电发光的概率都是 50%，如果要求至少有一个灯泡发 亮，你认为图中哪一种方式更保险？（ ） A甲 B乙 C甲、乙都可以 D两种都不可以 9 （4 分）函数 y的图象是（ ） A B C D 10 （4 分）距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术” （即圆的内 接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长） ，他们从圆内接正六边形算起，一 直算到内接正 24576 边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世 界上领先了一千多年， 依据 “割圆术” ， 由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是 （ ） A2.9 B3 C3.1
4、D3.14 二填空题（本大题有二填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 第 3 页（共 26 页） 11 （4 分）若点（1，2）在双曲线 y上，则 k 的值为 12 （4 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度后，得到ADE，且点 B 的对应 点 D 恰好落在 BC 边上，若B70，则CAE 的度数是 度 13 （4 分）如图，利用镜子 M 的反射（入射角等于反射角） ，来测量旗杆 CD 的长度，在镜 子上作一个标记， 观测者 AB 看着镜子来回移动， 直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子 上的标记相重合，若观测者 AB 的身高为 1.6m
5、，量得 BM：DM2：11，则旗杆的高度为 m 14 （4 分）二次函数 y3x2+1 的图象如图所示，将其沿 x 轴翻折后得到的抛物线的解析 式为 15 （4 分）若（a1） （2+a）3，则（a1）2+（2+a）2 16 （4 分）如图，点 A，D 在反比例函数 y（m0）的图象上，点 B，C 在反比例函数 y（n0）的图象上若 ABCDx 轴，ACy 轴，且 AB4，AC3，CD2，则 n 第 4 页（共 26 页） 三解答题（本大题有三解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x22x40 18 （8 分）一个盒子里有标号分别为 1，2，3 的三个
6、小球，这些小球除标号数字外都相同， 每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据： 试验次数 20 40 60 80 100 120 150 出现 1 号小球的频率 0.35 0.325 0.35 0.338 0.34 0.325 0.327 （1）从上表中可以估计摸到“1 号小球”发生的概率是 （精确到 0.01） （2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下 标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字若 再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字 为一奇一偶，则判乙赢
7、请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否 公平 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CB 上一点 （1）请用尺规作图法，在线段 AE 上确定点 H，使AHDEBA（不要求写作法，保 留作图痕迹） ； （2）利用你的作图法，证明AHDEBA 20 （8 分）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果 1 人传播 10 人以上而且被传染的人已 经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者” 如果某镇有 1 人不幸成 为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有 169 人成为 新冠肺炎病毒的携带者 第 5 页（共 26 页） （1）经过
8、计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程 （2）若不加以控制传染渠道，经过 3 轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 21 （8 分）如图，已知O 的直径 AB，过圆外一点 D 作O 的两条切线，切点分别为点 A、 点 E，过点 B 作 BCAD 交 DE 的延长线于点 C （1）证明：BCEC； （2）若 AB12，设 ADx，BCy，求 y 与 x 的函数解析式 22 （10 分）已知 RtOAB，OAB90，ABO30，斜边 OB4，将 RtOAB 绕 点 O 顺时针旋转 60，点 D 与点 A 为对应点，画出 RtODC，并连接 BC （1）填空：OBC ；
9、（2）如图，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度 23如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且BADE C （1）证明：BDACED； （2）若B45，BC2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ，且ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长 24如图，已知 AB 为O 的直径，AB8，点 C 和点 D 是O 上关于直线 AB 对称的两个 第 6 页（共 26 页） 点，连接 OC、AC，且BOC90，直线 BC 和直线 AD 相交于点 E，过点 C 作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线 AD 相
