2018-2019学年江苏省南通市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2018-2019学年江苏省南通市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合Mx|x0,Nx|x0,则()AMNBMUNRCMNDNM2(5分)函数f(x)的定义域为()A(一,0B0,+)C(0,+)D(,+)3(5分)在ABC中,M是BC的中点若,则()A(+)B()C+D+4(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l上的一点向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后,仍在该直线上,则直线l的斜率为()A2BCD25(5分)已知函数f(x)sinx与的图象的一个交点的横坐标为,则()ABC

2、D6(5分)下列说法正确的为()如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行;如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线平行;如果两条直线同时平行于一个平面,那么这两条直线平行;如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行ABCD7(5分)从两个班级各随机抽取5名学生测量身高(单位:cm),甲班的数据为169,162,150,160,159,乙班的数据为180,160,150,150,165据此估计甲、乙两班学生的平均身高,及方差s2甲,s2乙的关系为()A,s2甲s2乙B,s2甲s2乙C,s2甲s2乙D,s2甲s2乙8(5分)函数f(x),x(,0)(0,)的图象大致为(

3、)ABCD9(5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A60,b10,则结合a的值解三角形有两解的为()Aa8Ba9Ca10Da1110(5分)己知函数f(x)定义在R上的周期为4的奇函数,且当0x2时,函数g(x)log8|x|,则方程f(x)g(x)的解的个数为()A4B6C8D10二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分11(5分)已知角终边上一点P(3,4),则sin 12(5分)已知平面向量,的夹角为,|1,|2,则 13(5分)某校共有学生1600人,其中高一年级400人为了解各年级学生的兴趣爱好情况,用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本,则应抽取高一学生

4、人14(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是棱B1B的中点,则三棱锥D1DEC1的体积为 15(5分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用,如左图假定在水流量稳定的情况下,半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动,平面示意图如右图,己知筒车中心O到水面BC的距离为2m,初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处,且P0OA(OABC),则8min后该盛水筒到水面的距离为 m16(5分)过点P(t,t)作圆C:(x2)2+y21的两条切线,切点为A,B,若直线AB过点(2,),则t 三、解答题:

5、本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知点O(0,0),A(2,1),B(4,8)(1)若点C满足0,求点C的坐标;(2)若与,求k18(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,D为AC的中点,O为四边形B1C1CB的对角线的交点,ACBC1求证:(1)OD平面A1ABB1;(2)平面A1C1CA平面BC1D19(12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,CD2,ABC是边长为3的等边三角形(l)求AD;(2)求sinDAB20(12分)己知点O(0,0),直线l与圆C:(x1)2+(y2)24相交于A,B两点,且OAOB(1)若直线OA的方

6、程为y3x,求直线OB被圆C截得的弦长;(2)若直线l过点(0,2),求l的方程21(12分)已知某观光海域AB段的长度为3百公里,一超级快艇在AB段航行,经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位:万元)与速度v(单位:百公里/小时)(0v3)的以下数据:v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:Qav3+bv2+cv,Q0.5v+a,Qklogav+b(1)试从中确定最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少?并求出最少航行费用22(12分)已知函数f(x)(1)若

7、f(1)f (1),求a,并直接写出函数f(x)的单调增区间;(2)当a时,是否存在实数x,使得f(x)f(x)?若存在,试确定这样的实数x的个数;若不存在,请说明理由2018-2019学年江苏省南通市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合Mx|x0,Nx|x0,则()AMNBMUNRCMNDNM【分析】利用集合的关系可得答案【解答】解:集合Mx|x0,Nx|x0,集合N包含M中所有的元素,且集合N比集合M的元素要多一个元素0,由集合真子集的定义可知:集合M是集合N的子集,且是

8、真子集,所以:Mx|x0Nx|x0,故选:C【点评】本题考查了集合的关系的应用,属于基础题2(5分)函数f(x)的定义域为()A(一,0B0,+)C(0,+)D(,+)【分析】可看出,要使得f(x)有意义,则需满足12x0,解出x的范围即可【解答】解:要使f(x)有意义,则12x0;2x1;x0;f(x)的定义域为(,0故选:A【点评】考查函数定义域的定义及求法,指数函数的单调性,以及增函数的定义3(5分)在ABC中,M是BC的中点若,则()A(+)B()C+D+【分析】可画出图形,根据条件即可得出【解答】解:如图,M是BC的中点,;故选:D【点评】考查向量加法及数乘的几何意义4(5分)在平面

