1、1 1 121 y O x 2 2 2 x O y 121 1 1 1 1 121 y O x 2 2 x O y 121 1 1 北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2020.6 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1) 已知全集0,1,2,3,4,5U，集合0,1,2A， 5B，那么U UA B (A) 0,1,
2、2 (B) 3,4,5 (C) 1,4,5 (D) 0,1,2,5 (2) 已知三个函数 3 3 ,3 ,log x yxyyx，则 (A) 定义域都为R (B) 值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数 (3) 平面直角坐标系中，已知点, ,A B C的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点 的坐标为 (A) (3,3) (B) ( 5,1) (C) (3, 1) (D) ( 3,3) (4) 双曲线 2 2 2 :1 y C x b 的渐近线与直线1x 交于,A B两点，且4AB ，那么双曲线C的离心率为 (A) 2 (B)
3、 3 (C) 2 (D) 5 (5) 已知函数( )logaf xxb的图象如图所示， 那么函数( ) x g xab的图象可能为 (A) （B） （C） （D） (6) 已知向量(0,5)a，(4, 3)b，( 2, 1) c，那么下列结论正确的是 (A) ab与c为共线向量 (B) ab与c垂直 (C) ab与a的夹角为钝角 (D) ab与b的夹角为锐角 2 (7) 九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题 “今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？” （一步=1.5 米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的
4、面积为 (A) 135平方米 (B) 270平方米 (C) 540平方米 (D) 1080平方米 (8) 已知函数 2 ( )lnf xxax，那么“0a ”是“( )f x在(0,)上为增函数”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一 个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和 一个长方形，那么这个几何体的体积是 （A） 1 2 （B） 1 4 （C） 1 8 （D） 1 (10) 函 数( )f x是 定义 域为R的 奇 函数 ，且
5、 它的 最小 正 周期 是T， 已知 ,0, 4 ( )= ,(, 242 T x x f x TT T x x ( )()()g xf xa aR. 给出下列四个判断： 对于给定的正整数n，存在aR，使得 1 () ()0 n i i Ti T gf nn 成立; 当= 4 T a时，对于给定的正整数n，存在(1)kkR，使得 1 () ()0 n i i Ti T g kf nn 成立; 当= 4 T a k (kZ)时，函数( )( )g xf x既有对称轴又有对称中心; 当= 4 T a k (kZ)时， ( )( )g xf x的值只有0 或 4 T . 其中正确判断的有 (A) 1
6、 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 俯视图俯视图 侧侧（左左）视图视图 正正（主主）视图视图 1 1 1.5 3 E A1 BC D 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。 (11) 复数 1 i i z 的共轭复数z为_. (12) 已知 1 cos2 3 ，则 22 cos ()2cos 2 的值为 . (13) 设, 是三个不同的平面，mn，是两条不同的直线，给出下列三个结论： 若m，n，则mn； 若m，m，则； 若，则. 其中，正确结论的序号为 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选
7、得 0 分，其他得 3 分。 (14) 从下列四个条件ac2； 6 C ；cosB 2 4 ；7b中选出三个条件，能使满足所选条件 的ABC存在且唯一，你选择的三个条件是_（填写相应的序号）,所选三个条件下的c的值为 _. (15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件. 由于生产这种配件时其他生产设备 必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种 配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每 件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开
8、始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生 产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为_. 三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 如图，四边形ABCD中，/ADBC，CDBC，1BCCD，2AD ，E为AD中点. 将ABE沿BE折起到 1 ABE的位置，如图. （）求证：平面 1 AEB平面 1 AED； （）若 1 90AED，求 1 AC与平面 1 A BD所成角的正弦值. 图 图 ADE CB 4 （17） （本小题 14 分） 已知 n a为等比数列，其前n项和为 n S，且满足 3 1a ， 32 31S
9、a. n b为等差数列，其前n项和为 n T， 如图_， n T的图象经过A,B两个点 （）求 n S； （）若存在正整数n，使得 nn bS，求n的最小值. 从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 图 图 图 （18） （本小题 14 分） 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下 表记录了,A B C D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为, a b. 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 6
