1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1全集 UR，集合 Ay|ylog3x，x3，B ， （i 为虚数单位）， 下列成立的是（ ） AAB BUABU CAB DA（UB） 2如图为算法统宗中的“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五 尺外方七尺有奇这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 ，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 ，略大于 7在外方内随机掷 100 粒黄豆，则位于内方的黄豆数约 为（ ） A50 B55 C60 D65 3新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图
2、 1；为了解消费者 对各平台销售方式的满意程度， 该商场用分层抽样的方法抽取 4%的顾客进行满意度调查， 得到的数据如图 2下列说法错误的是（ ） A样本容量为 240 B若样本中对平台三满意的人数为 40，则 m40% C总体中对平台二满意的消费者人数约为 300 D样本中对平台一满意的人数为 24 人 4 设不同直线 l1： xmy+10， l2： （m1） x2y20， 则 “m2” 是 “l1l2” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1+a36，a4+a612，则 （ ） A B1011 C
3、D1010 6 的展开式的各项系数之和为 5，则该展开式中 x 项的系数为（ ） A66 B18 C18 D66 7 小华想测出操场上旗杆 OA 的高度， 在操场上选取了一条基线 BC， 请从测得的数据BC 10m，B 处的仰角 60，C 处的仰角 45，cosBAC ，BOC30 中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A B10m C D 8高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字 命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函 数，例如：3.54，2.12已知函数 f（x） ，函数 g（x）f（x）， 则下列命题中真
4、命题的个数是（ ） g（x）图象关于 x0 对称，f（x）是奇函数，f（x）在 R 上是增函数，g（x） 的值域是1，0，1 A1 B2 C3 D4 9函数 的导函数为 f（x），集合 ， ， ， ，中有且仅有 1 个元素，则 的取值范围是（ ） A ， ， B ， ， ， C ， ， ， D ， ， ， 10已知过抛物线 C：y24x 焦点 F 的直线交抛物线 C 于 P，Q 两点，交圆 x2+y22x0 于 M，N 两点，其中 P，M 位于第一象限，则 的值不可能为（ ） A8 B7 C6 D5 11已知函数 f（x） ， ， ，函数 g（x）f（x）3 xm（mR）的四 个零点从小到大依
5、次为 x1，x2，x3，x4，对满足条件的任意一组零点，下列判断中一定成 立的是（ ） Ae2x3x4（2e1）2 B0（2ex3）（2ex4）1 Cx1+x22 D1x1x2e2 12已知数列an： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的前 n 项和 为 Sn， 正整数 n1， n2 满足： ， n2是满足不等式 Sn1019 的最小正整数， 则 n1+n2（ ） A6182 B6183 C6184 D6185 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案写在答题卡的相应位置 13当实数 x，y 满足不等式组 时，恒有 a（x+1）2y，则实数 a 的取值
6、范围 是 14已知非零向量 ， 夹角为 ， ，对任意 xR，有 ，则 15双曲线 ： ， 上一点 P，过双曲线中心 O 的直线交双曲线于 A、 B两不同 （点A， B异于点P） 设直线PA、 PB的斜率分别为k1 、 k 2， 当 最小时，双曲线的离心率为 16在三棱锥 ABCD 中，已知 ADBC，AD8，BC2，AB+BDAC+CD10，则三棱锥 ABCD 体积的最大值是 三、解答题：本大题共 5 小题，共计 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或者步 骤 17如图，菱形 ABCD 的边长为 12，BAD60，AC 与 BD 交于 O 点将菱形 ABCD 沿 对角线 AC 折起，得到
7、三棱锥 BACD，点 M 是棱 BC 的中点，DM6 （1）求证：BCOD； （2）求二面角 MADC 的余弦值 18 如图， 在ABC 中， C ， ABC 的角平分线 BD 交 AC 于 D， 设CBD， 且 sin （1）求 值； （2）若 SABC14，求ABC 的周长 19冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性 呼吸综合征（SARS）等较严重疾病出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是从未在 人体中发现的冠状病毒新毒株 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、 发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合
