1、我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长六尺，斩本一尺， 重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 6 尺，一头粗， 一头细，在最粗的一端截下 1 尺，重 5 斤；在最细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问金杖重 多少斤？” （设该金杖由粗到细是均匀变化的） （ ） A21 B18 C15 D12 5 （5 分）已知 sin+cos，则 sincos（ ） A B C D 6 （5 分）在ABC 中，A60，AB1，AC2，若，R， 且1，则 的值为（ ） A B1 C D 7 （5 分）对于任意向量，下列关系中恒成立的是（ ） 第 2 页（共 20 页）
2、A B C D 8 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB2，BC1，点 E 为 BC 的中点，点 F 在线段 DC 上若 ，且点 P 在直线 AC 上，则（ ） A B C D3 9 （5 分）cos2（x+）+sin2（x）（ ） A1 B1sin2x C1cos2x D1 10 （5 分）已知 ， 为锐角，tan，则 tan（ ） A2 B C D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，选对但不全的
3、得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分） 函数的图象为 C， 如下结论正确的是 （ ） Af（x）的最小正周期为 B对任意的 xR，都有 Cf（x）在上是增函数 D由 y2sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C 12 （ 4 分 ） 已 知 平 面 向 量满 足， 若， 则 的值可能为（ ） A2 B C0 D 13 （4 分） 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题， 数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中 在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c 求面积的公式
4、，这与古希腊的海 伦公式完成等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜 幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文字写成公 第 3 页（共 20 页） 式，即， 现有ABC满足 ， 且ABC 的面积， 请运用上述公式判断 下列命题正确的是（ ） AABC 周长为 BABC 三个内角 A，C，B 成等差数列 CABC 外接圆直径为 DABC 中线 CD 的长为 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分） 已知向量，若 ，则 15 （4 分）已知函数的周期为，若将其图
5、象沿 x 轴向右 平移 a 个单位 a0，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为 ； 16 （4 分）已知为单位向量，且 ，若 2 ，则 cos ， ； 17 （4 分）已知函数 f（x）cos2x1， （0，xR） ，若 f（x）在区间 （，）内单调递增，且函数 yf（x）的图象关于（，1）对称，则函数 yf（x） 的最大值为 ， 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （12 分）已知数列an为等比数列，且 （1）求公比 q 和 a3的值； （2）若an的前 n 项和
6、为 Sn，求证：a1，Sn+1，a2n1成等比数列 19 （4 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC，ABD 的面积与ADC 面积比为 （1）求； （2）若三边 c，b，a 成等差数列，求角 A 20 （14 分）在锐角三角形ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 第 4 页（共 20 页） （1）求 A； （2）求的取值范围 21 （14 分）设 （I）求 f（x）的周期及 yf（x）图象的对称轴方程； （II）讨论 f（x）在上的单调性及最值 22 （14 分）已知an是各项为正数的等差数列，公差为 d，对任
7、意的 nN*，bn是 an和 an+1 的等比中项 （1）设，求证：cn是等差数列； （2）若， （）求数列的前 2n 项和 S2n； （）求数列dn的前 n 项和 Tn 23 （14 分）平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数 n，均有，则 称此“向量列”为“等差向量列” ， 称为“公差向量” ；平面内的“向量列”，如 果且对于任意的正整数 n，均有，则称此“向量列”为“等 比向量列” ，常数 q 称为“公比” （1）若“向量列”是“等比向量列” ，用和“公比”q 表示； （2）若是“等差向量列” ， “公差向量” 是“等比向量列” ， “公比” 第 5 页（共 20 页） 2019-20
8、20 学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题： （本大题共选择题： （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知向量，若向量夹角为，则 m（ ） A B C0 D 【分析】由题意利用两个向量数量积的定义和公式，求得 m 的值 【解答】解：向量，若向量夹角为， m+| | |cos2， 求得 m， 故选：A 【点评】本题主要考查两个向量数
