1、北京高考压轴卷数学 一、选择题 （本大题共 10 小题. 每小题 45 分， 共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z 满足1 3izz，则| |z （ ） A 10 10 B 5 5 C 5 D 10 2设集合1,0,1,2,3A ， 2 |20,Bx xx则 () R AB （ ） A1,3 B0,1,2 C1,2,3 D0,1,2,3 3 已知定义域为R的奇函数 ( )f x满足(2)( )f xf x ， 且当01x时， 3 ( )f xx， 则 5 2 f （ ） A 27 8 B 1 8 C 1 8 D 27 8 4函数 2 1 cos 1
2、x f xx e 图象的大致形状是（ ） A B C D 5已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆 22 3449xy相切，则 满足条件的直线l有（ ）条 A1 B2 C3 D4 6函数( )sin(2) 6 f xx 的单调递增区间是（ ） A 2 , 63 kkkZ B, 2 kkkZ C , , 36 kkkZ D, 2 kkkZ 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A20 B10 C30 D60 8已知点( 2,3)A 在抛物线 C： 2 2ypx的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的 斜率为（ ） A 4 3 B1 C 3 4 D 1 2 9已知1a
3、 ，则“()aab”是“1a b ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 10已知随机变量 的分布列，则下列说法正确的是( ) A存在 x，y(0，1)，E() 1 2 B对任意 x，y(0，1)，E() 1 4 C对任意 x，y(0，1)，D()E() D存在 x，y(0，1)，D() 1 4 二填空题（本大题共 5 小题.每小题 5 分，共 25 分） 11已知曲线 2 1 2 f xxx的一条切线的斜率是 3，则该切点的横坐标为 _. 12函数 2 cos2sinyxx的最小正周期等于_. 13在ABC中，若 30B ，2 3AB ,2AC ,求A
4、BC的面积 14 已知an是各项均为正数的等比数列， a11， a3100， 则an的通项公式 an_； 设数列lgan的前 n 项和为 Tn，则 Tn_. 15已知函数，下列命题正确的有_ （写出所有正确命题的编号） 是奇函数； 在 上是单调递增函数； 方程有且仅有 1 个实数根； 如果对任意，都有，那么 的最大值为 2. 注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或有选错得 0 分， 其他得 3 分. 三、三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 16已知函数( )logkf xx（k 为常数，0k 且1k ） （1）
5、在下列条件中选择一个_使数列 n a是等比数列，说明理由； 数列 n f a是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 数列 n f a是首项为 4，公差为 2 的等差数列； 数列 n f a是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列 （2）在（1）的条件下，当 2k 时，设 1 2 2 41 n nn a b n ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 17在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形， / /ADBC，ADAB，2PAAD，1ABBC，Q为PD中点 （1）求证：PDBQ； （2）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值 18已知函数 22
6、 lnRf xaxxax a. （）求函数 f x的单调区间； （）当0a时，若 f x在1,e上有零点，求实数a的取值范围. 19 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的 情况，随机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下 20,30 30,40 40,50 50,60 60,70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率； （） 从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中， 随机抽取 3 人进一步了解情况， 用
7、X表示这 3 人中年龄在50,60的人数，求随机变量X的分布列及数学期望； （）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若 某日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 20已知椭圆 22 :24C xy （1）求椭圆C的标准方程和离心率； （2） 是否存在过点0,3P的直线l与椭圆C相交于A，B两点， 且满足 2PBPA 若 存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 21对于 nN*（n2） ，定义一个如下数阵： 11121 21222 12 n n nn nnnn aaa aaa A aaa ，其中对任 意的 1in，
8、1jn，当 i 能整除 j 时，aij1；当 i 不能整除 j 时，aij0设 12 1 n ijjjnj i t jaaaa （）当 n6 时，试写出数阵 A66并计算 6 1 j t j ； （）若x表示不超过 x 的最大整数，求证： 11 nn ji n t j i ； （）若 1 1 n j f nt j n ， 1 1 n g ndx x ，求证：g（n）1f（n）g（n）+1 KS5U2020 北京高考压轴卷数学 Word 版含解析 参考答案参考答案 1 【KS5U 答案】A 【KS5U 解析】 1 3izz， 11 313 1 3101010 i zi i ， 10 | 10 z