8、征、 肾衰竭，甚至死亡某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标 A现从采集的血 液样品中抽取 500 份检测指标 A 的值，由测量结果得如图频率分布直方图： （1）求这 500 份血液样品指标 A 值的平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中 点值作代表，记作 xi（i1，2，7）； （2）由频率分布直方图可以认为，这项指标 A 的值 X 服从正态分布 N（，2），其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2在统计学中，把发生概率小于 3的事件 称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）该医院非常关注本院医 生健康状况，随机抽取 20 名医生，独立的检测血液中指标 A
9、 的值，结果发现 4 名医生血 液中指标 A 的值大于正常值 20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并 说明理由 附：参考数据与公式： ，3.46 ；若 xN（，2）， 则P（x+）0.6826；P（2x+2）0.9545；P（3 x+3）0.9973.0.158740.006，0.158760.000016，0.8413140.0890，0.841316 0.0630 20在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 ： 的左、右顶点分别为 A、B， 右焦点为 F，且点 F 满足 ，由椭圆 C 的四个顶点围成的四边形面积为 过 点 T（t，m）的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点
10、M（x1，y1），N（x2，y2），其中 m 0，y10，y20 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 当 T 在直线 x3a 时， 直线 MN 是否过 x 轴上的一定点？若是， 求出该定点的坐标； 若不是，请说明理由 21已知 f（x）ex，g（x） （1）当 x0 时，证明：f（x）g（x）； （2） 已知点 A （x， f （x） ） ， 点 B （sinx， cosx） ， O 为坐标原点， 函数 h （x） ， 请判断： 当 ， 时 h（x）的零点个数 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22已
11、知曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，曲线 C 经过伸缩变换 ， 得到曲线 E，直线 ： （t 为参数） 与曲线 E 交于 A，B 两点 （1）设曲线 C 上任一点为 M（x，y），求 x3y 的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长 23函数 f（x）|x+a|+|xb|+c，其中 a0，b0，c0 （1）当 abc1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 3，求证： 参考答案 一、选择题：本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项
12、中，只有一 个是符合题目要求的 1全集 UR，集合 Ay|ylog3x，x3，B ， （i 为虚数单位）， 下列成立的是（ ） AAB BUABU CAB DA（UB） 【分析】求出集合 A，B，从而求出UB，由此能求出 A（UB） 解：全集 UR，集合 Ay|ylog3x，x3yy1， B ， （i 为虚数单位）x|x2， UBx|x2， A（UB）x|1x2 故选：D 【点评】本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集的运算等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 2如图为算法统宗中的“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五 尺外方七尺有奇这是一种开平方的近似计算，
13、即用 7 近似表示 ，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 ，略大于 7在外方内随机掷 100 粒黄豆，则位于内方的黄豆数约 为（ ） A50 B55 C60 D65 【分析】由题意可得 S内方25，S外方50，根据概率公式计算即可 解：由题意可得 S内方25，S外方50， 则从外方内随机取一点，此点取自内方的概率为 ， 所以 故选：A 【点评】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题 3新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图 1；为了解消费者 对各平台销售方式的满意程度， 该商场用分层抽样的方法抽取 4%的顾客进行满意度调查， 得到的数据如图 2下列说法错误的是（ ）
14、A样本容量为 240 B若样本中对平台三满意的人数为 40，则 m40% C总体中对平台二满意的消费者人数约为 300 D样本中对平台一满意的人数为 24 人 【分析】利用扇形统计图和条形统计图能求出结果 解：对于 A，样本容量为 60004%240，故 A 正确； 对于 B，根据题意平台三的满意率 ，m40，故 B 错误； 对于 C，样本可以估计总体，但会有一定的误差， 总体中对平台二满意人数约为 150020%300，故 C 正确； 对于 D，总体中对平台一满意人数约为 20004%30%24，故 D 正确 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考
