1、 数学卷 第 1 页（共 4 页） I 1 While I 1，令 ln ( )1 1 xx f xx x ， 则 2 1ln ( ) (1) xx fx x ， 12 分 易证1 ln0xx ，故( )0fx在1 ，上恒成立. 所以( )f x在1 ，上单调递增， 因为 12 1 nn nn ，所以 12 ()() +1 nn ff nn . 所以所证不等式成立. 16 分 20 （本小题满分 16 分） 【解解】 （1）因为函数 2 ( )(1)f xaxa x 在(0)，上单调递减， 数学参考答案与评分细则 第 7 页（共 12 页） 所以 0 1 0 2 a a a ， ， 解得1a.
2、 因为 21 ( )ln 2 g xxxaxx在(0)，上单调递减， 所以( )ln110g xxax 在(0)，上恒成立， 即ln0xax在(0)，上恒成立， 所以 lnx a x 在(0)，上恒成立. 2 分 令 ln ( ) x t x x ，则 2 1ln ( ) x t x x ，令( )0t x，得ex ， 当0 ex，时，( )0t x，( )t x单调递增； 当e +x，时，( )0t x，( )t x单调递减， 所以 max 1 ( ) e t x，所以 1 e a. 故实数 a 的取值范围为1 ，. 4 分 （2）因为( )lng xxax，所以 11 ( ) ax gxa
3、 xx . 当( e 0a ，时，0 e)a ， 所以 11 ( )0 ax gxa xx 恒成立， 所以( )lng xxax在（0，+）上单调递增. 因为 1e (1)( )10 eee aa gag 0， 所以 0 1 1 e x ，使得 0 ()0g x.，即 00 ln0xax. 所以当 0 0xx时，( )0g x，( )g x单调递减； 当 0 xx时，( )0g x，( )g x单调递增. 从而 2 000 min00000 ln ( )()ln 22 axxx mg xg xxxxx. 8 分 令 ln1 ( )1 2e xx xx x ，则 ln1 ( )0 2 x x .
4、 数学参考答案与评分细则 第 8 页（共 12 页） 所以 ln ( ) 2 xx xx在11 e ，单调递减， 因此( )(1)1x， 13 ( )( ) e2e x . 所以 3 1 2e m . 10 分 （3） 因为 2 ( )(1)f xaxa x， 21 ( )ln 2 g xxxaxx， 所以 2 ( )( )( )2ln(1)ln11 2lnh xg xf xxaxaxxaxx ， 即 2 ( )lnh xaxxx. 所以 2 121 ( )21 axx h xax xx ， 当0a时，( )0h x在(0)，上恒成立，则 h(x)在(0)，上单调递减， 故 h(x)不可能有两
5、个不同的零点. 12 分 当0a 时， 2 2 ln ( ) xx h xxa x ，令 2 ln ( ) xx F xa x ， 则函数( )h x与函数( )F x零点相同. 因为 3 12ln ( ) xx F x x ，令( )12lnG xxx ， 则 2 ( )10G x x 在(0)，上恒成立，因为(1)0G，则 x (0 1)， 1 (1)， ( )F x - 0 + ( )F x 递减 极小值 递增 所以( )F x的极小值为(1)1Fa， 所以要使( )F x由两个不同零点，则必须(1)10Fa ， 所以 a 的取值范围为0 1，. 14 分 因为(1)0F， 1 ( )0
6、 e F，又( )F x在0 1，内连续且单调， 所以( )F x在0 1，内有唯一零点. 数学参考答案与评分细则 第 9 页（共 12 页） 又 2 22 22222 ln 2 0 22 a aaaaa Fa a aa ，且 2 1 a ， 又( )F x在1 +，内连续且单调，所以( )F x在1 +，内有唯一零点. 所以满足条件的 a 的取值范围为0 1，. 16 分 21 【选做题】 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 【解】（1）因为 1 1 是矩阵 1 3 a b M的特征值3所对应的一个特征向量， 所以 11 11 M，即 111 3 311 a b ， 所以 1
7、3 33 a b ， ， 解得 2 0 a b ， 所以矩阵 21 30 M 4 分 （2）设曲线 1 C上任一点 00 ()Q xy，在矩阵M的作用下得到曲线 2 C上一点()P x y， 则 0 0 21 30 xx yy ， 所以 00 0 2 3 xyx xy ， ， 解得 0 0 3 2 3 y x yxy ， 因为 2 000 92yxx， 所以 2 2 92 333 yy xy，即曲线 2 C的方程为 2 yx 10 分 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 【解】曲线的直角坐标方程为 22 40xyx， 3 分 数学参考答案与评分细则 第 10 页（共 12
