1、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4+S52，S714，则 a10（ ） A8 B18 C14 D14 4 （5 分）已知三个村庄 A，B，C 构成一个三角形，且 AB5 千米，BC12 千米，AC 13 千米为了方便市民生活，现在ABC 内任取一点 M 建一大型生活超市，则 M 到 A， B，C 的距离都不小于 2 千米的概率为（ ） A B C D 5 （5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑 的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为 2 的等腰直角三角形（如图所示） ，则该鳖臑 的表面积为（ ） A8 B C D4 十 6 （5 分）在平行四边形
2、 ABCD 中，DAB120，|AB|2，|AD|1，若 E 为线段 AB 中 点，则（ ） A B1 C D2 第 2 页（共 24 页） 7 （5 分）在侧棱长为 a 的正三棱锥 OABC 中，侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，现有一小 球 P 在该几何体内，则小球 P 最大的半径为（ ） A B C Da 8 （5 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（1，0） ，过点 P（1，1）的直线 l 与抛 物线 C 交于 A，B 两点，若 P 恰好为线段 AB 的中点，则|AB|（ ） A2 B C4 D5 9 （5 分）记函数 f（x）x2+2ax3 在区间（，3上单调递减时实数
3、 a 的取值集合 为 A；不等式恒成立时实数 a 的取值集合为 B，则“xB”是“xA” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，|的最小正周期为 ，将函数 f （x）的图象向右平移个单位相到函数 g（x）的图象，且 g（x+）g（x） ， 则 的取值为（ ） A B C D 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：1（b0，a0）的左焦 点为 F，点 B 的坐标为（0，b） ，若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两 点，且5，则双曲线 C 的离心率为
4、（ ） A B C D2 12 （5 分）已知 （0，） ，（0，） ，且 sin（2+）sin，则 cos 的最小值 为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若， 则 A 第 3 页（共 24 页） 14 （5 分）已知直线 l：mx+ny10 与圆 O：x2+y21 相交的弦长，则 m2+n2 15 （5 分）某同学手中有 4 张不同的“猪年画” ，现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的 箱子里，则每个箱子都不空的概率为 16 （5 分）已知，若函
5、数 yf（x）+g（x） m（x0）恰有两个不相等的零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若 （1）求出数列an的通项公式； （2）已知，数列bn的前 n 项和记为 Tn，证明： 18（12 分） 如图所示， 底面为正方形的四棱锥 PABCD 中， AB2， PA4， PBPD， AC 与
6、 BD 相交于点 O，E 为 PD 中点 （1）求证：EO平面 PBC； （2）设线段 BC 上点 F 满足 CF2BF，求锐二面角 EOFC 的余弦值 19 （12 分）为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调 查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数 如表： 年龄 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 频数 10 20 30 20 10 10 第 4 页（共 24 页） 支持“新农 村建设” 3 11 26 12 6 2 （1）根据上述统计数据填下面的 22 列联表
7、，并判断是否有 95%的把握认为以 50 岁为 分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异； 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人 数 合计 支持 不支持 合计 （2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报 道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出 4 名幸运观众（假设年龄均在 20 周岁至 80 周岁内） ，给予适当的奖励若以频率估计概率，记选出 4 名幸运观众中支 持“新农村建设”人数为 ，试求随机变量 的分布列和数学期望 参考数据： P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K 2.0
8、72 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 20 （12 分）已知函数 f（x）（ax）ex1，xR （1）求函数 f（x）的单调区间及极值； （2）设时，存在 x1（，+） ，x2（0，+） ， 使方程 f（x1）g（x2）成立，求实数 m 的最小值 21 （12 分）已知椭圆的短轴长为，且离心率为，圆 D： x2+y2a2+b2 （1）求椭圆 C 的方程， （2）点 P 在圆 D 上，F 为椭圆右焦点，线段 PF 与椭圆 C 相交于 Q，若，求 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作
9、答时请写两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写 第 5 页（共 24 页） 清题号清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为以坐标原点为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C 上的动点，求PAB 面积 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设不等式|2x1|+|x+2|4 的解集为 M （1）求集合 M； （2）已知
