1、西游记 三国演义 水浒传 红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名 著中，任取 2 种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（ ） A B C D 3 （5 分）使复数 z 为实数的充分而不必要条件为（ ） Az2为实数 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 4 （5 分） 已知样本数据 x1， x2， ， xn的平均数是 5， 则新的样本数据 2x1+5， 2x2+5， ， 2xn+5 的平均数为（ ） A5 B7 C10 D15 5 （5 分）已知点 P 是圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 上任意一点，则点 P 到直线 x+y1 距离的最大值为（ ） A B2 C+1 D+2 6 （5 分）
2、函数 f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若 f（1）1，则满足 1f（x2）1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B1，1 C0，4 D1，3 7 （5 分）函数 f（x）sin（x+） ， （0，0）在一个周期内的图象如图所示， M、 N 分别是图象的最高点和最低点， 其中 M 点横坐标为， O 为坐标原点， 且， 则 ， 的值分别是（ ） 第 2 页（共 23 页） A， B， C2， D 8 （5 分）某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填 入的条件为（ ） An2020？ Bn2020？ Cn2020？ Dn2020？ 9 （5 分）已知平面向量、为三个单位向量，且
3、满足 （x，yR） ，则 x+y 的最大值为（ ） A1 B C D2 10 （5 分）若曲线 f（x）（ax1）ex 2 在点（2，f（2） ）处的切线过点（3，3） ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A （0，+） B （，0） C （2，+） D （，2） 11 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA 4，M 是 PB 上的一个动点，过点 M 作平面 平面 PAD，截棱锥所得图形面积为 y， 若平面 与平面 PAD 之间的距离为 x，则函数 yf（x）的图象是（ ） 第 3 页（共 23 页） A B C D 12 （5 分
4、）已知函数 f（x），若关于 x 的方程f（x）2+mf（x）+m10 恰有 3 个不 同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，2）（2，+） B （1，+） C （1，1） D （1，e） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm， 则这个圆心角所夹的扇形的面积是 14 （5 分）已知向量，若向量 与向量 夹角为钝角，则 的 取值集合为 15 （5 分）若函数，则 yf（x）图象上关于原点 O 对称的 点共有 对 16 （5 分）设 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知
5、c23（a2b2） ，且 tanC 3，则角 B 为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选题为选 考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）在数列an中，已知 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设数列cn满足 cnan+bn，求cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）已知函数 f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（） ，且 f（）f（0） 第 4 页（共 23 页） （1）求函数
6、 yf（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在上的最大值和最小值 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DAB 为直角，ABCD， ADCD2AB2PA2，E、F 分别为 PC、CD 的中点 （1）试证：CD平面 BEF； （2）求 BC 与平面 BEF 所成角的大小； （3）求三棱锥 PDBE 的体积 20 （12 分）已知动点 M 到定点 F（1，0）的距离比 M 到定直线 x2 的距离小 1 （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 C 于点 A，B 和 M，N设 线段 AB，MN 的中点分别为
7、P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点； （）在（）的条件下，求FPQ 面积的最小值 21 （12 分）已知函数 （）求 f（x）的单调区间； （）设 g（x）exxe2+2，若对任意 x1（0，2，均存在 x2（0，2使得 f（x1） g（x2） ，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所如果多做，则按所做的第一题做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为 4cos，曲线 C2的极坐标方程为 4si
