1、2020 年高考数学模拟试卷（年高考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（共 10 小题）. 1已知全集 U2，1，0，1，2，A2，0，1，B1，0，则U（AB） （ ） A2，1，1，2 B2 C1，2 D0 2已知 i 为虚数单位，其中（1+2i）zi，则该复数的共轭复数是（ ） A i B i C i D i 3某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A B64 C6416 D 4若实数 x，y 满足约束条件 ，则 z3x2y 的最大值是（ ） A0 B2 C4 D5 5已知函数 f（x）ax+b 的图象如图所示，则函数 f（x）loga（x+b）的图象是（ ） A
2、B C D 6设 a0，b0，则“a+b2”是“a2+b22”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7设 0a ，随机变量 X 的分布列为 X 2 1 1 2 P a a 则当 a 在 ， 增大时，（ ） AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 8已知椭圆 C： 1（ab0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过 F2的直线交椭圆 与 A、B 两点，AF1B90，2 ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 9如图，ABC 中，ABBC，ACB60，D 为 AC 中点，ABD 沿 BD 翻折过程中， 直线 AB
3、与直线 BC 所成的最大角、最小角分别记为 1，1，直线 AD 与直线 BC 所成最 大角、最小角分别记为 2，2，则有（ ） A12，12 B12，12 C12，12 D12，12 10 已知数列an满足， an+1an+1 ， a 1a， 则一定存在 a， 是数列中 （ ） A存在 nN*，有 an+1an+20 B存在 nN*，有（an+11）（an+21）0 C存在 nN*，有 D存在 nN*，有 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11双曲线 x2 1 的焦距是 ；渐近线方程是 12已知角 的终边过点（1，2），则 tan ，sin
4、2 13 展开式中常数项是 ，最大的系数是 14 已知ABC中， AB3， BC5， D为线段AC上一点， ABBD， ， 则AC ， ABC 的面积是 15已知函数 f（x）x2+2x+a（a0），若函数 yf（f（x）有三个零点，则 a 16某学校高一学生 2 人，高二学生 2 人，高三学生 1 人，参加 A、B、C 三个志愿点的活 动每个活动点至少 1 人，最多 2 人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生 不去 A 活动点，则不同的安排方法有 种（用数字作答） 17如图，已知矩形 ABCD 中，AD1，AB ，E 为边 AB 的中点，P 为边 DC 上的动点 （不包括端点）， （
5、01），设线段 AP 与 DE 的交点为 G，则 的 最小值是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤。 18已知函数 （）求函数 f（x）的周期与 的值； （）若 ， ，求函数 yf 2（x）的取值范围 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为等边三角形，ABAD CD2，BAD ADC90，PDC60，E 为 BC 的中点 （）证明：ADPE （）求直线 PA 与平面 PDE 所成角的大小 20已知数列an满足，an+23an+12an，a11，a23，记 bn ，Sn 为数列bn 的 前 n 项和 （）求证：an+1an为等比数列，并求
6、 an； （）求证：Sn 21已知抛物线 C：yax2（a0）上的点 P（b，1）到焦点的距离为 ， （）求 a 的值； （）如图，已知动线段 AB（B 在 A 右边）在直线 l：yx2 上，且 ，现过 A 作 C 的切线，取左边的切点 M，过 B 作 C 的切线，取右边的切点为 N，当 MNAB， 求 A 点的横坐标 t 的值 22已知函数 f（x）xa ，函数 g（x）keax，aR，kR （）求函数 f（x）的单调区间 （）若 1a2，f（x）1g（x）对 ， 恒成立，求 k 的取值范围（e 2.71828为自然对数的底数） 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共
7、 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知全集 U2，1，0，1，2，A2，0，1，B1，0，则U（AB） （ ） A2，1，1，2 B2 C1，2 D0 【分析】根据并集和补集的定义，计算即可 解：由 A2，0，1，B1，0， 所以 AB2，1，0，1； 又全集 U2，1，0，1，2， 所以U（AB）2 故选：B 2已知 i 为虚数单位，其中（1+2i）zi，则该复数的共轭复数是（ ） A i B i C i D i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由（1+2i）zi，得 z ， 故选：C 3某几何体三视图如图所示，则该几何体