15、查运 算求解能力，是中档题 4 设不同直线 l1： xmy+10， l2： （m1） x2y20， 则 “m2” 是 “l1l2” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 m2 可得两直线平行，反之，由两直线平行可得 m2再由充分必要条件 的判定得答案 解：当 m2 时，l1：x2y+10，l2：x2y20， 此时两直线的斜率相等，在 y 轴上的截距不等，可知 l1l2； 反之，由 l1l2，得 ，即 m2 “m2”是“l1l2”的充要条件 故选：C 【点评】难题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题 5等差数列an
16、的前 n 项和为 Sn，且 a1+a36，a4+a612，则 （ ） A B1011 C D1010 【分析】 利用等差数列通项公式， 列出方程组， 求出a12， d1 从而 ， 进 而 2 ，由此能求出 解：数列an是等差数列， 前 n 项和为 Sn，且 a1+a36，a4+a612， ， 解得 a12，d1 ， 2 ， 2 ， ， 故选：A 【点评】本题考查等差数列的前 2020 和与 2020 的比值的求法，考查等差数列的性质等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6 的展开式的各项系数之和为 5，则该展开式中 x 项的系数为（ ） A66 B18 C18 D66 【分析】令 x1 得
17、各项系数为 5，求出 n 的值，结合展开式项的系数进行求解即可 解：令 x1，可得（2n）（12）35， n7 多项式为（2x27）（x ） 3， 二项式（x ） 3 的通项公式为 Tk+1C3kx3k （ ） k（2）kC 3 kx32k， 若第一个因式是 2x2，则第二个因式为 x1，即当 k2 时，因式为 4C32x112x1，此时 2x212x124x， 若第一个因式是7，则第二个因式为 x，即当 k1 时，因式为2C31x6x，此时7 （6）x42x， 则展开式中 x 项的为；24x+42x66x，即 x 的系数为 66； 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令 x1 求
18、出各项系数和以及通过通项公式求 出对应项的系数是解决本题的关键 7 小华想测出操场上旗杆 OA 的高度， 在操场上选取了一条基线 BC， 请从测得的数据BC 10m，B 处的仰角 60，C 处的仰角 45，cosBAC ，BOC30 中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A B10m C D 【分析】 由选取的条件， 再不同的空间三角形内利用三角函数和余弦定理列出旗杆高度 h 的方程，解出即可 解：选设棋杆的高度 OAh，则 OCh， ， 在BOC 中，由余弦定理得 BC2OB2+OC22OB OC cosBOC， 即 ，解得 故选：D 【点评】本题考查利用三角函数和余弦定理解三角形问题，属
19、于基础题 8高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字 命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函 数，例如：3.54，2.12已知函数 f（x） ，函数 g（x）f（x）， 则下列命题中真命题的个数是（ ） g（x）图象关于 x0 对称，f（x）是奇函数，f（x）在 R 上是增函数，g（x） 的值域是1，0，1 A1 B2 C3 D4 【分析】利用特殊值判断函数的奇偶性，判断；奇偶性的定义判断；复合函数的单 调性判断；求出值域判断即可 解：根据题意知， ， ， g（1）g（1），g（1）g（1）， 函数 g（x）既不是
20、奇函数也不是偶函数，错误； ，f（x）是奇函数，正确； 由复合函数的单调性知 在 R 上是增函数，正确； ex0，1+ex 1， ， g（x）f（x）1，0，错误 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的奇偶性以及函数的对称性，函数的值域的 求法，是函数的性质的应用与基本知识的考查 9函数 的导函数为 f（x），集合 ， ， ， ，中有且仅有 1 个元素，则 的取值范围是（ ） A ， ， B ， ， ， C ， ， ， D ， ， ， 【分析】由题意知：函数 f（x）图象在 ， 内有且仅有一条对称轴，求出对称轴方程 后，结合范围即可求解 解：由题意知：函数 f（x）图象在 ， 内有
21、且仅有一条对称轴， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的灵活利用，属于中档试题 10已知过抛物线 C：y24x 焦点 F 的直线交抛物线 C 于 P，Q 两点，交圆 x2+y22x0 于 M，N 两点，其中 P，M 位于第一象限，则 的值不可能为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】设|PF|m，|QF|n，则|PM|m1，|QN|n1推出 m+nmn，化简所求表 达式，利用基本不等式转化求解即可 解：作图如右图所示：设|PF|m，|QF|n，则|PM|m1，|QN|n1 y24x，p2，根据抛物线的常用结论有 ， ，则 m+nmn，（
