1、 第 1 1 页 2020 年年开封市开封市九年级九年级一摸数学试卷一摸数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分分, ,共共 3030 分）分） 1. 下列四个实数中,最大的是 【 】 （A）2 （B）0 （C） 3 1 （D） 3 2. 某种冠状病毒的直径为 125 纳米,已知 1 米 9 10纳米,则用科学记数法表示这种冠状病毒 的直径为 【 】 （A） 6 1025. 1 米 （B） 7 1025. 1 米 （C） 8 1025. 1 米 （D） 9 1025. 1 米 3. 如图所示,60,45EDFABC,若要使直线EGBC /,则可使直线 EG 绕点 D 逆时针
2、旋转 【 】 （A）15 （B）25 （C）30 （D）105 4. 某电子科技公司招聘本科毕业生,小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为 80 分、90 分、 70分.若依次按照2 : 3 : 5的比例确定成绩,则小林同学的最终成绩为 【 】 （A）80 分 （B）85 分 （C）78 分 （D）82 分 5. 新年伊始,疫情肆虐.面对疫情,万千医者逆行而上,保家卫国,再次铸就新时代的钢铁长城! 某校数学兴趣小组制作了一个小正方体,小正方体的每一个面上各有一个字,组成了“防控就 是责任”.如图所示是这个小正方体的展开图,则“控”字的对面是 【 】 （A）防 （B）是 （C）责 （D）任 6
3、. 下列运算正确的是 【 】 （A）325 aa （B） 1243 aaa （C） 64 2 32 baba （D） 6 3 2 aa 7. 如图所示是数学活动课上制作的两个转盘,甲转盘被均分为三部分,上面分别写着 9 , 8 , 5 三个数字,乙转盘被均分为四部分,上面分别写着1 , 6 , 9 , 8四个数字.同时转动两个转盘,停止 第 3 题图 G F E D C B A 第 5 题图 任任 责责是是就就控控 防防 第 2 2 页 转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被 3 整除的概率是 【 】 （A） 2 1 （B） 3 1 （C） 4 1 （D） 6 1 8. 如图所示,在 RtA
4、BC 中,8, 6,90BCACC.以点 A 为圆心,BC 的长为半径作弧交 AB 于点 D,再分别以点 A、D 为圆心,以 AB、AC 的长为半径作弧交于点 E,连结 AE、DE,若点 F为AE的中点,则DF的长为 【 】 （A）4 （B）5 （C）6 （D）8 9. 已知抛物线02 2 abaxaxy的图象上三个点的坐标分别为 1 , 1 yA , 2 , 2 yB, 3 , 4 yC,则 321 ,yyy的大小关系为 【 】 （A） 213 yyy （B） 123 yyy （C） 312 yyy （D） 132 yyy 10. 如图,指针 OA、OB 分别从与x轴和y轴重合的位置出发,绕
5、着原点 O 顺时针运动,已知 OA每秒转动45,OB的转动速度是OA的 3 1 ,则第2020秒时,OA与OB之间的度数为 【 】 （A）130 （B）145 （C）150 （D）165 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分分, ,共共 1515 分）分） 11. 计算: 2 0 2 1 2_. 第 7 题图 98 61 8 5 9 第 8 题图 F E D C BA x y 第 10 题图 B AO 第 14 题图 F E DC B O A 第 3 3 页 第 15 题图 G F E D C BA 12. 若关于x的一元二次方程kxx42 2 没有实数根,则k的取值范围是_. 1
6、3. 不等式组 092 01 x x 的所有整数解的中位数是_. 14. 如图所示,矩形 ABCD 中,2, 342AEADAB,点 O 为 AB 的中点,以点 O 为圆心,OE 的长为半径画弧交 BC 于点 F,则图中阴影部分的面积为_. 15. 如图所示,在 RtABC 中,8,30,90ABAC, 点 D、E 分别为 AC、BC 的中点,点 F 为 AB 边上一动点, 将A沿着 DF 折叠,点 A 的对应点为点 G,且点 G 始终在 直线 DE 的下方,连结 GE,当GDE 为直角三角形时,线段 AF 的长为_. 三、解答题（共三、解答题（共 7575 分）分） 16.（8 8 分分）先