10、0 a C 80 b D 160 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知 1 (0) 40 P, 1 (4) 10 P. （）求甲同学至多获得三个项目招募的概率； B A 6 5 3 4 2 nO Tn 1234 3 1 2 1 B A 1 2 1 3 4321 Tn On 2 4 3 5 6 B A 6 5 3 4 2 nO Tn 1234 3 1 2 1 5 （）求a，b的值； （）假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D，试判断E如何变化(结论不要求证明). (19) （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) x
11、y Cab ab 的一个顶点坐标为(0, 1)A，离心率为 2 3 （）求椭圆C的方程； （）若直线(1)(0)yk xk与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点(1,0)B，求证：点M 不在以AB为直径的圆上 （20） （本小题 15 分） 已知( )sin() x f xexax aR. （）当2a 时，求证：( )f x在(0)，上单调递减； （）若对任意0x，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围； （）若( )f x有最小值，请直接给出实数a的取值范围. （21） （本小题 14 分） 设数列： 12n Aaaa： ， ，L， 12n Bbbb： ， ，L. 已知01
12、 ij ab ，（, , ;, ,in jnLL1 21 2） ，定义n n数 表 11121 21222 12 () n n nnnn xxx xxx X AB xxx ， L L MMMM L ，其中 1 0 ij ij ij ab x ab ， ， （）若: 1,1,1,0A，: 0,1,0,0B，写出()X AB，; （）若A B，是不同的数列，求证：n n数表()X AB，满足“= ijji xx（, , ;, , ;1 21 2LLinjn ij） ”的充分 必要条件为“1(1,2, ) kk abknL”; （）若数列A与B中的 1 共有n个, 求证：n n数表()X AB，中
13、1 的个数不大于 2 2 n . 6 z x y D CB A1 E 北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2020.62020.6 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） （1）B （2）C （3）A （4）D （5）B （6）B （7）B （8） A （9）C （10）C 二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分）分） （11）1i （12）1 （13） （14）， 7 2 ，或者，2 （15）
14、5 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） （）证明：因为四边形ABCD中， /ADBC，CDBC ， 1BC ， 2AD ， E为AD中点， 所以 BE AD . 故 图中， 1 BEAE，BEDE . 又 因为 1 AEDEEI， 1 AE，DE 平面 1 ADE， 所以 BE 平面 1 ADE. 又 因为BE 平面 1 AEB， 所以 平面 1 AEB平面 1 ADE. 6分 （）解： 由 1 90AED 得 1 AEDE， 又 1 AEBE，BEDE, 因此，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz 7 由 1 1AE
15、CDDE， 得 1(0,0,1) A，(1,0,0)B，(1,1,0)C， (0,1,0)D， 1 (1, 0,1)AB uuu r ， 1 (0,1, 1)AD uuu r ， 设平面 1 ABD的法向量为( , , )nx y z， 则 1 1 0 0 AB AD ， ， n n uuu r uuur 即 0 0 xz yz ， ， 令1z 得1,1xy， 所以 (1,1,1)n是平面 1 ABD的一个法向量. 又 1 (1,1, 1)AC uuu r , 设直线 1 AC与平面 1 ABD所成角为， 所以 1 1 1 |11 sin|cos,| 333 | uuu r uuu r uuu
16、 r n n n AC AC AC 14 分 （17） （本小题 14 分） 解： （）由 32 31Sa，得 12 2aa，即 33 2 2aa qq ， 因为 3 0a ， 所以 1 2 q ， 1 4a . 所以 3 1 4 1 12 8 182 1 2 1 2 n n n n S . 6 分 （）由图知： 11 1Tb， 3 3T ，可判断0d ，数列 n b是递减数列；而 3 82 n 递增，由于 11 bS， 所以选择不满足“存在n，使得 nn bS” 由图知： 11 1Tb， 3 6T ，可判断0d ，数列 n b是递增数列； 由图知： 11 3Tb ， 3 0T ，可判断0d
17、，数列 n b是递增数列. 所以选择均可能满足“存在n，使得 nn bS” 第一种情况： 如果选择条件即 11 1Tb， 3 6T ，可得：1d ， n bn. 8 当=1,2,3,4,5,6,7n时， nn bS不成立， 当8n 时， 3 8 888 8,82 bSb 所以 使得 nn bS成立的 n的最小值为 8. 14 分 第二种情况： 如果选择条件即 11 3 Tb， 3 0T ，可得：3d ，36 n bn. 当=1,2,3,4n时， nn bS不成立， 当5n 时， 3 5 555 9,82 bSb成立， 所以 使得 nn bS 成立的n的最小值为 5. 14 分 （18） （本小