10、 a，bM，求证：|ab|1ab| 第 6 页（共 24 页） 2018-2019 学年山东省实验中学高三 （下）学年山东省实验中学高三 （下） 4 月质检数学试卷 （理月质检数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题小题，每小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）设（ ） Ax|x0 Bx|0x3 Cx|x4 Dx|xR 【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x3，Bx|0x4； AB
11、x|0x3 故选：B 【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）3+2i，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（1+i）3+2i， 得 z， 复数 z 的虚部为 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题， 3 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4+S52，S714，则 a10（ ） A8 B18 C14 D14 【分析】数列an为等差数列，S7147a4，所以 a42，又 a4+S5
12、2+5a32，所以 a3 0，所以公差 d2，即可得到 a10 【解答】解：因为数列an为等差数列，设其公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 S2n1 （2n1）an 第 7 页（共 24 页） 所以 S7147a4，即 a42， 又 a4+S522+5a3，所以 a30， 所以公差 da4a32， a10a4+6d2+1214 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和等差数列的性质，合理运用公式是快速解决 问题的关键本题属基础题 4 （5 分）已知三个村庄 A，B，C 构成一个三角形，且 AB5 千米，BC12 千米，AC 13 千米为了方便市民生活，现在ABC 内任取一点 M 建
13、一大型生活超市，则 M 到 A， B，C 的距离都不小于 2 千米的概率为（ ） A B C D 【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计 算即可 【解答】解：在 RtABC 中，B 为直角，且 AB5，BC12，AC13， 则ABC 的面积 S51230， 若在三角形 ABC 内任取一点，则该点到三个定点 A，B，C 的距离不小于 2， 则该点位于阴影部分， 则三个小扇形的圆心角转化为 180， 半径为 2， 则对应的面积之和为 S2， 则阴影部分的面积 S302， 则对应的概率 P， 故选：C 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区
14、域的面积是解决本 题的关键，是中档题 第 8 页（共 24 页） 5 （5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑 的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为 2 的等腰直角三角形（如图所示） ，则该鳖臑 的表面积为（ ） A8 B C D4 十 【分析】直接利用三视图的转换和几何体的体积公式的应用求出结果 【解答】解：根据几何体的三视图： 得知：该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形和高为 3 的四面体构成， 该鳖臑的表面积为：2+24+4 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学 生的运算能力和转化能
15、力，属于基础题型 6 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，DAB120，|AB|2，|AD|1，若 E 为线段 AB 中 点，则（ ） A B1 C D2 【分析】画出图形，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，DAB120，|AB|2，|AD|1， 若 E 为线段 AB 中点，建立如图所示的坐标系，则 B（1，） ，A（0，0） ，D（1，0） ， 第 9 页（共 24 页） 则 E（，） ，可得（0，） ，（，） ， 则 故选：C 【点评】本题考查向量的数量积的应用，利用向量的坐标运算能够化简解题过程 7 （5 分）在侧棱长为 a 的正三棱锥
16、 OABC 中，侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，现有一小 球 P 在该几何体内，则小球 P 最大的半径为（ ） A B C Da 【分析】该小球在正三棱锥内部，故该小球最大时应为三棱锥的内切球，利用体积相等 处理即可 【解答】解：依题意，该小球为正三棱锥的内切球，设它的半径为 r，球心为 P，连接 PO，PA，PB，PC 则正三棱锥的体积 V 等于四个小三棱锥 POAB，POBC，POAC，PABC 的体积 和， 因为球是正三棱锥的内切球，故四个小三棱锥可以分别看作以原正三棱锥的四个表面为 底，以球的半径 r 为高的三棱锥 因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形，且直角边为 a，所以正三棱锥的底
17、面边长为 ， 所以有 VOABCVPPAB+VPOBC+VPOAC+VPABC， 3（aar）+， 解得：r 故选：B 第 10 页（共 24 页） 【点评】本题考查了正三棱锥的内切球，利用体积相等处理这类问题是常用的方法本 题属中档题 8 （5 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（1，0） ，过点 P（1，1）的直线 l 与抛 物线 C 交于 A，B 两点，若 P 恰好为线段 AB 的中点，则|AB|（ ） A2 B C4 D5 【分析】求出抛物线方程，设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理求出 k，然后求解 弦长 【解答】解：抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（1，0
