1、集合 AxR|x2x20，集合 BxR|exe，则 AB（ ） A （1，2） B （1，2 C1，2 D1，2） 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数为纯虚数的充要条件是（ ） Aa2 Ba1 Ca1 Da2 3 （5 分）某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到 140 分 之间（满分 150 分） ，为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取 100 名学生的考试成绩 作为样本进行统计将这 100 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一 组60，70） ，第二组70，80） ，第三组80，90） ，如图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图的一部分
2、则第七组的频数为（ ） A8 B10 C12 D16 4 （ 5 分 ） 设 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 R ， 满 足 f （ x+2 ） 2f （ x ） ， 且 则 f（e）（ ） A2e+1 B2e C2e 1 Dln（e+2） 5 （5 分）在直角梯形 ABCD 中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E 是 BC 的中点， 则 （）（ ） 第 2 页（共 27 页） A8 B12 C16 D20 6 （5 分）已知函数 f（x），则不等式 f（x3）+f（2x）0 的解集为（ ） A （，3） B （，1） C （3，+） D （1，+） 7 （5 分）三棱锥 PA
3、BC 的底面ABC 是边长为的等边三角形，该三棱锥的所有顶点 均在半径为 2 的球上，则三棱锥 PABC 的体积最大值为（ ） A B C D 8 （5 分）已知定义在 R 上函数 f（x）的图象是连续不断的，满足 f（1x）f（1+x） ，f （x）f（x） ，且 f（x）在0，1上单调递增，若 af（log23） ，bf（） ，cf （2020） ，则（ ） Aabc Bacb Ccba Dbca 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项
4、符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知点 F（1，0）为曲线 C 的焦点，则曲线 C 的方程可能为（ ） Ay24x Bx24y C+1（0） D1（0） 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 在棱 CC1上，则下列结论正确 的是（ ） A直线 BM 与平面 ADD1A1平行 B平面 BMD1截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 AD1与 A1C1所成的角为 D|MB|+|MD1|的最小值为 第 3 页（共 27 页） 11 （5 分）对于函数 f（x）sin（x）+
5、1（其中 0） ，下列结论正确的是（ ） A若 2，x0.，则 yf（x）的最小值为 B若 2，则函数 ysin2x+1 的图象向右平移个单位可以得到函数 yf（x）的 图象 C若 2，则函数 yf（x）在区间（0，）上单调递增 D若函数 yf（x）的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则 2 12 （5 分）如图 A（2，0） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（2，0） ，是以 OD 为直径的 圆上一段圆弧，是以 BC 为直径的圆上一段圆弧，是以 OA 为直径的圆上一段圆弧， 三段弧构成曲线 W则下述正确的是（ ） A曲线 W 与 x 轴围成的面积等于 2 B曲线 W 上有 5 个
6、整点（横纵坐标均为整数的点） C所在圆的方程为：x2+（y1）21 D与的公切线方程为：x+y 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若命题“x0R，x022x0a0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 14（5 分） 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， nN* 若 S33S2+2S10， 则 15 （5 分）若二项式（13x）n（nN*）的展开式中所有项的系数和为32，则： （1）n ； （2）该二项式展开式中含有 x3项的系数为 16 （5 分）黄金分割比 0.618 被誉为“人间最巧的比例” 离心率 e
7、的 第 4 页（共 27 页） 椭圆被称为“优美椭圆” ，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：+1（ab 0）的左右顶点分别为 A，B， “优美椭圆”C 上动点 P（异于椭圆的左右顶点） ，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列an，bn满足：a11，b10，4bn+1an+4+3bn，4an+13an+4+bn， nN* （1）证明：数列an+bn为等差数列，数列anbn为等比数列； （2）记数列a
