1、2018-2019学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Mx|x0，Nx|x0，则（）AMNBMUNRCMNDNM2（5分）函数f（x）的定义域为（）A（一，0B0，+）C（0，+）D（，+）3（5分）在ABC中，M是BC的中点若，则（）A（+）B（）C+D+4（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（）A2BCD25（5分）已知函数f（x）sinx与的图象的一个交点的横坐标为，则（）ABC
2、D6（5分）下列说法正确的为（）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行；如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行ABCD7（5分）从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差s2甲，s2乙的关系为（）A，s2甲s2乙B，s2甲s2乙C，s2甲s2乙D，s2甲s2乙8（5分）函数f（x），x（，0）（0，）的图象大致为（
3、）ABCD9（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A60，b10，则结合a的值解三角形有两解的为（）Aa8Ba9Ca10Da1110（5分）己知函数f（x）定义在R上的周期为4的奇函数，且当0x2时，函数g（x）log8|x|，则方程f（x）g（x）的解的个数为（）A4B6C8D10二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分11（5分）已知角终边上一点P（3，4），则sin 12（5分）已知平面向量，的夹角为，|1，|2，则 13（5分）某校共有学生1600人，其中高一年级400人为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生
4、人14（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1DEC1的体积为 15（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左图假定在水流量稳定的情况下，半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如右图，己知筒车中心O到水面BC的距离为2m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且P0OA（OABC），则8min后该盛水筒到水面的距离为 m16（5分）过点P（t，t）作圆C：（x2）2+y21的两条切线，切点为A，B，若直线AB过点（2，），则t 三、解答题：
5、本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知点O（0，0），A（2，1），B（4，8）（1）若点C满足0，求点C的坐标；（2）若与，求k18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，ACBC1求证：（1）OD平面A1ABB1；（2）平面A1C1CA平面BC1D19（12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，ABC是边长为3的等边三角形（l）求AD；（2）求sinDAB20（12分）己知点O（0，0），直线l与圆C：（x1）2+（y2）24相交于A，B两点，且OAOB（1）若直线OA的方
6、程为y3x，求直线OB被圆C截得的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程21（12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0v3）的以下数据：v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Qav3+bv2+cv，Q0.5v+a，Qklogav+b（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用22（12分）已知函数f（x）（1）若
7、f（1）f （1），求a，并直接写出函数f（x）的单调增区间；（2）当a时，是否存在实数x，使得f（x）f（x）？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由2018-2019学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Mx|x0，Nx|x0，则（）AMNBMUNRCMNDNM【分析】利用集合的关系可得答案【解答】解：集合Mx|x0，Nx|x0，集合N包含M中所有的元素，且集合N比集合M的元素要多一个元素0，由集合真子集的定义可知：集合M是集合N的子集，且是
8、真子集，所以：Mx|x0Nx|x0，故选：C【点评】本题考查了集合的关系的应用，属于基础题2（5分）函数f（x）的定义域为（）A（一，0B0，+）C（0，+）D（，+）【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足12x0，解出x的范围即可【解答】解：要使f（x）有意义，则12x0；2x1；x0；f（x）的定义域为（，0故选：A【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性，以及增函数的定义3（5分）在ABC中，M是BC的中点若，则（）A（+）B（）C+D+【分析】可画出图形，根据条件即可得出【解答】解：如图，M是BC的中点，；故选：D【点评】考查向量加法及数乘的几何意义4（5分）在平面
9、直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（）A2BCD2【分析】根据题意，设该点的坐标为（a，b），分析可得平移后的点的坐标，由直线的斜率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设该点的坐标为（a，b），将该点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，则平移之后的坐标为（a+2，b4），则直线的斜率k故选：A【点评】本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式5（5分）已知函数f（x）sinx与的图象的一个交点的横坐标为，则（）ABCD【分析】由题意利用三角函数的图象和性质可得 sincos（+），由此求得
10、的值【解答】解：函数f（x）sinx与的图象的一个交点的横坐标为，sincos（+）sin，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题6（5分）下列说法正确的为（）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行；如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行ABCD【分析】由平行线的传递性即公理4可判断；由线线的位置关系可判断；由线面平行的性质和线线的位置关系可判断；由线面垂直的性质定理可判断【解答】解：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故正
