1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 A0，1，2，3，4，集合 Bx|x ，nA，则 AB（ ） A0 B0，1 C1，2 D0，1，2 2已知 m，nR，i 是关于 x 的方程，x2+mx+n0 的一个根，则 m+n（ ） A1 B0 C1 D2 3从某班 50 名同学中选出 5 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 50 名同 学按 01，02，50 进行编号，然后从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始从左 往右依次选取两个数字，则选出的第 5 个个体的编号为（ ）（注：表为
2、随机数表的 第 1 行与第 2 行） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676 A24 B36 C46 D47 4若 cos78m，则 sin（51）（ ） A B C D 5已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（1x）f（1+x），f（0）1，则 f （0）+f（1）+f（2020）（ ） A1 B0 C1 D2020 6意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以 生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡
3、现象， 那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 这就是著名的斐波 那契数列，它的递推公式是 ， ，其中，a11，a21若 从该数列的前 120 项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（ ） A B C D 7函数 的图象大致为（ ） A B C D 8圆 x2+y24y40 上恰有两点到直线 xy+a0（a0）的距离为 ，则 a 的取值范围 是（ ） A（4，8） B4，8） C（0，4） D（0，4 9在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ，则ABC 外接圆的面积为（ ） A B2 C3 D4 10某锥体的三视
4、图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B C D 11已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，若对任意的正实数 ， 的 最小值为 ，则 cos（ ） A B C D0 12 已知双曲线 ， 的渐近线为 ， 过右焦点 F 的直线 l 与双 曲线交于 A，B 两点且 3 ，则直线 l 的斜率为（ ） A B C1 D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 ， ， ， ，且 ，则实数 m 14若 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值为 15 已知函数 f （x） xlnx+ （2f （e） ） x3， 则 f （x） 在 x1 处的切线方程为 16
5、如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，P 分别为 B1C1，C1D1，CD 的中点， Q 点是正方形 BCC1B1内的动点若 PQ平面 AEF，则 Q 点的轨迹长度为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S39，a1+2a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）令 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 182020 年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年某乡 镇在 2014 年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有 500 户， 结合当地实际情况采取多 项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如表： 年份
6、2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 脱贫户数 y 55 68 80 92 100 （1）根据 20152019 年的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程. ，并预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户是否能全部脱贫； （2）2019 年的新脱贫户中有 20 户五保户，20 户低保户，60 户扶贫户该乡镇某干部打 算按照分层抽样的方法对 2019 年新脱贫户中的 5 户进行回访，了解生产生活、帮扶工作 开展情况为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这 5 户中的 2 户进行每月跟踪帮扶， 求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率 参考公式： ， 1
7、9已知三棱锥 PABC，ACBC2，ACB120，M 是线段 AB 上靠近 B 点的三等 分点，三角形 PBC 为等边三角形 （1）求证：BCPM； （2）若三棱锥 PABC 的体积为 ，求线段 PM 的长度 20 已知椭圆 ： 的离心率为 ， 且椭圆 C 经过点 ， 抛物线 E： y22px（p0）与椭圆有公共的焦点 （1）求抛物线 E 的标准方程； （2）在 x 轴上是否存在定点 M，使得过 M 的动直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，等式 恒成立，如果存在试求出定点 M 的坐标，若不存在请说明理由 21已知函数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 0a2，求证：f（ea）