8、的体积等于（ ） A B64 C6416 D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为 2， 高为 4再由圆柱体积减去圆锥体积求解 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为 2，高为 4 则该几何体的体积 V 故选：A 4若实数 x，y 满足约束条件 ，则 z3x2y 的最大值是（ ） A0 B2 C4 D5 【分析】由题意作平面区域，化简 z3x2y 为 ，平行直线，从而利用数形 结合求解即可 解：实数 x，y 满足约束条件 的可行域如图： 解得 B（1，1）， z3x2y 化为： ，平行直线 3x2y0，当直线经过 B 时，
9、 目标函数的纵截距最小，目标函数取得最大值， z3x2y 的最大值是：5， 故选：D 5已知函数 f（x）ax+b 的图象如图所示，则函数 f（x）loga（x+b）的图象是（ ） A B C D 【分析】先由一次函数的图象得 0a1，1b0，再结合对数函数的单调性和图象 的对称变换，可知 yloga（x）单调递增，最后利用平移变换法则得出 f（x）loga（ x+b）的图象 解：由函数 f（x）ax+b 的图象可知，0a1，1b0， 所以函数 ylogax 单调递减，而 yloga（x）单调递增， 因为1b0，所以再将其向左平移|b|个单位，得 f（x）loga（x+|b|）loga（x b
10、）loga（x+b），对应着选项 D 的图象， 故选：D 6设 a0，b0，则“a+b2”是“a2+b22”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】a+b2 可知 ，而 ，可得 a2+b22反之不成立， 可以通过举反例说明 解：a+b2 可知 ，而 ，a2+b22 反之不成立，例如 a ，b0 “a+b2”是“a2+b22”的充分不必要条件 故选：A 7设 0a ，随机变量 X 的分布列为 X 2 1 1 2 P a a 则当 a 在 ， 增大时，（ ） AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 【分析
11、】根据公式 D（X）EX2（EX）2求出方差，结合二次函数的单调性即可得出 结论 解： 由题意可得， 随机变量X的数学期望 ， 随机变量 X2的数学期望 3， 随机变量 X 的方差 D（X）EX2（EX）2 ， 当 a 在 ， 增大时，D（X）先增大后减小， 故选：C 8已知椭圆 C： 1（ab0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过 F2的直线交椭圆 与 A、B 两点，AF1B90，2 ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】 由向量的关系可得线段的关系， 设|F2A|3x， 则|F2B|2x， 由椭圆的定义可得|F1A| 2a3x，|F1B|2a2x，再由AF1B90，由勾股定理可得
12、 x 的值，进而求 出|AF1|，|AB|的值，进而求出F1AB 的余弦值，由半角公式求出 sin ，进而求 出离心率 解：设|F2A|3x，|F2B|2x，|F1A|2a3x，|F1B|2a2x，则（5x）2（2a3x）2+ （2a2x）2， 可知 ，|F2A|a，|AB| ，|F 1 B| a，|F1A|a，所以可得 A 为短轴的顶点， 在ABF1中，cosF1AB ，由半角公式可得所以 sin ， 则 故选：B 9如图，ABC 中，ABBC，ACB60，D 为 AC 中点，ABD 沿 BD 翻折过程中， 直线 AB 与直线 BC 所成的最大角、最小角分别记为 1，1，直线 AD 与直线
13、BC 所成最 大角、最小角分别记为 2，2，则有（ ） A12，12 B12，12 C12，12 D12，12 【分析】 翻折到 180时， AB， BC 所成角最小， 130， AD， BC 所成角最小， 20， 翻折 0时，AB，BC 所成角最大，可知 190，翻折过程中，可知 AD 的投影可与 BC 垂直，从而 AD，BC 所成最大角 290，推导出 190，130，290， 20 解：翻折到 180时，AB，BC 所成角最小， 可知 130，AD，BC 所成角最小，20， 翻折 0时，AB，BC 所成角最大，可知 190， 翻折过程中，可知 AD 的投影可与 BC 垂直， 所以 AD，
14、BC 所成最大角 290， 所以 190，130，290，20 故 12，12 故选：D 10 已知数列an满足， an+1an+1 ， a 1a， 则一定存在 a， 是数列中 （ ） A存在 nN*，有 an+1an+20 B存在 nN*，有（an+11）（an+21）0 C存在 nN*，有 D存在 nN*，有 【分析】由函数 与 yx 有两个交点（0，0），（1，1），对 a 分类判断 A，B 错误；由 a11 时，a2一定小于 ，则之后均小于 ，判断 D 错误；举例 说明 C 正确 解：函数 与 yx 有两个交点（0，0），（1，1）， 可知当 a10 时，数列递减，an0； 当 0a1