7、化简,再求值: 44 1 2 3 1 2 aa a a ,其中25 a. 17.（9 9 分分）“停课不停学,学习不延期!”,某市教育局为了解初中学生疫情期间在家学习时对一 些学习方式的喜好情况,通过微信采用电子问卷的方式随机调查了部分学生（电子调查表如 图所示） ,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图,其中选择选项 A 与选项 C 的人数之 和等于选择选项 B 的人数. 第 4 4 页 最喜欢的学习方式-你选哪一项?（单选） A. 观看名校网络直播 B. 观看任课教师网络直播 C. 自学与微课相结合 D. 自学与微信交流相结合 E. 其他 根据以上统计图,解答下列问题: （1）本次接受调
8、查的学生共有_人; （2）求选择选项 B 与选项 C 的人数并补全条形统计图; （3）扇形统计图中,扇形 B 的圆心角的度数是_; （4）若该市约有 16 万初中生,请估计喜欢自学（选择选项 C 或 D）的学生人数. 调查结果扇形统计图调查结果扇形统计图 E 25% D C B A 调查结果条形统计图调查结果条形统计图 人数 选项 40 200 120 280 240 200 160 120 80 40 0 EDC BA 第 5 5 页 18.（9 9 分分）如图所示,以 AB 为直径的半圆 O 分别交ABC 的边 AC、BC 于点 D、E,过点 D 作O 的切线交 BC 于点 F,连结 DE
9、.已知点 D 为弧 AE 的中点. （1）求证:EFCF ; （2）填空: 若6,16BEAB,则AD_; 当四边形 OADE 为菱形时,C的度数为_. 19.（9 9 分分）某数学兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度,其示意图如图所示.小聪同学在旗 杆 AB 的正南方向用高 1 米的侧倾器（1CD米）测得旗杆顶端 A 的仰角为37,在旗杆 AB 的正北方向（点 F、B、D 在同一直线上）2 米高的图书馆台阶上,小颖同学用 1 米高的侧倾 器（3EF米）测得旗杆顶端 A 的仰角为18,又测得5 .58FD米.求旗杆的高度.（结果精 确到 0. 1 米） 4 3 37tan, 5 4 37cos,
10、 5 3 37sin, 3 1 18tan, 10 103 18cos, 10 10 18sin F E D C BA O F E D C B A 37 18 第 6 6 页 20.（9 9 分分）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐,某经销商决定分两次购进甲、乙两种 型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）.第一次用 275 万元购进甲 型号汽车30辆和乙型号汽车20辆;第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25 辆. （1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价; （2） 经销商分别以每辆甲型号汽车 8. 8 万元,每辆乙型号汽车 5. 8 万元的价格销售后,根据销 售
11、情况,决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共 100 辆,且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽 车辆数的2倍,若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变,请你求出获利最大的购买方案,并求 出最大利润. 第 7 7 页 21.（1010 分分）如图所示,矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 分别在y轴和x轴上,对角线 AC、BD 交 于点E,过点C作xCF 轴于点F.已知反比例函数 x k y 的图象经过点E交CF于点G,点A、 B、F 的坐标分别为3 , 0A、0 , 2B、0 , 8F. （1）求反比例函数 x k y 的解析式; （2）在x轴上是否存在点 P,使得GPDP 的值最小,若存在,请求出点 P