8、+2a（a1） （二）选考题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目 对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所 做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数），曲线 C2的参 数方程为 （ 为参数） （1）求曲线 C1，C2的普通方程 （2）已知点 M（2，0），若曲线 C1，C2交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 选修 4-5 不等式选讲 23已知正实数 a，b 满足 a+b4 （1）求 的最小值 （2）证明： 参考答案 一、选择题（共 12
9、 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A0，1，2，3，4，集合 Bx|x ，nA，则 AB（ ） A0 B0，1 C1，2 D0，1，2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 A0，1，2，3，4， 集合 Bx|x ，nA0，1， ， ，2， AB0，1，2 故选：D 2已知 m，nR，i 是关于 x 的方程，x2+mx+n0 的一个根，则 m+n（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】 i 是关于 x 的实系数方程， x2+mx+n0 的一个根， i 也是关于 x 的实系数方程， x2+mx+n0 的一个根，利用根与系数的关系即可得出 解：i 是关于 x 的
10、实系数方程，x2+mx+n0 的一个根， i 也是关于 x 的实系数方程，x2+mx+n0 的一个根， mi+i0，ni i1 m0 则 m+n1 故选：C 3从某班 50 名同学中选出 5 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 50 名同 学按 01，02，50 进行编号，然后从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始从左 往右依次选取两个数字，则选出的第 5 个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的 第 1 行与第 2 行） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6792 4281 1457 2042 5332 373
11、2 1676 A24 B36 C46 D47 【分析】由题知从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始，依次选取相应的个体， 就可得出答案 解：由题知从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始，由表可知依次选取 43，36， 47，46，24 故选：A 4若 cos78m，则 sin（51）（ ） A B C D 【分析】 由已知利用诱导公式可得 cos102m， 利用二倍角的余弦函数公式可求 sin51 ，进而根据诱导公式化简所求即可求解 sin（51）的值 解：cos78m， cos（18078）cos102cos78m，可得 12sin251cos102 m， sin
12、2 51 ，解得：sin51 ， sin（51） 故选：A 5已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（1x）f（1+x），f（0）1，则 f （0）+f（1）+f（2020）（ ） A1 B0 C1 D2020 【分析】根据题意，分析可得 f（x）+f（2+x）0，结合函数的奇偶性可得 f（x+2） f（x），进而可得 f（x+4）f（x+2）f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期 函数，进而分析可得 f（0）+f（1）+f（2）+f（3）0，结合函数的周期性分析可得 f（0） +f（1）+f（2020）f（0）+f（1）+f（2）+f（3）505+f（2020）f（0），
13、即可 得答案 解：根据题意，f（x）满足 f（1x）f（1+x），即函数 f（x）图象关于点（1，0） 对称，则有 f（x+2）f（x）， 又由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（x），即有 f（x+2）f（x）， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x），即函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， f（0）1，则 f（2）f（0）1，f（1）+f（3）0， 则有 f（0）+f（1）+f（2）+f（3）0， 则 f（0）+f（1）+f（2020）f（0）+f（1）+f（2）+f（3）505+f（2020）f（0） 1； 故选：C 6意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每
14、个月可以 生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡现象， 那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 这就是著名的斐波 那契数列，它的递推公式是 ， ，其中，a11，a21若 从该数列的前 120 项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（ ） A B C D 【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，可得： 每三个数中有二个奇数，即可得出结论 解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 可得：每三个数中有 2 个奇数， 可得：从该数列的前
15、120 项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为： P 故选：B 7函数 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，由排除法分析：由函数的解析式求出 f（x），分析可得可得 f（x） 为偶函数，排除 AC，进而分析可得在区间（0，）上，有 f（x）0，排除 D，据此分 析可得答案 解： 根据题意， ， 则 f （x） sin （x） ln （ x） sinx ln（ x）f（x）， 即函数 f（x）为偶函数，排除 A、B， sinx ln（ ），在区间（0，）上，sinx0，ln （ ）0，则 f（x）0，排除 D； 故选：C 8圆 x2+y24y40 上恰有两点到直线 xy+
