1、第 1 页，总 19 页 2020 山东省高考压轴卷数学 一、选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A=xx2且 AB=A，则集合 B 可以是（ ） A. xx24 B. x2yx C. y 2 2,yxxR D. 1,0,1,2,3 2.若 2 2zii （i 是虚数单位） ，则复数 z 的模为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 3.已知 4 log 5a ， 2 log 3b ， sin2c ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. abc B. cab C. bca D.
2、cba 4.若对任意的正数 a，b 满足 31 0ab ，则 31 ab 的最小值为 A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 5.如图，在四边形 ABCD 中，AD BC ，AD AB ， 45BCD，90BAD，将ABD 沿 BD 折 起，使平面ABD 平面 BCD 构成几何体 A-BCD，则在几何体 A-BCD 中，下列结论正确的是（ ） A. 平面 ADC平面 ABC B. 平面 ADC平面 BDC C. 平面 ABC平面 BDC D. 平面 ABD平面 ABC 6. 5 2 1 12x x 展开式的常数项为（） A. 112 B. 48 C. -112 D. -48 7.已知 F
3、是双曲线 22 :1 45 xy C-= 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 =OPOF ，则 O PF 的 面积为（ ） 答案第 2 页，总 19 页 A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 9 2 8.已知函数 2 ( )2log x f xx ，且实数 0abc ，满足 ( ) ( ) ( )0f a f b f c ，若实数 0 x 是函数 ( )yf x 的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A. 0 xa B. 0 xa C. 0 xb D. 0 xc 二 多项选择题： 本题共 4 个小题， 每小题 5 分， 共 20 分。 在每小题的四个选项中
4、， 有多个符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有错选的得 0 分。 9.已知函数 ( )lnf xxx ，给出下面四个命题：函数 f x 的最小值为 1 e ；函数 f x 有两个零点； 若方程 f xm 有一解，则 0m ；函数 f x 的单调减区间为 1 , e . 则其中错误命题的序号是（ ） A B C D 10已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆 22 1xy上的动点，若 PAQ 的最大值 为90，则点A的坐标可以是（ ） A0,2 B1,2 1 C 2,0 D 21,1 11 已知数列的前 n 项和为， 且满足， 则下列说法正确的是 （ ） A
5、数列的前 n 项和为 B数列的通项公式为 C数列为递增数列 D数列为递增数列 12如图，梯形中，将沿对角线 折起.设 折起后点 的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：() A B三棱锥的体积为 C平面 D平面平面 第 3 页，总 19 页 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.二项式 00 n b axab x ， 的展开式中，设“所有二项式系数和”为 A，“所有项的系数和”为 B，“常 数项”值为 C，若 25670ABC， ，则含 6 x 的项为_ 14.已知ABC 中， 5ABAC ， 8BC ，点 D 是 AC 的中点，
6、M 是边 BC 上一点，则MC MD 的最小 值是（ ） A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 5 4 15.已知点F为抛物线 2 8yx 的焦点，则点F坐标为_；若双曲线 22 2 1 2 xy a （ 0a ）的一个焦 点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是_ 16.每项为正整数的数列an满足 1 1 , 2 31, nn n nn a a a aa 是偶数 是奇数 ， 且 6 4a ， 数列an的前 6 项和的最大值为 S， 记 1 a 的所有可能取值的和为 T，则S T_. 四、解答题.本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题 10 分
