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2020届北京市高考数学预测试卷(含答案)

1、北京高考压轴卷数学 一、选择题 (本大题共 10 小题. 每小题 45 分, 共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1设复数 z 满足1 3izz,则| |z ( ) A 10 10 B 5 5 C 5 D 10 2设集合1,0,1,2,3A , 2 |20,Bx xx则 () R AB ( ) A1,3 B0,1,2 C1,2,3 D0,1,2,3 3 已知定义域为R的奇函数 ( )f x满足(2)( )f xf x , 且当01x时, 3 ( )f xx, 则 5 2 f ( ) A 27 8 B 1 8 C 1 8 D 27 8 4函数 2 1 cos 1

2、x f xx e 图象的大致形状是( ) A B C D 5已知坐标原点到直线l的距离为2,且直线l与圆 22 3449xy相切,则 满足条件的直线l有( )条 A1 B2 C3 D4 6函数( )sin(2) 6 f xx 的单调递增区间是( ) A 2 , 63 kkkZ B, 2 kkkZ C , , 36 kkkZ D, 2 kkkZ 7某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A20 B10 C30 D60 8已知点( 2,3)A 在抛物线 C: 2 2ypx的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的 斜率为( ) A 4 3 B1 C 3 4 D 1 2 9已知1a

3、 ,则“()aab”是“1a b ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 10已知随机变量 的分布列,则下列说法正确的是( ) A存在 x,y(0,1),E() 1 2 B对任意 x,y(0,1),E() 1 4 C对任意 x,y(0,1),D()E() D存在 x,y(0,1),D() 1 4 二填空题(本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分) 11已知曲线 2 1 2 f xxx的一条切线的斜率是 3,则该切点的横坐标为 _. 12函数 2 cos2sinyxx的最小正周期等于_. 13在ABC中,若 30B ,2 3AB ,2AC ,求A

4、BC的面积 14 已知an是各项均为正数的等比数列, a11, a3100, 则an的通项公式 an_; 设数列lgan的前 n 项和为 Tn,则 Tn_. 15已知函数,下列命题正确的有_ (写出所有正确命题的编号) 是奇函数; 在 上是单调递增函数; 方程有且仅有 1 个实数根; 如果对任意,都有,那么 的最大值为 2. 注:本题给的结论中,有多个符合题目要求,全部选对得 5 分,不选或有选错得 0 分, 其他得 3 分. 三、三、解答题(本大题共 6 小题,共 85 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 16已知函数( )logkf xx(k 为常数,0k 且1k ) (1)

5、在下列条件中选择一个_使数列 n a是等比数列,说明理由; 数列 n f a是首项为 2,公比为 2 的等比数列; 数列 n f a是首项为 4,公差为 2 的等差数列; 数列 n f a是首项为 2,公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列 (2)在(1)的条件下,当 2k 时,设 1 2 2 41 n nn a b n ,求数列 n b的前 n 项和 n T. 17在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形, / /ADBC,ADAB,2PAAD,1ABBC,Q为PD中点 (1)求证:PDBQ; (2)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值 18已知函数 22

6、 lnRf xaxxax a. ()求函数 f x的单调区间; ()当0a时,若 f x在1,e上有零点,求实数a的取值范围. 19 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的 情况,随机抽取了 100 人,统计结果整理如下: 20 以下 20,30 30,40 40,50 50,60 60,70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 ()现随机抽取 1 名顾客,试估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率; () 从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中, 随机抽取 3 人进一步了解情况, 用

7、X表示这 3 人中年龄在50,60的人数,求随机变量X的分布列及数学期望; ()为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若 某日该超市预计有 5000 人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 20已知椭圆 22 :24C xy (1)求椭圆C的标准方程和离心率; (2) 是否存在过点0,3P的直线l与椭圆C相交于A,B两点, 且满足 2PBPA 若 存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由 21对于 nN*(n2) ,定义一个如下数阵: 11121 21222 12 n n nn nnnn aaa aaa A aaa ,其中对任 意的 1in,

8、1jn,当 i 能整除 j 时,aij1;当 i 不能整除 j 时,aij0设 12 1 n ijjjnj i t jaaaa ()当 n6 时,试写出数阵 A66并计算 6 1 j t j ; ()若x表示不超过 x 的最大整数,求证: 11 nn ji n t j i ; ()若 1 1 n j f nt j n , 1 1 n g ndx x ,求证:g(n)1f(n)g(n)+1 KS5U2020 北京高考压轴卷数学 Word 版含解析 参考答案参考答案 1 【KS5U 答案】A 【KS5U 解析】 1 3izz, 11 313 1 3101010 i zi i , 10 | 10 z

9、 . 故选:A. 2 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 由 2 20xx,得0x或 2x ,即 |0Bx x或2x , = |02 RB xx, 又1,0,1,2,3A ()=0,1,2 R AB. 故选:B. 3 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 由 ( )f x满足(2)( )f xf x , 所以函数的周期2T , 又因为函数 ( )f x为奇函数,且当0 1x时, 3 ( )f xx, 所以 5111 2228 fff . 故选:B 4 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 21 e 1 coscos 1 e1 e x xx f xxx , 1e cos() 1e

