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2018-2019学年山东省济南市市中区高三(下)4月质检数学试卷(理科)含详细解答

1、设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a4+S52,S714,则 a10( ) A8 B18 C14 D14 4 (5 分)已知三个村庄 A,B,C 构成一个三角形,且 AB5 千米,BC12 千米,AC 13 千米为了方便市民生活,现在ABC 内任取一点 M 建一大型生活超市,则 M 到 A, B,C 的距离都不小于 2 千米的概率为( ) A B C D 5 (5 分)在九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑 的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为 2 的等腰直角三角形(如图所示) ,则该鳖臑 的表面积为( ) A8 B C D4 十 6 (5 分)在平行四边形

2、 ABCD 中,DAB120,|AB|2,|AD|1,若 E 为线段 AB 中 点,则( ) A B1 C D2 第 2 页(共 24 页) 7 (5 分)在侧棱长为 a 的正三棱锥 OABC 中,侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,现有一小 球 P 在该几何体内,则小球 P 最大的半径为( ) A B C Da 8 (5 分)设抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F(1,0) ,过点 P(1,1)的直线 l 与抛 物线 C 交于 A,B 两点,若 P 恰好为线段 AB 的中点,则|AB|( ) A2 B C4 D5 9 (5 分)记函数 f(x)x2+2ax3 在区间(,3上单调递减时实数

3、 a 的取值集合 为 A;不等式恒成立时实数 a 的取值集合为 B,则“xB”是“xA” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 (5 分)已知函数 f(x)2sin(x+) (0,|的最小正周期为 ,将函数 f (x)的图象向右平移个单位相到函数 g(x)的图象,且 g(x+)g(x) , 则 的取值为( ) A B C D 11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:1(b0,a0)的左焦 点为 F,点 B 的坐标为(0,b) ,若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两 点,且5,则双曲线 C 的离心率为

4、( ) A B C D2 12 (5 分)已知 (0,) ,(0,) ,且 sin(2+)sin,则 cos 的最小值 为( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分 13 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若, 则 A 第 3 页(共 24 页) 14 (5 分)已知直线 l:mx+ny10 与圆 O:x2+y21 相交的弦长,则 m2+n2 15 (5 分)某同学手中有 4 张不同的“猪年画” ,现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的 箱子里,则每个箱子都不空的概率为 16 (5 分)已知,若函

5、数 yf(x)+g(x) m(x0)恰有两个不相等的零点,则实数 m 的取值范围为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,每个试题题为必考题,每个试题 考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答 17 (12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,若 (1)求出数列an的通项公式; (2)已知,数列bn的前 n 项和记为 Tn,证明: 18(12 分) 如图所示, 底面为正方形的四棱锥 PABCD 中, AB2, PA4, PBPD, AC 与

6、 BD 相交于点 O,E 为 PD 中点 (1)求证:EO平面 PBC; (2)设线段 BC 上点 F 满足 CF2BF,求锐二面角 EOFC 的余弦值 19 (12 分)为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度,现通过网络问卷随机调 查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人,他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数 如表: 年龄 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 频数 10 20 30 20 10 10 第 4 页(共 24 页) 支持“新农 村建设” 3 11 26 12 6 2 (1)根据上述统计数据填下面的 22 列联表

7、,并判断是否有 95%的把握认为以 50 岁为 分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异; 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人 数 合计 支持 不支持 合计 (2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施,中央电视台某节目对此进行了专题报 道,并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出 4 名幸运观众(假设年龄均在 20 周岁至 80 周岁内) ,给予适当的奖励若以频率估计概率,记选出 4 名幸运观众中支 持“新农村建设”人数为 ,试求随机变量 的分布列和数学期望 参考数据: P(K2k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K 2.0

8、72 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式: 20 (12 分)已知函数 f(x)(ax)ex1,xR (1)求函数 f(x)的单调区间及极值; (2)设时,存在 x1(,+) ,x2(0,+) , 使方程 f(x1)g(x2)成立,求实数 m 的最小值 21 (12 分)已知椭圆的短轴长为,且离心率为,圆 D: x2+y2a2+b2 (1)求椭圆 C 的方程, (2)点 P 在圆 D 上,F 为椭圆右焦点,线段 PF 与椭圆 C 相交于 Q,若,求 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作

