1、2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1若集合 2 |2, |0Ax yxBx xx，则AB （ ） A0,1) B0,1 C0,2) D0,2 2已知复数1i ()zbb R， 2i z 是纯虚数，则b （ ） A2 B 1 2 C 1 2 D1 3若 0.2 3 31 log,ln,0.6 22 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dacb 4首项为21的等差数列从第 8 项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
2、A3d B 7 2 d C 7 3 2 d D 7 3 2 d 5 周髀算经中提出了“方属地，圆属天” ， 也就是人们常说的“天圆地方” 我国古代铜钱的铸造 也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想 现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r， 正方形的边长为(0)aar，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值 为（ ） A 2 2 (1) a p r B 2 2 (1) a p r C (1) a p r D (1) a p r 6 在三棱柱 111 ABCABC中，E是棱AB的中点，动点F是侧面 11 ACC A（包括边界）上一点，若 /EF平面 11 B
3、CC B，则动点F的轨迹是（ ） A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 7函数 1 ( )2f xx x 的图象大致是（ ） 8如图，在梯形ABCD中，/,22,ABCD ABAD ABADDC E是BC的中点，F是AE上一 点，2AFFE ，则BF （ ） A 11 23 ABAD B 11 32 ABAD C 11 23 ABAD D 11 32 ABAD 9已知命题 2 1 : n px x 的展开式中，仅有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 495；命 题:q随机变量服从正态分布 2 (2,)N，且(4)0.7P，则(02)0.3P现给出四个命题： pq，pq
4、，()pq ，()pq，其中真命题是（ ） A B C D 10设数列 n a的前n项和为 n S，且 11 2,2() n nn aaan N，则 2020 S（ ） A 2020 22 3 B 2020 22 3 C 2021 22 3 D 2021 22 3 11过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 右焦点 2 F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交 于点A，若 22 3F PF A ，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A 1 2 yx Byx C2yx D 2 5 yx 12若关于x的不等式 2 1 ln 2 x eaxa恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
5、A0,2 e B(,2 e C 2 0,2e D 2 (,2e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点(2, 1)P在角的终边上，则 sin2 14下表是某厂 2020 年 14 月份用水量（单位：百吨）的一组数据 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 2.5 3 4 4.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系其线性回归方程是 1.75ybx，预测 2020 年 6 月份该厂的用水量为 百吨 15过抛物线 2 4yx焦点F的直线交该抛物线于,A B两点，且4AB ，若
6、原点O是ABC的垂心， 则点C的坐标为 16正四棱锥PABCD的底面边长为 2，侧棱长为2 2，过点A作一个与侧棱PC垂直的平面，则 A B C D E F 平面被此四棱锥所截的截面面积为 ，平面将此四棱锥分成的两部分体积的比值为 （第一个空 2 分，第二个空 3 分） 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知1, 3 aB ，ABC的面积为 3 3 4 （
7、1）求ABC的周长； （2）求cos()BC的值 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBC C为菱形， 111 ,ACAB BCBCO （1）求证： 1 BCAB； （2）若 1 60CBB，ACBC，且点A在侧面 11 BBC C上的投影为点O，求二面角 1 BAAC的余 弦值 A B C C1 A1 B1 O 19 （本小题满分 12 分） 已知点,A B分坐标分别为(2, 0), ( 2,0)，动点( , )M x y满足直线AM和BM的斜率之积为3，记 M的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）直线ykxm与曲线E相交于,P Q两