9、 . 故选:A. 2 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 由 2 20xx，得0x或 2x ，即 |0Bx x或2x ， = |02 RB xx， 又1,0,1,2,3A ()=0,1,2 R AB. 故选：B. 3 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 由 ( )f x满足(2)( )f xf x ， 所以函数的周期2T ， 又因为函数 ( )f x为奇函数，且当0 1x时， 3 ( )f xx， 所以 5111 2228 fff . 故选：B 4 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 21 e 1 coscos 1 e1 e x xx f xxx ， 1e cos() 1e
10、x x fxx e1cos e1 x x x ( )f x ，故 ( )f x为奇函数，排除选项 A、C；又 1e (1)cos10 1e f ，排除 D，选 B. 故选：B. 5 【KS5U 答案】A 【KS5U 解析】 显然直线l有斜率，设l：y kxb ， 则 2 2 1 b k ，即 22 41bk， 又直线l与圆相切， 2 34 7 1 kb k ， 联立， 3 4 k ， 5 2 b ， 所以直线l的方程为 35 42 yx . 故选：A 6 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 令222 262 kxk 因此 36 kxk 故函数( )sin(2) 6 f xx 的单调递增区
11、间是 , 36 kkkZ 故选：C 7 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 由三视图可得几何体直观图如下图所示： 可知三棱锥高：4h；底面面积： 115 5 3 22 S 三棱锥体积： 1115 410 332 VSh 本题正确选项：B 8 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 试题分析： 由已知得， 抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ， 且过点( 2,3)A ， 故2 2 p ， 则4p ，(2,0)F，则直线 AF 的斜率 303 224 k ，选 C 9 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 由()aab，则 2 ()00aabaa b 又1a ，所以 1a b
12、 若 1a b ，且1a ，所以 2 0 aa b ，则()aab 所以“( )aab”是“ 1a b ”的充要条件 故选：C 10 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 依题意可得 2Exy， 222222 22 221 21 21 21 2Dxxyyyxyxyx yxy xyxxy yx 因为1xy 所以 2 1 2 22 xy xy 即 1 2 E故A，B错误； 2222 211 21 21 2Dxxxy yxxxy yxxyx 01xQ 121 1x 2 0211x Dyx即 1 2 DE，故C成立； 2 21 1 2 44 xy Dxyxxy 故D错误 故选：C 11 【KS5U
13、 答案】2 【KS5U 解析】 由于 2 1 2 f xxx，则 1fxx， 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值， 曲线 2 1 ( ) 2 f xxx的一条切线斜率是 3， 令导数 13fxx ，可得2x， 所以切点的横坐标为 2. 故答案为：2 12 【KS5U 答案】 【KS5U 解析】 因为函数 2 1 cos231 cos2sincos2cos2 222 x yxxxx 故最小正周期等于. 故答案为： 13 【KS5U 答案】2 3或 3 【KS5U 解析】 在ABC中，设BCx，由余弦定理可得 2 4124 330xxcos ， 2 680xx，2x
14、，或4x 当2x时，ABC的面积为 111 2 33 222 AB BC sinBx ， 当4x时，ABC的面积为 111 2 32 3 222 AB BC sinBx ， 故答案为 3或2 3 14 【KS5U 答案】10n 1 1 2 n n 【KS5U 解析】 设等比数列an的公比为 q，由题知 q0. a11，a3100， q 3 1 a a 10， an10n1； lganlg10n1n1， Tn 1 2 n n . 故答案为：(1). 10n 1 (2). 1 2 n n 15 【KS5U 答案】 【KS5U 解析】 根据题意，依次分析四个命题： 对于中， 定义域是 ， 且是奇函数
15、， 所以是正确的； 对于中，若，则，所以的 递增，所以是正确的； 对于中，令， 令可得，即方程有一根， ，则方程有一根之间， 所以是错误的； 对于中，如果对于任意，都有，即恒成立， 令，且， 若恒成立，则必有恒成立， 若，即恒成立， 而，若有，所以是正确的，综上可得正确. 16 【KS5U 答案】 （1），理由见解析； （2） 21 n n T n 【KS5U 解析】 （1）不能使 n a成等比数列.可以：由题意4(1) 222 n f ann ， 即log22 kn an，得 22n n ak ，且 4 1 0ak， 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak . 常数0k
16、且1k ， 2 k为非零常数， 数列 n a是以 4 k为首项， 2 k为公比的等比数列 （2）由（1）知 1 4222 n k n akkk ，所以当 2k 时， 1 2n n a . 因为 1 2 2 41 n nn a b n ， 所以 2 1 41 n b n ，所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn ， 12 111111 L1L 23352121 nn Tbbb nn 11 1 22121 n nn . 17 【KS5U 答案】 （1）详见解析； （2） 2 3 【KS5U 解析】 （1） 由题意在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 底面四边形ABCD