16、a0（a0）的距离为 ，则 a 的取值范围 是（ ） A（4，8） B4，8） C（0，4） D（0，4 【分析】 根据题意， 由圆的方程分析圆的圆心以及半径， 进而可得求出圆心到直线 xy+a 0 的距离，结合直线与圆的位置关系可得 2 d2 ，变形可得：2|a 2|6，解可得 a 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，圆 x2+y24y40 即圆 x2+（y2）28，其圆心为（0，2），半径 r 2 ， 圆心到直线 xy+a0 的距离 d ， 若圆 x2+y24y40 上恰有两点到直线 xy+a0 的距离为 ，则有 2 d 2 ，即 3 ， 变形可得：2|a2|6， 解可得：4a0 或 4
17、a8， 又由 a0，则 4a8，即 a 的取值范围为（4，8）； 故选：A 9在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ，则ABC 外接圆的面积为（ ） A B2 C3 D4 【分析】利用正弦定理化简已知等式，利用余弦定理即可得出 cosA，结合 A 的范围可求 A 的值，设ABC 外接圆的半径为 R，由正弦定理可得 R，利用圆的面积公式即可求解 解：（1）由 ， ， 可得 b（b c）（a+c）（ac）， 化为 b2+c2a2 bc， cosA ， 又 A（0，）， A ， 设ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦定理可得 2R 2，可得 R1， ABC 外接圆的
18、面积 SR2 故选：A 10某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B C D 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 解： 由题意， 几何体是一个四棱锥， 如图 PABCD， 其中， PDC 是正三角形， 边长为 2， 侧面 ABCD 是正方形，AB2，底面 ABCD 与平面 PCD 垂直， 所以几何体的体积为： 故选：C 11已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，若对任意的正实数 ， 的 最小值为 ，则 cos（ ） A B C D0 【分析】根据题意，分析可得| |2 的最小值为 3，由数量积的计算公式可得 | |2 2 + 2 22 4+ 24
19、cos（2cos）2+44cos2，分析可得：当 2cos 时，| |2 取得最小值 3，据此可得 cos ，又由 0，即可得答案 解：根据题意， ， ， ， 的夹角为 ，则 2cos， 若对任意的正实数 ， 的最小值为 ，则| |2 的最小值为 3， 则| |2 2 + 2 22 4+ 24cos（2cos）2+44cos2， 分析可得：当 2cos 时，| |2 取得最小值 3， 即有 44cos23，即 cos ， 又由 0，则 cos ， 故选：B 12 已知双曲线 ， 的渐近线为 ， 过右焦点 F 的直线 l 与双 曲线交于 A，B 两点且 3 ，则直线 l 的斜率为（ ） A B
20、C1 D 【分析】由渐近线方程可得 b a，c2a，双曲线的方程即为 3x2y23a2，设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，设直线 l 的方程为 xmy+c，即 xmy+2a，联立双曲线的方程， 运用韦达定理和向量共线的坐标表示，化简整理可得 m 的方程，解方程，即可得到所求 直线的斜率 解：双曲线 ， 的渐近线为 ，可得 b a，c2a， 双曲线的方程即为 3x2y23a2， 由 3 ，可得 A，F，B 三点共线，且 A，B 均在双曲线的右支上， 设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，可得y13y2， 可设直线 l 的方程为 xmy+c，即 xmy+2a， 联立双曲线的方程 3x2y2
21、3a2，可得（3m21）y2+12amy+9a20， 可得 y1+y2 ，y1y2 ， 联立可得3 ， 化为 15m21，解得 m ， 则直线 l 的斜率为 故选：B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 ， ， ， ，且 ，则实数 m 1 【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得 m 、 的坐标，进而由向量平行 的坐标表示公式可得（3m）（1）（1+2m）4，解可得 m 的值，即可得答案 解：根据题意，向量 ， ， ， ， 则 m （3m，1+2m）， （4，1）， 若 ，则有（3m）（1）（1+2m）4， 解可得：m1； 故答案为：1 14若 x，y
22、满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（1，1）， 化目标函数 zx+y 为 yx+z， 由图可知，当直线 yx+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为2 故答案为：2 15已知函数 f（x）xlnx+（2f（e）x3，则 f（x）在 x1 处的切线方程为 x y20 【分析】先解方程求出 f（e），然后求出导数，再求出切点处的函数值、导数值，利 用点斜式写出切线方程 解：f
23、（x）lnx+1f（e）， f（e）lne+1f（e），f（e）0 f（x）xlnx+2x3，f（x）lnx+1， 故切点为（1，1），kf（1）1， 故切线为：y+1x1， 即 xy20 故答案为：xy20 16如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，P 分别为 B1C1，C1D1，CD 的中点， Q 点是正方形 BCC1B1内的动点若 PQ平面 AEF，则 Q 点的轨迹长度为 【分析】连接 EF 交 A1D1的延长线于点 G，连接 AG，交 DD1于点 M，延长 EF 交 A1B1 的延长线与点 H，连接 AH 交 BB1于点 N，连接 EN，MF，可得五边形 ANEF