8、点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边 形（其中O为坐标原点） ，求m的取值范围 20 （本小题满分 12 分） 当今世界科技迅猛发展，信息日新月异为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以 “亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查该图 书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取 100 名，数据统计如下表： 借阅科技类图书（人） 借阅非科技类图书（人） 年龄不超过 50 岁 20 25 年龄大于 50 岁 10 45 （1）是否有 99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？ （2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定
9、市民每借阅一本科技类图书奖励积分 2 分，每借阅一 本非科技类图书奖励积分 1 分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书用上表中的样本频率 作为概率的估计值 （i）现有 3 名借阅者每人借阅一本图书，记此 3 人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期 望； （ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取 16 人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21 （本小题满分 12 分） 已知函数(
10、 )lnsin(0)f xxxaxa （1）若1a ，求证：当1, 2 x 时，( )21f xx； （2）若( )f x在(0,2 )上有且仅有 1 个极值点，求a的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos 2sin x y （为参数） 以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin （1）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； （2）已知P为
11、曲线 2 C上的动点，过点P作曲线 1 C的切线，切点为A，求PA的最大值 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )122f xxx的最大值为M，正实数, a b满足abM （1）求 22 2ab的最小值； （2）求证： ab a bab 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1若集合 2 |2, |0Ax yxBx xx，则AB （ ） A0,1) B0,1 C0,2) D0,2 1答案：B 解析：(,2,0,1AB ，所以0
12、,1AB 2已知复数1i ()zbb R， 2i z 是纯虚数，则b （ ） A2 B 1 2 C 1 2 D1 2答案：A 解析：方法一： 1i(1i)(2i)(2)(21)i 2i2i(2i)(2i)5 zbbbb 是纯虚数，20b 且210b ， 2b 方法二：依题意，设1 i i ( ,) 2i b aa b R，则1ii(2i)2 ibaaa ， 11 22 aa abb 3若 0.2 3 31 log,ln,0.6 22 abc ，则, ,a b c的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dacb 3答案：B 解析： 333 33 13,log 1loglog 3 22
13、，即(0,1)a， 1 lnln10 2 b ， 因为函数0.6xy 为单调递减函数，所以 0.20 0.60.61c ，故cab 4首项为21的等差数列从第 8 项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ） A3d B 7 2 d C 7 3 2 d D 7 3 2 d 4答案：D 解析：依题意， 7 8 21 60 21 70 ad ad ，解得 7 3 2 d 5 周髀算经中提出了“方属地，圆属天” ， 也就是人们常说的“天圆地方” 我国古代铜钱的铸造 也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想 现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r， 正方形的边长为(0)aar，若在圆内随
14、机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值 为（ ） A 2 2 (1) a p r B 2 2 (1) a p r C (1) a p r D (1) a p r 5答案：A 解析：依题意， 222 222 1,1, (1) aaa pp rrp r 6 在三棱柱 111 ABCABC中，E是棱AB的中点，动点F是侧面 11 ACC A（包括边界）上一点，若 /EF平面 11 BCC B，则动点F的轨迹是（ ） A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 6答案：A 解析：如图，点,D G H分别是棱 1111 ,AC ACAB的中点，容易证明平面/EDGH平面 11 BCC
15、B， 当点F在线段DG上时，/EF平面 11 BCC B所以动点F的轨迹是线段 A B C C1 B1 A1 E D G H 7函数 1 ( )2f xx x 的图象大致是（ ） 7答案：C 解析：当0x 时， 2 121 ( )2 x f xx xx ，当 2 0, 2 x 时，( )0f x ，当 2 , 2 x 时， ( )0f x ；当0x 时， 1 ( )20f xx x ，故选 C 8如图，在梯形ABCD中，/,22,ABCD ABAD ABADDC E是BC的中点，F是AE上一 点，2AFFE ，则BF （ ） A 11 23 ABAD B 11 32 ABAD C 11 23