17、为直角梯形， ADAB， 以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,2,0D，002P,因为Q为PD中点，所以 0,1,1Q， 所以0,2, 2PD ，1,1,1BQ ，所以 0,2, 21,1,10PD BQ ，所以 PDBQ （2） 由 （1） 得1 , 1 , 2PC ， 1,1, 21,1,12PC BQ ，6PC ，3BQ ， 2 , 3 PC BQ COS PC BQ PC BQ ，所以PC与BQ所成角的余弦值为 2 3 18 【KS5U 答案】 （）见解析（） 51 e 1, 2 【KS5U 解析】
18、 （）函数 f x的定义域为0,， 22 22axaxaaxx fx xx . 由 0fx 得xa或 2 a x . 当0a时， 0fx 在0,上恒成立， 所以 f x的单调递减区间是0,，没有单调递增区间. 当0a时， ,x fxf x 的变化情况如下表： 所以 f x的单调递增区间是0,a，单调递减区间是, a . 当0a时， ,x fxf x 的变化情况如下表： 所以 f x的单调递增区间是0, 2 a ，单调递减区间是, 2 a . （）当0a时， f x的单调递增区间是0,a，单调递减区间是, a . 所以 f x在1,e上有零点的必要条件是 0f a ， 即 2ln 0aa ，所以
19、1a . 而 11fa，所以 10f. 若1a ， f x在1,e上是减函数， 10f， f x在1,e上没有零点. 若1a ， 10f， f x在1,a上是增函数，在, a 上是减函数， 所以 f x在1,e上有零点等价于 e0 1e f a ， 即 22 ee0 1e aa a ，解得 51 e 1 2 a . 综上所述，实数a的取值范围是 51 e 1, 2 . 19 【KS5U 答案】 17 100 ； （）详见解析； （）2200 【KS5U 解析】 （）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有 3+14=17 人， 所以，随机抽取 1 名顾客，估计该顾
20、客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为 17 100 P （）X所有的可能取值为 1,2,3， 12 42 3 6 C C1 1 5C P X , 21 42 3 6 C C3 2 5C P X , 30 42 3 6 C C1 3 5C P X . 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以X的数学期望为 131 1232 555 EX . （）在随机抽取的 100 名顾客中， 使用自由购的共有3121764244人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 50002200 100 . 20 【KS5U 答案】 （1） 22 1 42 xy ， 2
21、 2 e ； （2）存在，7x14y+3 140 或 7x+ 14y3 140 【KS5U 解析】 （1）由 22 1 42 xy ，得2,2ab，进而 4 22c ， 2 2 c e a ； （2）假设存在过点 P（0，3）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足 2PBPA ， 可设直线 l 的方程为 xm（y3） ，联立椭圆方程 x2+2y24， 可得（2+m2）y26m2y+9m240，36m44（2+m2） （9m24）0，即 m2 4 7 ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 y1+y2 2 2 6 2 m m ，y1y2 2 2 94 2 m m ，
22、由 2PBPA ，可得（x2，y23）2（x1，y13） ，即 y232（y13） ，即 y22y13， 将代入可得 3y13 2 2 6 2 m m ，y1（2y13） 2 2 94 2 m m ， 消去 y1，可得 2 2 23 2 m m 2 2 32 2 m m 2 2 94 2 m m ，解得 m2 2 7 4 7 ，所以 14 7 m ， 故存在这样的直线 l，且方程为 7x 14y+3140 或 7x+14y3140 21 【KS5U 答案】 （） 66 111111 010101 001001 000100 000010 000001 A ， 6 1 14 j t j （）见解
23、析（） 见解析 【KS5U 解析】 （） 依题意可得， 66 111111 010101 001001 000100 000010 000001 A ， 6 1 1 2232414 j t j （） 由题意可知，t（j）是数阵 Ann的第 j 列的和，可得 1 n j t j 是数阵 Ann所有数的和而数阵 Ann所有数的和也可以考虑按行相加 对任意的1in， 不超过 n 的倍数有 1i， 2i， ， n i i 得 数阵 Ann的第 i 行中有 n i 个 1，其余是 0，即第 i 行的和为 n i 从而得到结果 （）由 x的定义可知，1 nnn iii ，得 111 nnn iii nnn
24、 n iii 进而 11 11 1? nn ii f n ii 再考查定积分 1 1 n dx x ， 根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论 【详解】 （）依题意可得， 66 111111 010101 001001 000100 000010 000001 A 6 1 1 2232414 j t j （）由题意可知，t（j）是数阵 Ann的第 j 列的和，因此 1 n j t j 是数阵 Ann所有数的和 而数阵 Ann所有数的和也可以考虑按行相加 对任意的 1in，不超过 n 的倍数有 1i，2i， n i i 因此数阵 Ann的第 i 行中有 n i 个 1，其余是 0，即第 i 行的和
25、为 n i 所以 11 nn ji n t j i （）证明：由x的定义可知，1 nnn iii ， 所以 111 nnn iii nnn n iii 所以 11 11 1? nn ii f n ii 考查定积分 1 1 n dx x ，将区间1，n分成 n1 等分，则 1 1 n dx x 的不足近似值为 2 1 n i i ， 1 1 n dx x 的过剩近似值为 1 1 1 n i i 所以 1 21 1 111 n nn ii dx ixi 所以 1 1 1 n i i g（n） 1 1 n i i 所以 g（n）1 11 11 1? nn ii f n ii g（n）+1 所以 g（n）1f（n）g（n）+1