9、直角坐标系xOy中,已知直线l上的一点向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后,仍在该直线上,则直线l的斜率为()A2BCD2【分析】根据题意,设该点的坐标为(a,b),分析可得平移后的点的坐标,由直线的斜率公式计算可得答案【解答】解:根据题意,设该点的坐标为(a,b),将该点向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后,则平移之后的坐标为(a+2,b4),则直线的斜率k故选:A【点评】本题考查直线的斜率计算,关键是掌握直线的斜率计算公式5(5分)已知函数f(x)sinx与的图象的一个交点的横坐标为,则()ABCD【分析】由题意利用三角函数的图象和性质可得 sincos(+),由此求得

10、的值【解答】解:函数f(x)sinx与的图象的一个交点的横坐标为,sincos(+)sin,故选:B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,属于基础题6(5分)下列说法正确的为()如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行;如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线平行;如果两条直线同时平行于一个平面,那么这两条直线平行;如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行ABCD【分析】由平行线的传递性即公理4可判断;由线线的位置关系可判断;由线面平行的性质和线线的位置关系可判断;由线面垂直的性质定理可判断【解答】解:如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故正

11、确;如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线平行或相交或异面,故错误;如果两条直线同时平行于一个平面,那么这两条直线平行或相交或异面,故错误;如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行,故正确故选:D【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系,考查平行和垂直的判定定理和性质定理的运用,考查转化思想和推理能力,属于基础题7(5分)从两个班级各随机抽取5名学生测量身高(单位:cm),甲班的数据为169,162,150,160,159,乙班的数据为180,160,150,150,165据此估计甲、乙两班学生的平均身高,及方差s2甲,s2乙的关系为()A,s2甲s2乙B,s2甲s2乙C,

12、s2甲s2乙D,s2甲s2乙【分析】根据题意,计算甲乙两个班的平均数与方差,即可得答案【解答】解:根据题意,甲班的数据为169,162,150,160,159,乙班的数据为180,160,150,150,165分析可得:(169+162+150+160+159)160,(180+160+150+150+165)161,方差s2甲(81+4+100+1)37.2,s2乙(361+1+121+100+4)117.4,则有,s2甲s2乙故选:C【点评】本题考查平均数、方差的估计以及统计意义,属于基础题8(5分)函数f(x),x(,0)(0,)的图象大致为()ABCD【分析】由f(x)f(x)可判断函

13、数f(x)为奇函数,可排除B;由x(,0)时,f(x)0,可排除A;由x时,sin0,f()+,可排除C,进而得到答案【解答】解:函数定义域关于原点对称,且,故函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,由此可排除选项B;当x(,0)时,ex+ex0,sinx0,故f(x)0,由此可排除选项A;当x时,sin0,f()+,由此可排除选项C,选项D符合题意故选:D【点评】本题考查函数图象的识别,根据函数解析式判断函数图象,一般可以从奇偶性,单调性,特殊点,趋近性等角度,运用排除法求解,是常考题型,但难度不大9(5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A60,b10,则结合a的值解三角

14、形有两解的为()Aa8Ba9Ca10Da11【分析】根据正弦定理可得,然后根据三角形有两解可得sinB1且ba,从而得到a的范围【解答】解:由正弦定理,有,三角形有两解,sinB1且ba,因此由选项知,只有a9时符合条件,故选:B【点评】本题考查了正弦定理和三角形中大边对大角等知识的应用,考查了转化思想,属中档题10(5分)己知函数f(x)定义在R上的周期为4的奇函数,且当0x2时,函数g(x)log8|x|,则方程f(x)g(x)的解的个数为()A4B6C8D10【分析】作出yf(x)的图象,以yg(x)的图象,通过图象的交点个数,可得所求结论【解答】解:作出yf(x)的图象,以yg(x)的

15、图象,可得方程f(x)g(x)的解的个数为8故选:C【点评】本题考查函数方程的转化思想,考查数形结合思想,属于中档题二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分11(5分)已知角终边上一点P(3,4),则sin【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sin的值【解答】解:角终边上一点P(3,4),则sin,故答案为:【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题12(5分)已知平面向量,的夹角为,|1,|2,则1【分析】由平面向量数量积的运算即可得解【解答】解:因为向量,的夹角为,|1,|2,所以|cos1,故答案为:1【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,属基础题13(5分