10、x x fxx e1cos e1 x x x ( )f x ,故 ( )f x为奇函数,排除选项 A、C;又 1e (1)cos10 1e f ,排除 D,选 B. 故选:B. 5 【KS5U 答案】A 【KS5U 解析】 显然直线l有斜率,设l:y kxb , 则 2 2 1 b k ,即 22 41bk, 又直线l与圆相切, 2 34 7 1 kb k , 联立, 3 4 k , 5 2 b , 所以直线l的方程为 35 42 yx . 故选:A 6 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 令222 262 kxk 因此 36 kxk 故函数( )sin(2) 6 f xx 的单调递增区

11、间是 , 36 kkkZ 故选:C 7 【KS5U 答案】B 【KS5U 解析】 由三视图可得几何体直观图如下图所示: 可知三棱锥高:4h;底面面积: 115 5 3 22 S 三棱锥体积: 1115 410 332 VSh 本题正确选项:B 8 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 试题分析: 由已知得, 抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x , 且过点( 2,3)A , 故2 2 p , 则4p ,(2,0)F,则直线 AF 的斜率 303 224 k ,选 C 9 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 由()aab,则 2 ()00aabaa b 又1a ,所以 1a b

12、 若 1a b ,且1a ,所以 2 0 aa b ,则()aab 所以“( )aab”是“ 1a b ”的充要条件 故选:C 10 【KS5U 答案】C 【KS5U 解析】 依题意可得 2Exy, 222222 22 221 21 21 21 2Dxxyyyxyxyx yxy xyxxy yx 因为1xy 所以 2 1 2 22 xy xy 即 1 2 E故A,B错误; 2222 211 21 21 2Dxxxy yxxxy yxxyx 01xQ 121 1x 2 0211x Dyx即 1 2 DE,故C成立; 2 21 1 2 44 xy Dxyxxy 故D错误 故选:C 11 【KS5U

13、 答案】2 【KS5U 解析】 由于 2 1 2 f xxx,则 1fxx, 由导数的几何意义可知,曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值, 曲线 2 1 ( ) 2 f xxx的一条切线斜率是 3, 令导数 13fxx ,可得2x, 所以切点的横坐标为 2. 故答案为:2 12 【KS5U 答案】 【KS5U 解析】 因为函数 2 1 cos231 cos2sincos2cos2 222 x yxxxx 故最小正周期等于. 故答案为: 13 【KS5U 答案】2 3或 3 【KS5U 解析】 在ABC中,设BCx,由余弦定理可得 2 4124 330xxcos , 2 680xx,2x

14、,或4x 当2x时,ABC的面积为 111 2 33 222 AB BC sinBx , 当4x时,ABC的面积为 111 2 32 3 222 AB BC sinBx , 故答案为 3或2 3 14 【KS5U 答案】10n 1 1 2 n n 【KS5U 解析】 设等比数列an的公比为 q,由题知 q0. a11,a3100, q 3 1 a a 10, an10n1; lganlg10n1n1, Tn 1 2 n n . 故答案为:(1). 10n 1 (2). 1 2 n n 15 【KS5U 答案】 【KS5U 解析】 根据题意,依次分析四个命题: 对于中, 定义域是 , 且是奇函数

15、, 所以是正确的; 对于中,若,则,所以的 递增,所以是正确的; 对于中,令, 令可得,即方程有一根, ,则方程有一根之间, 所以是错误的; 对于中,如果对于任意,都有,即恒成立, 令,且, 若恒成立,则必有恒成立, 若,即恒成立, 而,若有,所以是正确的,综上可得正确. 16 【KS5U 答案】 (1),理由见解析; (2) 21 n n T n 【KS5U 解析】 (1)不能使 n a成等比数列.可以:由题意4(1) 222 n f ann , 即log22 kn an,得 22n n ak ,且 4 1 0ak, 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak . 常数0k

16、且1k , 2 k为非零常数, 数列 n a是以 4 k为首项, 2 k为公比的等比数列 (2)由(1)知 1 4222 n k n akkk ,所以当 2k 时, 1 2n n a . 因为 1 2 2 41 n nn a b n , 所以 2 1 41 n b n ,所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn , 12 111111 L1L 23352121 nn Tbbb nn 11 1 22121 n nn . 17 【KS5U 答案】 (1)详见解析; (2) 2 3 【KS5U 解析】 (1) 由题意在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD, 底面四边形ABCD

17、为直角梯形, ADAB, 以A为原点,分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 则0,0,0A,1,0,0B,1,1,0C,0,2,0D,002P,因为Q为PD中点,所以 0,1,1Q, 所以0,2, 2PD ,1,1,1BQ ,所以 0,2, 21,1,10PD BQ ,所以 PDBQ (2) 由 (1) 得1 , 1 , 2PC , 1,1, 21,1,12PC BQ ,6PC ,3BQ , 2 , 3 PC BQ COS PC BQ PC BQ ,所以PC与BQ所成角的余弦值为 2 3 18 【KS5U 答案】 ()见解析() 51 e 1, 2 【KS5U 解析】