12、的坐标;若不存在, 请说明理由. x y G F E D C B A O 第 8 8 页 22. （1010 分分） 如图 1,在正方形 ABCD 中,4AB,点 E 在 AC 上,且2AE,过点 E 作ACEF 于点 E,交 AB 于点 F,连结 CF、DE. 【问题发现问题发现】 （1）线段 DE 与 CF 的数量关系是_,直线 DE 与 CF 所夹锐角的度数是_; 【拓展探究拓展探究】 （2） 当AEF 绕点 A 顺时针旋转时,上述结论是否成立?若成立,请写出结论,并结合图 2 给出 证明;若不成立,请说明理由; 【解决问题解决问题】 （3）在（2）的条件下,当点 E 到直线 AD 的距
13、离为 1 时,请直接写出 CF 的长. 图 1 F E D CB A 图 2 H F E D C B A 第 9 9 页 23.（1111 分分）如图所示,已知二次函数bxaxy 3 1 2 的图象经过点0 , 3A和点4 , 0B, BAO的平分线分别交抛物线和y轴于点 C、D,点 P 为抛物线一动点,过点 P 作x轴的垂线 交直线 AC 于点 E,连结 PC. （1）求二次函数的解析式; （2）当以点 P、C、E 为顶点的三角形与ADO 相似时,求点 P 的坐标; （3）设点 F 为直线 AC 上一点,若ABOBFD 2 1 ,请直接写出点 F 的坐标. x y x y 备用图 O D C
14、 B A O P ED C B A 第 1010 页 20202020 年开封市九年级一摸数学试卷年开封市九年级一摸数学试卷 一、选择题（一、选择题（每小题每小题 3 3 分分, ,共共 3030 分分） 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 答案答案 D B A C B 题号题号 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 答案答案 C D B A C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分分, ,共共 1515 分）分） 11. 3 12. 2k 13. 1. 5 14. 31224 15. 2 或 3 部分选择题、填空题答案解析部分选择题、填空题答案解析 8. 如图,
15、在 RtABC 中, 6,90ACC 8BC.以点 A 为圆心,BC 的长为半径作弧 交 AB 于点 D,再分别以点 A、D 为圆心,以 AB、 AC 的长为半径作弧交于点 E,连结 AE、 DE,若点F为AE的中点,则DF的长为 【 】 （A）4 （B）5 （C）6 （D）8 解析解析: :本题通过尺规作图,考查了两个重要的 知识点: 知识点 1 勾股定理和勾股定理的逆定理 知识点 2 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. . 在 RtABC 中,由勾股定理得: 1086 2222 BCACAB 由尺规作图可知: 6,10, 8ACDE
16、ABAEBCAD 在ADE 中 22222 86AEDEAD ADE 为直角三角形,90ADE 点 F 为 AE 的中点 5 2 1 AEDF. 选择答案【 B 】. 9. 已知抛物线02 2 abaxaxy的图 象 上 三 个 点 的 坐 标 分 别 为 1 , 1 yA , 2 , 2 yB, 3 , 4 yC,则 321 ,yyy的大小关系 为 【 】 （A） 213 yyy （B） 123 yyy （C） 312 yyy （D） 132 yyy 解析解析: :本题考查二次函数的图象和性质.二次 第 8 题图 F E D C BA 第 1111 页 x y 第 10 题图 B AO 函数
17、的性质与其对称轴的位置和抛物线的 开口方向有关. baxaxy2 2 抛物线的对称轴为直线1 2 2 a a x 0a 抛物线的开口向上 当1x时,y随x的增大而增大 点 1 , 1 yA 关于直线1x的对称点 A为: 1 , 3yA 432 213 yyy. 选择答案【 A 】. 10. 如图,指针 OA、OB 分别从与x轴和y轴 重合的位置出发,绕着原点 O 顺时针运动,已 知 OA 每秒转动45,OB 的转动速度是 OA 的 3 1 ,则第 2020 秒时,OA 与 OB 之间的度数 为 【 】 （A）130 （B）145 （C）150 （D）165 解析解析: :本题考查图形的变换与坐