8、n，以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系 xOy （）求 C1和 C2的参数方程 （）已知射线 l1：（0） ，将 l1逆时针旋转得到 l2；，且 l1与 C1交于 O，P 两点，l2与 C2交于 O，Q 两点，求|OP|OQ|取得最大值时点 P 的极坐 第 5 页（共 23 页） 标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+|x4| （1）解不等式 f（x）6； （2）若不等式 f（x）+|x4|a28a 有解，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷
9、学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，总分分，总分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合，则 AB（ ） A1，2 B0，2 C （，1 D2，+） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ay|y1，Bx|x2， AB1，2 故选：A 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于 基础题 2 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传 红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名 著中，任取 2 种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（ ）
10、 A B C D 【分析】任取两种共有6 个基本事件，而取到红楼梦包含3 个基本事件，代入 公式即可 【解答】解：依题意，任取 2 种名著进行阅读，包含的基本事件个数为6 个， 而取到红楼梦包含3 个基本事件， 所以取到红楼梦的概率为 P， 故选：B 【点评】本题考查了计数原理，组合数的计算，古典概型的概率计算，属于基础题 3 （5 分）使复数 z 为实数的充分而不必要条件为（ ） Az2为实数 Bz+ 为实数 Cz D|z|z 【分析】 一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为 0， 根据这个充要条件对各个先项 加以判别，发现 A、B 都没有充分性，而 C 是充分必要条件，由此不难得出正确的
11、选项 第 7 页（共 23 页） 【解答】解：设复数 za+bi（i 是虚数单位） ，则 复数 z 为实数的充分必要条件为 b0 由此可看出：对于 A，z2为实数，可能 zi 是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于 B，同样若 z 是纯虚数，则 z+ 0 为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于 C，若 za+bi， abi，z 等价于 b0，故是充分必要条件，故不符合题意； 对于 D，若|z|z0，说明 z 是实数，反之若 z 是负实数，则|z|z 不成立，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题熟练 掌握书本中的复数有关概念，是解决本题
12、的关键 4 （5 分） 已知样本数据 x1， x2， ， xn的平均数是 5， 则新的样本数据 2x1+5， 2x2+5， ， 2xn+5 的平均数为（ ） A5 B7 C10 D15 【分析】利用平均数公式，求出即可 【解答】解：x1+x2+xn5n， 2x1+5+2x2+5+2xn+52 （5n）+5n15n， 所以新的样本数据 2x1+5，2x2+5，2xn+5 的平均数为 15， 故选：D 【点评】本题考查平均数的求法，是基础题，解题时要注意计算公式的合理运用 5 （5 分）已知点 P 是圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 上任意一点，则点 P 到直线 x+y1 距离的最大值
13、为（ ） A B2 C+1 D+2 【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离以及三角函数的性质可得结果 【解答】解：圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 的圆心（3+cos，sin） ，半径为 1， 点 P 是圆 C： （x3cos）2+（ysin）21 上任意一点， 则圆心到直线 x+y1 距离为： ，当且仅当 sin（）1 时点 P 到直线 x+y1 距离的最大值为：+2 故选：D 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，三角函数的 第 8 页（共 23 页） 最值的求法，属基础题 6 （5 分）函数 f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若 f（1）
14、1，则满足 1f（x2）1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B1，1 C0，4 D1，3 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1f（x2）1 化为1x 21，解得答案 【解答】解：函数 f（x）为奇函数 若 f（1）1，则 f（1）1， 又函数 f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1， f（1）f（x2）f（1） ， 1x21， 解得：x1，3， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度 中档 7 （5 分）函数 f（x）sin（x+） ， （0，0）在一个周期内的图象如图所示， M、 N 分别是图象的最高点和最低点， 其中