8、n的前 n 项和为 Wn，求 Wn及使得 Wn9 的 n 的取值范围 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin （1）求 A； （2）若 b+c2，求 a 取最小值时ABC 的面积 S 19 （12 分）如图，在三棱台 ABCDEF 中，BC2EF，G，H 分别为 AC，BC 上的点，平 面 GHF平面 ABED，CFBC，ABBC （1）证明：平面 BCFE平面 EGH； （2）若 ABCF，ABBC2CF2，求二面角 BADCC 的大小 20 （12 分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司 职
9、位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职0.4 0.3 0.2 0.1 第 5 页（共 27 页） 位概率 乙公司 职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应职 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由； （2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计， 得到如下数据分布： 人员结构 选择意愿 40 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下男性 40 岁以下女性 选择甲公司 11
10、0 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 K2的观测值为 k15.5513，测得出 “选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析， 选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附： P（K2k） 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 21 （12 分）已知函数 f（x）sinx+ln（1+x） （1）证明：f（x）0； （2）数列an满足：0a1，an+1f（an） （nN*） （）证明：0an（nN*） ； （）证明：nN*
11、，an+1an 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别 为 F1、F2，点 Q（1.）满足：|QF1|+|QF2|2a已知直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两 第 6 页（共 27 页） 点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 过点 F2，且2，求直线 l 的方程； （3）若直线 l 与曲线 ylnx 相切于点 T（t，lnt） （t0） ，且 AB 中点的横坐标等于证 明：符合题意的点 T 有两个，并任求出其中一个的坐标 第 7 页（共 27 页） 2019-2020 学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷学年山东省青岛市胶州
12、市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 AxR|x2x20，集合 BxR|exe，则 AB（ ） A （1，2） B （1，2 C1，2 D1，2） 【分析】求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 AxR|x2x20x|1x2， 集合 BxR|exex|x1， ABx|1x21，2） 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查
13、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数为纯虚数的充要条件是（ ） Aa2 Ba1 Ca1 Da2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：是纯虚数， ，即 a1 复数为纯虚数的充要条件是 a1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条 件，是基础题 3 （5 分）某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到 140 分 之间（满分 150 分） ，为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取 100 名学生的考试成绩 作为样本进行统计将这 100
14、 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一 组60，70） ，第二组70，80） ，第三组80，90） ，如图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图的一部分则第七组的频数为（ ） 第 8 页（共 27 页） A8 B10 C12 D16 【分析】先求出第七组的概率 a，再利用频数频率乘以总数求出即可 【解答】解：根据概率和为 1，设第七组的概率为 a， 则 10（0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004）+a1， 即 0.92+a1，a0.08， 再由 1000.088， 故选：A 【点评】考查频率分布直方图的应用，频数，频率，概率的关系等，中档
