1、关于代数式 x+2 的值，下列说法一定正确的是（ ） A比 2 大 B比 2 小 C比 x 大 D比 x 小 2 （3 分） 将一个直角三角板和一把直尺如图放置， 如果43， 则 的度数是 （ ） A43 B47 C30 D60 3 （3 分）下列图标，是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）某篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为：8， 5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A8，7 B6，7 C8，5 D5，7 5 （3 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两个根，则 x1+x2x1x2的值为（ ） A
2、1 B2 C3 D4 6 （3 分）若一次函数 ykx+b，当 x 的值减小 1，y 的值就减小 2，则当 x 的值增加 2 时，y 的值（ ） A增加 4 B减小 4 C增加 2 D减小 2 7 （3 分）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面 第 2 页（共 29 页） 半径为（ ） A1 B2 C3 D6 8 （3 分）若关于 x 的不等式组的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 9 （3 分）二次函数 y1ax2+bx+c（a，b，c 为常数）的图象如图所示，若 y1+y22，则下 列关于函数 y2的图象与性质描
3、述正确的是（ ） A函数 y2的图象开口向上 B函数 y2的图象与 x 轴没有公共点 C当 x1 时，函数 y2的值小于 0 D当 x2 时，y2随 x 的增大而减小 10 （3 分）如图，在ABC 中，BCABAC，D 是边 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B、 C 重合） ，将ABD 沿 AD 折叠，点 B 落在点 B处，连接 BB，BC，若BCB是等腰三 角形，则符合条件的点 D 的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 题每小题题每小题 3 分，第分，第 1418 题每小题题每小题 3 分，共分
4、，共 29 分分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11（3 分） 保护水资源， 人人有责 我国是缺水国家， 目前可利用淡水资源总量仅约为 899000 亿 m3，数据 899000 用科学记数法表示为 第 3 页（共 29 页） 12 （3 分）计算： 13 （3 分）分解因式：a32a2+a 14 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，连接 BE 交 AD 于点 F如 果 AB4，BC6，DE3，那么 AF 的长为 15 （4 分） 算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代著名数
5、学家程大位在其中有这 样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？” 译文：有 100 名和尚分 100 个馒头，正好分完如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分 一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚 x 人，小和尚 y 人，可列方程组为 16 （4 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB，ACOB，则BOC 的度数为 17 （4 分）如图，点 A 在反比例函数 y1 （x0）的图象上，点 B 在反比例函数 y2 （x 0）的图象上，ABy 轴，若AOB 的面积为 2，则 k 的值为 18 （4 分）如图，线段 AB4，M 为 AB 的中点，动点 P 到
6、点 M 的距离是 1，连接 PB，线 第 4 页（共 29 页） 段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PC， 连接 AC， 则线段 AC 长度的最大值是 三、学说明、壶萌题挂步共三、学说明、壶萌题挂步共 91 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）明过程或演算步骤） 19 （11 分） （1）计算： （1）3+|6|2 1 ； （2）解不等式：x，并把解集在数轴上表示出来 20 （12 分） （1）先化简，再求值： （1），其中 m1； （2）解方程：3+ 21 （10 分）如图，点 A，B，C，
7、D 在同一条直线上，CEDF，ECBD，ACFD求证： AEFB 22 （10 分）某市体育中考现场考试内容有三项：50 米跑为必测项目另在立定跳远、实心 球（二选一）和坐位体前屈、1 分钟跳绳（二选一）中选择两项 （1）每位考生有 种选择方案； （2）求小明与小刚选择同种方案的概率 23 （10 分）如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过 来，此时，测得小船 C 的俯角是FDC30，若兰兰的眼睛与地面的距离是 1.5 米， BG1 米，BG 平行于 AC 所在的直线，迎水坡的坡度 i4：3，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？（参考数据：