10、交于点 G，且GAFGCE （1）求证：直线 CG 为O 的切线； （2）若点 H 为线段 OB 上一点，连接 CH，满足 CBCH， CBHOBC； 求 OH+HC 的最大值 25在平面直角坐标中，已知点 A 在抛物线 yx2+bx+c（b0）上，且 A（1，1） （1）若 bc4，求 b，c 的值； （2）若该抛物线与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，则命题“对于任意一个 k （0k1） ，都存在 b，使得 OCkOB”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举 反例； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，1） ，点 A 的对应点 A1为（1m， 2b1） ，当
11、m时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标 第 7 页（共 26 页） 2020 年福建省福州晋安区中考数学一模试卷年福建省福州晋安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题有一选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每小题都有四个选项，有且只有分，每小题都有四个选项，有且只有 一个选项正确）一个选项正确） 1 （4 分）下列算式中，计算结果是负数的是（ ） A （2）+7 B|12| C3（2） D （1）2 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以得到哪个选项中的 结果是负数，本题得以解决 【解
12、答】解：（2）+750，故选项 A 不符合题意； |12|3|30，故选项 B 不符合题意； 3（2）60，故选项 C 符合题意； （1）210，故选项 D 不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方 法 2 （4 分）对于一元二次方程 x22x+10，根的判别式 b24ac 中的 b 表示的数是（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可 【解答】解：因为一元二次方程根的判别式b24ac， 在方程 x22x+10 中，a1，b2，c1， 故选：A 【点评】此题考查根的判别式，
13、在解一元二次方程时程根的判别式b24ac，不要盲 目套用，要看具体方程中的 a，b，c 的值a 代表二次项系数，b 代表一次项系数，c 是 常数项 3 （4 分）如图中的两个梯形成中心对称，点 P 的对称点是（ ） 第 8 页（共 26 页） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答关于中心对称的两个图形，对应点的 连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合 【解答】解：根据中心对称的性质：图中的两个梯形成中心对称，点 P 的对称点是点 C 故选：C 【点评】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度
14、较小 4 （4 分）下列对二次函数 yx22x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D对称轴右侧部分下降 【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断可得 【解答】解：yx22x（x1）21， A由 a10 知抛物线开口向上，此选项错误； B此抛物线的对称轴为直线 x1，此选项错误； C当 x0 时，y0，此抛物线经过原点，此选项正确； D由 a0 且对称轴为直线 x1 知，当 x1，即对称轴右侧时，y 随 x 的增大而增大， 此选项错误； 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据抛物线的顶点式得出其 开口方向
15、、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等性质 5 （4 分）已知圆 O 的半径是 3，A，B，C 三点在圆 O 上，ACB60，则弧 AB 的长是 （ ） A2 B C D 【分析】根据圆周角定理求得AOB120，由弧长公式 l进行解答 【解答】解：如图，ACB60， AOB2ACB120， l2 故选：A 第 9 页（共 26 页） 【点评】考查了弧长公式和圆周角定理，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答， 属于基础题 6 （4 分）随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的 100 元，下降到现在 的 64 元，求年平均下降率设年平均下降率为 x，通过解方程得到一个根为 1.
16、8，则正 确的解释是（ ） A年平均下降率为 80%，符合题意 B年平均下降率为 18%，符合题意 C年平均下降率为 1.8%，不符合题意 D年平均下降率为 180%，不符合题意 【分析】等量关系为：2 年前的生产成本（1下降率）2现在的生产成本，把相关数 值代入计算即可 【解答】解：设年平均下降率为 x， 则可得：100（1x）264， 通过解方程得到一个根为 1.8，即 x1.8180%， 所以年平均下降率为 180%，不符合题意， 故选：D 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计 算公式：变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两