18、标. 指针 OA 转动一周所需的时间为: 845360（s） 425282020 第 2020 秒时,指针 OA 转动到了x轴负半 轴的位置,如下图所示. 指针 OB 转动的速度为每秒15 3 1 45 指针 OB 转动一周所需的时间为: 2415360（s） 484242020 第 2020 秒时,指针 OB 在第一象限内与y 轴的夹角为60,如下图所示. 第 2020 秒时,指针 OA 与指针 OB 之间的 度数为150,选择答案【 C 】. 14. 如图,矩形 ABCD 中, 342 ADAB 2AE,点 O 为 AB 的中点,以点 O 为圆 心,OE 的长为半径画弧交 BC 于点 F,
19、则图中 阴影部分的面积为_. x y B AO 第 14 题图 F E DC B O A 第 1212 页 解析解析: :设弧 EF 与 CD 边交于 G、H 两点,连 结 OG、OH,如图所示,作GHOM . 由题意可知:32 ADOA 在 RtAOE 中 3 3 32 2 tan OA AE AOE 30AOE,42AEOHOGOE 易证:四边形 DMOA 为正方形 32 ADOM 同上可得: 30BOFHOMGOM 120,60EOFGOH GOH 为等边三角形 4OGGH GOHGOH SSS 扇形弓形 324 2 1 3 6 0 460 2 34 3 8 弓形扇形曲五边形 SSS E
20、OFEOFHG 34 3 8 34 3 8 360 4120 2 CHFDEG SS 曲曲 232 2 1 234 3 8 3234 2 AOEEOFHGABCD SSS 曲五边形矩形 38 3 8 24 34 3 8 38 3 8 24 阴影 S 31224. 15. 如 图 所 示 , 在RtABC中 , 8,30,90ABAC, 点 D、E 分别 为 AC、BC 的中点,点 F 为 AB 边上一动点, 将A沿着 DF 折叠,点 A 的对应点为点 G, 且点G始终在直线DE的下方,连结GE,当 GDE 为直角三角形时,线段 AF 的长为 _. 解析解析: :在 RtABC 中 2 3 8
21、30cos AC AB AC 34AC 点 D、E 分别是 AC、BC 的中点 32 2 1 ACAD 30,/ACDEABDE 分为两种情况: 当90GDE时,如图 1 所示. 603090ADG M HG F E DC B O A 第 15 题图 G F E D C BA 第 1313 页 由折叠可知: 30 2 1 ADGADF ADFA DFAF 作ADFH 于点 H 3 2 1 ADAH 在 RtAFH 中 2 33 30cos AFAF AH 2AF; 当90DGE时,如图 2 所示. 易证:DCEDGE 此时点 G 在 AB 边上 30GDECDE 120ADG 由折叠可知: 6
22、0 2 1 ADGADF 90AFD 在 RtADF 中 2 3 32 30cos AF AD AF 3AF. 综上所述,线段 AF 的长为 2 或 3. 三、解答题（共三、解答题（共 7575 分）分） 16.（8 8 分分）先化简,再求值: 44 1 2 3 1 2 aa a a ,其中25 a. 解: 44 1 2 3 1 2 aa a a 1 2 2 1 2 a a a a 2 a 5 分 当25 a时 原式5225. 8 分 17.（9 9 分分）“停课不停学,学习不延期!”,某市 教育局为了解初中学生疫情期间在家学习 时对一些学习方式的喜好情况,通过微信采 用电子问卷的方式随机调查
23、了部分学生 （电 子调查表如图所示） ,并根据调查结果绘制了 如下尚不完整的统计图,其中选择选项 A 与 选项 C 的人数之和等于选择选项 B 的人数. 最喜欢的学习方式-你选哪一项?（单选） A. 观看名校网络直播 B. 观看任课教师网络直播 C. 自学与微课相结合 D. 自学与微信交流相结合 图 1 H G F E D C BA 图 2 G F E D C BA 第 1414 页 E. 其他 根据以上统计图,解答下列问题: （1）本次接受调查的学生共有_ 人; （2）求选择选项 B 与选项 C 的人数并补全 条形统计图; （3）扇形统计图中,扇形 B 的圆心角的度数 是_; （4） 若该市