9、量积的定义和公式，属于基础题 2 （5 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则（ ） A B C D 【分析】根据题意，再结合，进行替换即可 【解答】解：由题可知， 则+ （） + （） ， 故选：B 第 6 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题 3 （5 分）在平面直角坐标系中，角 的始边与 x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点 ，则 sin2（ ） A B C D 【分析】利用三角函数的定义，结合角的二倍角的正弦函数公式即可求解 【解答】解：由题意，cos，sin， 可得 sin22sincos
10、2 故选：A 【点评】本题考查三角函数的定义，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查学生的计算能力，比较基础 4 （5 分）我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长六尺，斩本一尺， 重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 6 尺，一头粗， 一头细，在最粗的一端截下 1 尺，重 5 斤；在最细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问金杖重 多少斤？” （设该金杖由粗到细是均匀变化的） （ ） A21 B18 C15 D12 【分析】根据题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，利用等差数列前 n 项和公式 即可 【解答】解：依题意，金箠由粗到细各尺
11、构成一个等差数列， 设首项 a15，则 a62， 由等差数列前 n 项和公式得 S， 所以金杖重 21 斤 故选：A 【点评】考查等差数列前 n 项和公式，基础题 第 7 页（共 20 页） 5 （5 分）已知 sin+cos，则 sincos（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果 【解答】解：已知 sin+cos， 所以，整理得， 由于，故 sincos， 所以 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变 换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 6 （5 分）在ABC 中
12、，A60，AB1，AC2，若，R， 且1，则 的值为（ ） A B1 C D 【分析】在ABC 中，A60，AB1，AC2，求出，由 1，建立 的关系式，求出即可 【解答】解：在ABC 中，A60，AB1，AC2， 有， 所以， 即， 所以 故选：D 【点评】考查了向量的数量积的运算法则，含参问题即求解，中档题 7 （5 分）对于任意向量，下列关系中恒成立的是（ ） A B 第 8 页（共 20 页） C D 【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得 【解答】解：选项 A，| | | |cos ， |， 又|cos ， |1，| | |恒成立；故 A 错误； 选项 B，由三角形的三边关
13、系和向量的几何意义可得| | | |；故 B 错误； 选项 C，由向量数量积的运算可得（ ） （ + ）| |2；故 C 恒成立，C 正 确； 选项 D，由向量数量积的运算可得，+2 ， 而故 D 不恒成立，D 错误 故选：C 【点评】本题考查平面向量的数量积，属中档题 8 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB2，BC1，点 E 为 BC 的中点，点 F 在线段 DC 上若 ，且点 P 在直线 AC 上，则（ ） A B C D3 【分析】建立直角坐标系，则 C（1，0） ，A（0，2） ，D（1，2） ，E（，0） ，设 F（1， x） ，利用坐标法求出 x 和 ，代入即可 【解答】解：建立
14、如图的直角坐标系，则 C（1，0） ，A（0，2） ，D（1，2） ，E（，0） ， 设 F（1，x） ， 因为点 P 在直线 AC 上，设， 第 9 页（共 20 页） 则，得（，2）+（1，x2）（1，2） ， 所以，x42，得 x1， 所以（，1） （）， 故选：B 【点评】考查了向量的坐标的应用，点共线定理，解方程组，中档题 9 （5 分）cos2（x+）+sin2（x）（ ） A1 B1sin2x C1cos2x D1 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用求出结果 【解答】解：cos2（x+）+sin2（x）2cos2（x+）1+cos（2x+）1 sin2x 故
15、选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）已知 ， 为锐角，tan，则 tan（ ） A2 B C D 【分析】由已知结合同角基本关系可求 sin（+） ，tan（+） ，然后再由 tantan+ ，代入即可求解 【解答】解：， 为锐角，tan， 0+， sin（+），tan（+）2， 则 tantan+2 故选：A 【点评】本题主要考查了同角基本关系及两角差的正切公式的简单应用，解题的关键是 tantan+的应用 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，
16、每小题 4 分，共分，共 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 第 10 页（共 20 页） 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （4 分） 函数的图象为 C， 如下结论正确的是 （ ） Af（x）的最小正周期为 B对任意的 xR，都有 Cf（x）在上是增函数 D由 y2sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C 【分析】利用倍角公式，结合辅助角公式进行化简，利用三角函数的周期性，对称性， 单调性以及三角函数图象变换关系分别进行判断即可 【解
