1、名校联盟名校联盟 20192020 学年下学期高三学年下学期高三 5 月联考月联考 理科数学理科数学 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的 指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效 4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用
2、 2B 铅笔涂黑答案写在答题卡上对 应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题有一、选择题：本题有 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目一个是符合题目 要求的要求的 1全集UR，集合 3 log,3Ay yx x， ,3Bx xz zi（i 为虚数单位），下列成立 的是（ ） AAB B U C ABU CAB D U AC B 2 下图为 算法统宗 中的 “方五斜七图” ， 注曰： 方五
3、斜七者此乃言其大略矣， 内方五尺外方七尺有奇 这 是一种开平方的近似计算， 即用 7 近似表示5 2， 当内方的边长为 5 时， 外方的边长为5 2， 略大于 7 在 外方内随机掷 100 粒黄豆，则位于内方的黄豆数约为（ ） A50 B55 C60 D65 3新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图 1；为了解消费者对各平台销售方 式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取 4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图 2下列说法 错误的是（ ） A样本容量为 240 B若样本中对平台三满意的人数为 40，则40%m C总体中对平台二满意的消费者人数约为 300 D样本中对平台
4、一满意的人数为 24 人 图 1 图 2 4设不同直线 1: 10lxmy ， 2: 1220lmxy，则“2m”是“ 12 /ll”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 13 6aa， 46 12aa，则 2020 2020 S （ ） A 2023 2 B1011 C 2021 2 D1010 6 3 2 2 2xnx x 的展开式的各项系数之和为 5，则该展开式中 x 项的系数为（ ） A-66 B-18 C18 D66 7小华想测出操场上旗杆 OA 的高度，在操场上选取了一条基线 BC，请从测得
5、的数据10mBC ，B 处的仰角 60，C 处的仰角 45， 3 6 cos 8 BAC，30BOC中选取合适的，计算出旗 杆的高度为（ ） A9 3m B10m C10 2m D10 3m 8高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函 数”为：设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如：3.54 ， 2.12已知函数 1 12 x x e f x e ，函数 g xf x ，则下列命题中真命题的个数是（ ） g x图象关于0x 对称 f x是奇函数 f x在 R 上是增函数 g x的值域是1,0,1 A1 B2 C3
6、D4 9 函 数 2 s i n0 4 fxx 的 导 函 数 为 fx， 集 合 000 ,0,Mxf xfx 0 , 4 2 x ，中有且仅有个元素，则的取值范围是（ ） A 3 1115 ,7, 2 22 B 37 1315 ,3,7, 22 22 C 37 1115 ,3,7, 22 22 D 37 1315 ,3,7, 22 22 10已知过抛物线 2 :4C yx焦点 F 的直线交抛物线 C 于 P，Q 两点，交圆 22 20xyx于 M，N 两 点，其中 P，M 位于第一象限，则 19 PMQN 的值不可能为（ ） A8 B7 C6 D5 11 已知函数 ,0, 2,2 , ln
7、xe fexex x f x e 函数 3R x g xf xm m 的四个零点从小到大依 次为 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，对满足条件的任意一组零点，下列判断中一定成立的是（ ） A 2 2 34 21ex xe B 34 0221exex C 12 2xx D 2 12 1x xe 12已知数列 n a： 1 2 ， 2 1 2 ， 2 2 2 ， 2 3 2 ， 3 1 2 ，. 3 2 2 . ， 3 3 2 ， 3 4 2 ， 3 5 2 ， 3 6 2 ， 3 7 2 ， 4 1 2 ， 4 2 2 的前 n 项和为 n S，正整数 1 n， 2 n满足： 1 11 11
8、 21 2 n a ， 2 n是满足不等式1019 n S 的最小正整数，则 12 nn（ ） A6182 B6183 C6184 D6185 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案写在答题卡的相应位置分请将答案写在答题卡的相应位置 13当实数 x，y 满足不等式组 0, 34, 34 x xy xy 时，恒有12a xy，则实数 a 的取值范围是_ 14已知非零向量a，.b.夹角为 3 ，2b ，对任意xR，有bxaab，则ab_ 15双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 上一点 P， 过双曲线中心 O 的直线