17、次变化后的数量 关系为 a（1x）2b 7 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 A、B、D 在O 上，点 C 在O 外，BC 与 CD 交 圆于 E、F 两点，请判断ABC+ADC 的度数（ ） 第 10 页（共 26 页） A小于 180 B大于 180 C等于 180 D不能确定 【分析】连接 DE，如图，利用圆内接四边形的性质得到ABE+ADE180，从而可 判断ABC+ADC180 【解答】解：连接 DE，如图， 四边形 ABED 为O 的内接四边形， ABE+ADE180， ABC+ADC180+CDE180 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧
18、所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 8 （4 分）如图，有 2 个白炽灯，能通电发光的概率都是 50%，如果要求至少有一个灯泡发 亮，你认为图中哪一种方式更保险？（ ） A甲 B乙 C甲、乙都可以 D两种都不可以 【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情 况数，即可求出所求的概率 【解答】解：甲图列表如下： 灯泡 1 发光 灯泡 1 不发光 灯泡 2 发光 （发光，发光）亮 （不发光，发光）不亮 灯泡 2 不发光 （发光，不发光）不亮 （不发光，不发光）不亮 第 11 页（共 26 页） 所有等可能的情况有 4 种，其中至少有一个灯泡发光的情
19、况有 3 种，P甲， 乙图列表如下： 灯泡 1 发光 灯泡 1 不发光 灯泡 2 发光 （发光，发光）两个亮 （不发光，发光）一个亮 灯泡 2 不发光 （发光，不发光）一个亮 （不发光，不发光）不亮 所有等可能的情况有 4 种，其中至少有一个灯泡发光的情况有 3 种，P乙， P甲P乙， 乙图更保险 故选：B 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 9 （4 分）函数 y的图象是（ ） A B C D 【分析】根据函数的定义域和值域进行判断 【解答】解：由 y可知，x 可以取正数，也可以取负数，但函数值只能是负数， 所以函数图象应该是在 x 轴的下方，
20、并且 x、y 均不为零 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数的图象，解决本题的关键是根据函数图象上点得到函数 图象的大致位置 10 （4 分）距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术” （即圆的内 接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长） ，他们从圆内接正六边形算起，一 第 12 页（共 26 页） 直算到内接正 24576 边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世 界上领先了一千多年， 依据 “割圆术” ， 由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是 （ ） A2.9 B3 C3.1 D3.14 【分析】设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L
21、，圆的直径为 d，则 ，延长即可 解决问题； 【解答】解：由题意 n6 时，3， 故选：B 【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成 n（n 是 大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个 圆叫做这个正多边形的外接圆 二填空题（本大题有二填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）若点（1，2）在双曲线 y上，则 k 的值为 2 【分析】将点（1，2）代入函数表达式，即可求解 【解答】解：将点（1，2）代入 y得，2， 解得：k2， 故答案为2 【点评】本题考查的是反比例函
22、数图象上点的坐标特征，要求学生理解点的坐标与函数 表达式的关系，从而求解 12 （4 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度后，得到ADE，且点 B 的对应 点 D 恰好落在 BC 边上，若B70，则CAE 的度数是 40 度 【分析】由旋转的性质可得 ABAD，BADCAE，由等腰三角形的性质可得B ADB70，即可求解 【解答】解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度后，得到ADE， ABAD，BADCAE， 第 13 页（共 26 页） BADB70， BAD40CAE， 故答案为：40 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本 题的关
23、键 13 （4 分）如图，利用镜子 M 的反射（入射角等于反射角） ，来测量旗杆 CD 的长度，在镜 子上作一个标记， 观测者 AB 看着镜子来回移动， 直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子 上的标记相重合，若观测者 AB 的身高为 1.6m，量得 BM：DM2：11，则旗杆的高度为 8.8 m 【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算 即可 【解答】解：根据题意得：ABMCDM， AB：CDBM：DM， AB1.6m，BM：DM2：11， 1.6：CD2：11， 解得：CD8.8m， 故答案为：8.8 【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际