7、) 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，满足(2 )coscosbcAaC . （1）求角 A 的大小； （2）若13a ，5b c ，求ABC 的面积. 18.（本小题 12 分） 设数列an满足 123 23.2 (nN*) n n aaana （1）求an的通项公式； （2）求数列 1 22n n a 的前 n 项和 Sn 19. （本小题 12 分）如图 1，在 RtPDC 中， 90D，A、B、E 分别是 PD、PC、CD 中点，4PD ， 答案第 4 页，总 19 页 2 2CD .现将 PAB 沿 AB 折起，如图 2 所示，使二面角P ABC- 为 120
8、 ，F 是 PC 的中点. （1）求证：面 PCD面 PBC； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成的角的正弦值. 20. （本小题 12 分） 五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各 2 个，分别对应 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分、6 分.从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球中最大得分的 8 倍计 分，计分在 20 分到 35 分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的 3 个小球中最大 得分，求： （1）取出的 3 个小球颜色互不相同的概率； （2）随机变量的概率分布和数学期望； （3）求某人抽奖一次，中
9、奖的概率. 21. （本小题 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2 3,3 ，右焦点 F 是抛物线 2 8yx 的焦点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知动直线l过右焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 M，N 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q，使得 135 16 QM QN 恒成立?若存在求出点 Q 的坐标:若不存在，说明理由. 22. （本小题 12 分） 已知函数 32 11 , 32 f xxaxaR . (I)当 a=2 时,求曲线 yf x在点 3,3f处的切线方程； (II)设函数 cos sing xf xxaxx,讨论 g x的单调
10、性并判断有无极值,有极值时求出极值. 第 5 页，总 19 页 答案第 6 页，总 19 页 2020 山东省高考压轴卷数学 Word 版含解析 参考答案 1. 【答案】D 【解析】 A、B=x|x2 或 x-2， 集合 A=x|x-2， AB=x|x-2A，不合题意； B、B=x|x-2， 集合 A=x|x-2， AB=x|x-2=B，不合题意； C、B=y|y-2， 集合 A=x|x-2， AB=x|x-2=B，不合题意； D、若 B=-1，0，1，2，3， 集合 A=x|x-2， AB=x|x-2=A，与题意相符， 故选：D 2. 【答案】D 【解析】 利用复数的乘法、除法法则将复数表示
11、为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z的模. 【详解】因为 2 2zii ，所以 22 3443 443434342525 2 iiiii zi iiiii i ， 所以 22 431 25255 z ，故选：D. 3. 【答案】B 【解析】 因为 4 logyx及 2 logyx都是0,上的增函数，故 44 log 5log 41sin2 ， 22 log 3log 21sin2 ， 第 7 页，总 19 页 又 4222 1 log 5log 5log5log 3 2 ，故cab，选 B. 4. 【答案】C 【解析】 利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】两个正数 a，
12、b 满足310ab 即 a+3b=1 则 31 ab = 319 3662 912 ba ab abab 当且仅当 11 , 26 ab 时取等号 故选：C 5. 【答案】A 【解析】 由已知得BAAD，CDBD， 又平面ABD 平面BCD，所以CD平面ABD， 从而CDAB，故AB 平面ADC. 又AB平面ABC， 所以平面ABC 平面ADC. 故选 A. 6. 【答案】D 【解析】 由于 5 22051423324 55555 111111 121( )2( )4( )8( )1632xxCCCCC xxxxxx ， 故展开式的常数项为 3 5 83248C ，故选：D。 7. 【答案】B
13、 【解析】 设点 00 ,P x y，则 22 00 1 45 xy 又453OPOF， 22 00 9xy 答案第 8 页，总 19 页 由得 2 0 25 9 y， 即 0 5 3 y， 0 1155 3 2232 OPF SOFy ， 故选 B 8. 【答案】D 【解析】 因为函数 2 ( )2log x f xx， 则函数( )yf x在(0,)为增函数， 又实数0abc，满足f（a）f（b）f（c）0， 则f（a） ，f（b） ，f（c）为负数的个数为奇数， 对于选项A，B，C选项可能成立， 对于选项D， 当 0 xc时， 函数的单调性可得：f（a）0，f（b）0，f（c）0， 即不