15、1 时，数列递增，并且 an趋向 1； 当 a11 时，数列递减，并且 an趋向 1，则可知 A，B 错误； 又当 x1 时， ， 则当 a11 时，a2一定小于 ，则之后均小于 ，D 错误； 对于 C，可取 ，得（ ）（ ）0，满足要求 故选：C 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11双曲线 x2 1 的焦距是 4 ；渐近线方程是 y x 【分析】利用双曲线的标准方程，转化求解焦距坐标，然后求解渐近线方程 解：双曲线 x2 1，可知 a1，b ，c2，所以双曲线的焦距是 4， 渐近线方程为：y x 故答案为：4；y x 12已知角 的终边
16、过点（1，2），则 tan 2 ，sin2 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，得出结论 解：由定义知 tan2， ， ， 则 ， 故答案为：2； 13 展开式中常数项是 ，最大的系数是 【分析】由题意利用通项公式求得展开式中常数项，从而得到系数最大的项 解：根据通项公式可得 Tr+1 ，令 0，求得 r3， 可得常数项为 ， 检验可得，系数最大的项是 T2T3的系数，最大为 ， 故答案为： ； 14已知ABC 中，AB3，BC5，D 为线段 AC 上一点，ABBD， ，则 AC ，ABC 的面积是 【分析】由题意设 AD3x，CD4x，在ABC 中，由余弦定理可求 x
17、 的值，可求 AC 的值，进而可求 sinA，利用三角形的面积公式即可求解 解：设 AD3x，CD4x， 在ABC 中，由余弦定理可知 ， 可知 ， 可得： ， 可得： ， 可得：SABC bcsinA 故答案为： ， 15 已知函数 f （x） x2+2x+a （a0） ， 若函数 yf （f （x） ） 有三个零点， 则 a 【分析】令 tx2+2x+a，由 f（t）0，可得 ，再根据 yf（f（x）有 三个零点，结合 f（x）的图象得到 a1，解方程得到 a 的值 解：令 tx2+2x+a（x+1）2+a1，由 f（t）0 可知， ， tf（x），yf（f（x）有三个零点， 有三解， 由
18、图象 f（x）的图象，可知 ， 故答案为： 16某学校高一学生 2 人，高二学生 2 人，高三学生 1 人，参加 A、B、C 三个志愿点的活 动每个活动点至少 1 人，最多 2 人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生 不去 A 活动点，则不同的安排方法有 40 种（用数字作答） 【分析】以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先安排高三学生，再安排高 一、高二学生，由乘法原理算出两类安排方法，相加即可 解：若高三学生单独去志愿点，则有 C A A 8 种，若高三学生与其它年级学生 合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，有 C C A C 32 种， 则共有 8+3240 种安排方
19、法 故答案为：40 17如图，已知矩形 ABCD 中，AD1，AB ，E 为边 AB 的中点，P 为边 DC 上的动点 （不包括端点）， （01），设线段 AP 与 DE 的交点为 G，则 的 最小值是 【分析】由图可得AGE 与PGD 相似，可得 ，表示出 （1+22），换元，构造函数，利用不等式即可得到答案 解：因AGE 与PGD 相似，所以 ， 则 （1+2 2）， 令 t1+2（1t3）， 则 （t ） 1 1， 当且仅当 ， 即 ， 取 到 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤。 18已知函数 （）求函数 f（x）的周期与
20、的值； （）若 ， ，求函数 yf 2（x）的取值范围 【分析】（）先结合正弦的两角和公式与辅助角公式将函数化简为正弦型函数，于是 可得周期，再把 x 代入运算即可得解； （）方法一：先结合正弦函数的图象与性质算出函数 f（x）的值域，进而得 yf2（x） 的值域； 方法二： 先利用余弦的二倍角公式将 yf2（x） 进行化简， 得 ， 再结合余弦函数的图象与性质求出其值域 解：（） ， 函数 f（x）的周期为 2， （）方法一： ， ， ， ， ， ， 于是 ， 方法二：由（）可知， ， ， ， ， ， ， ， 于是 yf2（x）的取值范围为 ， 19如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为
21、等边三角形，ABAD CD2，BAD ADC90，PDC60，E 为 BC 的中点 （）证明：ADPE （）求直线 PA 与平面 PDE 所成角的大小 【分析】（）取 AD 的中点 O，连结 PO，EO，通过 POAD，EOAD，推出 AD 面 PEO，即可证明 ADPE （）法一：以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连 HQ，求出平面 PDE 的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线 PA 与平面 PDE 所成角 法二：（体积法）设点 A 到面 PDE 的距离为 h，法一中已知点 P 到面 ABCD 的距离 PH 为 ，则 ，通过 VAPDEVPADE求出，P 到平面的距离，通
22、过求解三角形推出结果 【解答】（）证明：取 AD 的中点 O，连结 PO，EO， 由 POAD，EOAD，POEOO 可知：AD面 PEO，且 PE面 PEO， 则 ADPE （）解法一：以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 作 PQCD，PHOE，连 HQ，因 PH平面 ABCD，知 HQCD， 由PDC60知 DQ1，OHDQ1，由 ， 在 RtPHO 中，可知 ，则 ， ， ， A（0，1，0），D（0，1，0），E（3，0，0）， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 PDE 的法向量为 ， ， ， 则 得 ， ， 为其中一个法向量， 设直线 PA 与平面 PDE