8、1.7，结果保留一位小数） 第 5 页（共 29 页） 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax22ax3a（a0） ，与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）若点 P（m，n）是抛物线上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 D 在 a0 的条件下，当2m2 时，n 的取值范围是4n5，求抛物线的表达式； 若 D 点坐标（4，0） ，当 PDAD 时，求 a 的取值范围 25 （12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB4，动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，连接 B
9、P，作点 A 关于直线 BP 的对称点 E，设点 P 的运动时间为 t （s） （1）若 AD6，P 仅在边 AD 运动，求当 P，E，C 三点在同一直线上时对应的 t 的值 （2）在动点 P 在射线 AD 上运动的过程中，求使点 E 到直线 BC 的距离等于 3 时对应的 t 的值 26 （14 分）定义：当点 P 在射线 OA 上时，把的的值叫做点 P 在射线 OA 上的射影值； 当点 P 不在射线 OA 上时，把射线 OA 上与点 P 最近点的射影值，叫做点 P 在射线 OA 上的射影值 例如：如图 1，OAB 三个顶点均在格点上，BP 是 OA 边上的高，则点 P 和点 B 在射线 O
10、A 上的射影值均为 第 6 页（共 29 页） （1）在OAB 中， 点 B 在射线 OA 上的射影值小于 1 时，则OAB 是锐角三角形； 点 B 在射线 OA 上的射影值等于 1 时，则OAB 是直角三角形； 点 B 在射线 OA 上的射影值大于 1 时，则OAB 是钝角三角形 其中真命题有 ABCD （2）已知：点 C 是射线 OA 上一点，CAOA1，以为圆心，OA 为半径画圆，点 B 是O 上任意点 如图 2，若点 B 在射线 OA 上的射影值为求证：直线 BC 是O 的切线； 如图 3，已知 D 为线段 BC 的中点，设点 D 在射线 OA 上的射影值为 x，点 D 在射线 OB
11、上的射影值为 y，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式为 第 7 页（共 29 页） 2020 年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，恰有在每小题给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）关于代数式 x+2 的值，下列说法一定正确的是（ ） A比 2 大 B比
12、 2 小 C比 x 大 D比 x 小 【分析】根据不等式的性质即可求出答案 【解答】解：由于 20， x+2x， 故选：C 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础 题型 2 （3 分） 将一个直角三角板和一把直尺如图放置， 如果43， 则 的度数是 （ ） A43 B47 C30 D60 【分析】如图，延长 BC 交刻度尺的一边于 D 点，利用平行线的性质，对顶角的性质， 将已知角与所求角转化到 RtCDE 中，利用内角和定理求解 【解答】解：如图，延长 BC 交刻度尺的一边于 D 点， ABDE， EDC， 又CED43， ECD90， EDC90CED
13、904347， 第 8 页（共 29 页） 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质关键是延长 BC，构造两条平行线之间的截线，将问 题转化到直角三角形中求解 3 （3 分）下列图标，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，
14、图形两 部分折叠后可重合 4 （3 分）某篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为：8， 5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A8，7 B6，7 C8，5 D5，7 【分析】找出 7 位同学投中最多的个数即为众数；将个数按照从小到大的顺序排列，找 出中位数即可 第 9 页（共 29 页） 【解答】解：这组数据中出现次数最多的是 8，出现了 3 次， 故众数为 8， 这组数据重新排列为 5、5、6、7、8、8、8， 故中位数为 7 故选：A 【点评】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 5 （3 分）已知 x1，x2是
15、一元二次方程 x2+x30 的两个根，则 x1+x2x1x2的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据韦达定理得出 x1+x21，x1x23，代入计算可得 【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x2+x30 的两个根， x1+x21，x1x23， 则原式1（3）1+32， 故选：B 【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的 两根时，x1+x2，x1x2 6 （3 分）若一次函数 ykx+b，当 x 的值减小 1，y 的值就减小 2，则当 x 的值增加 2 时，y 的值（ ） A增加 4 B减小 4 C增加 2 D减小 2 【分析】此题只