15、题 4 （ 5 分 ） 设 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 R ， 满 足 f （ x+2 ） 2f （ x ） ， 且 则 f（e）（ ） A2e+1 B2e C2e 1 Dln（e+2） 【分析】由题意可得，f（e）2f（e2） ，代入即可求解 【解答】解：由题意可得，f（e）2f（e2）22e 12e 故选：B 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是把所求变量转化到已 知区间上 5 （5 分）在直角梯形 ABCD 中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E 是 BC 的中点， 则 （）（ ） 第 9 页（共 27 页） A8 B12 C16 D20 【分析
16、】通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可 【解答】解：建立坐标系如图：则 A（0，0） ，B（4，0） ，D（0，2） ，C（2，2） ，E（3， 1） ； 所以（5，3） ，（4，0） ， 则 （）20 故选：D 【点评】本题考查向量的数量积的运算，转化为坐标运算简化解题过程，是基本知识的 考查 6 （5 分）已知函数 f（x），则不等式 f（x3）+f（2x）0 的解集为（ ） A （，3） B （，1） C （3，+） D （1，+） 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的性质求出不等式的解集即可 【解答】 解： 易知函数定义域为 R 上的奇函数， 且
17、当 x0 时， f （x） 为递增函数， 所以函数在 R 上递增， f（x3）+f（2x）0， 即 f（x3）f（2x）f（2x） ， 由 x32x，3x3，得 x1， 故选：D 【点评】考查函数的单调性和奇偶性的判断，中档题 第 10 页（共 27 页） 7 （5 分）三棱锥 PABC 的底面ABC 是边长为的等边三角形，该三棱锥的所有顶点 均在半径为 2 的球上，则三棱锥 PABC 的体积最大值为（ ） A B C D 【分析】三棱锥 PABC 体积最大时，最长的高为 OD+OP；由此求出三棱锥 PABC 体 积的最大值 【解答】解：如图所示， 由题意知，CD1； 在OCD 中，OD； 三
18、棱锥 PABC 体积的最大时，最长的高为 OD+OP+2， 所以三棱锥 PABC 体积的最大值为： V三棱锥PABCSABCh（+2） 故选：C 【点评】本题考查了球内接三棱锥体积最大值的求法问题，也考查了空间想象能力与运 算求解能力，是中档题 8 （5 分）已知定义在 R 上函数 f（x）的图象是连续不断的，满足 f（1x）f（1+x） ，f （x）f（x） ，且 f（x）在0，1上单调递增，若 af（log23） ，bf（） ，cf （2020） ，则（ ） Aabc Bacb Ccba Dbca 【分析】先根据 f（1x）f（1+x） ，f（x）f（x）分别得出函数的对称性和奇偶 性，再
19、结合这两条性质，推出函数的周期性，然后根据函数在0，1上的单调性，作出函 数的大致草图最后求出 a，b，c 对应的自变量的取值范围，即可确定 a，b，c 的正负 第 11 页（共 27 页） 性，从而得解 【解答】解：因为 f（1x）f（1+x） ，所以函数 f（x）关于 x1 对称， 又因为 f（x）f（x） ，所以函数 f（x）为奇函数， 所以 f（1+x）f（1x）f（x1） ， 令 xx1，则 f（x）f（x2） 令 xx2，则 f（x2）f（x4） 由得，f（x）f（x4） ，即函数 f（x）的周期为 4 又因为 f（x）在0，1上单调递增，于是可以作出如图所示的函数图象， 而 lo
20、g23（1，2） ，所以 a0，b0， f（2020）f（5054）f（0）0，所以 c0， 因此 bca 故选：D 【点评】本题综合考查了函数的对称性、周期性和奇偶性，还有简单的对数运算，属于 中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知点 F（1，0）为曲线 C 的焦点，则曲线 C 的方程可能为（ ） Ay24
21、x Bx24y C+1（0） D1（0） 【分析】利用抛物线，以及双曲线的性质求解焦点坐标，判断选项的正误即可 第 12 页（共 27 页） 【解答】解：y24x 的焦点坐标（1，0） ，A 正确； x24y 的焦点坐标（0，1） ，所以 B 不正确； 当时，+1 表示圆，所以 C 不正确； 1（0）的焦点坐标为： （1，0） ，所以 D 正确 故选：AD 【点评】本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 在棱 CC1上，则下列结论正确 的是（ ） A直线 BM 与平面 ADD1A1平行 B平面 BM
22、D1截正方体所得的截面为三角形 C异面直线 AD1与 A1C1所成的角为 D|MB|+|MD1|的最小值为 【分析】A，利用面 ABCD面 A1B1C1D1的性质即可判定直线 BM 与平面 ADD1A1平行； B，平面 BMD1截正方体所得的截面可能为四边形； C，异面直线 AD1与 A1C1所成的角为，D1AC，即可判定； D，原问题相当于：ACDB，直线 AC，BD 间距离为 1，在 AC 上找一点 M 使得到 DB （表达）上两点间距离之和最小只需找到 B 关于 AC 的对称点 E 即可 【解答】解： 第 13 页（共 27 页） 对于 A，面 ABCD面 A1B1C1D1，BMBCC1
23、B1，即可判定直线 BM 与平面 ADD1A1平 行，故正确； 对于 B，如图 1，平面 BMD1截正方体所得的截面可能为四边形，故错； 对于 C，如图 2，异面直线 AD1与 A1C1所成的角为，D1AC，即可判定异面直线 AD1 与 A1C1所成的角为，故正确； 对于 D，如图 3，MB+MD1MD+MD1，如图 4，原问题相当于：ACDB，直线 AC，BD 间距离为 1，在 AC 上找一点 M 使得到 DB（表达）上两点间距离之和最小 只需找到 B 关于 AC 的对称点 E，MD+MD1的最小值即为线段 ED 的长度，ED ，故正确 故选：ACD 【点评】本题考查了空间点线面位置关系，考