9、交双曲线于 A、B 两不同（点 A， B 异于点 P）设直线 PA、PB 的斜率分别为 1 k、 2 k，当 22 12 12 61 lnlnkk kk 最小时，双曲线的离心 率为_ 16 在三棱锥 ABCD 中， 已知ADBC，8AD ，2BC ，10ABBDACCD， 则三棱锥 ABCD 体积的最大值是_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或者步骤分解答时写出必要的文字说明、证明过程或者步骤 17（本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为 12，60BAD，AC 与 BD 交于 O 点将菱形 ABCD
10、 沿对角线 AC 折 起，得到三棱锥BACD，点 M 是棱 BC 的中点，6 2DM （1）求证：BCOD； （2）求二面角MADC的余弦值 18（本小题满分 12 分） 如图，在ABC中， 4 C，ABC的角平分线 BD 交 AC 于 D，设CBD，且sin55 （1）求 BC AB 值； （2）若14 ABC S，求ABC的周长 19（本小题满分 12 分） 冠状病毒是一个大型病毒家族， 可引起感冒以及中东呼吸综合征 （MERS） 和严重急性呼吸综合征 （SARS） 等较严重疾病出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人 感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸
11、道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中， 感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液 中的指标 A现从采集的血液样品中抽取 500 份检测指标 A 的值，由测量结果得右侧频率分布直方图： （1）求这 500 份血液样品指标 A 值的平均数x和样本方差 2 s（同一组数据用该区间的中点值作代表， 记作1,2,7 i x i ）； （2）由频率分布直方图可以认为，这项指标 A 的值 X 服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样本平 均数x， 2 近似为样本方差 2 s在统计学中，把发生概率小于 3的事件称为小概率事件（正 常条件下小概率事件的发
12、生是不正常的）该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取 20 名 医生，独立的检测血液中指标 A 的值，结果发现 4 名医生血液中指标 A 的值大于正常值 20.03， 试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由 附：参考数据与公式： 7 2 1 3.46 ii i xxh ， 2 1 3.462.63 2 ；若 2 ,xN ，则 0.6826Px；220.9545Px； 330.9973Px 4 0.15870.006， 6 0.15870.000016， 14 0.84130.0890， 16 0.84130.0630 20（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中
13、，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右顶点分别为 A、B，右焦点为 F， 且点 F 满足5AFFB，由椭圆 C 的四个顶点围成的四边形面积为6 5过点,T t m的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 11 ,M x y， 22 ,N xy，其中0m， 1 0y ， 2 0y （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当 T 在直线3xa时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请 说明理由 21（本小题满分 12 分） 已知 x f xe， 5 ln 2 g xx xx （1）当0x 时，证明： f xg x； （2）已知点 ,A xf x，点s
14、in ,cosBxx，O 为坐标原点，函数 h xOA OB，请判断：当 , 2 x 时 h x的零点个数 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分作答时用两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑上把所选题目的题号涂黑 22（本小题满分 10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 经过伸缩变换 2 ,xx yy 得到曲线 E，直线 1 : 3 xt l yt （t 为参数）与曲线 E 交于 A，B 两点 （1）设曲线 C