22、m1） （n1）mn（m+n）+11 ， ， 9m+n106，即 ， 则 的值不可能为 5 故选：D 【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以 及计算能力，是中档题 11已知函数 f（x） ， ， ，函数 g（x）f（x）3 xm（mR）的四 个零点从小到大依次为 x1，x2，x3，x4，对满足条件的任意一组零点，下列判断中一定成 立的是（ ） Ae2x3x4（2e1）2 B0（2ex3）（2ex4）1 Cx1+x22 D1x1x2e2 【分析】函数 g（x）的零点可转化为方程 f（x）3x+m 的根，进一步转化为函数 yf （x）与 y3x+m 图象的交点
23、的横坐标利用数形结合判断 x1，x2，x3，x4，的范围，然 后转化推出选项的正误即可 解：函数 g（x）的零点可转化为方程 f（x）3x+m 的根， 进一步转化为函数 yf（x）与 y3x+m 图象的交点的横坐标 作图如下： 由图象可得 0x11x2ex32e1x42e， 故 lnx1lnx2ln（x1x2）00x1x21，所以 D 错 若 x1+x22，不妨设 ， ， 但 ，所以 C 错误 因为|ln（2ex3）|ln（2ex4）|，所以 ln（2ex3）ln（2ex4）， 即 ln（2ex3）+ln（2ex4）0，（2ex3）（2ex4）1，B 错 因为 4e22e（x3+x4）+x3x
24、41， ， 所以 ，所以 故选：A 【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档 题 12已知数列an： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的前 n 项和 为 Sn， 正整数 n1， n2 满足： ， n2是满足不等式 Sn1019 的最小正整数， 则 n1+n2（ ） A6182 B6183 C6184 D6185 【分析】先找到数列an的规律为：分母为 2k的项有 2k1 项，再分别对求出满足 条件的 n1与 n2即可 解：由题意可知，数列an的规律为：分母为 2k的项有 2k1 项将数列an中的项排成 杨辉三角数阵， 且使得第 k 行每项的分
25、母为 2k，该行有 2k1 项，如下所示： 对于， 位于数阵第 11 行最后一项，对应于数列an的项数为 ，n14083； 对于，数阵中第 k 行各项之和为 bk， 则 ， 且数列bk的前 k 项之和 ， ， 而 ， 故恰好满足 Sn1019 的项 an位于第 11 行 假设 an位于第 m 项，则有 ， 可得出 m（m+1）4096 由于 64634032，64454160， 则 636440966465，m64 因为前 10 行最后一项位于an的第 项， 因此， 满足 Sn1019 的最小正整数 n22036+642100， 所以 n1+n24083+21006183 故选：B 【点评】本
26、题主要考查等差、等比数列的求和，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案写在答题卡的相应位置 13当实数 x，y 满足不等式组 时，恒有 a（x+1）2y，则实数 a 的取值范围是 8，+） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可 解：不等式组对应的可行域为图中的阴影区域 由题可得 ， 表示平面区域内的点（x，y）与点 B（1，0）连线的斜率 当（x，y）取点 A（0，4）时， 的最大值为 ，所以 a8 故答案为：8，+） 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何 意义是解题的关键 14已知
27、非零向量 ， 夹角为 ， ，对任意 xR，有 ，则 【分析】将式子平方后整理得到 ，进而得到 ，代入计算即可 解：将 两边平方， 可得 对任意 x 成立 则 ，化简可得（ 2 ）20， 所以 ，则 因为非零向量 ， 夹角为 ， ， 所以 ，所以 ， 所以 故答案为： 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数恒成立问题，属于中档题 15双曲线 ： ， 上一点 P，过双曲线中心 O 的直线交双曲线于 A、 B两不同 （点A， B异于点P） 设直线PA、 PB的斜率分别为k1 、 k 2， 当 最小时，双曲线的离心率为 2 【分析】设 P，A 的坐标由题意可得 B 的坐标与 A 的坐标的关
28、系，将 P，A 的坐标代入双 曲线的方程， 两式相减得 ， 求出直线 PA， PB 的斜率之积可得即 k 1k2 ， 令 tk1k2， 设函数 ， 求导可得函数的单调性， 可得 y 最小时 k1k2的值， 进而求出离心率 解：设 P（x，y），A（x1，y1），B（x1，y1），显然 xx1，xx1 点 A，P 在双曲线上， ， 两式相减得 ， ， 设 tk1k2，则 ， 求导得 在（0，3）单调递减，在（3，+）单调递增， 当 t3 时， 取最小值， 此时 故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的性质及换元法，求导得函数的单调性，属于中档题 16在三棱锥 ABCD 中，已知 ADBC，AD8，
29、BC2，AB+BDAC+CD10，则三棱锥 ABCD 体积的最大值是 【分析】 由题意画出图形， 过 BC 作与 AD 垂直的平面， 交 AD 于 E， 过 E 作 BC 的垂线， 垂足为F， 由已知可得三棱锥 DABC 的体积 ， 可知 EF 取最大值时， 三棱锥 DABC 的体积也取最大值 由 已知可得 B，C 都在以 A，D 为焦点的椭圆上结合平面 BCE 与线 AD 垂直，得到三角 形 BCE 为等腰三角形，再由 BC2 为定值，可知 BE 取最大值时，三棱锥 DABC 的体 积也取最大值再由椭圆得到 B 在以 AD 为焦点的椭圆上，求出 a 与 c 的值，即可求得 BE 的最大值 b
