1、福建省福州市福建省福州市 2020 届高三届高三 5 月调研卷理科数学试题月调研卷理科数学试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|9x231，By|y2，则（RA）B（ ） A2 3 ，2) B C(， 2 3 2 3，2) D( 2 3 ， 2 3) 2复数 z 满足（12i）z4+3i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模等于（ ） A 5 5 B5 C25 D45 3设等差数列an的前 n 项和为 S
2、n若 a2a12，S5S49，则 a50（ ） A99 B101 C2500 D9245 4一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为 1：2，则此 正棱锥的高被分成的两段之比为（ ） A1：2 B1：4 C1： （2 +1） D1： （2 1） 5 （2x1）5a0+a1（x1）+a2（x1）2+a5（x1）5，则 a3（ ） A40 B40 C80 D80 6随着 2022 年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪 运动市场需求得到释放如图是 20122018 年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比 增长情况统计图则下面结论中正确的是（
3、） 20122018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加； 20132015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加； 中国雪场 2015 年比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数均为 220 万人，因此这两年的同比增长率均有提高； 20162018 年，中国雪场滑雪人数的增长率约为 23.4% A B C D 7习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛如图， “大 衍数列” ：0，2，4，8，12来源于乾坤谱中对易传 “大衍之数五十”的推论， 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和如图是求 大衍数列前
4、n 项和的程序框图执行该程序框图，输入 m10，则输出的 S（ ） A100 B140 C190 D250 8若 = 4 1 4，blog512， = 1 3 1 9，则（ ） Abac Babc Cacb Dcab 9 将函数() = 2(3 + 2 3 )的图象向右平移1 2个周期后得到函数 g （x） 的图象， 则 g （x） 图象的一条对称轴可以是（ ） A = 18 B = 6 C = 7 18 D = 11 18 10设双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左焦点为 F，直线 4x3y+200 过点 F 且 在第二象限与 C 的交点为 P，O 为原点，若|OP|OF|，
5、则 C 的离心率为（ ） A5 B5 C5 3 D5 4 11设数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，= + 2( 1)（nN*） ，则 22的最 小值为（ ） A2 B1 C2 3 D3 12 若关于 x 的不等式 aex（x+1） x20 解集中恰有两个正整数解， a 的取值范围为 （ ） A 4 32 ， 1 2) B 9 43 ， 1 2) C 9 43 ， 1 2 D 9 43 ， 4 32) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置. 13已知向量 与 的夹角为 6
6、0，| |2，| |3，则|3 2 | 14 椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左，右焦点分别为 F1， F2， 焦距为23，点 E 在 C 上， EF1EF2，直线 EF1的斜率为 （c 为半焦距） ，则 C 的方程为 15已知点 P（x，y）满足 + 4 1 ，过点 P 的直线 l 与圆 C：x2+y214 相交于 A、B 两 点，则 AB 的最小值为 16已知三棱锥 ABCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 O1与三棱锥 ABCD 的四个 面都相切，球 O2与三棱锥 ABCD 的三个面和球 O1都相切，如此类推，球 On与三 棱锥 ABCD 的三个面和球 On1都相切 （
7、n2， 且 nN*） ， 则球 O1的体积等于 ， 球 On的表面积等于 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA+（ca） sinCbsinB，点 D 是 AC 的中点，DEAC，交 AB 于点 E，且 BC2，
8、DE= 6 2 （1）求 B； （2）求ABC 的面积 18 （12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，ABCDEF，ABBC，CD2CE2EF8， BCE120， = 42 （1）证明：EF平面 BCE； （2）若 BC8，ABEF，求二面角 EADF 的余弦值 19 （12 分）已知抛物线 C 的顶点为 O（0，0） ，焦点 F（0，1） （）求抛物线 C 的方程； （） 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点 若直线 OA、 OB 分别交直线 l：yx2 于 M、 N 两点，求|MN|的最小值 20 （12 分）已知函数 f（x）1+x2sinx（x0） （1）求 f（x）的单调区间