16、ABAD D 11 32 ABAD 8答案：C 解析：以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，设2AD ， 则 2 (4,0),(2,2),(0,2),(3,2),2, 3 BCDDF ， 2 2,(4,0),(0,2) 3 BFABAD ， 11 23 BFABAD AB C D E F x y 9已知命题 2 1 : n px x 的展开式中，仅有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 495；命 题:q随机变量服从正态分布 2 (2,)N，且(4)0.7P，则(02)0.3P现给出四个命题： pq，pq，()pq ，()pq，其中真命题是（ ） A B C D 9答案：C 解析：
17、 2 1 n x x 的展开式中，仅有第 7 项的二项式系数最大，则展开式有 13 项，所以12n ， 则展开式的常数项为 8 4 42 12 1 495Cx x ，所以命题p是真命题， 2 (2,),(4)0.7,(4)0.3,(0)(4)0.3NPPPP ， (02)1(0)(4)1 0.30.30.4PPP ，所以命题q是假命题， A B C D E F 故pq，()pq 是真命题，pq，()pq是假命题 10设数列 n a的前n项和为 n S，且 11 2,2() n nn aaan N，则 2020 S（ ） A 2020 22 3 B 2020 22 3 C 2021 22 3 D
18、 2021 22 3 10答案：C 解析： 1352019 202012345620192020 ()()()()2222Saaaaaaaa 10102021 2 (1 4)22 143 11过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 右焦点 2 F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交 于点A，若 22 3F PF A ，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A 1 2 yx Byx C2yx D 2 5 yx 11答案：A 解析：设双曲线的左焦点为 1 F，连接 1 AF，易知 2 ,PFb OPa，由 22 3F PF A 可知 2 3 b AF ， 又由双曲线的定义可知
19、 12 22 3 b AFaAFa，设 2 OF P ， 则在 2 RtOPF中， 2 2 cos PFb OFc ；在 12 AFF中，由余弦定理可得 2 2 2 222 1221 122 42 393 cos 2 2 2 3 bb ca FFAFAFba b FFAFc c ， 3bba cc ，3,2bba ab ，所以渐近线方程为 1 2 b yxx a A P F1F2 O 12若关于x的不等式 2 1 ln 2 x eaxa恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A0,2 e B(,2 e C 2 0,2e D 2 (,2e 12答案：C 解析：解法一：由题意可知 2 2(2ln1)
20、x eax，即函数 2 ( )2 x f xe的图象在函数( )(2ln1)g xax图 象的上方，如图，当0a 时，显然不满足题意， 当0a 时， 2 2(2ln1) x eax恒成立， 当0a 时，临界值为两曲线相切，相切时，设切点横坐标为t，则有 ( )( ) ( )( ) f tg t f tg t ，即 2 2 2(2ln1) 2 4 t t eat a e t ，解得 2 1 2 t ae ， 所以实数a的取值范围是 2 0,2e O 0a O 0a 解法二： 2 1 ln 2 x eax ，即 2 ln() x eaex，所以 2 ( )ln()0 x f xeaex恒成立， 当
21、0a 时，因为当0x 时，ln(),( )exf x ，所以不合题意； 当0a 时， 2 ( )0 x f xe恒成立； 当0a 时， 2 22 2 ln() , 22ln() x x aae eex ex 恒成立， 而 222 ()() xx eeex， 222 1 ln()exexx e ， 当且仅当1x 时以上等号成立，所以 22 2 22 min () ln() x eex e exx ，所以 2 2 a e，即 2 02ae 综上，实数a的取值范围是 2 0,2e 解法三：令 2 1 ( )ln 2 x f xeaxa，则( )0f x 恒成立， 2 ( )2 x a fxe x ，
22、 当0a 时，因为当0x 时，( )f x ，所以不合题意； 当0a 时， 2 ( )0 x f xe恒成立； 当0a 时，( )fx单调递增，且当0x 时，( )fx ，当x 时，( )fx ，故存在实 数0t ，使得( )0f t，且当(0, )xt时，( )0,( )fxf x单调递减，当( ,)xt时，( )0fx， ( )f x单调递增，所以当xt时，( )f x取得最小值( )f t 由 2 ( )20 t a f te t ，得 2 2 t ate， 所以 2222 min 1 ( )( )ln(2)ln0 2 tttt f xf teataetette， 12 ln0ttt ，