24、问题抽象出相似三角形， 难度不大 14 （4 分）二次函数 y3x2+1 的图象如图所示，将其沿 x 轴翻折后得到的抛物线的解析 式为 y3x21 第 14 页（共 26 页） 【分析】根据二次函数图象与几何变换，将 y 换成y，整理后即可得出结论 【解答】解：将二次函数 y3x2+1 的图象沿 x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为y 3x2+1， 整理得：y3x21 故答案为：y3x21 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，牢记沿 x 轴翻折将 y 换成y 是解题的关 键 15 （4 分）若（a1） （2+a）3，则（a1）2+（2+a）2 15 【分析】 直接利用多项式乘以多项式运算法
25、则得出 a2+a5， 再利用乘法公式将原式变形 进而得出答案 【解答】解：（a1） （2+a）3， 2a+a22a3， 故 a2+a5， （a1）2+（2+a）2 a22a+1+4+a2+4a 2a2+2a+5 2（a2+a）+5， 把 a2+a5 代入上式得： 原式25+515 故答案为：15 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确运用乘法公式计算是解题关键 16 （4 分）如图，点 A，D 在反比例函数 y（m0）的图象上，点 B，C 在反比例函数 y（n0）的图象上若 ABCDx 轴，ACy 轴，且 AB4，AC3，CD2，则 n 第 15 页（共 26 页） 【分析】先设 B
26、（x，） ，再根据 AB4，AC3，CD2，表示出点 A、C、D 的坐标， 列出关于 x、m、n 的方程组，解出即可 【解答】解：设 B（x，） ，则 A（x4，） ，C（x4，） ，D（x2，） ， 依题意有 ，解得：， 故答案为： 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是根据 AB 4，AC3，CD2 列出方程组进行求解解题时注意数形结合思想的灵活运用 三解答题（本大题有三解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x22x40 【分析】在本题中，把常数项4 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2 的一 半的平方 【解答】
27、解：由原方程移项，得 x22x4， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x22x+15， 配方，得 （x1）25， x1， x11+，x21 第 16 页（共 26 页） 【点评】本题考查了一元二次方程的解法配方法配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 18 （8 分）一个盒子里有标号分别为 1，2，3 的三个小球，这些小球除标号数字外都相同， 每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据
28、： 试验次数 20 40 60 80 100 120 150 出现 1 号小球的频率 0.35 0.325 0.35 0.338 0.34 0.325 0.327 （1）从上表中可以估计摸到“1 号小球”发生的概率是 0.33 （精确到 0.01） （2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下 标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字若 再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字 为一奇一偶，则判乙赢请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否 公平 【分析】 （1）用大量重复试验中
29、事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概 率即可； （2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或 同为偶数的情况数以及两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的情况数，然后根据概率公 式即可得出答案 【解答】解： （1）大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到 0.33 附近， 估计摸到“1 号小球”发生的概率是 0.33； （2）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 第 17 页（共 26 页） 共有 9 种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为
30、偶数的有 5 种，两次 摸到小球的标号数字为一奇一偶有 4 种， P（甲），P（乙）， ， 这个游戏对甲、乙两人是不公平的 【点评】本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比， 正确列出所有可能是解题关键 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CB 上一点 （1）请用尺规作图法，在线段 AE 上确定点 H，使AHDEBA（不要求写作法，保 留作图痕迹） ； （2）利用你的作图法，证明AHDEBA 【分析】 （1）过点 D 作 DHAE 于 H，则可得AHDEBA； （2）依据两角对应相等的两个三角形相似，即可得出结论 【解答】解： （1）如图所示，点