24、查了转化思想、空间想象能力，属于中档 题 11 （5 分）对于函数 f（x）sin（x）+1（其中 0） ，下列结论正确的是（ ） A若 2，x0.，则 yf（x）的最小值为 B若 2，则函数 ysin2x+1 的图象向右平移个单位可以得到函数 yf（x）的 图象 第 14 页（共 27 页） C若 2，则函数 yf（x）在区间（0，）上单调递增 D若函数 yf（x）的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则 2 【分析】利用正弦函数的图象与性质对 A、B、C、D 四个选项逐一分析判断即可 【解答】解：f（x）sin（x）+1（其中 0） ， 对于 A，若 2，f（x）sin（2x）+1（
25、其中 0） ， x0.2x，sin（2x），1f（x），+1， 则 yf（x）的最小值为，故 A 正确； 对于 B， 若 2， 则函数 ysin2x+1 的图象向右平移个单位可以得到函数 yf （x） 的图象，故 B 错误； 对于 C，若 2，x（0，）2x（，） ，故函数 yf（x）在区间 （0，）上先增后减，故 C 错误； 对于 D，若函数 yf（x）的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，即 T（0） ，则 2，故 D 正确 综上所述，结论正确的是 AD 故选：AD 【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查其周期性、单调性、对称性及三角 函数图形的平移变换，属于中档题 12 （
26、5 分）如图 A（2，0） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（2，0） ，是以 OD 为直径的 圆上一段圆弧，是以 BC 为直径的圆上一段圆弧，是以 OA 为直径的圆上一段圆弧， 三段弧构成曲线 W则下述正确的是（ ） 第 15 页（共 27 页） A曲线 W 与 x 轴围成的面积等于 2 B曲线 W 上有 5 个整点（横纵坐标均为整数的点） C所在圆的方程为：x2+（y1）21 D与的公切线方程为：x+y 【分析】由曲线 W 与 x 轴的图形为一个半圆和一个矩形、加上两个圆，加上面积求和， 可判断 A；分别写出各个整点，即可判断 B；由是以（0，1）为圆心，1 为半径的圆， 可得所求圆的
27、方程，可判断 C；设与的公切线方程为 ykx+t（k0，t0） ，由直 线和圆相切的条件：dr，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求方程，可判断 D 【解答】解：曲线 W 与 x 轴的图形为以（0，1）圆心、1 为半径的半圆加上以（1，0） 为圆心，1 为半径的圆， 加上以（1，0）为圆心，1 为半径的圆，加上长为 2，宽为 1 的矩形构成， 可得其面积为+22+2，故 A 错误； 曲线 W 上有（2，0） ， （1，1） ， （0，2） ， （1，1） ， （2，0）共 5 个整点，故 B 正确； 是以（0，1）为圆心，1 为半径的圆，其所在圆的方程为 x2+（y1） 21，故 C 正确；
28、 设与的公切线方程为 ykx+t（k0，t0） ， 由直线和圆相切的条件可得1， 解得 k1， t1+（1舍去） ， 则其公切线方程为 yx+1+，即 x+y1+，故 D 正确 故选：BCD 【点评】本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆相切的条件，考查数形结合思想和方 第 16 页（共 27 页） 程思想、运算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 若命题 “x0R， x022x0a0” 为假命题， 则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】根据特称命题的性质进行求解即可 【解答】解：由“x0R，x
29、022x0a0”为假命题，可知xR，x22xa0， 结合二次函数的性质可知，x22x（x1）211， 故 a1 故答案为：a1 【点评】本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值（范围）是解决本 题的关键 14 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，nN*若 S33S2+2S10，则 2 【分析】根据求和公式和等比数列的定义即可求出 【解答】解：S33S2+2S10， a1+a2+a33（a1+a2）+2a10， 即 a32a2， 即2， 故答案为：2 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，属于基础题 15 （5 分）若二项式（13x）n（nN*）的展开式中所有项的
30、系数和为32，则： （1）n 5 ； （2）该二项式展开式中含有 x3项的系数为 270 【分析】 （1）令 x1，可得： （13）n32，解得 n （2） （13x）5中的含有 x3项为：T4（3x）3，即可得出系数 【解答】解： （1）令 x1，可得： （13）n32，解得 n5 （2） （13x）5中的含有 x3项为：T4（3x）3270x3，其系数为270 故答案为： （1）5； （2）270 【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基 第 17 页（共 27 页） 础题 16 （5 分）黄金分割比 0.618 被誉为“人间最巧的比例” 离心率 e的