18、） ，可得抛物线方程为：y2 4x， 过点 P（1，1）的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P 恰好为线段 AB 的中点， 可知直线的斜率存在不为 0，设为 k，直线方程为：y1k（x1） ，直线方程与抛物线 方程联立可得：ky24y4k+40，y1+y22，解得 k2，则 y1y22， 则|AB| 故选：B 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力 9 （5 分）记函数 f（x）x2+2ax3 在区间（，3上单调递减时实数 a 的取值集合 为 A；不等式恒成立时实数 a 的取值集合为 B，则“xB”是“xA” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件
19、C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据条件求出集合 A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 第 11 页（共 24 页） 【解答】解：f（x）x2+2ax3 在区间（，3上单调递减， 则对称轴 xa3 得 a3，即 A（，3， 当 x2 时，x+x2+22+24， 当且仅当 x2即 x21x3 时取等号， 则 a4，即 B（，4， 则“xB”是“xA”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 根据函数性质以及基本不等式求出 a 的范围是解决本题的关键 10 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，|的最小正周期为 ，将函数
20、f （x）的图象向右平移个单位相到函数 g（x）的图象，且 g（x+）g（x） ， 则 的取值为（ ） A B C D 【分析】由题意利用正弦函数的周期性求出 ，利用函数 yAsin（x+）的图象变换 规律，求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 的取值 【解答】解：函数 f（x）2sin（x+） （0，|的最小正周期为， 2，f（x）2sin（2x+） 将函数 f（x）的图象向右平移个单位相到函数 g（x）2sin（2x+）的图象， g （x+） g （x） ， 故 g （x） 的图象关于直线 x对称， 故有+k+， kZ， 即 k+，故可取 ， 故选：C 【点评】本题主要
21、考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性，属于基础题 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：1（b0，a0）的左焦 点为 F，点 B 的坐标为（0，b） ，若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两 第 12 页（共 24 页） 点，且5，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】求出 P，Q 的坐标，利用5，求出双曲线 C 的离心率 【解答】解：左焦点为 F（c，0） ，点 B 的坐标为（0，b） ， 直线 PQ 为：y（x+c） ，与 yx联立得：P（） 与 yx联立得：Q（，） 5，则 05（）2c3a
22、e 故选：B 【点评】本题考查双曲线 C 的离心率，考查学生的计算能力，确定 P，Q 的坐标是关键 12 （5 分）已知 （0，） ，（0，） ，且 sin（2+）sin，则 cos 的最小值 为（ ） A B C D 【分析】根据 2+（+）+，（+），变形可得 tan （+）5tan，然 后用和角的正切公式可将 tan 用 tan 表示，再用基本不等式求得 tan 的最大值，从而 可得 cos 的最小值 【解答】解：已知 （0，） ，（0，） ，且 sin（2+）sin， 即 sin（+）+sin（+）， sin（+）cos+cos（+）sinsin（+）coscos（+）sin， 化简可
23、得 sin（+）cos5cos（+）sin，即 tan（+）5tan， 第 13 页（共 24 页） 则 5tan ， 可 得tan ， （当且仅当 tan时取等） 即 tan 的最大值为，所以 sec 的最大值为， 所以 cos的最小值为 故选：A 【点评】本题考查了两角和的三角函数，属中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若， 则 A 【分析】由已知利用正弦定理可得 sinB，利用大边对大角可得 B 为锐角，可得 B ，根据三角形内角和定理即可解得 A 的值 【解答
24、】解：， 由正弦定理，可得：，可得：sinB， bc，B 为锐角，可得：B， ABC 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的综 合应用，考查了转化思想，属于基础题 14 （5 分）已知直线 l：mx+ny10 与圆 O：x2+y21 相交的弦长，则 m2+n2 【分析】根据圆中的垂径定理可得 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：|AB|2， 化简得：m2+n2 故答案为： 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，基础题 15 （5 分）某同学手中有 4 张不同的“猪年画” ，现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的 箱子里，则每个箱子都不空的
25、概率为 【分析】 基本事件总数 n3481， 每个箱子都不空包含的基本事件个数 m36， 由此能求出每个箱子都不空的概率 【解答】解：某同学手中有 4 张不同的“猪年画” ， 现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的箱子里， 基本事件总数 n3481， 每个箱子都不空包含的基本事件个数 m36， 则每个箱子都不空的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 16 （5 分）已知，若函数 yf（x）+g（x） m （x0） 恰有两个不相等的零点， 则实数 m 的取值范围为 （ln33， 0） 5， +） 【分析】根据函数与方