15、M 点横坐标为， O 为坐标原点， 且， 则 ， 的值分别是（ ） A， B， C2， D 【分析】根据条件即可得出，并设 N（x，1） ，然后根据即可得出 第 9 页（共 23 页） x2，这样结合图象即可得出，从而解出 ， 即可 【解答】解：根据题意知，设 N（x，1） ，且， ，解得 x2， 根据图象得，解得 故选：A 【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点 法画 f（x）sin（x+）的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题 8 （5 分）某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填 入的条件为（ ） An2020？ Bn2020？ Cn20
16、20？ Dn2020？ 【分析】根据已知可得，则 Sg（1）+g（2）+g（3） +g（n），所以 n2019，再由判断框可得 n 条件 【解答】解：由题得，则 Sg（1）+g（2）+g（3）+ g（n）， 第 10 页（共 23 页） 因为 S，故 n2019，由于判断框为否时输出，故 n2020， 故选：A 【点评】本题考查程序框图，属于基础题 9 （5 分）已知平面向量、为三个单位向量，且满足 （x，yR） ，则 x+y 的最大值为（ ） A1 B C D2 【分析】由已知，将（x，yR）两边平方后整理得 x2+y21，进而根据基 本不等式可得 x+y 的最大值 【解答】解：、为三个单位
17、向量，且， 将（x，yR）两边平方， 得 2+2+2xy ， 所以 x2+y21， （x+y）2x2+y2+2xy2（x2+y2）2， x+y， 所以 x+y 最大值为 故选：B 【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出 x2+y21 是解答的关键 10 （5 分）若曲线 f（x）（ax1）ex 2 在点（2，f（2） ）处的切线过点（3，3） ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A （0，+） B （，0） C （2，+） D （，2） 【分析】求得 f（2）的值，以及 x2 处 f（x）的切线斜率，根据求过两点的直线斜率的 计算公式，求得 a 的值
18、，从而判断 f（x）的单调性 【解答】解：f（2）（2a1）e2 22a1； f（x）aex 2+（ax1）ex2ex2（ax+a1） ； 则点（2，2a1）处的切线斜率为 f（2）3a1； 切线过点（3，3） ； 第 11 页（共 23 页） ，解得 a1； f（x）xex 2； 令 f（x）0，解得 x0； 当 x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； f（x）的单调增区间为（0，+） ； 故选：A 【点评】本题考查了利用导数求函数某点的切线斜率，判断函数的增减区间，属中档题 11 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为
19、2 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA 4，M 是 PB 上的一个动点，过点 M 作平面 平面 PAD，截棱锥所得图形面积为 y， 若平面 与平面 PAD 之间的距离为 x，则函数 yf（x）的图象是（ ） A B C D 【分析】过 M 作 MN平面 ABCD，交 AB 于 N，过 N 作 NQAD，交 CD 于 Q，过 Q 作 QHPD，交 PC 于 H，连结 MH，则平面 MNQH 是所求的平面 ，由此能求出结果 【解答】解：过 M 作 MN平面 ABCD，交 AB 于 N，过 N 作 NQAD，交 CD 于 Q， 过 Q 作 QHPD，交 PC 于 H，连结 MH， 则平面 MNQ
20、H 是所求的平面 ， 第 12 页（共 23 页） 过点 M 作平面 平面 PAD， 截棱锥所得图形面积为 y，平面 与平面 PAD 之间的距离为 x， ，解得 MN42x， ，即，MHx，NQ2， 函数 yf（x）x2+4， （0x2） 函数 yf（x）的图象如下图 故选：D 【点评】本题考查函数图象的求法，考查棱锥、三角形相似等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程f（x）2+mf（x）+m10 恰有 3 个不 同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，2）（2，+） B （1，+） C （1，1） D
21、（1，e） 【分析】本题先利用导数法对函数 f（x）的单调性进行分析并画出 f（x）大致图象，然 后运用赋值法排除错误选项，最终得到正确选项 【解答】解：由题意 f（x） 令 f（x）0，解得 x1； 第 13 页（共 23 页） 令 f（x）0，解得 x1； 令 f（x）0，解得 x1 f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 在 x1 处取极大值 f（x）大致图象如下： 假设 m2，令 tf（x） 则 t2+2t+10解得 t1，即 f（x）1 根据 f（x）图象，很明显此时只有一个解， 故 m2 不符合题意，由此排除 B、D 选项； 假设 m3， 则 t2+3t+20，解得
22、 t12，t21 即 f（x）2，或 f（x）1 根据 f（x）图象，很明显此时方程只有两个解， 故 m3 不符合题意，由此排除 A 选项 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数法对函数 f（x）的单调性进行分析，并在选择题中运用 赋值法本题属较难题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 第 14 页（共 23 页） 4cm2 【分析】先求出扇形的弧长，利用周长求半径，代入面积公式 sr2进行计算 【解答】解：弧度是 2 的圆心角所对的弧长为 4，所以圆的半径为：2， 所