31、 H 即为所求； （2）DHAE，BAD90， BAE+DAHADH+DAH90， BAEDAH， 又AHDB90， AHDEBA 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及正方形的性质，解题时注意：两角对应 第 18 页（共 26 页） 相等的两个三角形相似 20 （8 分）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果 1 人传播 10 人以上而且被传染的人已 经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者” 如果某镇有 1 人不幸成 为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有 169 人成为 新冠肺炎病毒的携带者 （1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播
32、者”吗？写出过程 （2）若不加以控制传染渠道，经过 3 轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 【分析】 （1）设每人每轮传染 x 人，根据经过两轮传染后共有 169 人成为新冠肺炎病毒 的携带者，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，将其正值与 10 比较 后即可得出结论； （2）根据经过 3 轮传染后病毒携带者的人数经过两轮传染后病毒携带者的人数（1+ 每人每轮传染的人数） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设每人每轮传染 x 人， 依题意，得：1+x+（1+x） x169， 解得：x112，x214（不合题意，舍去） ， 1210， 最初的这名病毒携带者是“超
33、级传播者” ， （2）169（1+12）2197（人） ， 答：若不加以控制传染渠道，经过 3 轮传染，共有 2197 人成为新冠肺炎病毒的携带者 【点评】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键 21 （8 分）如图，已知O 的直径 AB，过圆外一点 D 作O 的两条切线，切点分别为点 A、 点 E，过点 B 作 BCAD 交 DE 的延长线于点 C （1）证明：BCEC； （2）若 AB12，设 ADx，BCy，求 y 与 x 的函数解析式 第 19 页（共 26 页） 【分析】 （1）欲证明 BC 是O 的切线，只要证明 ABBC 即可 （2）作 DH
34、BC 于 H，在 RtDHC 中，利用勾股定理构建关系式即可解决问题 【解答】 （1）证明：AD 是O 的切线， ADAB， ADBC， BCAB， BC 是O 的切线 （2）解：作 DHBC 于 H AD，CD，BC 是O 的切线， DADEx，CBCEy， CDx+y， ADAB，ABBC，DHBC， DABABHDHB90， 四边形 ABHD 是矩形， ABDH12，ADBHx，CHyx， 在 RtDHC 中，CD2DH2+CH2， （x+y）2122+（yx）2， xy36， y（x0） 【点评】本题考查切线的性质和判定，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题 的关键是熟练掌握基本
35、知识，属于中考常考题型 22 （10 分）已知 RtOAB，OAB90，ABO30，斜边 OB4，将 RtOAB 绕 点 O 顺时针旋转 60，点 D 与点 A 为对应点，画出 RtODC，并连接 BC （1）填空：OBC 60 ； 第 20 页（共 26 页） （2）如图，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度 【分析】 （1）只要证明OBC 是等边三角形，即可得到OBC 的度数； （2）根据面积法，利用三角形 AOC 的面积进行计算，即可得到 OP 的长度 【解答】解： （1）由旋转性质可知：OBOC，BOC60， OBC 是等边三角形， OBC60 故答案为：60 （2）
36、OB4，ABO30， OAOB2，ABOA2， BOC 是等边三角形， OBC60，ABCABO+OBC90， AC2， SAOCOAABACOP， 222OP， OP 【点评】本题考查了 30 度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面 积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质 23如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且BADE C （1）证明：BDACED； （2）若B45，BC2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ，且ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据相似
37、三角形的判定定理即可得到结论； （2）当 ADAE 时，则1AED45，得到DAE90，则点 D 与 B 重合，不 合题意舍去；当 EAED 时，如图 1，则EAD145，所以有 AD 平分BAC， 得到 AD 垂直平分 BC，则 BD1；当 DADE 时，如图 2，由ADEACD，易得 CAD 为等腰三角形，则 DCCA，于是有 BDBCDC2 【解答】 （1）证明：BADEC， BAD180ADBADE， CDE180ADBADE， BADCDE， BDACED； （2）当 ADAE 时，1AED45， DAE90， 点 D 与 B 重合，不合题意舍去； 当 EAED 时，如图 1， EA