9、答时请写两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写 第 5 页(共 24 页) 清题号清题号选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为以坐标原点为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B 两点,P 为曲线 C 上的动点,求PAB 面积 的最大值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设不等式|2x1|+|x+2|4 的解集为 M (1)求集合 M; (2)已知

10、 a,bM,求证:|ab|1ab| 第 6 页(共 24 页) 2018-2019 学年山东省实验中学高三 (下)学年山东省实验中学高三 (下) 4 月质检数学试卷 (理月质检数学试卷 (理 科)科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题小题,每小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 (5 分)设( ) Ax|x0 Bx|0x3 Cx|x4 Dx|xR 【分析】可求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 【解答】解:Ax|x3,Bx|0x4; AB

11、x|0x3 故选:B 【点评】考查描述法的定义,一元二次不等式的解法,以及交集的运算 2 (5 分)已知复数 z 满足 z(1+i)3+2i,则复数 z 的虚部为( ) A B C D 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:由 z(1+i)3+2i, 得 z, 复数 z 的虚部为 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题, 3 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a4+S52,S714,则 a10( ) A8 B18 C14 D14 【分析】数列an为等差数列,S7147a4,所以 a42,又 a4+S5

12、2+5a32,所以 a3 0,所以公差 d2,即可得到 a10 【解答】解:因为数列an为等差数列,设其公差为 d,前 n 项和为 Sn,则 S2n1 (2n1)an 第 7 页(共 24 页) 所以 S7147a4,即 a42, 又 a4+S522+5a3,所以 a30, 所以公差 da4a32, a10a4+6d2+1214 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和等差数列的性质,合理运用公式是快速解决 问题的关键本题属基础题 4 (5 分)已知三个村庄 A,B,C 构成一个三角形,且 AB5 千米,BC12 千米,AC 13 千米为了方便市民生活,现在ABC 内任取一点 M 建

13、一大型生活超市,则 M 到 A, B,C 的距离都不小于 2 千米的概率为( ) A B C D 【分析】根据条件作出对应的图象,求出对应的面积,根据几何概型的概率公式进行计 算即可 【解答】解:在 RtABC 中,B 为直角,且 AB5,BC12,AC13, 则ABC 的面积 S51230, 若在三角形 ABC 内任取一点,则该点到三个定点 A,B,C 的距离不小于 2, 则该点位于阴影部分, 则三个小扇形的圆心角转化为 180, 半径为 2, 则对应的面积之和为 S2, 则阴影部分的面积 S302, 则对应的概率 P, 故选:C 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据条件求出对应区

14、域的面积是解决本 题的关键,是中档题 第 8 页(共 24 页) 5 (5 分)在九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑 的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为 2 的等腰直角三角形(如图所示) ,则该鳖臑 的表面积为( ) A8 B C D4 十 【分析】直接利用三视图的转换和几何体的体积公式的应用求出结果 【解答】解:根据几何体的三视图: 得知:该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形和高为 3 的四面体构成, 该鳖臑的表面积为:2+24+4 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三视图的应用,几何体的体积公式的应用,主要考查学 生的运算能力和转化能

15、力,属于基础题型 6 (5 分)在平行四边形 ABCD 中,DAB120,|AB|2,|AD|1,若 E 为线段 AB 中 点,则( ) A B1 C D2 【分析】画出图形,求出相关点的坐标,通过向量的数量积求解即可 【解答】解:在平行四边形 ABCD 中,DAB120,|AB|2,|AD|1, 若 E 为线段 AB 中点,建立如图所示的坐标系,则 B(1,) ,A(0,0) ,D(1,0) , 第 9 页(共 24 页) 则 E(,) ,可得(0,) ,(,) , 则 故选:C 【点评】本题考查向量的数量积的应用,利用向量的坐标运算能够化简解题过程 7 (5 分)在侧棱长为 a 的正三棱锥