9、； （2）证明：f（x）e 2x 21 （12 分）某医药开发公司实验室有 n（nN*）瓶溶液，其中 m（mN）瓶中有细菌 R， 现需要把含有细菌 R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验 n 次； 方案二：混合检验，将 n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 R， 则 n 瓶溶液全部不含有细菌 R；若检验结果含有细菌 R，就要对这 n 瓶溶液再逐瓶检验， 此时检验次数总共为 n+1 （1）假设 n5，m2，采用方案一，求恰好检验 3 次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 R 的概率； （2）现对 n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 R 的概率均为 P（0
10、p1） 若采 用方案一需检验的总次数为 ；若采用方案二需检验的总次数为 （i）若 与 的期望相等试求 P 关于 n 的函数解析式 Pf（n） ； （ii）若 = 1 ; 1 4，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望求 n 的最大值参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61，ln71.95 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂
11、黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2， = 2 （t 为参数） ，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2= 4 1+ 2 （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）设 P 为曲线 C 上的点，PQl，垂足为 Q，若|PQ|的最小值为 2，求 m 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明： （1）a+b+c 1 2 + 1 2 + 1 2； （2） 1 2: + 1 2: +
12、 1 2: 1 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|9x231，By|y2，则（RA）B（ ） A2 3 ，2) B C(， 2 3 2 3，2) D( 2 3 ， 2 3) 【分析】根据题意，求出集合 A，进而可得RA，由交集的定义分析可得答案 【解答】 解： 根据题意， 集合 Ax|9x231 （ 2 3， 2 3） ， 则RA （， 2 3 2 3， +） ， 又由 By|y2，则（R
13、A）B（， 2 3 2 3，2） ， 故选：C 【点评】本题考查集合的运算，涉及集合交并补的定义，属于基础题 2复数 z 满足（12i）z4+3i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模等于（ ） A 5 5 B5 C25 D45 【分析】由复数的模的性质可得：|z|= |4+3| |12|，进而得出结论 【解答】解：（12i）z4+3i（i 为虚数单位） ， 则|z|= |4+3| |12| = 42+32 12+(2)2 = 5 故选：B 【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a2a12，S5S49，则 a
14、50（ ） A99 B101 C2500 D9245 【分析】依题意得，公差 da2a1，a5S5S4，可得 a50a5+45d，即可得出 【解答】解：依题意得，公差 da2a12，a5S5S49， a50a5+45d99， 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 4一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为 1：2，则此 正棱锥的高被分成的两段之比为（ ） A1：2 B1：4 C1： （2 +1） D1： （2 1） 【分析】 设出截前后的棱锥的高， 由于截面与底面相似， 所以截面面积与底面面积的比，
15、是相似比的平方，求出正棱锥的高被分成的两段之比 【解答】解：设截后棱锥的高为 h，原棱锥的高为 H，由于截面与底面相似，一个正棱锥 被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为 1：2， =1 2 = 2 2 ， 则此正棱锥的高被分成的两段之比： ; = 1 2;1 故选：D 【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查计算能力，是基础题 5 （2x1）5a0+a1（x1）+a2（x1）2+a5（x1）5，则 a3（ ） A40 B40 C80 D80 【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得 a3的值 【解答】解：（2x1）5a0+a1（x1）+a2（x1）2+a5（x1）5，令
16、x1t， 则 xt+1， （2t+1）5a0+a1t+a2t2+a5t5 （2t+1）5展开式的通项为：Tr+1C5r（2t）5 r1r， 令 5r3，求得 r2，所以，T3C52（2t）380x3，即 a380， 故选：C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 6随着 2022 年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪 运动市场需求得到释放如图是 20122018 年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比 增长情况统计图则下面结论中正确的是（ ） 20122018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加； 20132