24、约有 16 万初中生,请估计喜欢自 学（选择选项 C 或 D）的学生人数. 解:（1）800 ; 2 分 提示:800%25200（人）. （2）设选择选项 B 与选项 C 的人数分别为 x人、y人,由题意可得: 40120200800 120 yx xy 解之得: 160 280 y x 选择选项 B 的人数为 280 人,选择选项 C 的人数为 160 人. 补全条形统计图如图所示. 5 分 （3）126;7 分 提示:126 800 280 360. （4）2 . 7 800 200160 16 （万人） 答:估计喜欢自学的学生人数为 7. 2 万人. 9 分 18.（9 9 分分）如图
25、所示,以 AB 为直径的半圆 O 分别交ABC 的边 AC、BC 于点 D、E,过点 D 作O 的切线交 BC 于点 F,连结 DE.已知 点 D 为弧 AE 的中点. 调查结果扇形统计图调查结果扇形统计图 E 25% D C B A 调查结果条形统计图调查结果条形统计图 人数 选项 40 200 120 280 240 200 160 120 80 40 0 EDC BA 160 280 调查结果条形统计图调查结果条形统计图 人数 选项 40 200 120 280 240 200 160 120 80 40 0 EDC BA 第 1515 页 （1）求证:EFCF ; （2）填空: 若6,
26、16BEAB,则AD_; 当四边形 OADE 为菱形时,C的度数为 _. （1）证明:连结 OD、AE、BD. DF 是O 的切线,AB 是O 的直径 90AEBODF 1 分 点 D 是弧 AE 的中点 EBDABD ABDABC2 ABDAOD2 ABCAOD BCOD / 2 分 90ODFBFD 90AEBBFD AEDF / 3 分 OBOA CDAD EFCF ; 5 分 （2）54;7 分 60.9 分 提示:.如上图所示. AB 是O 的直径 90CFDADB 90ABDA CBDABDCBDC,90 CA 16 BCAB 10616CE 由（1）可知:5 2 1 CECF 易
27、证:DCFBAD AD CF BA DC CDAD AD AD5 16 54AD; .若四边形 OADE 为菱形,则ADOA ODOA ADODOA F E D C BA O F E D C BA O F E D C BA O 第 1616 页 AOD 为等边三角形 60A CA 60C. 19.（9 9 分分）某数学兴趣小组要测量校园广场内旗杆的高度,其示意图如图所示.小聪同学在旗 杆 AB 的正南方向用高 1 米的侧倾器（1CD米）测得旗杆顶端 A 的仰角为37,在旗杆 AB 的正北方向（点 F、B、D 在同一直线上）2 米高的图书馆台阶上,小颖同学用 1 米高的侧倾 器（3EF米）测得旗
28、杆顶端 A 的仰角为18,又测得5 .58FD米.求旗杆的高度.（结果精 确到 0. 1 米） 4 3 37tan, 5 4 37cos, 5 3 37sin, 3 1 18tan, 10 103 18cos, 10 10 18sin 解:作ABEG ,EG 的延长线交 AC 于点 H,作ABCM ,作CMHN ,如图所示. 则有3 BGEF米,1 BMCD米,213 NHGM米 CMEH /,37AHG 设xAG 米,在 RtAGH 中, 4 3 37tan GH x GH AG xGH 3 4 米.2 分 在 RtAGE 中, 3 1 18tan GE x GE AG ,xGE3米. 4
29、分 在 RtCNH 中, 4 32 37tan CNCN NH , 3 8 CN米. 6 分 FDCNGHGE,5 .58 3 8 3 4 3xx解之得:9 .12x 7 分 F E D C B A 37 18 N M H G F E D C B A 37 18 第 1717 页 9 .12AG米,9 .15BGAGAB米.8 分 答:旗杆的高度约为15. 9米.9分 20.（9 9 分分）由于新能源汽车越来越受到消费 者的青睐,某经销商决定分两次购进甲、 乙两 种型号的新能源汽车 （两次购进同一种型号 汽车每辆的进价相同） .第一次用 275 万元购 进甲型号汽车 30 辆和乙型号汽车 20