14、满足f（a）f（b）f（c）0， 故选项D不可能成立， 故选：D 9. 【答案】BCD 【解析】 因为函数( )lnf xxx，所以( )1 lnfxx 当 1 0x e 时，( )0fx ，当 1 x e 时，( )0fx 所以当 1 x e 时， f x的最小值为 1 e ； 如图所示： 第 9 页，总 19 页 当0x时， 0f x ，当x 时， f x ，所以函数 f x有一个零点； 若方程 f xm有一解，则0m 或 1 m e ，函数 f x的单调减区间为 1 0, e . 故错误命题的序号是 故选：BCD 10 【答案】AC 【解析】 如下图所示： 原点到直线l的距离为 22 2
15、 1 11 d ，则直线l与圆 22 1xy相切， 由图可知，当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时， PAQ 取得最大值， 连接OP、OQ，由于PAQ的最大值为90，且90APOAQO，1OPOQ， 则四边形APOQ为正方形，所以22OAOP， 答案第 10 页，总 19 页 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt ， 整理得 2 22 20tt ，解得0t 或 2，因此，点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选：AC. 11 【答案】AD 【解析】 因此数列为以为首项， 为公差的等差数列，也是递增数列，即 D 正确； 所以，即 A 正确； 当时 所以，即 B，C 不正确； 故选：AD
16、12 【答案】CD 【解析】 如图所示： 为中点，连接 ，得到 又故为等腰直角三角形 平面平面， ，所以平面，所以 C 正确 为中点，则平面 所以 如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故 A 错误 三棱锥的体积为 .故 B 错误 第 11 页，总 19 页 在直角三角形中， 在三角形中， 满足 又 所以平面，所以平面平面，故 D 正确 综上所述：答案为 CD 13. 【答案】 6 8x 【解析】 依题得2256 n ，所以 n=8，在 n b ax x 的展开式中令 x=1，则有 8 256ab，所以 a+b=2，又因为 n b ax x 展开式的通项公式为 88 8 2 188 r rr r
17、rrr r b TCaxCab x x ，令8 204rr .所以得 到 444 8 701,1C a babab （舍） ， 当1ab 时， 由2ab得1ab.所以令8 261rr ， 所以 166 28 8TC xx，故填 6 8x. 14. 【答案】-1 【解析】 根据题意， 建立图示直角坐标系，5ABAC，8BC ， 则( 0 ,3 )A，( 4,0)B ，(4,0)C， 3 (2,) 2 D 设 ( ,0 )M x ，则(4,0)MCx， 3 (2, ) 2 MDx 22 (4)(2)68(3)1MC MDxxxxx 答案第 12 页，总 19 页 M是边BC上一点，当3x 时， M
18、C MD取得最小值1 15. 【答案】(2,0) y x 【解析】 因为点F为抛物线 2 8yx的焦点，2p=8，p=4 (2,0)F 双曲线 22 2 1 2 xy a （0a）的一个焦点与点F重合， 2 24,2aa 渐近线方程为：yx 故答案为2,0，y x 16. 【答案】62 【解析】 由数列 n a每项均为正整数，则采用逆推的方式可得下图： 128 21 20 3 16 2 190T 又前 6 项和所有可能的结果中最大值为：4 8 16 32 64 128252 252S 第 13 页，总 19 页 252 19062ST 本题正确结果：62 17. 【答案】(1) 3 A ；(2
19、) 3. 【解析】 （1）利用正弦定理边化角，求得2cos1A，所以 3 A ； （2）利用余弦定理，得4bc ，所以 1 sinA3 2 ABC Sbc。 试题解析： （1）ABC 中，由条件及正弦定理得2sinsincossin cosCBCAA， 2sin cossin cossin cossinBACAACB. sin0B，2cos1A， 0,A， 3 A . （2）13a ，5b c ， 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 2 22cos 3 bcbcbc 2 5313bc， 25 13 4 3 bc . 11 sinA4 sin3 223 ABC Sbc . 18. 【答案