17、015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加； 中国雪场 2015 年比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数均为 220 万人，因此这两年的同比增长率均有提高； 20162018 年，中国雪场滑雪人数的增长率约为 23.4% A B C D 【分析】根据折现统计图，结合数据即可判断 【解答】解：根据同比增长情况统计图可知，20122018 年，中国雪场滑雪人数逐年增 加， 20132015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加； 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220 万人，因此这两年的同比
18、增长率均有提高是错误的， 20162018 年，中国雪场滑雪人数的增长率约1970;1510 1510 30.5%， 故结论中正确的是 故选：C 【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力 7习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛如图， “大 衍数列” ：0，2，4，8，12来源于乾坤谱中对易传 “大衍之数五十”的推论， 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和如图是求 大衍数列前 n 项和的程序框图执行该程序框图，输入 m10，则输出的 S（ ） A100 B140 C190 D250 【分析】由已知中的程序语句可知：该程
19、序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n1，S0，m10 满足条件 n 是奇数，a0，S0 不满足条件 nm，n2，不满足条件 n 是奇数，a2，S2 不满足条件 nm，n3，满足条件 n 是奇数，a4，S6 不满足条件 nm，n4，不满足条件 n 是奇数，a8，S14 不满足条件 nm，n5，满足条件 n 是奇数，a12，S26 不满足条件 nm，n6，满足条件 n 是奇数，a18，S44 不满足条件 nm，n7，满足条件 n 是奇数，a24，S68 不满足条件 nm，n8，不满足条件
20、n 是奇数，a32，S100 不满足条件 nm，n9，满足条件 n 是奇数，a40，S140 不满足条件 nm，n10，不满足条件 n 是奇数，a50，S190 满足条件 nm，退出循环，输出 S 的值为 190 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8若 = 4 1 4，blog512， = 1 3 1 9，则（ ） Abac Babc Cacb Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：4 1 4=2 1 2= 23 2，0a 3 2， 5125125 = 3 2，而 log512log5252
21、， 3 2 2， clog 1 3 1 9 =log392， abc， 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 9 将函数() = 2(3 + 2 3 )的图象向右平移1 2个周期后得到函数 g （x） 的图象， 则 g （x） 图象的一条对称轴可以是（ ） A = 18 B = 6 C = 7 18 D = 11 18 【分析】求出函数 f（x）的最小正周期，根据图象平移得出函数 g（x）的解析式，再求 g（x）图象的一条对称轴 【解答】解：函数() = 2(3 + 2 3 )的最小正周期为 T= 2 3 ， f（x
22、）的图象向右平移1 2个周期后，得 yf（x 3）2sin3（x 3）+ 2 3 2sin（3x 3） 的图象， 所以函数 g（x）2sin（3x 3） ； 令 3x 3 = 2 +k，kZ，解得 x= 5 18 + 3 ，kZ； 令 k1，得 x= 11 18 ， 所以 g（x）图象的一条对称轴是 x= 11 18 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 10设双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左焦点为 F，直线 4x3y+200 过点 F 且 在第二象限与 C 的交点为 P，O 为原点，若|OP|OF|，则 C 的离心率为（ ） A5 B5 C
23、5 3 D5 4 【分析】由题设知PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形，c5，在 RtPFN 中， tan = 4 3，FN10可得 2a2，a1，由此能求出双曲线的离心率 【解答】解：如图，设双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 N |OP|OF|ON|c，则PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形， 直线 4x3y+200 过点 F，c5， 在 RtPFN 中，PFPN，kPF= 4 3，tan = 4 3，FN10 PN8，PF6，则 2a2，a1， 则 C 的离心率为 e= = 5， 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查
24、数形结 合思想、化归与转化思想，属于中档题 11设数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，= + 2( 1)（nN*） ，则 22的最 小值为（ ） A2 B1 C2 3 D3 【分析】由 = + 2( 1) =SnSn1 （n2） 是以1 1 = 1 1 = 1为首项，公 差为 2 的等差数列，求得 ，再求 22的最小值 【解答】解：Sn为数列an的前 n 项和，= + 2( 1) =SnSn1 （n2） ，n （SnSn1）Sn+2（n1）n， 即： （n1）SnnSn12（n1）n，nN*且 n2， 1 ;1 = 2，n2 所以数列 是以1 1 = 1 1 = 1为首项，公差为 2
25、的等差数列， 所以 =1+2（n1）2n1，Snn（2n1） ， 22=n2（2n1）2n22n33n2，令 22=bn， 即 bn2n33n2bn+1bn2（n+1）33（n+1）22n3+3n26n210， 所以 bn在 nN*时单调递增，故（bn）minb11， 即 22的最小值为1 故选：B 【点评】本题主要考查数列的综合应用，属于中档题 12 若关于 x 的不等式 aex（x+1） x20 解集中恰有两个正整数解， a 的取值范围为 （ ） A 4 32 ， 1 2) B 9 43 ， 1 2) C 9 43 ， 1 2 D 9 43 ， 4 32) 【分析】原不等式变形可得( +