26、程的关系转化为 g（x）mf（x） ，构造函数 h（x）f（x） 和 m（x）g（x）m，利用数形结合转化两个函数有两个不同的交点即可得到结论 【解答】解：由 yf（x）+g（x）m0 得 g（x）mf（x） ， 设 h（x）f（x）， 设 m（x）g（x）m|lnx|m， 作出 h（x）和 m（x）的图象如图： 第 15 页（共 24 页） m（1）m， 当m0 时，即 m0 时，m（3）ln3，此时 h（3）3m（3） ，即此时两个函数有 3 个交点，不满足条件 当m0 时，即 m0 时，要使两个函数有两个交点，则此时只需要满足 m（3）ln3 mh（3）3，即 mln33， 此时 ln3
27、3m0， 当m0 时，即 m0 时，此时当 0x1 时，两个函数一定有一个交点， 则此时只要在 x1 时有一个交点即可， 此时当 x1，f（1）5，m（1）m 此时只要满足 m（1）m5，即 m5 即可， 综上实数 m 的取值范围是 m5 或 ln33m0， 故答案为： （ln33，0）5，+） ， 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数交点个数问题，利 用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必
28、考题题为必考题，每个试题，每个试题 考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若 （1）求出数列an的通项公式； （2）已知，数列bn的前 n 项和记为 Tn，证明： 【分析】 （1）由，得，两式作差可得：，再 求出 a12，得数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则； （2），利用裂项相消法求 Tn，可得 Tn是一 个单调递增数列，则答案得证 【解答】 （1）解：， ，两式作差可得： ， an+12an，即 在中取 n1，可得 a12 数列an是首项为 2，公比为 2 的
29、等比数列，则； （2）证明：， ， 第 17 页（共 24 页） Tn是一个单调递增数列， 当 n1 时， 当 n+时，Tn1 【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列通项公式的求法，训练了利用裂项相消法 求数列的前 n 项和，是中档题 18（12 分） 如图所示， 底面为正方形的四棱锥 PABCD 中， AB2， PA4， PBPD， AC 与 BD 相交于点 O，E 为 PD 中点 （1）求证：EO平面 PBC； （2）设线段 BC 上点 F 满足 CF2BF，求锐二面角 EOFC 的余弦值 【分析】 （1）求出 EOPB，由此能证明 EO平面 PBC （2）求出 PAAB，PAAD，从而
30、 PA平面 ABCD，由 ABCD 是正方形，得 ADAB， 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出锐二面角 EOFC 的余弦值 【解答】证明： （1）O 为 AC 与 BD 的交点，且 ABCD 是正方形，O 是 BD 的中点， E 是 PD 的中点，EOPB， 又 PB平面 PBC，EO平面 PBC， EO平面 PBC 解： （2）AB2，PA4，PBPD2， PA2+AB2PB2，PA2+AD2PD2， PAAB，PAAD， ABADA，PA平面 ABCD， 第 18 页（共 24 页） ABCD 是正方形，ADAB， 以 A
31、 为原点，AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，O（1，1，0） ，E（0，1，2） ，F（2，0） ， （1，0，2） ，（1，0） ， 设平面 EOF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （2，6，1） ， PA平面 ABCD，平面 OFC 的法向量为 （0，0，1） ， 设锐二面角 EOFC 的平面角为 ， 则 cos 锐二面角 EOFC 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）为了调查民众对国
32、家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调 查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数 如表： 年龄 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 频数 10 20 30 20 10 10 第 19 页（共 24 页） 支持“新农 村建设” 3 11 26 12 6 2 （1）根据上述统计数据填下面的 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为以 50 岁为 分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异； 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人 数 合计 支持 不支持 合计 （2）为了进一步推动
33、“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报 道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出 4 名幸运观众（假设年龄均在 20 周岁至 80 周岁内） ，给予适当的奖励若以频率估计概率，记选出 4 名幸运观众中支 持“新农村建设”人数为 ，试求随机变量 的分布列和数学期望 参考数据： P（K2k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 【分析】 （1）将调查表中的数据整理后填入 22 列联表，计算 K2，查表判断即可 （2）确定