23、设( )12 lng tttt ，则( )2(ln1) 12ln3g ttt ， 令( )0g t， 得 3 2 te ， 当 3 2 0,te 时，( )0,( )g tg t单调递增， 当 3 2, te 时，( )0,( )g tg t 单调递减，且0t 时，( )1g t ，(1)0g，所以由( )0g t ，解得01t ， 所以 22 2(0,2 t atee 综上，实数a的取值范围是 2 0,2e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点(2, 1)P在角的终边上，则 sin2
24、13答案： 4 5 解析：由2,1,5xyr ，可得 2 55 cos,sin 55 xy rr ， 所以 4 sin22sincos 5 14下表是某厂 2020 年 14 月份用水量（单位：百吨）的一组数据 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 2.5 3 4 4.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系其线性回归方程是 1.75ybx，预测 2020 年 6 月份该厂的用水量为 百吨 14答案：5.95 解析： 12342.5344.5 2.53.5 42 xy ，将(2.5,3.5)代入 1.75ybx中，得： 3.52.51.75b，解得 0.7b ，所以0.71
25、.75yx，当6x 时，0.7 6 1.755.95y 15过抛物线 2 4yx焦点F的直线交该抛物线于,A B两点，且4AB ，若原点O是ABC的垂心， 则点C的坐标为 15答案：( 3,0) 解析：易知ABx轴，(1,2),(1, 2)AB，显然点C在x轴的负半轴上，设( ,0)C t，由OABC， 得(1,2) (1, 2)140OA BCtt ，解得3t ，故点C的坐标为( 3,0) C B A O F 16正四棱锥PABCD的底面边长为 2，侧棱长为2 2，过点A作一个与侧棱PC垂直的平面，则 平面被此四棱锥所截的截面面积为 ，平面将此四棱锥分成的两部分体积的比值为 （第一个空 2
26、分，第二个空 3 分） 16答案： 41 3, 32 或 2 解析：因为2 2PAACPC，所以ABC是正三角形，取PC中点E，连接AE，则AEPC， 且6AE ，设平面直线PB于F，平面直线PD于H，则,EFPC EHPC，在PBC 中，由余弦定理可得 8843 cos 42 2 22 2 BPC ， 4 2 cos3 PE PF BPC ， 在PBD中，/FHBD，所以 224 2 , 333 FHPF FHBD BDPB ， 在四边形AFEH中，AEFH，所以 114 24 63 2233 AEFH SAE FH 114 28 2 3339 P AFEHAFEH VPE S ， 2 18
27、 22 33 P ABCD V ， 所以 1 3 P AFEHP ABCD VV ，所以平面将此四棱锥分成的两部分体积的比值为 1 2 P A B C D E F H 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知1, 3 aB ，ABC的面积为 3 3 4 （1）求ABC的周长； （2）求cos()BC的值 17解析： （1）因为1, 3 aB ，ABC的面积为
28、 3 3 4 ， 在ABC中， 1 sin 2 ABC SacB 1 分 即 133 3 1sin 2344 cc ，解得3c 2 分 由余弦定理得： 222 1 2cos1 92 1 37 2 bacacB ，3 分 所以7b 4 分 所以ABC的周长为47abc5 分 （2）解法 1：在ABC中，1,7,3, 3 abcB ， 由正弦定理 sinsin bc BC ，6 分 得 3 3 sin3 21 2 sin 147 cB C b 7 分 因为 222 2coscababC，所以 222 cos 2 abc C ab 8 分 1797 142 7 ，9 分 【或根据1,7,3abc，可
29、知C为钝角，则 2 7 cos1 sin 14 CC 】 cos()cos 3 BCC 10 分 1733 21 coscossinsin 33214214 CC 11 分 2 7 7 12 分 解法 2：在ABC中，1,7,3, 3 abcB ， 所以 222 cos 2 abc C ab 6 分 1797 142 7 ， 7 分 因为C为ABC的内角，所以 2 2 73 21 sin1 cos1 1414 CC 9 分 cos()cos 3 BCC 10 分 1733 21 coscossinsin 33214214 CC 11 分 2 7 7 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如
30、图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBC C为菱形， 1 ACAB， 11 BCBCO （1）求证： 1 BCAB； （2）若 1 60CBB，ACBC，且点A在侧面 11 BBC C上的投影为点O，求二面角 1 BAAC的余 弦值 A B C C1 A1 B1 O 18 （1）证明：连接AO， 因为侧面 11 BBC C为菱形，所以 11 BCBC，且O为 1 BC和 1 BC 的中点，1 分 在 1 ABC中， 1 ACAB， 1 BCAO2 分 又因为 1 AOBCO， 1 BC平面ABO，3 分 而AB 平面ABO， 1 BCAB4 分 （2）解法 1：因为点A在侧面