16、)某校共有学生1600人,其中高一年级400人为了解各年级学生的兴趣爱好情况,用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本,则应抽取高一学生20人【分析】由分层抽样即按比例抽样可得:应抽取高一学生为20,得解【解答】解:由分层抽样可得:应抽取高一学生为20,故答案为:20【点评】本题考查了分层抽样,属基础题14(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是棱B1B的中点,则三棱锥D1DEC1的体积为【分析】根据题意画出图形,结合图形求出三棱锥D1DEC1的体积【解答】解:如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长AB1,点E是棱B1B的中点,则三棱锥D1DEC1的体积为VBC1

17、11故答案为:【点评】本题考查了棱锥体积的计算问题,是基础题15(5分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用,如左图假定在水流量稳定的情况下,半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动,平面示意图如右图,己知筒车中心O到水面BC的距离为2m,初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处,且P0OA(OABC),则8min后该盛水筒到水面的距离为m【分析】由题意写出点P0离水面的距离函数,再计算对应的函数值即可【解答】解:由题意知,点P0离水面的距离函数为y3sin(t+)+2,当t8时,y3sin(8+)+23sin+

18、2+2,则8min后该盛水筒到水面的距离为m故答案为:【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题,根据题意建立函数的模型是解题的关键16(5分)过点P(t,t)作圆C:(x2)2+y21的两条切线,切点为A,B,若直线AB过点(2,),则t8【分析】根据过圆外一点P(x0,y0),作圆(xa)2+(yb)2r2的两条切线,所得切点弦所在直线方程为:(x0a)(xa)+(y0b)(yb)r2这个结论可得【解答】解:根据圆的切点弦所在直线方程可得直线AB的方程为:(t2)(x2)+ty1,将(2,)代入可得(t2)(22)+t1,解得:t8故答案为:8【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题三

19、、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知点O(0,0),A(2,1),B(4,8)(1)若点C满足0,求点C的坐标;(2)若与,求k【分析】(1)可以求出,设C(x,y),从而得出,根据即可建立关于x,y的方程,解出x,y即可;(2)可以求出,根据与垂直即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出k【解答】解:(1),设C(x,y),则;由得,(6,9)+3(x+4,y8)(0,0);x2,y5;点C的坐标为(2,5);(2),;与垂直;(18k)60;【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法,向量坐标的加法、数乘和数量积的运算,向量垂直的充要条件1

20、8(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,D为AC的中点,O为四边形B1C1CB的对角线的交点,ACBC1求证:(1)OD平面A1ABB1;(2)平面A1C1CA平面BC1D【分析】(1)连结AB1,推导出ODAB1,由此能证明OD平面A1ABB1(2)推导出BDAC,ACBC1,从而AC平面BC1D,由此能证明平面A1C1CA平面BC1D【解答】证明:(1)连结AB1,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形B1C1CB是平行四边形,O是平行四边形B1C1CB对角线的交点,O是B1C的中点,D是AC的中点,在ACB1中,ODAB1,OD平面A1ABB1,AB1平面A1ABB1,O

21、D平面A1ABB1解:(2)在ABC中,ABBC,D为AC的中点,BDAC,ACBC1,BC1BDB,AC平面BC1D,AC平面A1C1CA,平面A1C1CA平面BC1D【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题19(12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,CD2,ABC是边长为3的等边三角形(l)求AD;(2)求sinDAB【分析】(1)由正三角形的性质和余弦定理可得所求值;(2)方法一、运用余弦定理可得cosDAC,再由和角的正弦公式可得所求值;方法二、运用三角形的正弦定理和诱导公式,可得所求值【解答】解:(1)

22、在梯形ABCD中,由ABCD,ABC是边长为3的等边三角形,可得ACD60,AC3,在ACD中,由余弦定理可得AD2AC2+CD22ACCDcosACD9+4127,可得AD;(2)方法一、在ACD中,cosDAC,sinDAC,可得sinDABsin(60+DAC)cosDAC+sinDAC+方法二、在ACD中,可得,可得sinD而sinDABsin(DAB)sinD【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用,考查和差的正弦公式和诱导公式的运用,考查运算能力,属于中档题20(12分)己知点O(0,0),直线l与圆C:(x1)2+(y2)24相交于A,B两点,且OAOB(1)若直线OA的方程为y