18、题 14 分） 解：因为 1 (0) 40 P， 所以60a ，且80b. 设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募” ，由题意可知， 501 ( ) 1002 P A ； 设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募” ，由题意可知， 60 ( )P B a ； 设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募” ，由题意可知， 80 ( )P C b ； 设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募” ，由题意可知， 1604 () 2005 P D ； （）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4”是对立的， 所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 19 1(4)1 1010 P . 4 分 （
19、）由题意可知， 1608041 (0)()(1) (1) (1) (1) 2540 PP ABCD ab ； 1 60 80 41 (4)() 2510 PP ABCD ab ； 解得120a ，160b . 12 分 （）E变大. 14 分 (19) （本小题 14 分） 9 （）解：解：由题意可知 , 1 , 2 3 , 222 b a c acb 解得 , 3 , 1 , 2 c b a 所以 椭圆C的方程为 1 4 2 2 y x 4 分 （）证明：设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy， ),( 00 yxM 由 2 2 1, 4 (1), x y yk x 得 222
20、2 (4+1)8440kxk xk ， 所以 2 2222 ( 8)4 (41)(44)4816kkkk . 所以 当k为任何实数时，都有0 所以 2 12 2 8 41 k xx k ， 2 12 2 44 4+1 k x x k 因为 线段PQ的中点为M, 所以 2 12 0 2 4 241 xxk x k ， 00 2 (1) 41 k yk x k , 因为 (1,0)B , 所以 00 (,1)AMx y uuur ， 00 (1,)BMxy uuur 所以 22 00000000 (1)(1)=AM BMx xyyxxyy uuur uuur 22 22 2222 44 =()()
21、 41414141 kkkk kkkk 32 22 43 = 41 kkk k （） 2 22 (431) = 41 kkk k （） 2 22 37 4() 816 = 41 kk k （） . 10 又因为 0k ， 2 37 4()0 816 k ， 所以 0AM BM uuur uuur ， 所以 点M不在以AB为直径的圆上 14 分 （20） （本小题 15 分） （）解：( )cos x fxexa , 对于2a ， 当 0x 时，1,cos1 x ex ， 所以 ( )cos20 x fxex. 所以( )f x在,0上单调递减. 4 分 （）解：当0x时，( )1 1f x ，
22、对于Ra，命题成立， 当 0x 时，设( )cos x g xexa ， 则( )sin x g xex. 因为 1,sin1 x ex， 所以 ( )sin1 1=0 x g xex ， ( )g x在0, 上单调递增. 又(0)2ga， 所以( )2g xa. 所以( )fx在0,上单调递增，且( )2fxa. 当 2a 时，( )0fx， 所以 ( )f x在0, 上单调递增. 因为 (0)1f， 所以( )1f x恒成立. 当 2a 时，(0)20fa ， 因为( )fx 在0,)上单调递增， 又当 ln(2)xa时，( ) 2cos2cos0 fxaxax， 11 所以 存在 0 (
23、0,)x ，对于 0 (0,)xx，( )0fx 恒成立. 所以 ( )f x在 0 0,x上单调递减， 所以 当 0 (0,)xx时，( )(0)1f xf，不合题意. 综上，当2a时，对于0x， ( )1f x 恒成立. 13 分 （）解：0a . 15 分 （21） （本小题 14 分） （）解： 0100 0100 () 0100 1011 X AB ，. 3 分 （）证明：“ 若1(1,2, ) kk abknL，由于 1 0 ij ij ij ab x ab ， ， 1 0 ji ji ji ab x ab ， ， 令 12n Aaaa： ， ，L，由此数列 12n Baaa：1，
24、1，1L. 由于 = ij ab1 ij aa 1 ij aa1 ji aa = ji ab. 从而有 = ijji xx ( , , ;, , ;1 21 2LLinjn ij). “ 若= ijji xx ( , , ;, , ;1 21 2LLinjn ij). 由于A B，是不同的数列， (1)设 1=1 a， 1=0 b，对任意的正整数1k， 若 11 =1 kk xx，可得 1= 1 k ab， 1 =0 k ab， 所以 1 kk ab. 若 11 =0 kk xx，可得 0 k b，1 k a， 所以 1 kk ab. 同理可证 1=0 a， 1=1 b时，有1(1,2, )
25、kk abknL成立. (2)设 1=1 a， 1=1 b，对任意的正整数1k， 若 11 =1 kk xx，可得 1= 1 k ab ， 1 =1 k ab ， 所以有1 kk ab，则A B ， 是相同的数列，不符合要求. 若 11 =0 kk xx ，可得 0 k b ， 0 k a ， 所以有 kk ab ,则A B ， 是相同的数列，不符合要求. 同理可证 1=0 a， 1=0 b时，A B，是相同的数列，不符合要求. 综上，有n n数表()X AB，满足“= ijji xx”的充分必要条件为“1(1,2, ) kk abknL”. 11 分 12 （）证明：由于数列A B，中的 1 共有n个，设A中 1 的个数为p， 由此有，A中 0 的个数为np，B中 1 的个数为np，B中 0 的个数为p. 若 =1 i a，则数表()X AB，的第i行为数列 12n Bbbb： ， ，L， 若 =0 i a，则数表()X AB，的第i行为数列 12n Bbbb：1- ，1- ，1-L， 所以 数表()X AB，中 1 的个数为 2 2 () ()()2 ()2() 22 pnpn p npnp pp np . 所以 n n数表()X AB，中 1 的个数不大于 2 2 n . 14 分