24、M 即为平面 AEF 截正方体的截面，数形结合得到平面 PRS平面 AEF，又平面 PRS平面 BCC1B1 RSNE，易得 M，N 分别为 DD1和 BB1的三等分点，则 NE ，故 可得答案 解：如图，连接 EF 交 A1D1的延长线于点 G，连接 AG，交 DD1于点 M， 延长 EF 交 A1B1的延长线与点 H，连接 AH 交 BB1于点 N，连接 EN，MF， 则五边形 ANEFM 即为平面 AEF 截正方体的截面， 易得 M，N 分别为 DD1和 BB1的三等分点，则 NE ， 取 BC 中点 R，CC1上靠近 C 点的三等分点 S， 易得 PREF，RSNE，RSNE， 所以平
25、面 PRS平面 AEF， 因为平面 PRS平面 BCC1B1RS， 所以 Q 在线段 RS 上，RS ， 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S39，a1+2a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）令 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）设等差数列an的公差为 d，运用等差数列的求和公式和通项公式，解方 程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得 （n+1） 2n+（n+1），运用数列的分组求和，以及错位 相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和 解：（1）设等差数列an的公差为 d，
26、由 S39，可得 3a1 32d9，即 a1+d3， a1+2a3a9，即 3a1+4da1+8d，即 a12d， 解得 a12，d1，则 an2+n1n+1，nN*； （2） （n+1） 2n+（n+1）， 则前 n 项和 Tn2 2+3 22+4 23+（n+1） 2n （n+3）n， 设 Mn2 2+3 22+4 23+（n+1） 2n， 2Mn2 22+3 23+4 24+（n+1） 2n+1， 两式相减可得Mn4+22+23+2n（n+1） 2n+1 2 （n+1） 2 n+1， 化简可得 Mnn 2n+1， 所以 Tnn 2n+1 （n+3）n 182020 年是全面建成小康社会目
27、标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年某乡 镇在 2014 年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有 500 户， 结合当地实际情况采取多 项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 脱贫户数 y 55 68 80 92 100 （1）根据 20152019 年的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程. ，并预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户是否能全部脱贫； （2）2019 年的新脱贫户中有 20 户五保户，20 户低保户，60 户扶贫户该乡镇某干部打 算按照分层抽样的方法对 2019 年新脱贫
28、户中的 5 户进行回访，了解生产生活、帮扶工作 开展情况为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这 5 户中的 2 户进行每月跟踪帮扶， 求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率 参考公式： ， 【分析】 （1）由已知求得 与 的值，可得 y 关于 x 的线性回归方程，取 x6 求得 y 值， 即可得到 2020 年一年内该乡镇脱贫的贫困户脱，再求出 6 年内脱贫的总户数，即可得到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户是否能全部脱贫； （2） 按分层抽样抽取的 5 户贫困户中， 有 1 户五保户 a， 1 户低保户 b， 3 户扶贫户 c， d， e，利用枚举法得到从这 5 户中任选 2 户的情况总数，
29、得到 2 户不都是扶贫户的户数，再 由古典概型概率计算公式及互斥事件的概率求解 解：（1） ， ， ， ， y 关于 x 的线性回归方程为 当 x6 时， 即预测 2020 年一年内该乡镇有 113 户贫困户脱贫 预测 6 年内该乡镇脱贫总户数有 55+68+80+92+100+113508500 即预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户能全部脱贫； （2）由题意可得：按分层抽样抽取的 5 户贫困户中 有 1 户五保户 a，1 户低保户 b，3 户扶贫户 c，d，e 从这 5 户中任选 2 户，共有 10 种情况： （ab），（ac），（ad），（ae），（bc），（bd），（be），
30、（cd），（ce），（de）， 记 2 户不都是扶贫户为事件 A，则事件 共有 3 种情况：（cd），（ce），（de） P（ ） ，则 P（A）1 故抽取的 2 户不都是扶贫户的概率为 19已知三棱锥 PABC，ACBC2，ACB120，M 是线段 AB 上靠近 B 点的三等 分点，三角形 PBC 为等边三角形 （1）求证：BCPM； （2）若三棱锥 PABC 的体积为 ，求线段 PM 的长度 【分析】（1）取 BC 的中点 D，连结 DM，推导出 AB2 ，BM ，由余弦 定理得 DM ，推导出 BDDM，PDBC，从而 BC平面 PDM，由此能证明 BC PM （2）由 BC平面 PDM
31、，得平面 ABC平面 PDM，作 PNDM，垂足为 N，平面 ABC 平面 PDMDM， 则 PN平面 ABC， PN 为三棱锥 PABC 的高， 由等体积法求出 PN ，利用余弦定理能求出线段 PM 的长度 解：（1）证明：取 BC 的中点 D，连结 DM， ACBC2，ACB120， AB 2 ，BM ， 在BDM 中，DBM30，由余弦定理得： DM ， BD2+DM2BM2，BDDM， PBC 是等边三角形，D 为 BC 的中点，PDBC， BC平面 PDM， PM平面 PDM，BCPM （2）解：由（1）知 BC平面 PDM， BC平面 ABC，则平面 ABC平面 PDM， 作 PN
32、DM，垂足为 N，平面 ABC平面 PDMDM，则 PN平面 ABC， PN 为三棱锥 PABC 的高， 由 PN ， 解得 PN ， 在等边PBC 中，BC2，则 PD ， 在 RtPDN 中，sin ，cosPDM ， PDM 中，PM 三棱锥 PABC 的体积为 时，线段 PM 的长度为 20 已知椭圆 ： 的离心率为 ， 且椭圆 C 经过点 ， 抛物线 E： y22px（p0）与椭圆有公共的焦点 （1）求抛物线 E 的标准方程； （2）在 x 轴上是否存在定点 M，使得过 M 的动直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，等式 恒成立，如果存在试求出定点 M 的坐标，若不存在请说明理由