30、，得到 EF，则三棱锥 DABC 的体积的最大值可求 解：过 BC 作与 AD 垂直的平面，交 AD 于 E，过 E 作 BC 的垂线，垂足为 F， 如图所示： BC2，AD8，则三棱锥 DABC 的体积为： ， 故 EF 取最大值时，三棱锥 DABC 的体积也取最大值 由 AB+BDAC+CD108， 可得 B，C 都在以 A，D 为焦点的椭圆上 平面 BCE 与线 AD 垂直， 三角形 ADB 与三角形 ADC 全等，即三角形 BCE 为等腰三角形， 又 BC2 为定值，BE 取最大值时，三棱锥 DABC 的体积也取最大值 在ABD 中，动点 B 到 A，D 两点的距离和为 10， B 在
31、以 AD 为焦点的椭圆上（长轴、焦距分别为 2a、2c）， 此时 a5，c4， 故 BE 的最大值为 ， 此时 ， 故三棱锥 DABC 的体积的最大值是 故答案为： 【点评】本题考查多面体体积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间想 象能力、逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共计 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或者步 骤 17如图，菱形 ABCD 的边长为 12，BAD60，AC 与 BD 交于 O 点将菱形 ABCD 沿 对角线 AC 折起，得到三棱锥 BACD，点 M 是棱 BC 的中点，DM6 （1）求证：BCOD； （2）求二面
32、角 MADC 的余弦值 【分析】（1）由四边形 ABCD 是菱形，可得 ODAC，由勾股定理可得 DOOM，进 而可证 DO面 ABC，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面 MAD 及平面 ACD 的法向量，利用向量公式即可得 解 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是菱形， ADDC，ODAC 在ADC 中，ADDC12，ADC120， OD6又 M 是 BC 中点， ， OD2+OM2MD2，DOOM 又 OM，AC面 ABC，OMACO， DO面 ABC 又BC平面 ABC，BCOD 解：（2）由题意，ODOC，OBOC， 又由（1）知 OBOD， 故以 O 为坐标原点，分别
33、以 ， ， 方向为 x、y、z 轴正向建立空间直角坐标系， 由条件易知 D（6，0，0）， ， ， ， ， ， ， 故 ， ， ， ， ， 设平面 MAD 的法向量 ， ， ，则 ， ， 即 ， ，令 ， 则 x3，z9， ， ， 由条件易证 OB平面 ACD，故取其法向量为 ， ， 所以 ， ， 由图知二面角 MADC 为锐二面角，故其余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面 角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 18 如图， 在ABC 中， C ， ABC 的角平分线 BD 交 AC 于 D， 设CBD， 且 sin （1）求 值
34、； （2）若 SABC14，求ABC 的周长 【分析】（1）由 结合二倍角公式得到 sinABC 和 cosABC，从而得到 sinA 的值，再利用正弦定理即可算出结果； （2）在ABC 中利用正弦定理结合ABC 的面积，可得 BC，AC，AB 的值，即可求出 ABC 的周长 解：（1） ，且 为三角形内角的一半， ， ， ， ， ， （2）由正弦定理得 ，即 ， 所以 ， 又 ， 所以 由得 ，BC7， 又由 ，得 ，所以 AB5， 所以ABC 的周长 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，是中档题 19冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急
35、性 呼吸综合征（SARS）等较严重疾病出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是从未在 人体中发现的冠状病毒新毒株 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、 发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、 肾衰竭，甚至死亡某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标 A现从采集的血 液样品中抽取 500 份检测指标 A 的值，由测量结果得如图频率分布直方图： （1）求这 500 份血液样品指标 A 值的平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中 点值作代表，记作 xi（i1，2，7）； （2）由频率分布直方图可以认为，这项指标 A 的值 X 服从正态
36、分布 N（，2），其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2在统计学中，把发生概率小于 3的事件 称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）该医院非常关注本院医 生健康状况，随机抽取 20 名医生，独立的检测血液中指标 A 的值，结果发现 4 名医生血 液中指标 A 的值大于正常值 20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并 说明理由 附：参考数据与公式： ，3.46 ；若 xN（，2）， 则P（x+）0.6826；P（2x+2）0.9545；P（3 x+3）0.9973.0.158740.006，0.158760.000016，0.8413140.0890，