23、以扇形的面积为：4cm2； 故答案为 4cm2 【点评】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力 14 （5 分）已知向量，若向量 与向量 夹角为钝角，则 的 取值集合为 （，）（，+） 【分析】由题意可得230，且 与 不共线，由此求得 的取值集合 【解答】解：向量，若向量 与向量 夹角为钝角， 230，且 与 不共线， 即 且，即 且 ， 故答案为： （，）（，+） 【点评】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题 15 （5 分）若函数，则 yf（x）图象上关于原点 O 对称的 点共有 4 对 【分析】yf（x）图象上关于原点 O 对称的点的个
24、数可这样确定：作出 f（x）sinx（x 0）关于原点对称的函数的图象（仍然是 ysinx） ，观察 f（x）|lg（x1）|（x1） 的图象与 ysinx（x0）的交点个数即可 【解答】解：yf（x）图象上关于原点 O 对称的点的个数， 只需观察 f（x）|lg（x1）|（x1）的图象与 f（x）sinx 关于原点对称的函数的图象 交点个数即可， 第 15 页（共 23 页） 上图可知： 两个图象交点个数为 4 个， 故答案为：4 【点评】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想 16 （5 分）设 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 c23（a2b2） ，且 t
25、anC 3，则角 B 为 【分析】根据题意得 a2b2，且 ba；利用余弦和正弦定理得 cosB，利 用三角形内角和定理得 tanA2tanB，代入 tanC3 求出 tanB 和 B 的值 【解答】解：ABC 中，c23（a2b2） ，得 a2b2，且 ba， 所以 B 为锐角； 因为 cosB， 即 3sinAcosB2sinC2sin（A+B） ， 整理得 sinAcosB2cosAsinB， 则有 tanA2tanB； 又 tanC3， 所以 tan（A+B）tan（A+B）3， 化简得 2tan2BtanB10，解得 tanB1 或 tanB（不合题意，舍去） ； 又 B 为锐角，所
26、以角 B 第 16 页（共 23 页） 故答案为： 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是 中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选题为选 考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）在数列an中，已知 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设数列cn满足 cnan+bn，求cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）直接利用定义和数列的递推关系式的应用求出数列
27、的通项公式 （2）利用（1）的结论，利用分组法求出数列的和 【解答】解： （1）， 所以数列an是首项为，公比为的等比数列， 则 因为2， 所以 bn3n2 （2）由（1）知，bn3n2， 所以 所以， ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）已知函数 f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（） ，且 f（）f（0） 第 17 页（共 23 页） （1）求函数 yf（x）的最小正周期； （2）求 f（x）在上的最大值和最小值 【分析】 （1）利用倍角公式降幂，再由
28、辅助角公式化积，可得函数的周期； （2）由 x 的范围，得到相位的范围，进一步求得 f（x）在上的最大值和最 小值 【解答】解： （1）f（x）cosx（asinxcosx）+cos2（） asinxcosx f（）f（0） ，a2 则 f（x） 则 T； （2）x，2x， 则 sin（2x），f（x）1，2 则当 x时，f（x）min1，当 x时，f（x）max2 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象和性 质，是中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DAB 为直角，ABCD， ADCD2AB2PA2，E、F 分别
29、为 PC、CD 的中点 （1）试证：CD平面 BEF； （2）求 BC 与平面 BEF 所成角的大小； （3）求三棱锥 PDBE 的体积 【分析】 （1）先证四边形 ABFD 为平行四边形，又DAB 为直角，可得 DCBF，再由 第 18 页（共 23 页） 已知证明 DCPD，可得 DCEF，由线面垂直的判定可得 DC平面 BEF； （2）由（1）知，DC平面 BEF，则CBF 为 BC 与平面 BEF 所成角，求解三角形即可； （3）由（1）知，CD平面 PAD，则平面 PDC平面 PAD，在 RtPAD 中，设 A 到 PD 的距离为 h，利用等面积法求得 h，得 A 到平面 PDC 的
30、距离为，即 B 到平面 PDC 的距离为，再利用等体积法求三棱锥 PDBE 的体积 【解答】 （1）证明：ABCD，CD2AB，F 为 CD 的中点， 四边形 ABFD 为平行四边形，又DAB 为直角， DCBF， 又 PA底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD， DCAD，故 DC平面 PAD，DCPD， 在PCD 内，E、F 分别是 PC、CD 的中点，EFPD，DCEF 由此得 DC平面 BEF； （2）解：由（1）知，DC平面 BEF，则CBF 为 BC 与平面 BEF 所成角， 在 RtBFC 中，BFAD2，CF， tan，则 BC 与平面 BEF 所成角的大小为； （3）解：