15、 上任一点为,M x y，求3xy的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长 23（本小题满分 10 分） 函数 f xxaxbc，其中0a ，0b，0c （1）当1abc时，求不等式 4f x 的解集； （2）若 f x的最小值为 3，求证： 222 3 bca abc 名校联盟名校联盟 20192020 学年下学期高三学年下学期高三 5 月联考理科数学月联考理科数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题有一、选择题：本题有 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 题号 1 2 3 4 5
16、 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C A D D B C D A B 【解析】【解析】 11Ay y，2Bx x，由此可知 D 成立故选 D 2由题意可得25S 内方 ，50S 外方 ，则从外方内随机取一点，此点取自内方的概率为 251 = 502 ， 所以 1 10050 2 故选 A 3选项 A样本容量为6000 4%240，该说法正确；选项 B， 根据题意平台三的满意率 40 40% 25004% ，40m，该说法错误；选项 C， 样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为1500 20%300，该说法正 确；选项 D， 总体中对平台一满意人数约为
17、2000 4% 30%24，该说法正确，故选 B 4当2m时，代入两直线方程中，易知两直线平行， 即充分性成立 12 /ll时，显然0m， 从而有210m m ，解得2m或1m， 但当1m时，两直线重合，不合要求，故必要性成立故选 C 5数列 n a是等差数列，依题意解得 1 2a ，1d 1 22 n Sdd na n ， 2020 2023 20202 S ，故选 A 6令1x ，可得 3 2125n，7n 在 3 2 2 27xx x 的展开式中 x 的系数为 2 21 33 227266CC 故选 D 7选设棋杆的高度OAh，则OCh， 3 h OB ， 在BOC中，由余弦定理得 22
18、2 2cosBCOBOCOBCOCBO， 即 2 22 3 102 233 hh hh ，解得10 3h 故选 D（也可以通过其他选择算出答案） 8根据题意知， 111 1221 x xx e f x ee 1 110 12 e gf e ， 11 111 12 gf e ， 11gg， 11gg ， 函数 g x既不是奇函数也不是偶函数，错误； 111 1212 x xx e fxf x ee ， f x是奇函数，正确； 由复合函数的单调性知 11 21 x f x e 在 R 上是增函数，正确； 0 x e ，11 x e， 11 22 f x， 1,0g xf x ，错误故选 B 9由题
19、意知：函数 f x图象在 , 4 2 内有且仅有一条对称轴， , 444 24 x , 244 24 1 , 244 24 1 , 244 24 k k k ， 解得： 37 1115 ,3,7, 22 22 ，故选 C 10作图如下：设PFm，QFn，则1PMm，1QNn 2 4yx，2p ，根据抛物线的常用结论有 112 1 mnp ， 1 mn mn ，则mnmn， 1111mnmnmn 1919910 910 1111 mn mn PMQNmnmn ， 119 99191016 mn mnmnmn mnnm ， 9106mn，即 19 6 PMQN ， 则 19 PMQN 的值不可能为
20、 5故选 D 11函数 g x的零点可转化为方程 3 x f xm 的根， 进一步转化为函数 yf x与3 x ym 图象的交点的横坐标 作图如下： 由图象可得 1234 01212xxexexe ， 故 2 2 34 2ex xe 121212 lnlnln001xxx xx x，所在 D 错 若 12 2xx，不妨设 1 1 2 x ， 2 3 2 x ， 但 1 2 3 2 3 ln3l 2 1 n3 2 ，所以 C 错误 因为 34 ln 2ln 2exex，所以 34 ln 2ln 2exex ， 即 34 ln 2ln 20exex， 34 221exex，B 错 因为 2 343
21、4 421ee xxx x， 2 22 3434343434 142442ee xxx xee x xx xex x， 所以 2 34 21x xe，所以 2 2 34 21ex xe故选 A 12由题意可知，数列 n a的规律为：分母为2k的项有21 k 项将数列 n a中的项排成杨辉三角数阵， 且使得第 k 行每项的分母为2k，该行有21 k 项，如下所示： 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 对于， 11 11 21 2 位于数阵第 11 行最后一项，对应于数列 n a的项数为 11 1211