18、 ()函数 f x的定义域为0,, 22 22axaxaaxx fx xx . 由 0fx 得xa或 2 a x . 当0a时, 0fx 在0,上恒成立, 所以 f x的单调递减区间是0,,没有单调递增区间. 当0a时, ,x fxf x 的变化情况如下表: 所以 f x的单调递增区间是0,a,单调递减区间是, a . 当0a时, ,x fxf x 的变化情况如下表: 所以 f x的单调递增区间是0, 2 a ,单调递减区间是, 2 a . ()当0a时, f x的单调递增区间是0,a,单调递减区间是, a . 所以 f x在1,e上有零点的必要条件是 0f a , 即 2ln 0aa ,所以

19、1a . 而 11fa,所以 10f. 若1a , f x在1,e上是减函数, 10f, f x在1,e上没有零点. 若1a , 10f, f x在1,a上是增函数,在, a 上是减函数, 所以 f x在1,e上有零点等价于 e0 1e f a , 即 22 ee0 1e aa a ,解得 51 e 1 2 a . 综上所述,实数a的取值范围是 51 e 1, 2 . 19 【KS5U 答案】 17 100 ; ()详见解析; ()2200 【KS5U 解析】 ()在随机抽取的 100 名顾客中,年龄在30,50)且未使用自由购的共有 3+14=17 人, 所以,随机抽取 1 名顾客,估计该顾

20、客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为 17 100 P ()X所有的可能取值为 1,2,3, 12 42 3 6 C C1 1 5C P X , 21 42 3 6 C C3 2 5C P X , 30 42 3 6 C C1 3 5C P X . 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以X的数学期望为 131 1232 555 EX . ()在随机抽取的 100 名顾客中, 使用自由购的共有3121764244人, 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 50002200 100 . 20 【KS5U 答案】 (1) 22 1 42 xy , 2

21、 2 e ; (2)存在,7x14y+3 140 或 7x+ 14y3 140 【KS5U 解析】 (1)由 22 1 42 xy ,得2,2ab,进而 4 22c , 2 2 c e a ; (2)假设存在过点 P(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且满足 2PBPA , 可设直线 l 的方程为 xm(y3) ,联立椭圆方程 x2+2y24, 可得(2+m2)y26m2y+9m240,36m44(2+m2) (9m24)0,即 m2 4 7 , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可得 y1+y2 2 2 6 2 m m ,y1y2 2 2 94 2 m m ,

22、由 2PBPA ,可得(x2,y23)2(x1,y13) ,即 y232(y13) ,即 y22y13, 将代入可得 3y13 2 2 6 2 m m ,y1(2y13) 2 2 94 2 m m , 消去 y1,可得 2 2 23 2 m m 2 2 32 2 m m 2 2 94 2 m m ,解得 m2 2 7 4 7 ,所以 14 7 m , 故存在这样的直线 l,且方程为 7x 14y+3140 或 7x+14y3140 21 【KS5U 答案】 () 66 111111 010101 001001 000100 000010 000001 A , 6 1 14 j t j ()见解

23、析() 见解析 【KS5U 解析】 () 依题意可得, 66 111111 010101 001001 000100 000010 000001 A , 6 1 1 2232414 j t j () 由题意可知,t(j)是数阵 Ann的第 j 列的和,可得 1 n j t j 是数阵 Ann所有数的和而数阵 Ann所有数的和也可以考虑按行相加 对任意的1in, 不超过 n 的倍数有 1i, 2i, , n i i 得 数阵 Ann的第 i 行中有 n i 个 1,其余是 0,即第 i 行的和为 n i 从而得到结果 ()由 x的定义可知,1 nnn iii ,得 111 nnn iii nnn

24、 n iii 进而 11 11 1? nn ii f n ii 再考查定积分 1 1 n dx x , 根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论 【详解】 ()依题意可得, 66 111111 010101 001001 000100 000010 000001 A 6 1 1 2232414 j t j ()由题意可知,t(j)是数阵 Ann的第 j 列的和,因此 1 n j t j 是数阵 Ann所有数的和 而数阵 Ann所有数的和也可以考虑按行相加 对任意的 1in,不超过 n 的倍数有 1i,2i, n i i 因此数阵 Ann的第 i 行中有 n i 个 1,其余是 0,即第 i 行的和

25、为 n i 所以 11 nn ji n t j i ()证明:由x的定义可知,1 nnn iii , 所以 111 nnn iii nnn n iii 所以 11 11 1? nn ii f n ii 考查定积分 1 1 n dx x ,将区间1,n分成 n1 等分,则 1 1 n dx x 的不足近似值为 2 1 n i i , 1 1 n dx x 的过剩近似值为 1 1 1 n i i 所以 1 21 1 111 n nn ii dx ixi 所以 1 1 1 n i i g(n) 1 1 n i i 所以 g(n)1 11 11 1? nn ii f n ii g(n)+1 所以 g(n)1f(n)g(n)+1