31、椭圆被称为“优美椭圆” ，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：+1（ab 0）的左右顶点分别为 A，B， “优美椭圆”C 上动点 P（异于椭圆的左右顶点） ，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2 【分析】设 P 点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得 a，b 关系，根据 椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率 【解答】解：设 P（m，n）代入椭圆方程，则：+1，离心率 e，可得 ， 整理得：n2（m2a2） ， 又 k1，k2， 所以 k1k2， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题
32、，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列an，bn满足：a11，b10，4bn+1an+4+3bn，4an+13an+4+bn， nN* （1）证明：数列an+bn为等差数列，数列anbn为等比数列； （2）记数列an的前 n 项和为 Wn，求 Wn及使得 Wn9 的 n 的取值范围 【分析】本题第（1）题将两个递推式分别相加，相减，然后化简整理即可证明结论；第 （2）题先根据第（1）题的结论写出两个数列数列an+bn，anbn的通项公式，然后 计算出数列an的通项公式，再根据数列an的通项公式的特点利用分
33、组求和法求出前 n 项和 Wn，然后判断出由 Wn构成的数列Wn是一个递增数列根据 W4+1（）4 第 18 页（共 27 页） 99，W5+1（）59即可得到使得 Wn9 的 n 的取值范 围 【解答】 （1）证明：依题意，由 4an+13an+4+bn和 4bn+1an+4+3bn两式相加，可得： 4（an+1+bn+1）4（an+bn）+8， （an+1+bn+1）（an+bn）2 a1+b11， 数列an+bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 又由 4an+13an+4+bn和 4bn+1an+4+3bn两式相减，可得： 4（an+1bn+1）2（anbn） ， （an+1bn+
34、1）（anbn） a1b110， 数列anbn是以 1 为首项，为公比的等比数列 （2）解：由（1） ，可得 an+bn2n1， anbn（）n 1， 两式相加，得 ann+（）n Wna1+a2+an 1+（）1+2+（）2+n+（）n （1+2+n）+（）1+（）2+（）nn + +1（）n Wn+1Wnan+1n+1+（）n+1n+（）n+1+0 由 Wn构成的数列Wn是一个递增数列 又W4+1（）499，W5+1（）59 使得 Wn9 的 n 的取值范围为 n5 第 19 页（共 27 页） 【点评】本题主要考查由递推式得到数列的通项公式，以及分组求和法来求和，构造法 的应用，数列单调
35、性的判断本题属综合性较强的中档题 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinBbsin （1）求 A； （2）若 b+c2，求 a 取最小值时ABC 的面积 S 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果 （2）利用余弦定理和不等式的应用求出结果 【解答】解： （1）因为已知 asinBbsin 所以 asinBbsin（） ，即 asinBbcos， 由正弦定理得 sinAsinBsinBcos， 由于 C 为ABC 的内角，所以 sinB0， 所以 sinAcos，即 由于 B 为ABC 的内角， cos0，解得
36、 A （2）在ABC 中由余弦定理知： a2b2+c22bccosA， 所以 a1 等号当仅当 bc1 时等号成立 此时 S 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19 （12 分）如图，在三棱台 ABCDEF 中，BC2EF，G，H 分别为 AC，BC 上的点，平 面 GHF平面 ABED，CFBC，ABBC （1）证明：平面 BCFE平面 EGH； （2）若 ABCF，ABBC2CF2，求二面角 BADCC 的大小 第 20 页（共 27 页） 【分析】 （1）可得 GHBC
37、，HEBC即可得 BC平面 EGH，即可得平面 BCFE平 面 EGH （2）分别以 HG，HB，HE 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系 Hxyz，求得平面 ABD 的一个法向量和平面 ADC 的一个法向量即可得二面角 B ADC 的大小 【解答】解： （1）因为平面平面 GHF平面 ABED， 平面 BCFE平面 ABEDDE， 平面 BCFE平面 GHFHF 所以 BEHF 因为 CBEF，所以四边形 BHFE 为平行四边形 所以 BHEF，因为 BC2EF 所以 BC2BH，H 为 BC 的中点 同理 G 为 AC 的中点，所以 GHAB 因为 ABB
38、C，所以 GHBC（4 分） 又 HCEF 且 HCEF，所以四边形 EFCH 是平行四边形，所以 CFHE， 又 CFBC，所以 HEBC （5 分） 又 HE，HG平面 EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH， 又 BC平面 BCFE，所以平面 BCFE平面 EGH （2）由（1）知，HEHB，HGHB，因为 ABCF，CFHE，GHAB，所以 HE HG 分别以 HG，HB，HE 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz， 第 21 页（共 27 页） 则 A（2，1，0） ，B（0，1，0） ，D（1，0，1） ，C（0，1，0） 设 平 面