8、 页） 即 22 (2)4xy，圆心(2 0)，半径2r ， 直线l的普通方程为310xy ， 6 分 所以圆心(2 0)，到直线l的距离 1 2 d ， 所以直线l被曲线C截得的线段长度 2 2221 22 215 2 Lrd10 分 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知 x，y，z 是正实数，且=5xyz，求证： 222 210xyz 证明：由柯西不等式得 2 2 2 2222 2 211 2 xyzxyz 6 分 因为=5xyz， 所以 222 5 (2)25 2 xyz， 所以 222 210xyz，当且仅当2abc时取等号 10 分 【必做题】第 22、23 题，
9、每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答 时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 解:（1）设 T 的坐标为, x y，则 B 为, 1x， 因为 A（0，1） ，所以0, 1TBy，, 2ABx 因为2ABABTB，所以20ABABTB， 所以 2 20ABAB TB，所以 2 44 40xy， 即 2 4xy， 所以曲线 C 的方程为 2 4xy 4 分 （2）法一：由题意，直线MN的斜率必存在，设为k 则直线MN的方程为：ykxt， 由 2 4 ykxt xy 可得： 2 440xkxt 设 1122 ,M x yN xy， x y
10、P N1 M N M1 O 数学参考答案与评分细则 第 11 页（共 12 页） 则 2 12 12 16160 4 4 kt xxk xxt 因为 11 90M PN，所以 11 0PMPN 因为 1112 , 1, 1PMxtPNxt 所以 2 12 10x xt，所以 2 410tt 解得：1t 6 分 因为点M关于 y 轴的对称点为Q，所以 1112 ,0Qx yxx 所以 22 21 2121 2121 44 4 QN xx yyxx k xxxx 所以直线NQ的方程为： 21 11 4 xx yyxx 令0x得： 22 211 121112 1 44444 xxxx xxxx x
11、yyt 所以直线NQ过定点，定点坐标为0, t 10 分 （2）法二：设 22 2 ,2 ,Mm mNn nmn， 因为,M N P三点共线，所以 MPNP kk， 所以 22 22 mtnt mn ，化简得：0mntmn 因为mn，所以mnt 由题意： 11 2 , 1 ,2 , 1MmNn，所以 11 2 , 1,2 , 1PMmtPNnt 因为 11 90M PN，所以 11 0PMPN，所以 2 , 12 , 10mtnt， 所以 2 410mnt，所以 2 410tt，解得：1t 6 分 因为点M关于 y 轴的对称点为Q，所以 2 2 ,Qm m0mn 所以 22 222 QN nm
12、nm k nm ， 数学参考答案与评分细则 第 12 页（共 12 页） 所以直线NQ的方程为： 2 2 2 nm ymxm 令0x得： 2 2 2 nmm ymmnt 所以直线NQ过定点，定点坐标为0, t 10 分 23(本小题满分 10 分) 【解析】 （1）证明：| |= n kn aa 1121 |()()()| n kn kn kn knn aaaaaa 1121 | n kn kn kn knn aaaaaa 111 12nknkn k n 3 分 （2）用数学归纳法证明 当1m时，左边0| 22 aa=右边； 当2m时，由（1）得左边| 4424 aaaa 2 22 2 |1
13、2 aa =右边； 设当km 时，结论成立，即有 22 1 (1) | 2 ki k i k k aa ， 5 分 则当1 km时， 1 1 22 | 1 k i ik aa | 22 1 22 1ikkk aaaa k i 1 22 1 | kk k i aa k i ik aa 1 22 | 由（1）得| 22 1kk aa | 222 kkk aa 2 1 2 k k ， 所以 1 22 1 | kk k i aak ， 8 分 所以 1 1 22 | 1 k i ik aa 22 1 | ki k i kaa (1) 2 k k k (1)(1)1 = 2 kk 所以1 km时结论成立 由可知原不等式成立 10 分