23、3x,求直线OB被圆C截得的弦长;(2)若直线l过点(0,2),求l的方程【分析】(1)根据OAOB以及OA的方程可得OB的方程,再根据点到直线的距离以及勾股定理可得弦长AB;(2)设出直线l的方程为ykx+2将其代入圆C的方程,根据韦达定理以及x1x2+y1y20列式解方程可得【解答】解:(1)因为直线OA的方程为y3x,OAOB,所以直线OB的方程为y,从而圆心C(1,2)到直线OB的距离为:所以直线OB被圆C截得的弦长为:2(2)依题意,直线l的斜率必存在,不妨设其为k,则l的方程为ykx+2,又设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(k2+1)x22x30,所以x1+x2,x1x

24、2,从而x1x2+y1y2x1x2+(kx1+2)(kx2+2)(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4+1,因为OAOB,所以x1x2+y1y20,即+10,解得k2,所以l的方程为y(2)x+2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题21(12分)已知某观光海域AB段的长度为3百公里,一超级快艇在AB段航行,经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位:万元)与速度v(单位:百公里/小时)(0v3)的以下数据:v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:Qav3+bv2+cv,Q0.5v+a,Qklogav+b(1)试从

25、中确定最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少?并求出最少航行费用【分析】(1)由表中v,Q对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型,并求得相应的函数解析式;(2)利用函数配方求最值可得答案【解答】解:(1)若选择函数模型Q0.5v+a,则该函数在v0,3上为单调减函数,这与试验数据相矛盾,所以不选择该函数模型,若选择函数模型Qklogav+b,须y0,这与试验数据在v0时有意义矛盾,所以不选择该函数模型;从而只能选择函数模型Qav3+bv2+cv,由试验数据得,a+b+c0.7,8a+4b+2c1.6,27a+9b+3c

26、3.3,联立解得:a0.1,b02,c0.8;故所求函数解析式为:Q0.1v30.2v2+0.8v,(0v3)(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元)则所需时间为(小时),其中:03,结合(1)知,y(0.1v30.2v2+0.8v)0.3(v1)2+7所以当1时,ymin2.1答:(1)相应的函数解析式:Q0.1v30.2v2+0.8v,(0v3);当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少,且最少航行费用为2.1万元;【点评】本题考查函数模型的运用,考查学生的计算能力,比较基础22(12分)已知函数f(x)(1)若f(1)f (1),求a,并直接写出函数f(x)的单调

27、增区间;(2)当a时,是否存在实数x,使得f(x)f(x)?若存在,试确定这样的实数x的个数;若不存在,请说明理由【分析】(1)由f(1)f(1)可得a的方程,解得a:再由函数的单调性,可得增区间;(2)讨论x0,0x1,x1,f(x)f(x),可得x的方程,运用构造函数法,判断单调性,结合函数的零点存在定理,即可得到所求零点个数【解答】解:(1)由f(1)f(1),可得21a,即a3,f(x),可得f(x)的增区间为(,2),(2,1);(2)显然x0不满足f(x)f(x);0x1即1x0,f(x)f(x)即,方程无解;x1,即x1,f(x)f(x),即(ax),可得ax3(2a+1)x22

28、x+20,设g(x)ax3(2a+1)x22x+2,a,当1x2时,g(x)ax2(x2)x22(x1)0,下面证明g(x)在(2,+)递增,设x1,x2(2,+),x1x2,g(x2)g(x1)ax23(2a+1)x222x2+2ax13(2a+1)x122x1+2(x2x1)ax22+ax1x2+ax12(2a+1)(x1+x2)2,由于ax22+ax1x2+ax12(2a+1)(x1+x2)2a(x21)2+a(x11)2+ax1x2(x1+x2)2a2a12+a12+x1x2(x1+x2)2a2(x21)(x11)+x1x2311+2230,则g(x2)g(x1)0,即g(x2)g(x1),可得g(x)在(2,+)递增,由g(2)60,g(3)9a13130,g(2)g(3)0,g(x)不间断,g(x)在(2,3)有且只有一个零点,即当x1时,有且只有一个实数x,满足f(x)f(x),当非零的x0满足f(x)f(x),x0也满足f(x)f(x),即满足f(x)f(x)的根成对出现,综上可得,所有满足f(x)f(x)的根的个数为2【点评】本题考查分段函数的应用,考查函数的零点个数求法,注意运用转化思想和分类讨论思想,考查化简运算能力和推理能力,是一道难题

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