26、1) 2 ，设直线 ya（x+1） ，函数() = 2 ，则有且 仅有两个正整数使得直线 ya（x+1）的图象在函数() = 2 图象的下方，作出函数 f （x）及直线的图象，由图象观察，可得到关于 a 的不等式组，解出即可得到答案 【解答】解：由不等式 aex（x+1）x20 可得( + 1) 2 ，设直线 ya（x+1） ，函数 () = 2 ， 依题意， 有且仅有两个正整数使得直线 ya （x+1） 的图象在函数() = 2 图象的下方， 而() = 22 2 = (2) ， 易知函数 f（x）在（，0） ， （2，+）单调递减，在（0，2）单调递增，且 ya（x+1） 恒过定点（1，0
27、） ， 作出函数 f（x）的图象及直线 ya（x+1）的图象如下， 由图可知， (2 + 1) 4 2 (3 + 1) 9 3 ，解得 9 43 4 32 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究不等式的整数解个数问题，考查转化思想及数形结合思 想，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置. 13已知向量 与 的夹角为 60，| |2，| |3，则|3 2 | 6 【分析】 根据题意， 由向量数量积的计算公式可得 =23cos603， 又由|3 2 |2 9 212 +4
28、2 ，代入数据计算变形即可得答案 【解答】解：根据题意，向量 与 的夹角为 60，且| | = 2，| | = 3， 则 =23cos603， 则|3 2 |29 212 +4 2 36， 则|3 2 |6； 故答案为：6 【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式 14 椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左，右焦点分别为 F1， F2， 焦距为23，点 E 在 C 上， EF1EF2，直线 EF1的斜率为 （c 为半焦距） ，则 C 的方程为 2 6 + 2 3 =1 【分析】由题意可得可得 c 的值，再由 EF1EF2，直线 EF1的斜率为 可得 E 为椭圆
29、的 短轴的顶点，可得 bc，再由 a，b，c 之间的关系求出 a 的值，进而求出椭圆的方程 【解答】解：由题意可得 2c23，所以 c= 3， 因为 EF1EF2，直线 EF1的斜率为 （c 为半焦距） ，所以 =1， 所以 bc= 3，a2b2+c26， 所以椭圆的方程为： 2 6 + 2 3 =1， 故答案为： 2 6 + 2 3 =1 【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题 15已知点 P（x，y）满足 + 4 1 ，过点 P 的直线 l 与圆 C：x2+y214 相交于 A、B 两 点，则 AB 的最小值为 4 【分析】通过约束条件画出可行域，确定 P 的位置使得到圆心的距离最大，然后
30、求出弦 长的最小值 【解答】解：点 P（x，y）满足 + 4 1 ，P 表示的可行域如图阴影部分： 原点到直线 x+y4 的距离为 OD， 所以当P 在可行域的 Q 点时， Q 到圆心O 的距离最大， 当 ABOQ 时，AB 最小 Q 的坐标由 + = 4 = 1 确定，Q（1，3） ，OQ= 12+32= 10， 所以 AB2(14)2(10)2=4 故答案为：4 【点评】本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断 P 的位置，是解题的关键 16已知三棱锥 ABCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 O1与三棱锥 ABCD 的四个 面都相切，球 O2与三棱锥 ABCD 的三个面和球 O
31、1都相切，如此类推，球 On与三 棱锥 ABCD 的三个面和球 On1都相切 （n2， 且 nN*） ， 则球 O1的体积等于 6 ， 球 On的表面积等于 6 41 【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列rn是以 r1= 6 2 为首 项，公比为1 2的等比数列，代入计算即可 【解答】解：如图，设球 O1半径为 r1，球 On的半径为 rn，E 为 CD 中点，球 O1与 平面 ACD、BCD 切于 F、G，球 O2与平面 ACD 切于 H， 作截面 ABE，设正四面体 ABCD 的棱长为 由平面几何知识可得 1 3 6 = 6 3 ;1 3 2 ，解得 r1= 6 12
32、 ， 同时 6 3 ;21;2 6 3 ;1 = 2 1，解得 r2= 6 24a， 把 a6 代入的 r1= 6 2 ，r2= 6 4 ， 由平面几何知识可得数列rn是以 r1= 6 2 为首项，公比为1 2的等比数列， 所以 rn= 6 2 (1 2) ;1，故球 O1的体积=4 3 r13= 4 3 （ 6 2 ）3= 6； 球 On的表面积4rn24 6 2 (1 2) 12=6 41， 故答案为6； 6 41 【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理 能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出
33、文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA+（ca） sinCbsinB，点 D 是 AC 的中点，DEAC，交 AB 于点 E，且 BC2，DE= 6 2 （1）求 B； （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出 B