16、 OABC 中,侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,现有一小 球 P 在该几何体内,则小球 P 最大的半径为( ) A B C Da 【分析】该小球在正三棱锥内部,故该小球最大时应为三棱锥的内切球,利用体积相等 处理即可 【解答】解:依题意,该小球为正三棱锥的内切球,设它的半径为 r,球心为 P,连接 PO,PA,PB,PC 则正三棱锥的体积 V 等于四个小三棱锥 POAB,POBC,POAC,PABC 的体积 和, 因为球是正三棱锥的内切球,故四个小三棱锥可以分别看作以原正三棱锥的四个表面为 底,以球的半径 r 为高的三棱锥 因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形,且直角边为 a,所以正三棱锥的底

17、面边长为 , 所以有 VOABCVPPAB+VPOBC+VPOAC+VPABC, 3(aar)+, 解得:r 故选:B 第 10 页(共 24 页) 【点评】本题考查了正三棱锥的内切球,利用体积相等处理这类问题是常用的方法本 题属中档题 8 (5 分)设抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F(1,0) ,过点 P(1,1)的直线 l 与抛 物线 C 交于 A,B 两点,若 P 恰好为线段 AB 的中点,则|AB|( ) A2 B C4 D5 【分析】求出抛物线方程,设出直线方程,联立方程组,利用韦达定理求出 k,然后求解 弦长 【解答】解:抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F(1,0

18、) ,可得抛物线方程为:y2 4x, 过点 P(1,1)的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P 恰好为线段 AB 的中点, 可知直线的斜率存在不为 0,设为 k,直线方程为:y1k(x1) ,直线方程与抛物线 方程联立可得:ky24y4k+40,y1+y22,解得 k2,则 y1y22, 则|AB| 故选:B 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查计算能力 9 (5 分)记函数 f(x)x2+2ax3 在区间(,3上单调递减时实数 a 的取值集合 为 A;不等式恒成立时实数 a 的取值集合为 B,则“xB”是“xA” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件

19、C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据条件求出集合 A,B,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 第 11 页(共 24 页) 【解答】解:f(x)x2+2ax3 在区间(,3上单调递减, 则对称轴 xa3 得 a3,即 A(,3, 当 x2 时,x+x2+22+24, 当且仅当 x2即 x21x3 时取等号, 则 a4,即 B(,4, 则“xB”是“xA”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据函数性质以及基本不等式求出 a 的范围是解决本题的关键 10 (5 分)已知函数 f(x)2sin(x+) (0,|的最小正周期为 ,将函数

20、f (x)的图象向右平移个单位相到函数 g(x)的图象,且 g(x+)g(x) , 则 的取值为( ) A B C D 【分析】由题意利用正弦函数的周期性求出 ,利用函数 yAsin(x+)的图象变换 规律,求得 g(x)的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性求得 的取值 【解答】解:函数 f(x)2sin(x+) (0,|的最小正周期为, 2,f(x)2sin(2x+) 将函数 f(x)的图象向右平移个单位相到函数 g(x)2sin(2x+)的图象, g (x+) g (x) , 故 g (x) 的图象关于直线 x对称, 故有+k+, kZ, 即 k+,故可取 , 故选:C 【点评】本题主要

21、考查函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称 性,属于基础题 11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:1(b0,a0)的左焦 点为 F,点 B 的坐标为(0,b) ,若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两 第 12 页(共 24 页) 点,且5,则双曲线 C 的离心率为( ) A B C D2 【分析】求出 P,Q 的坐标,利用5,求出双曲线 C 的离心率 【解答】解:左焦点为 F(c,0) ,点 B 的坐标为(0,b) , 直线 PQ 为:y(x+c) ,与 yx联立得:P() 与 yx联立得:Q(,) 5,则 05()2c3a

22、e 故选:B 【点评】本题考查双曲线 C 的离心率,考查学生的计算能力,确定 P,Q 的坐标是关键 12 (5 分)已知 (0,) ,(0,) ,且 sin(2+)sin,则 cos 的最小值 为( ) A B C D 【分析】根据 2+(+)+,(+),变形可得 tan (+)5tan,然 后用和角的正切公式可将 tan 用 tan 表示,再用基本不等式求得 tan 的最大值,从而 可得 cos 的最小值 【解答】解:已知 (0,) ,(0,) ,且 sin(2+)sin, 即 sin(+)+sin(+), sin(+)cos+cos(+)sinsin(+)coscos(+)sin, 化简可