34、随机变量 的所有可能的取值，又随机变量 B（4，） ，列出 的分布列， 求其期望即可 【解答】解： （1）22 列联表如下： 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人 数 合计 支持 40 20 60 不支持 20 20 40 合计 60 40 100 第 20 页（共 24 页） K22.7783.841， 所以没有 95%的把握认为以 50 岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异 （2）由题意知 所有可能的取值为 0，1，2，3，4且观众支持“新农村建设”的概率 为， 因此随机变量 B（4，） ， P（0），P（1），P（2） ，P（3），P（4） 所以随机变量 的分布列为： 0
35、1 2 3 4 P 所以 的期望为 E（）4 【点评】本题考查了独立性检验，二项分布等知识，考查分析数据，分析问题解决问题 的能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）（ax）ex1，xR （1）求函数 f（x）的单调区间及极值； （2）设时，存在 x1（，+） ，x2（0，+） ， 使方程 f（x1）g（x2）成立，求实数 m 的最小值 【分析】 （1）求导后，利用导数的符号可得函数的单调性，利用单调性可得函数的极值； （2）存在 x1（，+） ，x2（0，+） ，使方程 f（x1）g（x2）成立转化为必然 存在 x2（0，+） ，使 g（x2）0；xt，lnx，等价于方程 ln
36、x有解，即 m xlnx 有解，然后构造函数，利用导数求出最小值可解决 【解答】解： （1）由 f（x）（ax）ex1 得 f（x）（a1x）ex， 令 f（x）0，得 xa1， 当 x（，a1）时，f（x）0； 当 x（a1，+）时，f（x）0， 第 21 页（共 24 页） 所以 f（x）的单调递增区间为（，a1） ，单调递减区间为（a1，+） ， 所以 xa1 时，函数 f（x）有极大值且为 f（a1）ea 11，f（x）没有极小值 （2）当 a1 时，由（1）知，函数 f（x）在 xa10 处有最大值 f（0）e010， 又因为 g（x）（xt）2+（lnx）20， 方程 f（x1）g
37、（x2）有解，必然存在 x2（0，+） ，使 g（x2）0； xt，lnx， 等价于方程 lnx有解，即 mxlnx 有解， 记 h（x）xlnx，h（x）lnx+1，令 h（x）0，得 x， 当 x（0，）时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（，+）时，h（x）0，h（x）单调递增， 所以 x时，h（x）min， 所以实数 m 的最小值为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属难题 21 （12 分）已知椭圆的短轴长为，且离心率为，圆 D： x2+y2a2+b2 （1）求椭圆 C 的方程， （2）点 P 在圆 D 上，F 为椭圆右焦点，线段 PF 与椭圆 C 相交于 Q，若，求
38、 的取值范围 【分析】 （1）由题意可知，解得 a2，b，即可求出椭圆方程， （2）设 P（x1，y1） ，Q（x0，y0） ，由，可得（1x1，y1）（1x0，y0） ， 0，根据方程根的关系即可求出 的取值范围 第 22 页（共 24 页） 【解答】解： （1）由题意可知，解得 a2，b， 故椭圆的方程为+1 （2）圆 D：x2+y27，点 F 的坐标为（1，0） ， 设 P（x1，y1） ，Q（x0，y0） ，由，可得（1x1，y1）（1x0，y0） ， 0， ， 由 x12+y217，可得（x0+1）2+（y0）27， 又 y023x02，代入消去 y0，整理成关于 x0的等式为2x0
39、2+2（1）x0+422 60，此方程在2，2上必须有解， 令 f（x）2x2+2（1）x+4226， 则 f（2）9266，f（2）2+26，2（106） ， 若 f（2）0，解得 （舍去）或 ， 若 f（2）0，解得 1（舍去） ，1+， 若 f（0）0 在（2，2）上有且只有一个实根，则由 f（2）f（2）0，解得 1， 若 f （0） 0 在 （2， 2） 上有两个实根，（包含两相等实根） ， 则， 解得1， 综上所述 的取值范围为， 【点评】本题考查椭圆方程、实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性 质、根的判别式、向量知识的合理运用，属于中档题 第 23 页（共 24 页
40、） 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写 清题号清题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为以坐标原点为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C 上的动点，求PAB 面积 的最大值 【分析】 （1）由+1，得 C 的参数方程为：（ 为参数） ，
41、由 sin （）（sincos），得直线 l 的直角坐标方程为 xy20， （2）在 xy20 中分别令 y0 和 x0 可得 A（2，0） ，B（0，2） ，所以 AB2， 然后根据点到直线的距离公式求出 P 到直线 l 的距离得最大值，从而可得面积的最大值 【解答】解： （1）由+1，得 C 的参数方程为：（ 为参数） ， 由 sin（）（sincos），得直线 l 的直角坐标方程为 xy2 0， （2）在 xy20 中分别令 y0 和 x0 可得 A（2，0） ，B（0，2） ，所以 AB2， 设曲线 C 上点 P（2cos，sin） ，则 P 到 l 的距离 d ，其中 cos，sin
42、 ， 当 sin（）1 时，dmax， 所以PAB 的面积的最大值为+2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 24 页（共 24 页） 23设不等式|2x1|+|x+2|4 的解集为 M （1）求集合 M； （2）已知 a，bM，求证：|ab|1ab| 【分析】 （1）原不等式等价于或或，解 得即可， （2）利用平方法和作差法即可比较 【解答】 解： （1） 原不等式等价于或或， 解得x1 或1x， 故原不等式的解集为x|1x1 证明（2）|1ab|2|ab|21+a2b2a2b2（a21） （b21） 由于|a|1，|b|1，则 a210，b210 则|1ab|2|ab|20， 故有：|ab|1ab| 【点评】本题考查不等式的证明，考查比较法的运用以及不等式性质的基本运用，注意 结合题意，进行绝对值的转化，属于中档题