34、（2）根据已知条件可以确定 AECE，并求出它们的表达式，在BCE 中，运用外角与 内角的关系、正弦定理，可求出 A，BE 的大小，最后求出面积 【解答】解： （1）asinA+（ca）sinCbsinB， 由 = = ，得：a 2+c2abb2， 由余弦定理得：cosB= 2+22 2 = 1 2， 0B， B60： （2）连接 CE，如下图：D 是 AC 的中点，DEAC， AECE， CEAE= = 6 2， 在BCE 中，由正弦定理得 = = 2， 6 260 = 2 2， cosA= 2 2 ， 0A180， A45， ACB75， BCEACBACE30，BEC90， CEAE=
35、3，ABAE+BE= 3 + 1， SABC= 1 2 = 3+3 2 ， 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，ABCDEF，ABBC，CD2CE2EF8， BCE120， = 42 （1）证明：EF平面 BCE； （2）若 BC8，ABEF，求二面角 EADF 的余弦值 【分析】 （1）推导出 EFBC取 CD 中点为 G，连接 FG，推导出四边形 CEFG 为平行 四边形，从而 CEGF，且 CEGF4DGGF，CDCE，EFCE由此能证明 EF 平面 BCE
36、 （2）推导出 CD平面 BCE以点 C 为坐标原点，分别以 、 的方向为 x 轴、z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz利用向量法能求出二面角 EADF 的余弦值 【解答】解： （1）证明：因为 ABEF，ABBC，所以 EFBC 取 CD 中点为 G，连接 FG，所以 = = 1 2 = 4， 因为 CDEF，EF4，所以 CGEF 且 CGEF， 所以四边形 CEFG 为平行四边形，所以 CEGF，且 CEGF4 因为 = 42，DG2+GF2DF2，所以 DGGF，所以 CDCE， 因为 CDEF，所以 EFCE 因为 BCCEC，所以 EF平面 BCE （2）解：由
37、（1）知，EF平面 BCE， 因为 CDEF，所以 CD平面 BCE 故以点 C 为坐标原点，分别以 、 的方向为 x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系 Cxyz 所以(8，0，4)，(8，0，0)，(2，23，0)，(2，23，4)，(0，0，8)， 所以 = (8，0，4)， = (10，23， 4)， 设平面 ADE 的法向量为 = (1，1，1)， 则 = 0 = 0 ，所以81 + 41= 0 101+ 231 41= 0，取 x11，则 = (1，33，2)， 设平面 ADF 的法向量为 = (2，2，2)，因为 = (10，23，0)， 所以 = 0 = 0 ，
38、所以82 + 42= 0 102+ 232= 0，取 x21，则 = (1， 53 3 ，2)， 所以 ， = 1+3353 3 +4 1+(33)2+41+(53 3 ) 2 +4 = 15 4 ， 所以二面角 EADF 的余弦值为 15 4 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题 19 （12 分）已知抛物线 C 的顶点为 O（0，0） ，焦点 F（0，1） （）求抛物线 C 的方程； （） 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点 若直线 OA、 OB 分别交直线 l：yx2 于
39、 M、 N 两点，求|MN|的最小值 【分析】 （I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点 F（0，1）可直接求得 p，确定出抛物 线的开口方向，写出它的标准方程； （II）由题意，可 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 的方程为 ykx+1，将直线方程与 （I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式 作出判断，即可求得最小值 【解答】解： （I）由题意可设抛物线 C 的方程为 x22py（p0）则 2 =1，解得 p2， 故抛物线 C 的方程为 x24y （II）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 的方程为 ykx+1，
40、由 = + 1 2= 4 消去 y，整理得 x24kx40， 所以 x1+x24k，x1x24，从而有|x1x2|= (1+ 2)2 412=42+ 1， 由 = 1 1 = 2 解得点 M 的横坐标为 xM= 21 11 = 21 11 2 4 = 8 41， 同理可得点 N 的横坐标为 xN= 8 42， 所以|MN|= 2|xMxN|= 2| 8 4;1 8 4;2|82| 1;2 12;4(1:2):16|= 822+1 |43| ， 令 4k3t，t0，则 k= +3 4 ， 当 t0 时，|MN|2225 2 + 6 + 122， 当 t0 时，|MN|2225 2 + 6 + 1
41、 =22(5 + 3 5) 2+16 25 82 5 综上所述，当 t= 25 3 ，即 k= 4 3时，|MN|的最小值是 82 5 【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几 何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题 恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量 t，就起到了简化计 算的作用 20 （12 分）已知函数 f（x）1+x2sinx（x0） （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）e 2x 【分析】 （1）求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可 （2）要证当 x0 时，f（x）e 2x，即证当 x0 时，g（x）（1+x2sinx）e2x1， 构造函数 g（x）（3+2x4sinx2cosx）e2x，令 h（x）xsinx，利用函数的导数， 判断函数的单调性，转化求解即可 【解答】解： （1）f（x）12cosx， 由 f（x）0 得 1 2，解得 3 + 2 5 3 +