33、 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和 P 的坐标满足椭圆方程，结合 a，b，c 的关系， 解方程可得 a，b，c，进而得到抛物线的焦点，可得 p 的值，抛物线的方程可得； （2）在 x 轴上假设存在定点 M，满足条件，可设 M（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 假设直线 l 的方程设为 xmy+t，代入抛物线的方程，运用韦达定理和两点的距离公式， 化简整理，结合恒成立思想，可得 t 的方程组，解方程可得所求 M 的坐标 解：（1）由题意可得 e ， 1，a2b2c2， 解得 a2，b ，c1，则椭圆的焦点为（1，0），（1，0）， 则 1，即 p2，可得抛物线的方程为 y24x
34、； （2）在 x 轴上假设存在定点 M，使得过 M 的动直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，等式 恒成立 设 M（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 假设直线 l 的方程设为 xmy+t，代入抛物线的方程 y24x， 可得 y24my4t0，16m2+16t0，y1+y24m，y1y24t， |MA|2（x1t）2+y12（m2+1）y12，|MB|2（m2+1）y22， 则 （ ） ， 整理可得 m2（t24）+t22t0，由该式对任意的 m一、选择题恒成立， 所以 t240，且 t22t0，可得 t2， 即存在点 M（2，0） 21已知函数 （1）讨论函数 f（x）的单调
35、性； （2）若 0a2，求证：f（ea）+2a（a1） 【分析】（1）函数的定义域为（0，+），求导可得 ，先分 a0 和 a0 两大类， 再在 a0 的情形下， 分 ae、 ae 和 0ae 三种情形逐一判断 f （x） 的正负性，从而得函数 f（x）的单调性； （2） 先作差并化简得，f（ea）+2a （a1） ， 由于 0a2， 所以只需要判断 的符号即可， 于是令 ， 求导 g （a） ， 再令 h（a）g（a），再求导 h（a），有 h（a）0，因此 h（a）在（0，2）上单调 递增，依此，逐层回推，可得 g（a）g（0）0，即 ，所以 0，于是命题得证 解：（1） 定义域为 （0，
36、 +） ， ， 若 a0，则 f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增； 若 a0，当 ae 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 ae 时，f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+）上单调递增； 当 0ae 时，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+）上单调递增 综上所述， 当 a0 时，f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增； 当 ae 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 ae 时，f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+）上单调递增； 当 0ae 时，f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+
37、）上单调递增 （2） ， 令 ，则 g（a）ea1a， 令 h（a）g（a）ea1a，则 h（a）ea1， 0a2，h（a）0，h（a）在（0，2）上单调递增，h（a）h（0）0， g（a）0，g（a）在（0，2）上单调递增，g（a）g（0）0， ， 而 a20， f（ea）+2a（a1）0， f（ea）+2a（a1） （二）选考题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目 对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所 做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t
38、 为参数），曲线 C2的参 数方程为 （ 为参数） （1）求曲线 C1，C2的普通方程 （2）已知点 M（2，0），若曲线 C1，C2交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 【分析】（1）直接把直线的参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，利用同角三 角函数基本关系式消去曲线 C2的参数方程中的参数 ，可得曲线 C2的普通方程； （2）把直线的参数方程代入曲线 C2的普通方程，化为关于 t 的一元二次方程，利用双曲 线定义转化后结合根与系数的关系求解|MA|MB|的值 解：（1）由 （t 为参数），消去参数 t，可得曲线 C1的普通方程为 xy2 0； 由 （ 为参数），得 ， 则曲线 C
39、2的普通方程为 ； （2）由 可知 M（2，0）为左焦点，直线 xy20 过右焦点 N（2，0）， 又直线的斜率 kAB1 （一条渐近线的斜率）， 点 A、B 在双曲线的右支 |MA|MB|（|NA|+2a）（|NB|+2a）|NA|NB| 令点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 把 代入 ，可得 则 ，t1t21 |MA|MB|NA|NB| 选修 4-5 不等式选讲 23已知正实数 a，b 满足 a+b4 （1）求 的最小值 （2）证明： 【分析】 （1）由已知可得， （ ） （a+b），展开后利用基本不等式可求； （2）由 ，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（ ） 2+（ ） 2 即可证明 解：（1）正实数 a，b 满足 a+b4， （ ）（a+b） ， 当且仅当 且 a+b4 即 a ，b 时取得最小值 ； （2）证明：a+b4， 1， ， （ ） 2+（ ） 2 （当且仅当 ab2 时取等号）