31、11 BBC C上的投影为点O，所以AO 平面 11 BBC C，5 分 又 11 BCBC，所以 1 ,OB OB OA两两垂直，如图，以O为坐标原点，以 1 ,OB OB OA 为, ,x y z轴的正 方向，建立如图所示空间直角坐标系6 分 因为 1 60CBB ，不妨设 1 2ACBCAB，则3AOBO， 所以 11 (0,0, 3),( 3,0,0),(0,1,0),(0, 1,0),(3,0,0)ABBCC，7 分 11 ( 3,0,3),(0,1,3),(0, 1,3),(3,0,3)ABABACAC ，8 分 设平面 11 ABB A的法向量为 1111 ( ,)nx y z
32、， 则 111 1111 330 30 nABxz nAByz ，取 1 1z ，则 111 3,1,(1, 3,1)yxn ，9 分 设平面 11 ACC A的法向量为 2222 (,)nxyz ， 则 222 2122 30 330 nACyz nACxz ，取 2 1x ，则 22 1,3zy ， 2 (1, 3, 1)n 10 分 12 12 12 1 3 13 cos, 555 n n n n nn ，11 分 所以二面角 1 BAAC的余弦值为 3 5 12 分 A B C C1 A1 B1 O xy z A B C C1 A1 B1 O E F 解法 2：因为点A在侧面 11 B
33、BC C上的投影为点O，所以AO 平面 11 BBC C，5 分 又 11 BCBC，所以 1 ,OB OB OA两两垂直，过O作 1 OECC，则E为 1 CC的四等分点，连接AE 延长EO交 1 BB于F，连接AF6 分 因为 1 60CBB ，不妨设 1 2ACBCAB，则3AOBO， 则 3 2 OEOF7 分 因为 11 ,CCEF CCOA OAEFO，所以 1 CC 平面AEF8 分 因为 11 /CCAA，所以 1 AA 平面AEF所以FAE为所求二面角的平面角9 分 因为 2 2 315 ( 3) 22 AEAF ，10 分 所以 222 3 cos 25 AEAFEF EA
34、F AEAF 11 分 所以二面角 1 BAAC的余弦值为 3 5 12 分 19 （本小题满分 12 分） 已知点,A B的坐标分别为(2, 0), ( 2,0)，动点( , )M x y满足直线AM和BM的斜率之积为3，记 M的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）直线ykxm与曲线E相交于,P Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边 形（其中O为坐标原点） ，求m的取值范围 19解析： （1）因为(2, 0),( 2,0),( , )ABM x y，, 22 AMBM yy kk xx 1 分 因为直线AM和BM的斜率之积为3，所以 2 2 3 222 yyy x
35、xx ，2 分 22 36yx ， 22 1 26 xy ，3 分 因为直线AM和BM存在斜率，且均不为 0，所以2x 【或0y 】 所以曲线E的方程为 22 1(2) 26 xy x 4 分 （2）设直线ykxm与曲线E的交点为 1122 ( ,),(,)P x yQ xy， 因为四边形OPRQ为平行四边形，所以OROPOQ ， 1212 (,)R xxyy，5 分 将ykxm代入 22 360yx，得 222 (3)260kxkmxm，6 分 所以 2 1212 22 26 , 33 kmm xxx x kk 7 分 所以 1212 2 6 ()2 3 m yyk xxm k 8 分 由
36、2222 44(3)(6)0k mkm ，得 22 26km9 分 因为点 1212 (,)R xxyy在曲线E上， 所以 22 22 26 36 33 kmm kk ，即 22 23km10 分 因为 22 26km，即 22 2(23)6mm，解得 2 0m 11 分 因为 22 230mk，所以 6 2 m或 6 2 m 所以m的取值范围为 66 , 22 12 分 20 （本小题满分 12 分） 当今世界科技迅猛发展，信息日新月异为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以 “亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查该图 书馆从只
37、借阅了一本图书的借阅者中随机抽取 100 名，数据统计如下表： 借阅科技类图书（人） 借阅非科技类图书（人） 年龄不超过 50 岁 20 25 年龄大于 50 岁 10 45 （1）是否有 99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？ （2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分 2 分，每借阅一 本非科技类图书奖励积分 1 分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书用上表中的样本频率 作为概率的估计值 （i）现有 3 名借阅者每人借阅一本图书，记此 3 人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期 望； （ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取 16 人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20解析： （1）因为 2 2 100 (20 45 10 25)16900 8.1296.635 30 70 45 552079 k 1 分 所以有 99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关2 分 （2） （i）因为用表中的样本频率作为概率的估计值， 所以借阅科技类图书的概率 303 10010 p 3 分 因为 3 名借阅者每人借阅一本图书，这 3