16、需根据已知条件分析得到 k 的值，即可求解 【解答】解：当 x 的值减小 1，y 的值就减小 2， y2k（x1）+bkxk+b， ykxk+b+2又 ykx+b， k+b+2b，即k+20， k2 当 x 的值增加 2 时， y（x+2）k+bkx+b+2kkx+b+4， 当 x 的值增加 2 时，y 的值增加 4 故选：A 【点评】此题主要是能够根据已知条件正确分析得到 k 的值 第 10 页（共 29 页） 7 （3 分）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面 半径为（ ） A1 B2 C3 D6 【分析】易得扇形的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径
17、 【解答】解：扇形的弧长4， 圆锥的底面半径为 422 故选：B 【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底 面周长 8 （3 分）若关于 x 的不等式组的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 【分析】不等式整理后，由已知解集确定出 k 的范围即可 【解答】解：不等式整理得：， 由不等式组的解集为 x3， 得到 k 的范围是 k1， 故选：C 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9 （3 分）二次函数 y1ax2+bx+c（a，b，c 为常数）的图象如图所示，若 y1+y22，则下 列关于函
18、数 y2的图象与性质描述正确的是（ ） A函数 y2的图象开口向上 B函数 y2的图象与 x 轴没有公共点 C当 x1 时，函数 y2的值小于 0 第 11 页（共 29 页） D当 x2 时，y2随 x 的增大而减小 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以画出函数 y2的图象，然后即可判断各个选项 中的说法是否正确，本题得以解决 【解答】解：y1ax2+bx+c，y1+y22， y22y1， 函数 y2的图象是函数 y1的图象关于 x 轴对称，然后再向上平移 2 个单位长度得到的， 函数 y2的图象开口向下，故选项 A 错误； 函数 y2的图象与 x 轴有两个交点，故选项 B 错误； 当 x
19、1 时，函数 y2的值大于 0，故选项 C 错误； 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 10 （3 分）如图，在ABC 中，BCABAC，D 是边 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B、 C 重合） ，将ABD 沿 AD 折叠，点 B 落在点 B处，连接 BB，BC，若BCB是等腰三 角形，则符合条件的点 D 的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：如图
20、1， 当 BBBC 时，BCB是等腰三角形， 第 12 页（共 29 页） 如图 2，当 BCBB时，BCB是等腰三角形， 故若BCB是等腰三角形，则符合条件的点 D 的个数是 2， 故选：C 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，正确的作出图形是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 题每小题题每小题 3 分，第分，第 1418 题每小题题每小题 3 分，共分，共 29 分分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11（3 分） 保护水资源， 人人有责 我国是缺水
21、国家， 目前可利用淡水资源总量仅约为 899000 亿 m3，数据 899000 用科学记数法表示为 8.99105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：8990008.99105， 故答案为：8.99105 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12 （3 分）
22、计算： 0 【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可 【解答】解：原式22 0 故答案为 0 第 13 页（共 29 页） 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后 进行二次根式的乘除运算，再合并即可 13 （3 分）分解因式：a32a2+a a（a1）2 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式 a，再对余下的多项式进行观察，有 3 项， 可利用完全平方公式继续分解 【解答】解：a32a2+a a（a22a+1） a（a1）2 故答案为：a（a1）2 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进 行因式分解，一
23、般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法 分解 14 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，连接 BE 交 AD 于点 F如 果 AB4，BC6，DE3，那么 AF 的长为 【分析】由EFDEBC，推出，由此即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， DFBC，ABCD4，BCAD6， EFDEBC， ， ， DF， AFADDF6， 故答案为 第 14 页（共 29 页） 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 15 （4 分） 算法统宗是中国古代数学名著，作者是