22、 2 12 212121114083 12 ， 1 4083n 对于，数阵中第 k 行各项之和为 k b， 则 121 21 2221 22 k k kkk k b ， 且数列 k b的前 k 项之和 121 2 12 21212122 12 22222 k kk k k k T ， 11 10 2102 10181019 2 T ， 而 12 11 21124083 1019 22 T ， 故恰好满足1019 n S 的项 n a位于第 11 行 假设 n a位于第 m 项，则有 10 11111112 112 10181019 2222 m mm T ， 可得出14096m m 由于64
23、634032，64 454160， 则63 64409664 65，64m 因为前 10 行最后一项位于 n a的第 10 1210 2 12 212121102036 12 项， 因此，满足1019 n S 的最小正整数 2 2036642100n ， 所以 12 408321006183nn故选 B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 138, 143 152 16 16 2 3 【解析】【解析】 13不等式组对应的可行域为图中的阴影区域 由题可得 2 1 y a x ， 0 11 yy xx 表示平面区域内的点, x y与点1
24、,0B 连线的斜率 当, x y取点0,4A时， 1 y x 的最大值为 4 4 01 ，所以8a 14将bxaab两边平方， 可得 22 2 220a xa bxaa b对任意 x 成立 则 2 22 4420a baaa b ，化简可得 2 0aa b， 所以 2 2 0aa b，则 2 aa b 因为非零向量a，b夹角为 3 ，2b ， 所以 2 cos1 3 aa baba，所以1a ， 所以 2 22 21423abababa b 15设,P x y， 11 ,A x y， 11 ,Bxy，显然 1 xx， 1 xx 点 A，P 在双曲线上， 22 11 22 22 22 1 1 x
25、y ab xy ab ， 两式相减得 222 1 222 1 yyb xxa ， 222 112 1 2 222 111 0 APBP yyyyyyb k kkk xxxxxxa 22 1212 1212 616 lnln2lnykkkk kkkk ， 设 1 2 tk k，则 6 2ln0yt t t ， 求导得 22 6226t y ttt 6 2lnyt t 在0,3单调递减，在 3,单调递增， 当3t 时， 6 2lnyt t 取最小值， 此时 2 2 112 b et a 16过 BC 作与 AD 垂直的平面，交 AD 于 E，过 E 作 BC 的垂线，垂足为 F， 如图所示： 2B
26、C ，8AD ，则三棱锥DABC的体积为 11118 33323 BCEBCE VSAEDESADBC EF ADEF， 故 EF 取最大值时，三棱锥DABC的体积也取最大值 由108ABBDACCD， 可得 B，C 都在以 A，D 为焦点的椭圆上 因为平面 BCE 与线 AD 垂直， 所以三角形 ADB 与三角形 ADC 全等，即三角形 BCE 为等腰三角形， 又2BC 为定值，所以 BE 取最大值时，三棱锥DABC的体积也取最大值 在ABD中，动点 B 到 A，D 两点的距离和为 10， B 在以 AD 为焦点的椭圆上（长轴、焦距分别为2a、2c）， 此时5a ，4c ， 故 BE 的最大
27、值为 22 3bac， 此时 2 2 1 2 2 2 EFBEBC ， 故三棱锥DABC的体积的最大值是 816 2 33 EF 三、解答题三、解答题 17（12 分） 证明：（1）四边形 ABCD 是菱形， ADDC，ODAC 在ADC中，12ADDC，120ADC， 6OD 又 M 是 BC 中点， 1 6 2 OMAB，6 2MD 222 ODOMMD，DOOM 又,OM AC 面 ABC，OMACO， DO 面 ABC 又BC 平面 ABC，BCOD 解：（2）由题意，ODOC，OBOC， 又由（1）知OBOD， 故以 O 为坐标原点，分别以OD，OC，OB方向为 x、y、z 轴正向建
28、立空间直角坐标系， 由条件易知6,0,0D， 0, 6 3,0A， 0,3 3,3M， 故 0,9 3,3AM ， 6,6 3,0AD 设平面 MAD 的法向量, ,mx y z，则 0, 0, m AM m AD 即 9 330, 66 30, yz xy 令3y ， 则3x ，9z ， 3,3,9m 由条件易证OB 平面 ACD，故取其法向量为0,0,1n 所以 3 93 cos, 31 m n m n m n ， 由图知二面角MADC为锐二面角，故其余弦值为 3 93 31 18（12 分） 解：（1） 5 sin 5 ，且为三角形内角的一半， 0, 2 ， 2 2 5 cos1sin
29、5 52 54 sinsin22sincos2 555 ABC， 2 43 coscos22cos121 55 ABC ， 2 sinsin 2sin2sin2cos2 442 A 2347 2 25510 ， sin7 sin5 BCA ABC （2）由正弦定理得 sinsin BCAC AABC ，即 4 7 2 5 10 BCAC ， 所以 7 2 8 BCAC， 又 12 14sin 24 ABC SCA CBCCA CB， 所以28 2CA CB 由得4 2AC ，7BC ， 又由 sinsin ABAC CABC ，得 4 2 5 2 ABAC ，所以5AB ， 所以ABC的周长1