37、0.841316 0.0630 【分析】（1）求出 17.4，从而 （2）由 XN（17.4，6.92），20.03+， 随机抽取 20 名医生独立检测血液中指标 A 的值，就相当于进行了 20 次独立重 复试验，记“20 名医生中出现 4 名医生血液中指标 A 的值大于正常值 20.03”为事件 B， 利用二项分布能求出从血液中指标 A 的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的 解：（1） ， （2）由题意知：XN（17.4，6.92），20.03+， 随机抽取 20 名医生独立检测血液中指标 A 的值，就相当于进行了 20 次独立重复试验， 记“20 名医生中出现 4 名医生血液中指标 A
38、 的值大于正常值 20.03”为事件 B， 则 48450.00060.06300.1831413%， 所以从血液中指标 A 的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的 【点评】本题考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 20在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 ： 的左、右顶点分别为 A、B， 右焦点为 F，且点 F 满足 ，由椭圆 C 的四个顶点围成的四边形面积为 过 点 T（t，m）的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 M（x1，y1），N（x2，y2），其中 m 0，y10，y20 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 当 T
39、 在直线 x3a 时， 直线 MN 是否过 x 轴上的一定点？若是， 求出该定点的坐标； 若不是，请说明理由 【分析】（1）通过 知 a+c5（ac）结合椭圆 C 的四个顶点围成的四边形面 积为 ，求出 a，b，即可得到椭圆方程 （2）可知 t9，直线 AT 的方程为 ，直线 BT 的方程为 点 M（x1，y1）满足 ， （x13），点 N（x2，y2）满足 ， （x2 3），推出 M、N 坐标，通过 x1x2，求出 m，此时直线 MN 的方程为 x1，过点 D （1，0）；推出 kMDkND，说明结果即可 解：（1）由 知 a+c5（ac）， ， 由椭圆 C 的四个顶点围成的四边形面积为 ，
40、 又有 a2+b2c2，解得 a3， ， 所以椭圆 C 的标准方程为 （2）可知 t9，直线 AT 的方程为 ， 直线 BT 的方程为 点 M（x1，y1）满足 ， （x1 3） ， 点 N（x2，y2）满足 ， （x2 3） ， 若 x1x2，则 且 m0，得 ， 此时直线 MN 的方程为 x1，过点 D（1，0）； 若 x1x2，则 ，直线 MD 的斜率 ， 直线 MD 的斜率为 ， 所在 kMDkND，所以直线 MN 过点 D（1，0）， 因此直线 MN 必过 x 轴上一定点 D（1，0） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思 想以及计算能力，是难
41、题 21已知 f（x）ex，g（x） （1）当 x0 时，证明：f（x）g（x）； （2） 已知点 A （x， f （x） ） ， 点 B （sinx， cosx） ， O 为坐标原点， 函数 h （x） ， 请判断： 当 ， 时 h（x）的零点个数 【分析】（1）问题等价于证明 ，令 ， 根据函数的单调性证明即可； （2）求出函数 h（x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论 x 的范围，求出函数的单调 区间，判断函数的零点个数即可 【解答】证明：（1）f（x）g（x）等价于证明 令 ， 则 令 ，则 ， 由 G（x）0，得 ； 由 G（x）0，得 ， G（x）在 ， 递减，在 ， 递增， ，
42、 在（0，+）上恒成立 （x）在（0，1）递减，在（1，+）递增， ， f（x）g（x） 解：（2）点 A（x，f（x），点 B（sinx，cosx）， ， h（x）（ex+1）sinx+（xex）cosx 当 ， 时，可知 exx， 即 xex0，又 sinx0，cosx0， h（x）0，h（x）在 ， 单调递减 又h（0）1， h（x）在 ， 上有一个零点 当 ， 时，cosxsinx0，e xx0， excosxxsinx，h（x）xsinxexcosx0 恒成立， h（x）在 ， 上无零点 当 ， 时，0cosxsinx， h（x）（xcosx+sinx）+ex（sinxcosx）0
43、h（x）在 ， 上单调递增 又 ， ， h（x）在 ， 上存在一个零点 当 ， ，sinx0，cos0， h（x）xsinxexcosx0 恒成立， h（x）在 ， 无零点 综上，h（x）在 ， 上零点个数为 2 【点评】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 一、选择题 22已知曲线 C 的极坐标方程是 1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，曲线 C 经过伸缩变换 ， 得到曲线 E，直线 ： （t 为参数） 与曲线 E 交于 A，B 两点 （1）设曲线 C 上任一点为 M（x，y），求 x3y 的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得