24、明代著名数学家程大位在其中有这 样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？” 译文：有 100 名和尚分 100 个馒头，正好分完如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分 一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚 x 人，小和尚 y 人，可列方程组为 【分析】设大和尚有 x 人，则小和尚有 y 人，根据“有 100 个和尚”和大和尚一人分 3 只，小和尚 3 人分一只刚好分完 100 个馒头”列出方程组即可 【解答】解：设大和尚有 x 人，则小和尚有 y 人，根据题意得， 故答案为： 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
25、 给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组 16 （4 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB，ACOB，则BOC 的度数为 60 【分析】连接 BC，利用全等三角形的性质证明OBC 是等边三角形即可解决问题 【解答】解：如图，连接 BC，设 AB 交 OC 于 K 第 15 页（共 29 页） OCAB， AKBK， ACOB， AOBK， AKCBKC， AKCBKO（ASA） ， OKKC， BKOC， BOBC， OBOC， OBOCBC， BOC 是等边三角形， BOC60， 故答案为 60 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的 关键是正确
26、寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 17 （4 分）如图，点 A 在反比例函数 y1 （x0）的图象上，点 B 在反比例函数 y2 （x 0）的图象上，ABy 轴，若AOB 的面积为 2，则 k 的值为 3 【分析】设点 A 坐标（a，） ，由 ABy 轴，可得点 B（ak，） ，由三角形面积公式可 求 k 的值 第 16 页（共 29 页） 【解答】解：设点 A 坐标（a，） 点 B 在反比例函数 y2（x0）的图象上，ABy 轴， xak 点 B（ak，） AOB 的面积为 2 （aak）2 1k4 k3 故答案为：3 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，用参数表示 A
27、B 的长是本题的关键 18 （4 分）如图，线段 AB4，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线 段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PC， 连接 AC， 则线段 AC 长度的最大值是 3 【分析】以 M 为坐标原点建立坐标系，过点 C 作 CDy 轴，垂足为 D，过点 P 作 PE DC，垂足为 E，延长 EP 交 x 轴于点 F，设点 P 的坐标为（x，y） ，则 x2+y21然后证 明ECPFPB，由全等三角形的性质得到 ECPFy，FBEP2x，从而得到点 C（x+y，y+2x） ，最后依据两点间的距离公式可求得 AC，最后，依据当 y 1 时
28、，AC 有最大值求解即可 【解答】解：如图所示：过点 C 作 CDy 轴，垂足为 D，过点 P 作 PEDC，垂足为 E， 延长 EP 交 x 轴于点 F 第 17 页（共 29 页） AB4，M 为 AB 的中点， A（2，0） ，B（2，0） 设点 P 的坐标为（x，y） ，则 x2+y21 EPC+BPF90，EPC+ECP90， ECPFPB 由旋转的性质可知：PCPB 在ECP 和FPB 中， ， ECPFPB ECPFy，FBEP2x C（x+y，y+2x） AB4，M 为 AB 的中点， AC x2+y21， AC 1y1， 当 y1 时，AC 有最大值，AC 的最大值为3 故答
29、案为：3 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式 的应用，列出 AC 的长度与点 P 的坐标之间的关系式是解题的关键 三、学说明、壶萌题挂步共三、学说明、壶萌题挂步共 91 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）明过程或演算步骤） 19 （11 分） （1）计算： （1）3+|6|2 1 ； 第 18 页（共 29 页） （2）解不等式：x，并把解集在数轴上表示出来 【分析】 （1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据解一元一次不等式的基本步骤依此计算
30、可得 【解答】解： （1）原式1+63， 1+33， 1； （2）去分母，得：6x3（x+2）2（2x） ， 去括号，得：6x3x642x， 移项，得：6x3x+2x4+6， 合并同类项，得：5x10， 系数化为 1，得：x2 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本 步骤和依据及实数的混合运算顺序、法则 20 （12 分） （1）先化简，再求值： （1），其中 m1； （2）解方程：3+ 【分析】 （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法 则变形，约分得到最简结果，把 m 的值代入计算即可