23、得 sin(+)cos5cos(+)sin,即 tan(+)5tan, 第 13 页(共 24 页) 则 5tan , 可 得tan , (当且仅当 tan时取等) 即 tan 的最大值为,所以 sec 的最大值为, 所以 cos的最小值为 故选:A 【点评】本题考查了两角和的三角函数,属中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分 13 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若, 则 A 【分析】由已知利用正弦定理可得 sinB,利用大边对大角可得 B 为锐角,可得 B ,根据三角形内角和定理即可解得 A 的值 【解答

24、】解:, 由正弦定理,可得:,可得:sinB, bc,B 为锐角,可得:B, ABC 故答案为: 【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,三角形内角和定理在解三角形中的综 合应用,考查了转化思想,属于基础题 14 (5 分)已知直线 l:mx+ny10 与圆 O:x2+y21 相交的弦长,则 m2+n2 【分析】根据圆中的垂径定理可得 第 14 页(共 24 页) 【解答】解:|AB|2, 化简得:m2+n2 故答案为: 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,基础题 15 (5 分)某同学手中有 4 张不同的“猪年画” ,现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的 箱子里,则每个箱子都不空的

25、概率为 【分析】 基本事件总数 n3481, 每个箱子都不空包含的基本事件个数 m36, 由此能求出每个箱子都不空的概率 【解答】解:某同学手中有 4 张不同的“猪年画” , 现要将其投放到 A、B、C 三个不同号的箱子里, 基本事件总数 n3481, 每个箱子都不空包含的基本事件个数 m36, 则每个箱子都不空的概率为 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 16 (5 分)已知,若函数 yf(x)+g(x) m (x0) 恰有两个不相等的零点, 则实数 m 的取值范围为 (ln33, 0) 5, +) 【分析】根据函数与方

26、程的关系转化为 g(x)mf(x) ,构造函数 h(x)f(x) 和 m(x)g(x)m,利用数形结合转化两个函数有两个不同的交点即可得到结论 【解答】解:由 yf(x)+g(x)m0 得 g(x)mf(x) , 设 h(x)f(x), 设 m(x)g(x)m|lnx|m, 作出 h(x)和 m(x)的图象如图: 第 15 页(共 24 页) m(1)m, 当m0 时,即 m0 时,m(3)ln3,此时 h(3)3m(3) ,即此时两个函数有 3 个交点,不满足条件 当m0 时,即 m0 时,要使两个函数有两个交点,则此时只需要满足 m(3)ln3 mh(3)3,即 mln33, 此时 ln3

27、3m0, 当m0 时,即 m0 时,此时当 0x1 时,两个函数一定有一个交点, 则此时只要在 x1 时有一个交点即可, 此时当 x1,f(1)5,m(1)m 此时只要满足 m(1)m5,即 m5 即可, 综上实数 m 的取值范围是 m5 或 ln33m0, 故答案为: (ln33,0)5,+) , 第 16 页(共 24 页) 【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件转化为两个函数交点个数问题,利 用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强,有一定的难度 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第 17-21 题为必

28、考题题为必考题,每个试题,每个试题 考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答 17 (12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,若 (1)求出数列an的通项公式; (2)已知,数列bn的前 n 项和记为 Tn,证明: 【分析】 (1)由,得,两式作差可得:,再 求出 a12,得数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列,则; (2),利用裂项相消法求 Tn,可得 Tn是一 个单调递增数列,则答案得证 【解答】 (1)解:, ,两式作差可得: , an+12an,即 在中取 n1,可得 a12 数列an是首项为 2,公比为 2 的

29、等比数列,则; (2)证明:, , 第 17 页(共 24 页) Tn是一个单调递增数列, 当 n1 时, 当 n+时,Tn1 【点评】本题考查数列递推式,考查等比数列通项公式的求法,训练了利用裂项相消法 求数列的前 n 项和,是中档题 18(12 分) 如图所示, 底面为正方形的四棱锥 PABCD 中, AB2, PA4, PBPD, AC 与 BD 相交于点 O,E 为 PD 中点 (1)求证:EO平面 PBC; (2)设线段 BC 上点 F 满足 CF2BF,求锐二面角 EOFC 的余弦值 【分析】 (1)求出 EOPB,由此能证明 EO平面 PBC (2)求出 PAAB,PAAD,从而