17、答】解：f（x）sin2x（cos2xsin2x）sin2xcos2x2sin（2x） ， A，f（x）的最小正周期为 T，故 A 正确； B，f（）2sin（2）2sin00，即函数关于（，0）对称， 即对任意的 xR，都有 f（x+）+f（x）0 成立，故 B 正确； C，当 x（，） ，则 2x（，） ，2x（0，） ，此时函数为增函数， 即 f（x）在（，）上是增函数正确，故 C 正确； D， 由 y2sin2x 的图象向右平移个单位长度得到 y2sin2 （x） 2sin （2x） ， 故 D 错误， 故正确的是 A，B，C， 故选：ABC 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三
18、角函数的化简，以及三角函数周期性， 单调性，对称性以及图象变换关系，属于中档题 12 （ 4 分 ） 已 知 平 面 向 量满 足， 若， 则 的值可能为（ ） A2 B C0 D 【分析】利用，求出的模，设出的夹角，利用数 量积的运算，求的范围，得出结论 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：，则 cos， 所以， 则1+cosa，其中 a 为 与的夹角，且 a0， 因为 cosa1，1，所以 cosa12，0， 故选：ACD 【点评】这是一道向量的多选题，新高考中将会出现的题型，考查了数量积的运算，夹 角公式及其范围等，中档题 13 （4 分） 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶
19、的著作，全书十八卷共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题， 数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中 在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海 伦公式完成等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜 幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文字写成公 式，即， 现有ABC满足 ， 且ABC 的面积， 请运用上述公式判断 下列命题正确的是（ ） AABC 周长为 BABC 三个内角 A，C，B 成等差数列 CABC 外接圆直径为 DABC 中线 CD 的长为 【分析】对于选项 A，由正弦定理得三
20、角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可 求出周长； 对于选项 B，根据余弦定理可求得 cosC 的值为，可得 C，故ABC 三个内角 A， C，B 成等差数列； 对于选项 C， 由正弦定理可得， ABC 外接圆直径 2R； 根据 cosB 第 12 页（共 20 页） 可求得 sinB，由可得 2R 的值； 对于选项 D，在BCD 中，由余弦定理即可解得 【解答】解：sinA：sinB：sinC2：3：，则 a：b：c2：3：， 设 a2k，b3k，ck；k0， ABC 面积为 6， ， 6 解得 k2，a4，b6，c2， 所以 a+b+c10+2，故 A 正确； 对于 B，因为 cosC
21、故角 C；假设角 A，C， B 成等差数列，Axd，Cx，Bx+d，A+B+C，C；选项 B 正确； 对于 C，由正弦定理知，ABC 外接圆直径 2R； 由 cosB，得 sinB；2R；故选项 C 正确； 对于 D，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，BDAD，BC4，cosB， 在BCD 中，CD2BC2+BD22BCBDcosB16+2419； 故ABC 中线 CD 的长为，CD，故选项 D 错误； 故选：ABC 【点评】本题考查了数学文化，正弦定理，余弦定理，三角形面积计算，属于中档题 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16
22、 分分 14 （4 分）已知向量，若，则 【分析】根据平面向量共线定理求出 cosx 与 sinx 的关系，再由 sin2x+cos2x1 求出 cos2x 的值，即可计算 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：向量， 若 ，则cosx（1） sinx0， sinxcosx； 又 sin2x+cos2x1， cos2x+cos2x1， 解得 cos2x， 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 15 （4 分）已知函数的周期为，若将其图象沿 x 轴向右 平移 a 个单位 a0，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为 ； 【分析】由题意
23、利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性， 求得实数 a 的最小值 【解答】解：函数 f（x）sin2xcos2x 的周期为 ，2，f（x）cos4x 若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 a0，可得 ycos（4x4a） 的图象， 所得图象关于原点对称，则4ak+，kZ 当 k1 时，实数 a 取得最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称 性，属于基础题 16 （4 分）已知为单位向量，且 ，若 2 ，则 cos ， ； 【分析】要求 cos ， ，先求出 2 的模， 的数量积，代入夹角公式即可 第
24、 14 页（共 20 页） 【解答】解；已知为单位向量，且 ，若 2 ， （2 ）2， 故则 cos ， ， 故答案为： 【点评】考查了向量的数量积的运算，夹角公式，及其向量模的运算，基础题 17 （4 分）已知函数 f（x）cos2x1， （0，xR） ，若 f（x）在区间 （，）内单调递增，且函数 yf（x）的图象关于（，1）对称，则函数 yf（x） 的最大值为 1 ， 【分析】由题意根据正弦函数的单调性求出 的范围，再根据正弦函数的图象的对称性 求出 的值，可得函数的解析式，从而求得它的最大值 【解答】解：函数 f（x）cos2x12sin（2x）1， （0， xR） ， 若 f（x）在