11、确；如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行或相交或异面，故错误；如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行或相交或异面，故错误；如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行，故正确故选：D【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查平行和垂直的判定定理和性质定理的运用，考查转化思想和推理能力，属于基础题7（5分）从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差s2甲，s2乙的关系为（）A，s2甲s2乙B，s2甲s2乙C，
12、s2甲s2乙D，s2甲s2乙【分析】根据题意，计算甲乙两个班的平均数与方差，即可得答案【解答】解：根据题意，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165分析可得：（169+162+150+160+159）160，（180+160+150+150+165）161，方差s2甲（81+4+100+1）37.2，s2乙（361+1+121+100+4）117.4，则有，s2甲s2乙故选：C【点评】本题考查平均数、方差的估计以及统计意义，属于基础题8（5分）函数f（x），x（，0）（0，）的图象大致为（）ABCD【分析】由f（x）f（x）可判断函
13、数f（x）为奇函数，可排除B；由x（，0）时，f（x）0，可排除A；由x时，sin0，f（）+，可排除C，进而得到答案【解答】解：函数定义域关于原点对称，且，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B；当x（，0）时，ex+ex0，sinx0，故f（x）0，由此可排除选项A；当x时，sin0，f（）+，由此可排除选项C，选项D符合题意故选：D【点评】本题考查函数图象的识别，根据函数解析式判断函数图象，一般可以从奇偶性，单调性，特殊点，趋近性等角度，运用排除法求解，是常考题型，但难度不大9（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A60，b10，则结合a的值解三角
14、形有两解的为（）Aa8Ba9Ca10Da11【分析】根据正弦定理可得，然后根据三角形有两解可得sinB1且ba，从而得到a的范围【解答】解：由正弦定理，有，三角形有两解，sinB1且ba，因此由选项知，只有a9时符合条件，故选：B【点评】本题考查了正弦定理和三角形中大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属中档题10（5分）己知函数f（x）定义在R上的周期为4的奇函数，且当0x2时，函数g（x）log8|x|，则方程f（x）g（x）的解的个数为（）A4B6C8D10【分析】作出yf（x）的图象，以yg（x）的图象，通过图象的交点个数，可得所求结论【解答】解：作出yf（x）的图象，以yg（x）的
15、图象，可得方程f（x）g（x）的解的个数为8故选：C【点评】本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分11（5分）已知角终边上一点P（3，4），则sin【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值【解答】解：角终边上一点P（3，4），则sin，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题12（5分）已知平面向量，的夹角为，|1，|2，则1【分析】由平面向量数量积的运算即可得解【解答】解：因为向量，的夹角为，|1，|2，所以|cos1，故答案为：1【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题13（5分
16、）某校共有学生1600人，其中高一年级400人为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生20人【分析】由分层抽样即按比例抽样可得：应抽取高一学生为20，得解【解答】解：由分层抽样可得：应抽取高一学生为20，故答案为：20【点评】本题考查了分层抽样，属基础题14（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1DEC1的体积为【分析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1DEC1的体积【解答】解：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长AB1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1DEC1的体积为VBC1
17、11故答案为：【点评】本题考查了棱锥体积的计算问题，是基础题15（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左图假定在水流量稳定的情况下，半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如右图，己知筒车中心O到水面BC的距离为2m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且P0OA（OABC），则8min后该盛水筒到水面的距离为m【分析】由题意写出点P0离水面的距离函数，再计算对应的函数值即可【解答】解：由题意知，点P0离水面的距离函数为y3sin（t+）+2，当t8时，y3sin（8+）+23sin+
18、2+2，则8min后该盛水筒到水面的距离为m故答案为：【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，根据题意建立函数的模型是解题的关键16（5分）过点P（t，t）作圆C：（x2）2+y21的两条切线，切点为A，B，若直线AB过点（2，），则t8【分析】根据过圆外一点P（x0，y0），作圆（xa）2+（yb）2r2的两条切线，所得切点弦所在直线方程为：（x0a）（xa）+（y0b）（yb）r2这个结论可得【解答】解：根据圆的切点弦所在直线方程可得直线AB的方程为：（t2）（x2）+ty1，将（2，）代入可得（t2）（22）+t1，解得：t8故答案为：8【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题三
19、、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知点O（0，0），A（2，1），B（4，8）（1）若点C满足0，求点C的坐标；（2）若与，求k【分析】（1）可以求出，设C（x，y），从而得出，根据即可建立关于x，y的方程，解出x，y即可；（2）可以求出，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k【解答】解：（1），设C（x，y），则；由得，（6，9）+3（x+4，y8）（0，0）；x2，y5；点C的坐标为（2，5）；（2），；与垂直；（18k）60；【点评】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件1