30、 PA平面 ABCD,由 ABCD 是正方形,得 ADAB, 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法 能求出锐二面角 EOFC 的余弦值 【解答】证明: (1)O 为 AC 与 BD 的交点,且 ABCD 是正方形,O 是 BD 的中点, E 是 PD 的中点,EOPB, 又 PB平面 PBC,EO平面 PBC, EO平面 PBC 解: (2)AB2,PA4,PBPD2, PA2+AB2PB2,PA2+AD2PD2, PAAB,PAAD, ABADA,PA平面 ABCD, 第 18 页(共 24 页) ABCD 是正方形,ADAB, 以 A

31、 为原点,AB,AD,AP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,O(1,1,0) ,E(0,1,2) ,F(2,0) , (1,0,2) ,(1,0) , 设平面 EOF 的法向量 (x,y,z) , 则,取 z1,得 (2,6,1) , PA平面 ABCD,平面 OFC 的法向量为 (0,0,1) , 设锐二面角 EOFC 的平面角为 , 则 cos 锐二面角 EOFC 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19 (12 分)为了调查民众对国

32、家实行“新农村建设”政策的态度,现通过网络问卷随机调 查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人,他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数 如表: 年龄 20,30) 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 频数 10 20 30 20 10 10 第 19 页(共 24 页) 支持“新农 村建设” 3 11 26 12 6 2 (1)根据上述统计数据填下面的 22 列联表,并判断是否有 95%的把握认为以 50 岁为 分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异; 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人 数 合计 支持 不支持 合计 (2)为了进一步推动

33、“新农村建设”政策的实施,中央电视台某节目对此进行了专题报 道,并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出 4 名幸运观众(假设年龄均在 20 周岁至 80 周岁内) ,给予适当的奖励若以频率估计概率,记选出 4 名幸运观众中支 持“新农村建设”人数为 ,试求随机变量 的分布列和数学期望 参考数据: P(K2k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式: 【分析】 (1)将调查表中的数据整理后填入 22 列联表,计算 K2,查表判断即可 (2)确定

34、随机变量 的所有可能的取值,又随机变量 B(4,) ,列出 的分布列, 求其期望即可 【解答】解: (1)22 列联表如下: 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人 数 合计 支持 40 20 60 不支持 20 20 40 合计 60 40 100 第 20 页(共 24 页) K22.7783.841, 所以没有 95%的把握认为以 50 岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异 (2)由题意知 所有可能的取值为 0,1,2,3,4且观众支持“新农村建设”的概率 为, 因此随机变量 B(4,) , P(0),P(1),P(2) ,P(3),P(4) 所以随机变量 的分布列为: 0

35、1 2 3 4 P 所以 的期望为 E()4 【点评】本题考查了独立性检验,二项分布等知识,考查分析数据,分析问题解决问题 的能力,属于中档题 20 (12 分)已知函数 f(x)(ax)ex1,xR (1)求函数 f(x)的单调区间及极值; (2)设时,存在 x1(,+) ,x2(0,+) , 使方程 f(x1)g(x2)成立,求实数 m 的最小值 【分析】 (1)求导后,利用导数的符号可得函数的单调性,利用单调性可得函数的极值; (2)存在 x1(,+) ,x2(0,+) ,使方程 f(x1)g(x2)成立转化为必然 存在 x2(0,+) ,使 g(x2)0;xt,lnx,等价于方程 ln

36、x有解,即 m xlnx 有解,然后构造函数,利用导数求出最小值可解决 【解答】解: (1)由 f(x)(ax)ex1 得 f(x)(a1x)ex, 令 f(x)0,得 xa1, 当 x(,a1)时,f(x)0; 当 x(a1,+)时,f(x)0, 第 21 页(共 24 页) 所以 f(x)的单调递增区间为(,a1) ,单调递减区间为(a1,+) , 所以 xa1 时,函数 f(x)有极大值且为 f(a1)ea 11,f(x)没有极小值 (2)当 a1 时,由(1)知,函数 f(x)在 xa10 处有最大值 f(0)e010, 又因为 g(x)(xt)2+(lnx)20, 方程 f(x1)g