30、24 2ABBCAC 19（12 分） 解： （1）12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.3620 0.1022 0.0624 0.0417.4x ， 7 2 2 1 23.4626.92 ii i sxxh （2）由题意知：17.4,6.92XN， 20.03， 10.6826 20.030.1587 2 P xP x 随机抽取 20 名医生独立检测血液中指标 A 的值， 就相当于进行了 20 次独立重复试验， 记 “20 名医生中出现 4 名医生血液中指标 A 的值大于正常值 20.03”为事件 B， 则 16 44 20 0.158710.1587P BC 4845
31、0.0006 0.06300.1831413， 所以从血液中指标 A 的值的角度来看：该院医生的健康率是正常的 20（12 分） 解：（1）由5AFFB知5acac， 3 2 ac， 由椭圆 C 的四个顶点围成的四边形面积为 1 2226 5 2 abab， 又有 222 abc，解得3a ，5b ， 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 95 xy （2）可知9t ，直线 AT 的方程为3 12 m yx， 直线 BT 的方程为3 6 m yx 点 11 ,M x y满足 11 22 11 3 , 12 1 95 m yx xy 1 3x 2 1 2 2403 80 m x m ， 1 2
32、40 80 m y m 点 22 ,N xy满足 22 22 22 3 , 6 1 95 m yx xy 2 3x 2 2 2 360 20 m x m ， 2 2 20 20 m y m 若 12 xx，则 22 22 2403360 8020 mm mm 且0m，得2 10m ， 此时直线 MN 的方程为1x ，过点1,0D； 若 12 xx，则2 10m ，直线 MD 的斜率 2 222 40240310 1 808040 MD mmm k mmm ， 直线 MD 的斜率为 2 222 2036010 1 202040 ND mmm k mmm ， 所在 MDND kk，所以直线 MN
33、过点1,0D， 因此直线 MN 必过 x 轴上一定点1,0D 21（12 分） 证明：（1） f xg x等价于证明 5 ln0 2 x e xx x 令 5 ln0 2 x e xxxx x ， 则 2 5 1 2 x exx x x 令 5 0 2 x G xex x，则 5 2 x Gxe， 由 0G x，得 5 ln 2 x ； 由 0G x，得 5 0ln 2 x， G x在 5 0,ln 2 递减，在 5 ln, 2 递增， 555555 lnln1ln0 222222 G xG ， 5 0 2 x ex在 0,上恒成立 x在0,1递减，在1,递增， 5 10 2 xe， f xg
34、 x 解：（2）点 ,A xf x，点sin ,cosBxx， sincos x h xOA OBxxex， 1 sincos xx h xexxex 当 ,0 2 x 时，可知 x ex， 即0 x xe，又sin0x ，cos0x ， 0h x， h x在 ,0 2 单调递减 又 01h ， 0 22 h h x在 ,0 2 上有一个零点 当 0, 4 x 时，cossin0xx，0 x ex， cossin x exxx， sincos0 x h xxxex恒成立， h x在 0, 4 上无零点 当 , 4 2 x 时，0cossinxx， cossinsincos0 x h xxxxe
35、xx h x在 , 4 2 上单调递增 又 0 22 h ， 44 2 22 0 424224 hee ， h x在 , 4 2 上存在一个零点 当 , 2 x ，sin0x ，cos0， sincos0 x h xxxex恒成立， h x在 , 2 无零点 综上， h x在 , 2 上零点个数为 2 22（10 分） 解：（1）根据 222 xy，进行化简得 22 :1C xy， 曲线 C 的参数方程 cos , sin x y （为参数）， 3cos3sin2sin 6 xy ， 3xy的最小值为-2 （2） 2 , , xx yy , 2 x x yy 代入 C 得 2 2 :1 2 x
36、 Ey 将直线 l 的参数方程可化为标准形式 1, 2 3 2 t x yt （t 为参数）， 代入曲线 E 方程得： 2 7440tt（A，B 处对应的参数为 1 t， 2 t）， 12 1 2 4 , 7 4 , 7 tt t t 2 12121 2 8 2 4 7 ABttttt t 23（10 分） 解：（1）当1abc时，不等式 4f x ， 即1114xx ，即113xx 当1x 时，化为113xx ，解得 3 2 x ； 当11x 时，化为113xx ，此时无解； 当1x 时，化为 113xx，解得 3 2 x 综上可得，不等式 4f x 的解集为： 33 , 22 证明：（2）由绝对值三角不等式得 3f xxaxbcxaxbcabc 由基本不等式得 2 2 2 b ab a ， 2 2 c bc b ， 2 2 a ca c ， 三式相加得 222 222 bca abcabc abc ， 整理即得 222 3 bca abc abc ， 当且仅当1abc时，等号成立