31、求出值 （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 【解答】解： （1）原式， ， 第 19 页（共 29 页） 当 m1 时，原式； （2）去分母得：13x9x， 解得：x5， 经检验 x5 是分式方程的解 【点评】此题考查了分式的化简求值及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21 （10 分）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CEDF，ECBD，ACFD求证： AEFB 【分析】根据 CEDF，可得ACED，再利用 SAS 证明ACEFDB，得出对应 边相等即可 【解答】证明：CEDF， ACED， 在ACE 和FDB
32、中， ， ACEFDB（SAS） ， AEFB 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性 质，证明三角形全等是解决问题的关键 22 （10 分）某市体育中考现场考试内容有三项：50 米跑为必测项目另在立定跳远、实心 球（二选一）和坐位体前屈、1 分钟跳绳（二选一）中选择两项 （1）每位考生有 4 种选择方案； （2）求小明与小刚选择同种方案的概率 【分析】 （1）先列举出毎位考生可选择所有方案：50 米跑、立定跳远、坐位体前屈（用 A 表示） ；50 米跑、实心球、坐位体前屈（用 B 表示） ；50 米跑、立定跳远、1 分钟跳绳 （用 C 表示） ；50 米
33、跑、实心球、1 分钟跳绳（用 D 表示） ；共用 4 种选择方案 第 20 页（共 29 页） （2）利用数形图展示所有 16 种等可能的结果，其中选择两种方案有 12 种，根据概率的 概念计算即可 【解答】解： （1）毎位考生可选择：50 米跑、立定跳远、坐位体前屈（用 A 表示） ；50 米跑、实心球、坐位体前屈（用 B 表示） ；50 米跑、立定跳远、1 分钟跳绳（用 C 表示） ； 50 米跑、实心球、1 分钟跳绳（用 D 表示） ；共用 4 种选择方案 故答案为 4 （2）用 A、B、C、D 代表四种选择方案 （其他表示方法也可） 解法一：用树状图分析如下： 解法二：用列表法分析如下
34、： 小刚 小明 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 两人选择的方案共有 16 种等可能的结果，其中选择同种方案有 4 种， 所以小明与小刚选择同种方案的概率 【点评】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数 n，找出某事件所占 有的结果数 m，则这件事的发生的概率 P 23 （10 分）如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过 来，此时，测得小船 C 的俯角是FDC
35、30，若兰兰的眼睛与地面的距离是 1.5 米， BG1 米，BG 平行于 AC 所在的直线，迎水坡的坡度 i4：3，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？（参考数据：1.7，结果保留一位小数） 第 21 页（共 29 页） 【分析】 把 AB 和 CD 都整理为直角三角形的斜边， 利用坡度和勾股定理易得点 B 和点 D 到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得 CH 长度CHAEEH 即为 AC 长度 【解答】 解： 过点 B 作 BEAC 于点 E， 延长 DG 交 CA 于点 H， 得 RtABE 和矩形 BEHG i， BE8，AE6，DG1.5，BG1， DHDG+G
36、H1.5+89.5， AHAE+EH6+17 在 RtCDH 中， CFDC30，DH9.5，tan30， CH9.5 又CHCA+7， 即 9.5CA+7， CA9.159.2（米） 答：CA 的长约是 9.2 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形 是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax22ax3a（a0） ，与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）若点 P（m，n）是抛物线上的一点，过点
37、 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 D 在 a0 的条件下，当2m2 时，n 的取值范围是4n5，求抛物线的表达式； 第 22 页（共 29 页） 若 D 点坐标（4，0） ，当 PDAD 时，求 a 的取值范围 【分析】 （1）解方程 ax22xa3a0 即可得到 A 点和 B 点坐标； （2）由于抛物线的对称轴为直线 x1，而2m2 时，n 的取值范围是4n5， 则 n4 为二次函数的最小值，从而得到抛物线的顶点坐标为（1，4） ，然后把顶点 坐标代入 yax22ax3a 中求出 a 即可得到抛物线解析式； 利用 D 点坐标（4，0） ，PDx 轴得到点 P 的横坐标为 4，从而得到 P（4