38、D145， AD 平分BAC， AD 垂直平分 BC， BD1； 当 DADE 时，如图 2， 1C，DAECAD， ADEACD， DA：ACDE：DC， DCCA， BDBCDC2， 综上所述，当ADE 是等腰三角形时，BD 的长为 1 或 2 第 22 页（共 26 页） 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，运用相似比进行线段的计算；熟练掌握 等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题 24如图，已知 AB 为O 的直径，AB8，点 C 和点 D 是O 上关于直线 AB 对称的两个 点，连接 OC、AC，且BOC90，直线 BC 和直线 AD 相交于点 E，过点 C
39、作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线 AD 相交于点 G，且GAFGCE （1）求证：直线 CG 为O 的切线； （2）若点 H 为线段 OB 上一点，连接 CH，满足 CBCH， CBHOBC； 求 OH+HC 的最大值 【分析】 （1）由题意可知：CABGAF，由圆的性质可知：CABOCA，所以 OCAGCE，从而可证明直线 CG 是O 的切线； （2）由于 CBCH，所以CBHCHB，易证CBHOCB，从而可证明CBH OBC； 由CBHOBC 可知：，所以 HB，由于 BCHC，所以 OH+HC 4+BC，利用二次函数的性质即可求出 OH+HC 的最大值 【解答】解
40、： （1）由题意可知：CABGAF， AB 是O 的直径， ACB90 OAOC， 第 23 页（共 26 页） CABOCA， OCA+OCB90， GAFGCE， GCE+OCBOCA+OCB90， OC 是O 的半径， 直线 CG 是O 的切线； （2）CBCH， CBHCHB， OBOC， CBHOCB， CBHOBC 由CBHOBC 可知： AB8， BC2HBOC4HB， HB， OHOBHB4 CBCH， OH+HC4+BC， 当BOC90， 此时 BC4 BOC90， 0BC4， 令 BCx OH+HC（x2）2+5 当 x2 时， OH+HC 可取得最大值，最大值为 5 【点
41、评】本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切 线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识 第 24 页（共 26 页） 25在平面直角坐标中，已知点 A 在抛物线 yx2+bx+c（b0）上，且 A（1，1） （1）若 bc4，求 b，c 的值； （2）若该抛物线与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 C，则命题“对于任意一个 k （0k1） ，都存在 b，使得 OCkOB”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举 反例； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，1） ，点 A 的对应点 A1为（1m， 2b1） ，当 m时，求平移后抛物线
42、的顶点所能达到的最高点的坐标 【分析】 （1）把（1，1）代入 yx2+bx+c 得 b+c2，与 bc4 构成方程组，解方 程组即可求得； （2）求得 B（0，2b） ，C（，0） ，即可求得 OC，OB2+b，根据题意选 k 时，由 OCOB 得（2+b） ，此时 b60 不合题意，即可判定命题不正 确； （3）把 yx2+bx+c 化成顶点式，得到 y（x+）22b，根据平移的规律得到 y（x+m）22+b，把（1，1）代入，进一步得到（1+m）2（1） 2，即 1+ +m（1） ，分类求得 mb，由 m，得到 b，即 0b， 从而得到平移后的解析式为 y（x）22+b，得到顶点为（，2
43、+b） ， 设 p2+b，即 p （b2）21，即可得到 p 取最大值为，从而得到 最高点的坐标 【解答】解： （1）把（1，1）代入 yx2+bx+c，可得 b+c2， 解，可得 b1，c3， （2）不正确， 理由：由 b+c2，得 c2b 对于 yx2+bx+c， 当 x0 时，yc2b 抛物线的对称轴为直线 x 所以 B（0，2b） ，C（，0） 第 25 页（共 26 页） 因为 b0， 所以 OC，OB2+b， 当 k时，由 OCOB 得（2+b） ，此时 b60 不合题意 所以对于任意的 0k1，不一定存在 b，使得 OCkOB； （3）由平移前的抛物线 yx2+bx+c，可得 y
44、（x+）2+c，即 y（x+）22b 因为平移后 A（1，1）的对应点为 A1（1m，2b1） 可知，抛物线向左平移 m 个单位长度，向上平移 2b 个单位长度 则平移后的抛物线解析式为 y（x+m）22b+2b， 即 y（x+m）22+b 把（1，1）代入，得 （1+m）22+b1 （1+m）2b+1 （1+m）2（1）2 所以 1+m（1） 当 1+m1 时，m2（不合题意，舍去） ； 当 1+m（1）时，mb， 因为 m，所以 b 所以 0b， 所以平移后的抛物线解析式为 y（x）22+b 即顶点为（，2+b） ， 设 p2+b，即 p （b2）21 因为0，所以当 b2 时，p 随 b 的增大而增大 第 26 页（共 26 页） 因为 0b， 所以当 b时，p 取最大值为， 此时，平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为（，） 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的点的坐标特征，二次函数的图象 与几何变换，也考查二次函数的性质