39、ABD 的 一 个 法 向 量 为， 因 为， 则，取 y11，得 设 平 面 ADC 的 一 个 法 向 量 为， 因 为， 则，取 x21，得 所以 cos，则二面角 BADC 的大小为 【点评】本题考查了面面垂直、二面角求解，属于中档题 20 （12 分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司 职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职 位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 第 22 页（共 27 页） 职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应职 位概率 0.4
40、0.3 0.2 0.1 （1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由； （2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计， 得到如下数据分布： 人员结构 选择意愿 40 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下男性 40 岁以下女性 选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 K2的观测值为 k15.5513，测得出 “选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析， 选择意愿与年龄变量和性
41、别变量哪一个关联性更大？ 附： P（K2k） 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 【分析】 （1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X，Y，计算 E（X）和 E（Y）的 值，比较即可得出结论； （2）根据题意填写选择意愿与性别两个分类变量的列联表，计算 K2，对照临界值表得 出结论 【解答】解： （1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X，Y， 则 E（X）60000.4+70000.3+80000.2+90000.17000， E（Y）50000.4+70000.3+90000.2+110000.17000， D（X）（
42、60007000）20.4+（70007000）20.3+（80007000）20.2+（9000 7000）20.1 10002， D（Y）（50007000）20.4+（70007000）20.3+（90007000）20.2+（11000 第 23 页（共 27 页） 7000）20.1 20002， 则 E（X）E（Y） ，D（X）D（Y） ， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； （2）因为 k15.55135.024，根据表中对应值， 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 0.025， 由数据分布可得选择意
43、愿与性别两个分类变量的 22 列联表如下： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 250 350 600 女 200 200 400 总计 450 550 1000 计算 K26.734， 且 K26.7346.635， 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 0.01， 由 0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题， 是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）sinx+ln（1+x） （1）证明：f（x）0； （2）数列an满足：0a1，an+1f（an） （nN*） （）
44、证明：0an（nN*） ； （）证明：nN*，an+1an 【分析】 （1）利用导数得到 f（x） 在区间（1，0）上单调递减，f（x） 在区间（0， +） 上单调递增，因此当 x（1，+） 时，f（x）f（0）0，所以 f（x）0； （2） （i）由（1）知，f（x）在区间（0，） 上单调递增，f（x）f（0）0，又 ，所以 第 24 页（共 27 页） ， 因 此 当x 时 ， 0 f （ x ） 1 ， 又 因 为， 所 以 ， （ii）函数 h （x）f（x）x， （0x） ，利用导数得到 h（x） 在区间（0，） 上单调递减， 所以 h（x）h（0）0，因此 an+1anf（an）ang（an）0，所以对nN*，an+1 an 【解答】证明： （1）由题意知，x（1，+） ， 当 x（1，0）时， 所以 f（x） 在区间（1，0）上单调递减， 当 x （0， +） 时， 令 g （x） f （x） ， 因为 g （x） 1+， 所以 g（x） 在区间（0，+）上单调递增，因此 g（x）g（0）0， 故当 x（0，+）时，f（x）0， 所以 f（x） 在区间（0，+） 上单调递增， 因此当 x（1，+） 时，f（x）f（0）0， 所以 f（x）0； （2） （）由（1）知，f（x）在区间（0，） 上单调递增，f（x）f（