38、，5a） ，然后 利用 PDAD 得到|5a|5，从而解不等式得到 a 的范围 【解答】解： （1）把 y0 代入二次函数得：a（x22x3）0 即 a（x3） （x+1）0， x13，x21， 点 A 在点 B 的左侧， A（1，0） ，B（3，0） ； （2）抛物线的对称轴为直线 x1， 2m2 时，n 的取值范围是4n5， n4 为二次函数的最小值，m2 时，n5， 抛物线的顶点坐标为（1，4） 把（1，4）代入 yax22ax3a 得 a2a3a4，解得 a1， 抛物线的解析式为 yx22x3； D 点坐标（4，0） ，PDx 轴， 点 P 的横坐标为 4， 当 x4 时，yax22a
39、x3a5a， D 点坐标为（4，0） ，A 点坐标为（1，0） AD5 PDAD |5a|5， a1 或 a1 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号 时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常 数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数 第 23 页
40、（共 29 页） 由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线 与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 25 （12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB4，动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向以每秒 1 个单位的速度运动，连接 BP，作点 A 关于直线 BP 的对称点 E，设点 P 的运动时间为 t （s） （1）若 AD6，P 仅在边 AD 运动，求当 P，E，C 三点在同一直线上时对应的 t 的值 （2）在动点 P 在射线 AD 上运动的过程中，求使点 E 到直线 BC 的距离等于 3 时对应的 t 的值 【分析】
41、 （1） 设 APt， 则 PD6t， 由点 A、 E 关于直线 BP 对称， 得出APBBPE， 由平行线的性质得出APBPBC，得出BPCPBC，在 RtCDP 中，由勾股定 理得出方程，解方程即可得出结果； （2）当点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3，作 EMBC 于 M，延长 ME 交 AD 于 N，连接 PE、BE，则 EM3，EN1，BEAB4，四边形 ABMN 是矩形，AN BM，证出BMEENP，得出，求出 NP，即 可得出结果； 当点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3，作 EHAB 的延长线于 H，则 BH3， BEAB4， AHAB
42、+BH7， HE， 证得AHEPAB， 得出 ，即可得出结果 【解答】解： （1）设 APt，则 PD6t，如图 1 所示： 点 A、E 关于直线 BP 对称， APBBPE， ADBC， APBPBC， 第 24 页（共 29 页） P、E、C 共线， BPCPBC， CPBCAD6， 在 RtCDP 中，CD2+DP2PC2， 即：42+（6t）262， 解得：t62或 6+2（不合题意舍去） ， t（62）s 时，P、E、C 共线； （2）当点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3，作 EMBC 于 M，延长 ME 交 AD 于 N，连接 PE、BE，如图 2 所示： 则
43、 EM3，EN1，BEAB4，四边形 ABMN 是矩形， 在 RtEBM 中，ANBM， 点 A、E 关于直线 BP 对称， PEBPAB90， ENPEMBPEB90， PENEBM， BMEENP， ，即， NP， tAPANNP； 当点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3，作 EHAB 的延长线于 H，如图 3 所 示： 则 BH3，BEAB4，AHAB+BH7， 在 RtBHE 中，HE， PABBHE90，AEBP， APB+EAPHAE+EAP90， HAEAPB， AHEPAB， 第 25 页（共 29 页） ，即， 解得：tAP4， 综上所述，t或 4 【点评
44、】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的 性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键 26 （14 分）定义：当点 P 在射线 OA 上时，把的的值叫做点 P 在射线 OA 上的射影值； 当点 P 不在射线 OA 上时，把射线 OA 上与点 P 最近点的射影值，叫做点 P 在射线 OA 上的射影值 第 26 页（共 29 页） 例如：如图 1，OAB 三个顶点均在格点上，BP 是 OA 边上的高，则点 P 和点 B 在射线 OA 上的射影值均为 （1）在OAB 中， 点 B 在射线 OA 上的射影值小于 1 时，则OAB 是锐角三角形； 点 B 在射线 OA 上的射影值等于 1 时，则OAB 是直角三角形； 点 B 在射线 OA 上的射影值大于 1 时，则OAB 是钝角三角形 其中真命题有 C ABCD （2）已知：点 C 是射线 OA 上一点，CAOA1，以为圆心，OA 为半径画圆，点 B 是O 上任意点 如图 2，若点 B 在射线 OA 上的射影值为求证：直线 BC 是O 的切线； 如图 3，已知 D 为线段 BC 的中点，设点 D 在射线 OA 上的射影值为 x，点 D 在射线 OB 上的射影值为 y，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式为 y0（x）或 y2x （x） 【分析】 （1）根据射影值的定义一一判断即可