30、 辆;第 二次用 191 万元购进甲型号汽车 14 辆和乙 型号汽车 25 辆. （1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价; （2）经销商分别以每辆甲型号汽车 8. 8 万 元,每辆乙型号汽车 5. 8 万元的价格销售后, 根据销售情况,决定再次购进甲、 乙两种型号 的汽车共 100 辆,且乙型号汽车的辆数不少 于甲型号汽车辆数的 2 倍,若两种型号汽车 每辆的进价与售价均不变,请你求出获利最 大的购买方案,并求出最大利润. 解:（1）设甲、乙两种型号汽车每辆的进价 分别为x万元、y万元,由题意可得: 1912514 2752030 yx yx 2 分 解之得: 4 5 . 6 y x 答:甲型号
31、汽车每辆的进价为 6. 5 万元,乙型 号汽车每辆的进价为 4 万元; 4 分 （2）设购进甲型号汽车m辆,则购进乙型号 汽车m100辆,由题意可得: m100m2 解之得:m 3 1 33 5 分 设获得的利润为 W 万元,则有: mmW10048 . 55 . 68 . 8 1805 . 0mW6 分 05 . 0,W 随m的增大而增大 m 3 1 33,且m为正整数 当33m时,W 取得最大值,最大值为: 5 .196180335 . 0 max W（万元） 6733100（辆） 8 分 答:获利最大的购买方案为:购进甲型号汽车 33 辆,乙型号汽车 67 辆,最大利润为 196. 5
32、万元. 9 分 21.（1010 分分）如图所示,矩形 ABCD 的两个顶 点 A、B 分别在y轴和x轴上,对角线 AC、 BD 交于点 E,过点 C 作xCF 轴于点 F.已 知反比例函数 x k y 的图象经过点 E 交 CF 于点 G,点 A、B、F 的坐标分别为3 , 0A、 0 , 2B、0 , 8F. （1）求反比例函数 x k y 的解析式; （2）在x轴上是否存在点 P,使得GPDP 的值最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存 在,请说明理由. 第 1818 页 解:（1）xCF 轴 90AOBBFC 3 , 0A、0 , 2B、0 , 8F 628, 2, 3BFOBOA 9
33、0CBFABO 90CBFBCF BCFABO AOBBFC2 分 FCFC OB BF AO2 6 3 , 4FC 4 , 8C3 分 四边形 ABCD 为矩形 点 E 为 AC 的中点 由中点坐标公式得: 2 7 2 43 , 4 2 80 EE yx 2 7 , 4E4 分 把 2 7 , 4E代入 x k y 得: 14 2 7 4k 反比例函数的解析式为 x y 14 ; 5 分 （2） 存在, 6 分 理由如下:对于 x y 14 令8x,则 4 7 y 4 7 , 8G 作点 G 关于x轴的对称点G,则点G的坐 标为 4 7 , 8 连 结DG, 则DG与x轴 的 交 点 即 为
34、 GPDP 的值最小时点 P 的位置,如下图所 示. 由中点坐标公式可得: x y G F E D C B A O x y G F E D C B A O x y P G G F E D C B A O 第 1919 页 2 7 2 0 , 4 2 2 DD yx 解之得:7, 6 DD yx 7 , 6D 7 分 设直线DG的解析式为baxy 把7 , 6D, 4 7 , 8G分别代入baxy可 得: 4 7 8 76 ba ba 解之得: 4 133 8 35 b a 直线DG的解析式为 4 133 8 35 xy. 9 分 令0y,则0 4 133 8 35 x 解之得: 5 38 x
35、0 , 5 38 P.10 分 22. （1010分分） 如图1,在正方形ABCD中,4AB, 点 E 在 AC 上,且2AE,过点 E 作 ACEF 于点 E,交 AB 于点 F,连结 CF、 DE. 【问题发现问题发现】 （1） 线段DE与CF的数量关系是_, 直 线 DE 与 CF 所 夹 锐 角 的 度 数 是 _; 【拓展探究拓展探究】 （2）当AEF 绕点 A 顺时针旋转时,上述结 论是否成立?若成立,请写出结论,并结合图 2 给出证明;若不成立,请说明理由; 【解决问题解决问题】 （3）在（2）的条件下,当点 E 到直线 AD 的 距离为 1 时,请直接写出 CF 的长. 解:（