37、(x2)有解,必然存在 x2(0,+) ,使 g(x2)0; xt,lnx, 等价于方程 lnx有解,即 mxlnx 有解, 记 h(x)xlnx,h(x)lnx+1,令 h(x)0,得 x, 当 x(0,)时,h(x)0,h(x)单调递减; 当 x(,+)时,h(x)0,h(x)单调递增, 所以 x时,h(x)min, 所以实数 m 的最小值为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,属难题 21 (12 分)已知椭圆的短轴长为,且离心率为,圆 D: x2+y2a2+b2 (1)求椭圆 C 的方程, (2)点 P 在圆 D 上,F 为椭圆右焦点,线段 PF 与椭圆 C 相交于 Q,若,求

38、 的取值范围 【分析】 (1)由题意可知,解得 a2,b,即可求出椭圆方程, (2)设 P(x1,y1) ,Q(x0,y0) ,由,可得(1x1,y1)(1x0,y0) , 0,根据方程根的关系即可求出 的取值范围 第 22 页(共 24 页) 【解答】解: (1)由题意可知,解得 a2,b, 故椭圆的方程为+1 (2)圆 D:x2+y27,点 F 的坐标为(1,0) , 设 P(x1,y1) ,Q(x0,y0) ,由,可得(1x1,y1)(1x0,y0) , 0, , 由 x12+y217,可得(x0+1)2+(y0)27, 又 y023x02,代入消去 y0,整理成关于 x0的等式为2x0

39、2+2(1)x0+422 60,此方程在2,2上必须有解, 令 f(x)2x2+2(1)x+4226, 则 f(2)9266,f(2)2+26,2(106) , 若 f(2)0,解得 (舍去)或 , 若 f(2)0,解得 1(舍去) ,1+, 若 f(0)0 在(2,2)上有且只有一个实根,则由 f(2)f(2)0,解得 1, 若 f (0) 0 在 (2, 2) 上有两个实根,(包含两相等实根) , 则, 解得1, 综上所述 的取值范围为, 【点评】本题考查椭圆方程、实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意椭圆性 质、根的判别式、向量知识的合理运用,属于中档题 第 23 页(共 24 页

40、) 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写 清题号清题号选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为以坐标原点为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B 两点,P 为曲线 C 上的动点,求PAB 面积 的最大值 【分析】 (1)由+1,得 C 的参数方程为:( 为参数) ,

41、由 sin ()(sincos),得直线 l 的直角坐标方程为 xy20, (2)在 xy20 中分别令 y0 和 x0 可得 A(2,0) ,B(0,2) ,所以 AB2, 然后根据点到直线的距离公式求出 P 到直线 l 的距离得最大值,从而可得面积的最大值 【解答】解: (1)由+1,得 C 的参数方程为:( 为参数) , 由 sin()(sincos),得直线 l 的直角坐标方程为 xy2 0, (2)在 xy20 中分别令 y0 和 x0 可得 A(2,0) ,B(0,2) ,所以 AB2, 设曲线 C 上点 P(2cos,sin) ,则 P 到 l 的距离 d ,其中 cos,sin

42、 , 当 sin()1 时,dmax, 所以PAB 的面积的最大值为+2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 第 24 页(共 24 页) 23设不等式|2x1|+|x+2|4 的解集为 M (1)求集合 M; (2)已知 a,bM,求证:|ab|1ab| 【分析】 (1)原不等式等价于或或,解 得即可, (2)利用平方法和作差法即可比较 【解答】 解: (1) 原不等式等价于或或, 解得x1 或1x, 故原不等式的解集为x|1x1 证明(2)|1ab|2|ab|21+a2b2a2b2(a21) (b21) 由于|a|1,|b|1,则 a210,b210 则|1ab|2|ab|20, 故有:|ab|1ab| 【点评】本题考查不等式的证明,考查比较法的运用以及不等式性质的基本运用,注意 结合题意,进行绝对值的转化,属于中档题