20、】 （1） 2 n a n ； （2） 1 1 1 22 2 n n n n . 【解析】 （1） 在 123 23 . . .2 n N * n n aaan a 中， 将1n代n得： 1 1231 23.12n2 n n aaana ， 由两式作商得： 2 n a n ，问题得解。 （2）利用（1）中结果求得bnn 2 n a ，分组求和，再利用等差数列前n项和公式及乘公比错位相减法 分别求和即可得解。 【详解】 （1）由 n1 得 1 a = 2， 答案第 14 页，总 19 页 因为 123 23.2nN* n n aaana， 当 n2 时， 1 1231 23.12n2 n n a
21、aana ， 由两式作商得： 2 n a n （n1 且 nN*） ， 又因为 1 a = 2符合上式， 所以 2 n a n （nN*） （2）设 1 22n n n b a ， 则 bnnn 2n， 所以 Snb1b2bn（12n） 231 22 23 2(1)22 nn nn 设 Tn22 223 23+（n1） 2n1n 2n， 所以 2Tn222 23（n2） 2n1（n1） 2nn 2n1， 得：Tn222232nn 2n1， 所以 Tn（n1） 2n12 所以 1 2 nn n n ST ， 即 1 1 1 22 2 n n n n Sn 19. 【答案】 （1）见解析（2） 6
22、 6 【解析】 （1）证明BF 面PCD得到面PCD面PBC. （2）先判断BPC为直线PB与平面PCD所成的角，再计算其正弦值. 【详解】 （1）证明：法一：由已知得：ABPA且ABAD，PAADA，AB 面PAD. ABCD，CD面PAD. PD 面PAD，CDPD，又/EFPD，CDEF， CDBE，BEEBE，CD面BEF. BF 面BEF，CDBF. 又PBBC且F是PC中点，PCBF，PCCDC，BF 面PCD. 第 15 页，总 19 页 BF 面PBC，面PBC 面PCD. 法二：同法一得CD面PAD. 又/BEAD，AD 面PAD，BE 面PAD，/BE面PAD. 同理/EF
23、面PAD，BEEFE，BE 面BEF，EF 面BEF. 面/PAD面BEF. CD面BEF，BF 面BEF，CDBF. 又PBBC且F是PC中点，PCBF，PCCDC，BF 面PCD. BF 面PBC，面PBC 面PCD. （2）由（1）知BF 面PCD，PF为直线PB在平面PCD上的射影. BPC为直线PB与平面PCD所成的角， ABPA且ABAD，二面角PABC-的平面角是PAD. 2PAAD， 2 3PD ， 1 3 2 EFPD. 又BF 面PCD，BFEF.在Rt BFE中， 22 1BFBEEF . 在Rt PDC中， 22 2 6PCPDCD . 在Rt PFB中， 6 sin
24、6 BF BPC PB . 20. 【答案】 （1） 8 11 （2）分布列见解析，数学期望为 56 11 （3） 13 55 【解析】 （1）设事件A表示“取出的 3 个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的 3 个小球 颜色互不相同的概率； （2）由题意得有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求 出随机变量的概率分布列和数学期望； （3）设事件 C 表示“某人抽奖一次，中奖”，则 ( )(3 4)(3)(4)P CPPP或，由此能求出结果. 【详解】 （1） “一次取出的 3 个小球上的颜色互不相同”的事件记为A， 则 3111 6222 3 1
25、2 8 ( ) 11 CCCC P A C （2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6 答案第 16 页，总 19 页 2112 2222 3 12 1 (2) 55 CCCC P C ； 2112 4242 3 12 4 (3) 55 CCCC P C ； 2112 6262 3 12 9 (4) 55 CCCC P C ； 2112 8282 3 12 16 (5) 55 CCCC P C ； 2112 102102 3 12 5 (6) 11 CCCC P C 所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 6 P 1 55 4 55 9 55 16 55 5 11 因此的数学期望为 14
26、916556 ( )23456 555555551111 E （3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为C，则 4913 ( )(3 4)(3)(4) 555555 P CPPP或 21. 【答案】(1) 22 1 1612 xy (2)见解析 【解析】 (1) 由椭圆C过点(2 3,3)， 得 22 123 1 ab ， 由抛物线的焦点为2,0， 得2c ， 利用 22 123 1 4aa 即可求解 a 则方程可求； （2）假设在x轴上存在定点( ,0)Q m，当直线l的斜率不存在时，由 2 135 (2)9 16 QM QNm ，解得 5 4 m 或 11 4 m ；当直线l的斜率为 0 时，由