23、 所成角为 ，则 ， ， 则直线 PA 与平面 PDE 所成角为 60 解法二：（体积法） 设点 A 到面 PDE 的距离为 h， 法一中已知点 P 到面 ABCD 的距离 PH 为 ， 则 ， PDE 中， ， ， ，所以PDE 为直角三角形， 由 VAPDEVPADE可知： ， 设直线 PA 与平面 PDE 所成角为 ，则 ， 则直线 PA 与平面 PDE 所成角为 60 20已知数列an满足，an+23an+12an，a11，a23，记 bn ，Sn 为数列bn 的 前 n 项和 （）求证：an+1an为等比数列，并求 an； （）求证：Sn 【分析】本题第（）题将题干中递推公式进行转化
24、可得 an+2an+12（an+1an），从 而可证得数列an+1an是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 则有 ，nN*然后根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列an的通项公式； 第（）题先根据第（）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用数学归纳法 证明不等式成立，注意在具体证明过程中运用分析法证明根式不等式成立，综合即可证 得不等式成立 【解答】证明：（）依题意，由 an+23an+12an，可得： an+2an+13an+12anan+12（an+1an）， a2a1312， 数列an+1an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， ，nN* 故 a11， a2a121，
25、a3a222， anan12n1， 各项相加，可得 an1+21+22+2n1 2 n1，nN* （）由（）知，bn ， 下面用数学归纳法证明不等式成立， 当 n1 时，S1b1 ， 右边 ， 要证明： ， 只要证明： 2 ， 两边平方，可得 ， 化简整理，得 2 7， （2 ）2407249， 成立， 即当 n1 时，不等式成立 假设当 nk 时，不等式成立，即 Sk ， 则当 nk+1 时， ， 要证明：Sk+1 ， 只要证明： ， ， 化简，得 ， 两边平方，可得（ ）2（ ）2， 化简整理，得 3k+7， 两边平方，可得（3k+4）（3k+10）（3k+7）2， 化简整理，得 9k2+
26、42k+409k2+42k+49， 4049， 9k2+42k+409k2+42k+49 成立， 成立， 即：Sk+1 成立， 当 nk+1 时，不等式也成立 综上所述，可得 对 nN*成立，故得证 21已知抛物线 C：yax2（a0）上的点 P（b，1）到焦点的距离为 ， （）求 a 的值； （）如图，已知动线段 AB（B 在 A 右边）在直线 l：yx2 上，且 ，现过 A 作 C 的切线，取左边的切点 M，过 B 作 C 的切线，取右边的切点为 N，当 MNAB， 求 A 点的横坐标 t 的值 【分析】（）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点 P（b，1）到焦点的距 离转化为到准线
27、的距离，由此可求 a 的值； （）设出 M 和 N 的坐标，利用导数求出过 M 和 N 的切线方程，由 t 表示出 A，B 的坐 标，把 A，B 代入切线方程后求出 M 和 N 的坐标，由两点式写出 MN 所在直线的斜率， 由斜率等于 1 即可求出 t 的值 解：（）抛物线 C：yax2 即 ，准线方程为： ， 点 P（b，1）到焦点的距离为 ， ，a1，抛物线 C 的方程为 yx 2； （）设 ， ， ， ，yx2，y2x，kAM2x1， 切线 AM 的方程为： ，即 ， 同理可得切线 BN 的方程为： 由于动线段 AB（B 在 A 右边）在直线 l：yx2 上，且 ， 故可设 A（t，t2
28、），B（t+1，t1）， 将 A（t，t2）代入切线 AM 的方程，得 ，即 ， ， 同理可得 ， ，当 MNAB 时，kMN1，得 x1+x21， ， ， 得 t0 或 （舍去），t0 22已知函数 f（x）xa ，函数 g（x）keax，a一、选择题，kR （）求函数 f（x）的单调区间 （）若 1a2，f（x）1g（x）对 ， 恒成立，求 k 的取值范围（e 2.71828为自然对数的底数） 【分析】（I） ，x ，+）. ，对 a 分类讨论即可得出单调性 （）f（x）1g（x），可知 ，对 ， 恒成立，取 ，可知 由 a1，可得 ， ，于是 ， ， ， 设 ， 利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 解：（I） ，x ，+） ，所以当 a0，f（x）0，则函数 f（x）在 ， 上 递增； 当 a0， f （x） 0， ， 所以函数 f （x） 在 ， 上递减， 在 ， 上递增 （）f（x）1g（x），可知 ，对 ， 恒成立，取 ， 可知 因 a1，则 ， ，则 ， ， ， 设 ， ，h（x）0，解得 x2， ， 则函数 h（x）在 ， 上递减，在 ， 上递增，在 ， 上递减 所以 ， ， ， 所以