20、8（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，ACBC1求证：（1）OD平面A1ABB1；（2）平面A1C1CA平面BC1D【分析】（1）连结AB1，推导出ODAB1，由此能证明OD平面A1ABB1（2）推导出BDAC，ACBC1，从而AC平面BC1D，由此能证明平面A1C1CA平面BC1D【解答】证明：（1）连结AB1，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1C1CB是平行四边形，O是平行四边形B1C1CB对角线的交点，O是B1C的中点，D是AC的中点，在ACB1中，ODAB1，OD平面A1ABB1，AB1平面A1ABB1，O
21、D平面A1ABB1解：（2）在ABC中，ABBC，D为AC的中点，BDAC，ACBC1，BC1BDB，AC平面BC1D，AC平面A1C1CA，平面A1C1CA平面BC1D【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，ABC是边长为3的等边三角形（l）求AD；（2）求sinDAB【分析】（1）由正三角形的性质和余弦定理可得所求值；（2）方法一、运用余弦定理可得cosDAC，再由和角的正弦公式可得所求值；方法二、运用三角形的正弦定理和诱导公式，可得所求值【解答】解：（1）
22、在梯形ABCD中，由ABCD，ABC是边长为3的等边三角形，可得ACD60，AC3，在ACD中，由余弦定理可得AD2AC2+CD22ACCDcosACD9+4127，可得AD；（2）方法一、在ACD中，cosDAC，sinDAC，可得sinDABsin（60+DAC）cosDAC+sinDAC+方法二、在ACD中，可得，可得sinD而sinDABsin（DAB）sinD【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题20（12分）己知点O（0，0），直线l与圆C：（x1）2+（y2）24相交于A，B两点，且OAOB（1）若直线OA的方程为y
23、3x，求直线OB被圆C截得的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程【分析】（1）根据OAOB以及OA的方程可得OB的方程，再根据点到直线的距离以及勾股定理可得弦长AB；（2）设出直线l的方程为ykx+2将其代入圆C的方程，根据韦达定理以及x1x2+y1y20列式解方程可得【解答】解：（1）因为直线OA的方程为y3x，OAOB，所以直线OB的方程为y，从而圆心C（1，2）到直线OB的距离为：所以直线OB被圆C截得的弦长为：2（2）依题意，直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为ykx+2，又设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（k2+1）x22x30，所以x1+x2，x1x
24、2，从而x1x2+y1y2x1x2+（kx1+2）（kx2+2）（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4+1，因为OAOB，所以x1x2+y1y20，即+10，解得k2，所以l的方程为y（2）x+2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题21（12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0v3）的以下数据：v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Qav3+bv2+cv，Q0.5v+a，Qklogav+b（1）试从
25、中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用【分析】（1）由表中v，Q对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型，并求得相应的函数解析式；（2）利用函数配方求最值可得答案【解答】解：（1）若选择函数模型Q0.5v+a，则该函数在v0，3上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，若选择函数模型Qklogav+b，须y0，这与试验数据在v0时有意义矛盾，所以不选择该函数模型；从而只能选择函数模型Qav3+bv2+cv，由试验数据得，a+b+c0.7，8a+4b+2c1.6，27a+9b+3c
26、3.3，联立解得：a0.1，b02，c0.8；故所求函数解析式为：Q0.1v30.2v2+0.8v，（0v3）（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元）则所需时间为（小时），其中：03，结合（1）知，y（0.1v30.2v2+0.8v）0.3（v1）2+7所以当1时，ymin2.1答：（1）相应的函数解析式：Q0.1v30.2v2+0.8v，（0v3）；当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元；【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础22（12分）已知函数f（x）（1）若f（1）f （1），求a，并直接写出函数f（x）的单调
27、增区间；（2）当a时，是否存在实数x，使得f（x）f（x）？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由【分析】（1）由f（1）f（1）可得a的方程，解得a：再由函数的单调性，可得增区间；（2）讨论x0，0x1，x1，f（x）f（x），可得x的方程，运用构造函数法，判断单调性，结合函数的零点存在定理，即可得到所求零点个数【解答】解：（1）由f（1）f（1），可得21a，即a3，f（x），可得f（x）的增区间为（，2），（2，1）；（2）显然x0不满足f（x）f（x）；0x1即1x0，f（x）f（x）即，方程无解；x1，即x1，f（x）f（x），即（ax），可得ax3（2a+1）x22
28、x+20，设g（x）ax3（2a+1）x22x+2，a，当1x2时，g（x）ax2（x2）x22（x1）0，下面证明g（x）在（2，+）递增，设x1，x2（2，+），x1x2，g（x2）g（x1）ax23（2a+1）x222x2+2ax13（2a+1）x122x1+2（x2x1）ax22+ax1x2+ax12（2a+1）（x1+x2）2，由于ax22+ax1x2+ax12（2a+1）（x1+x2）2a（x21）2+a（x11）2+ax1x2（x1+x2）2a2a12+a12+x1x2（x1+x2）2a2（x21）（x11）+x1x2311+2230，则g（x2）g（x1）0，即g（x2）g（x1），可得g（x）在（2，+）递增，由g（2）60，g（3）9a13130，g（2）g（3）0，g（x）不间断，g（x）在（2，3）有且只有一个零点，即当x1时，有且只有一个实数x，满足f（x）f（x），当非零的x0满足f（x）f（x），x0也满足f（x）f（x），即满足f（x）f（x）的根成对出现，综上可得，所有满足f（x）f（x）的根的个数为2【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的零点个数求法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，是一道难题