27、 第 17 页，总 19 页 2 135 16 16 QM QNm ，解得 11 4 m 或 11 4 m ，可得 11 4 m ，得点Q的坐标为 11,0 4 .再证明当 11 4 m 时 135 16 QM QN 恒成立. 设直线l的斜率存在且不为 0 时，其方程为(2)(0)yk xk，与 椭圆联立消去y得韦达定理,向量坐标化得 1122 1111 , 44 QMQNxyxy 整理代入韦达定理即可 【详解】 （1）因为椭圆C过点(2 3,3)，所以 22 123 1 ab ， 又抛物线的焦点为2,0，所以2c . 所以 22 123 1 4aa ，解得 2 3a （舍去）或 2 16a
28、. 所以椭圆C的方程为 22 1 1612 xy . （2）假设在x轴上存在定点( ,0)Q m，使得 135 16 QM QN . 当直线l的斜率不存在时，则(2,3)M，(2, 3)N，(2,3)QMm，(2, 3)QNm， 由 2 135 (2)9 16 QM QNm ，解得 5 4 m 或 11 4 m ； 当直线l的斜率为 0 时，则( 4,0)M ，(4,0)N，( 4,0)QMm ，(4,0)QNm， 由 2 135 16 16 QM QNm ，解得 11 4 m 或 11 4 m . 由可得 11 4 m ，即点Q的坐标为 11,0 4 . 下面证明当 11 4 m 时， 13
29、5 16 QM QN 恒成立. 当直线l的斜率不存在或斜率为 0 时，由知结论成立. 当直线l的斜率存在且不为 0 时，设其方程为(2)(0)yk xk， 11 ,M x y， 22 ,N x y.直线与椭圆联 立得 2222 34161630kxk xk ， 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且 2 12 2 16 43 k xx k ， 2 1 2 2 163 43 k x x k . 222 12121 212 2224y yk xk xk x xkxxk， 答案第 18 页，总 19 页 所以 1122121212 111111121 , 44416 QMQNxyxyx xxx
30、y y 2 2 222222 1 212 22 163 111211116121 124124 4164344316 k k kx xkxxkkkk kk 135 16 恒成立 综上所述，在x轴上存在点 11,0 4 Q ，使得 135 16 QM QN 恒成立. 22. 【答案】 （）39 0xy； （）见解析 【解析】 （） 根据导数的几何意义， 求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程； （） 由 () (s i n )g xx a xx , 通过讨论确定 g x的单调性,再由单调性确定极值. 试题解析： （）由题意 2 ( )fxxax， 所以，当2a时，(3)0f， 2 ( )2fxx
31、x， 所以 (3)3 f ， 因此，曲线( )yf x在点(3,(3)f处的切线方程是3(3)yx， 即390xy. （）因为( )( )()cossingfxaxxxx， 所以( )( )cos()sincosg xfxxxaxx ， ()()sinx xaxax ()(sin )xa xx ， 令( )sinh xxx， 则( )1 cos0h xx ， 所以( )h x在R上单调递增， 因为(0)0h， 第 19 页，总 19 页 所以，当0x时，( )0h x ；当0x时，( )0h x . （1）当0a 时，( )()(sin )gxa xxx ， 当(, )xa 时，0xa，( )
32、0g x ，( )g x单调递增； 当( ,0)xa时，0xa，( )0g x ，( )g x单调递减； 当(0,)x时，0xa，( )0g x ，( )g x单调递增. 所以当xa时( )g x取到极大值，极大值是 3 1 ( )sin 6 g aaa ， 当0x时( )g x取到极小值，极小值是(0)ga . （2）当0a时，( )(sin )g xx xx ， 当(,)x 时，( )0g x ，( )g x单调递增； 所以( )g x在(,) 上单调递增，( )g x无极大值也无极小值. （3）当0a时，( )()(sin )gxa xxx ， 当 (,0)x 时，0xa，( )0g x
33、 ，( )g x单调递增； 当(0, )xa时，0xa，( )0g x ，( )g x单调递减； 当( ,)xa时，0xa，( )0g x ，( )g x单调递增. 所以当0x时( )g x取到极大值，极大值是(0)ga ； 当xa时( )g x取到极小值，极小值是 3 1 ( )sin 6 g aaa . 综上所述： 当0a 时，函数( )g x在(, )a和(0,)上单调递增，在( ,0) a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小 值，极大值是 3 1 ( )sin 6 g aaa ，极小值是(0)ga ； 当0a时，函数( )g x在(,) 上单调递增，无极值； 当0a时，函数( )g x在(,0)和( , )a 上单调递增，在(0, )a上单调递减，函数既有极大值，又有极小 值，极大值是(0)ga ，极小值是 3 1 ( )sin 6 g aaa .