25、区间（，）内，x（2，2） ，函数 f（x）单调递 增， 2，2，0 且函数 yf（x）的图象关于（，1）对称，2sin（2）11，即 sin （2）0， 2k，kZ，故 f（x）2sin（x）1， 则函数 yf（x）的最大值为 1， 故答案为：1； 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （12 分）已知数列an为等比数列，且 （1）求公比 q 和 a3的值； 第 15 页（共 20 页） （2）若an
26、的前 n 项和为 Sn，求证：a1，Sn+1，a2n1成等比数列 【分析】 （1）通过，以及两式相除得：， 然后求解 a1，a2，a3的值 （2）求出 a1，Sn+1，a2n1，利用等比中项证明 a1，Sn+1，a2n1成等比数列 【解答】解： （1）， ， 两式相除得：， ， a1qa1， 可得，a2a1，a2， a3a2， （2）证明：数列an为等比数列，an， ， ， ， ， a1，Sn+1，a2n1成等比数列 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式以及等比数列的求和 公式，考查计算能力，是中档题 19 （4 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边
27、，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC，ABD 的面积与ADC 面积比为 （1）求； （2）若三边 c，b，a 成等差数列，求角 A 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （1）由角平分线的性质及三角形面积公式可求 c：b 的值，进而根据正弦定理即 可求解 （2）由（1）根据等差数列的性质可求 c：b：a3：5：7，设 c3x，b5x，a7x， （x 0） ，由余弦定理得 cosA 的值，结合范围 A（0，） ，可求 A 的值 【解答】解： （1）由已知及三角形面积公式可得：， 由正弦定理得 （2）c，b，a 成等差数列，且 c：b3：5， 可求 c：b：a3：5：7， 不妨设 c3x，
28、b5x，a7x， （x0） ， 由余弦定理得：， A（0，） ， 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积公式，正弦定理，等差数列的性 质，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 20 （14 分）在锐角三角形ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 （1）求 A； （2）求的取值范围 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求 （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围 30 第 17 页（共 20 页） C90，利用正切函数的性质可求其范围 【解答】解： （1）由正弦定理得：， 化简得：2sin
29、CcosAsinBcosAsinAcosB，可得 2sinCcosAsinC， 可得， 可得 （2）由正弦定理得：， 因为ABC 为锐角三角形， 所以 30C90， 所以，可得， 可得， 可得 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正切函数的性质在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想，属于中档题 21 （14 分）设 （I）求 f（x）的周期及 yf（x）图象的对称轴方程； （II）讨论 f（x）在上的单调性及最值 【分析】 （I）结合诱导公式，和差角公式及辅助角公式对已知函数化简可得，f（x） ，然后结合正弦函数的性质可求； （II） 由可得，
30、然后结合正弦函数的性质可求 【解答】解： （I）， ， ， ， ， 第 18 页（共 20 页） 令，解得， 周期为 ，对称轴方程为，kZ， （II）， 令，解得， f（x）在上的减区间为，增区间为， 最小值为；最大值为 【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，及正弦函 数的性质的综合应用 22 （14 分）已知an是各项为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN*，bn是 an和 an+1 的等比中项 （1）设，求证：cn是等差数列； （2）若， （）求数列的前 2n 项和 S2n； （）求数列dn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）通过 bn是 an和 an
31、+1的等比中项，结合，推出cn 是等差数列 （2）c1+c3+c2n1 （）知 cn2n+1，数列的前 2n 项和 S2n；利用等差数列求和公式求解即 可 （）因为 cn2n+1，利用裂项消项法求解数列的和即可 【解答】解： （1）证明：bn是 an和 an+1的等比中项， ， an+1 （an+2an）2dan+1， 第 19 页（共 20 页） cn+12dan+2， ，nN*， 所以cn是等差数列 （2）由（1）可得 c1+c3+c2n1 （）知 cn2n+1，数列的前 2n 项和 S2n； S2nc1+c3+c2n1 （）因为 cn2n+1， ， 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用
32、，数列求和的方法，考查转化思想以及计算 能力，是中档题 23 （14 分）平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数 n，均有，则 称此“向量列”为“等差向量列” ， 称为“公差向量” ；平面内的“向量列”，如 果且对于任意的正整数 n，均有，则称此“向量列”为“等 比向量列” ，常数 q 称为“公比” （1）若“向量列”是“等比向量列” ，用和“公比”q 表示； （2）若是“等差向量列” ， “公差向量” 是“等比向量列” ， “公比” 【分析】 （1）与等比数列和等差数列类比，得到数列的通项公式，和前 n 项和； （2）利 用错位相减法，求出即可 第 20 页（共 20 页） 【解答】解： （1）， （2），即， ，即， ， 令， ， 两 式 相 减 得 ： ， 【点评】考查数列的新定义，把数列和向量结合起来考查，求通项公式和前 n 项和，还 用了错位相减法，中档题