36、1）45,2DECF; 2 分 提示:如图 3 所示. 四边形 ABCD 是正方形 2,45 AD AC DAECAF ACEF AEF 为等腰直角三角形 图 1 F E D CB A 图 2 H F E D C B A 2 1 G 图 3 F E D CB A 第 2020 页 2 AE AF , AD AC AE AF ACFADE 21,2 AE AF DE CF DECF2 CEGAED 45DAEG 即直线 DE 与 CF 所夹锐角等于45. （2） 成立; 3 分 理由如下:如图 4 所示,延长 DE 交 CF 于点 G. 在图 1 中,四边形 ABCD 是正方形 2,45 AD
37、AC DAECAF ACEF AEF 为等腰直角三角形 2 AE AF , AD AC AE AF 在图 4 中 CAECAF45 CAEDAE45 DAECAF ACFADE6 分 21,2 AE AF DE CF DECF2 7 分 GHCAHD 45DACDGC8 分 即直线 DE 与 CF 所夹锐角等于45; （3）52或132.10 分 提示:在图 1 中,作ADEM ,则AEM 为等 腰直角三角形 1 2 2 2 AE EM 314, 1DMAM 即点 E 到直线 AD 的距离为 1,符合题意. 在 RtDEM 中,由勾股定理得: 1031 2222 DMEMDE 由（2）中的结论
38、可知: 522DECF; 在 RtDEN 中求得: 514, 1DNANEN 由勾股定理得: 2651 2222 DNENDE 1322DECF. G 2 1 图 4 H F E D C B A NMF E 图 1 F E D C B A 第 2121 页 当AEF 旋转到图5 的位置时,得10DE 522DECF 综上所述,CF 的长为52或132. 23.（1111 分分）如图所示,已知二次函数 bxaxy 3 1 2 的图象经过点0 , 3A和 点4 , 0B,BAO的平分线分别交抛物线和 y轴于点 C、 D,点 P 为抛物线一动点,过点 P 作x轴的垂线交直线 AC 于点 E,连结 P
39、C. （1）求二次函数的解析式; （2）当以点 P、C、E 为顶点的三角形与 ADO 相似时,求点 P 的坐标; （ 3 ） 设 点 F 为 直 线 AC 上 一 点 , 若 ABOBFD 2 1 ,请直接写出点 F 的坐标. 解:（1）把0 , 3A、4 , 0B分别代入 bxaxy 3 1 2 得: 4 019 b ba 解之得: 4 3 1 b a 二次函数的解析式为4 3 1 3 1 2 xxy 3 分 （2）0 , 3A、4 , 0B 4, 3OBOA 在 RtAOB 中,由勾股定理得: 543 2222 OBOAAB 如图 1 所示,作ABDM 于点 M. K E 图 5 F D
40、C B A x y O P ED C B A x y 备用图 O D C B A 第 2222 页 AC 平分BAO,ABDM ,OAOD 3,MAOADMDO 235BM 设nDMDO,则nBD 4 在 RtBDM 中,由勾股定理得: 222 BDBMDM 2 22 42nn 解之得: 2 3 n 2 3 , 0, 2 3 DDO 设直线 AD 的解析式为ckxy 把0 , 3A、 2 3 , 0D分别代入ckxy得: 2 3 03 c ck ,解之得: 2 3 2 1 c k 直线 AD 的解析式为 2 3 2 1 xy 4 分 解方程 2 3 2 1 4 3 1 3 1 2 xxx得:
41、2 5 , 3 21 xx 4 11 , 2 5 C. 5分 以点 P、C、E 为顶点的三角形与ADO 相似 分为两种情况: 当CPEAOD 时,如图 2 所示. 90AODCPE xPC /轴 4 11 CP yy 令 4 11 4 3 1 3 1 2 xx 解之得: 2 3 , 2 5 21 xx 4 11 , 2 3 P; 7 分 当PCEAOD 时,如图 3 所示. x y 图 1 M O P E D C B A x y E P 图 2 O D C B A 第 2323 页 90AODPCE AEPC 可设直线 PC 的解析式为mxy 2 把 4 11 , 2 5 C代入mxy 2得: m5 4 11