31、由（1）知，CD平面 PAD，则平面 PDC平面 PAD， 在 RtPAD 中，设 A 到 PD 的距离为 h，则 PAADPDh， 得 h，A 到平面 PDC 的距离为， 即 B 到平面 PDC 的距离为， ， VPDBEVBPDE 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多 第 19 页（共 23 页） 面体的体积，是中档题 20 （12 分）已知动点 M 到定点 F（1，0）的距离比 M 到定直线 x2 的距离小 1 （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 C 于点 A，B 和 M，N设 线段
32、AB，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点； （）在（）的条件下，求FPQ 面积的最小值 【分析】 （）由题意可知：动点 M 到定点 F（1，0）的距离等于 M 到定直线 x1 的 距离，由此利用抛物线的定义能求出点 M 的轨迹 C 的方程 （） 设 A， B 两点坐标分别为 （x1， y1） ，（x2， y2） ， 则点 P 的坐标为 （，） 由 题意可设直线 l1的方程为 yk（x1） ， （k0） ，由，得 k2x2（2k2+4）x+k2 0由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直 线 PQ 恒过定点 E（3，0） （）求出|EF|2
33、，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值 【解答】解： （）由题意可知：动点 M 到定点 F（1，0）的距离等于 M 到定直线 x 1 的距离， 根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹 C 是抛物线 （2 分） p2，点 M 的轨迹 C 的方程：y24x（3 分） 证明： （）设 A，B 两点坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 则点 P 的坐标为（，） 由题意可设直线 l1的方程为 yk（x1） ， （k0） ， 由，得 k2x2（2k2+4）x+k20 （2k2+4）24k416k2+160（5 分） 直线 l1与曲线 C 于 A，B 两点， ， 点 P 的坐标为（1+，） （6
34、 分） 第 20 页（共 23 页） 由题知，直线 l2的斜率为，同理可得点 Q 的坐标为（1+2k2，2k） （7 分） 当 k1 时，有 1+1+2k2， 此时直线 PQ 的斜率 kPQ（8 分） 直线 PQ 的方程为 y+2k（x12k2） ， 整理得 yk2+（x3）ky0 于是，直线 PQ 恒过定点 E（3，0） ， 当 k1 时，直线 PQ 的方程为 x3，也过点 E（3，0） 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E（3，0） （10 分） 解： （）由题意得|EF|2， FPQ 的面积 S+4 当且仅当 k1 时， “”成立， FPQ 面积的最小值为 4（12 分） 【点评】本题考查
35、点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的 最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中 档题 21 （12 分）已知函数 （）求 f（x）的单调区间； （）设 g（x）exxe2+2，若对任意 x1（0，2，均存在 x2（0，2使得 f（x1） g（x2） ，求 a 的取值范围 【分析】 （I）对 f（x）求导，对 a 进行讨论，判断单调性即可； （II）若对任意 x1（0，2，均存在 x2（0，2使得 f（x1）g（x2） ，只需 x（0，2， f（x）maxg（
36、x）max，根据 f（x） ，g（x）的单调性和最值判断即可 【解答】解： （） 当 a0 时，x0，ax10， 在区间（0，2）上，f（x）0；在区间（2，+）上 f（x）0， 第 21 页（共 23 页） 故 f（x）的单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+） 当时， 在区间（0，2）和上，f（x）0；在区间上 f（x）0， 故 f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是 当时，故 f（x）的单调递增区间是（0，+） 当时，在区间和（2，+）上，f（x）0；区间 上 f（x）0， 故 f（x）的单调递增区间是和（2，+） ，单调递减区间是 （）设 g（x）ex1，x（
37、0，2，g（x）0，g（x）为增函数， 由已知，g（x2）maxg（2）0f（x）max0 由（I）可知， 当时，f（x）在（0，2上单调递增， 故 f（x）maxf（2）2a2（2a+1）+2ln22a2+2ln2， 所以，2a2+2ln20，解得 aln21，故 当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故 由可知，a，所以 a， 综上 aln21 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用构造函数的方法判断单调性，考 查运算能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果
38、多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程为 4cos，曲线 C2的极坐标方程为 4sin，以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系 xOy （）求 C1和 C2的参数方程 （）已知射线 l1：（0） ，将 l1逆时针旋转得到 l2；，且 l1与 C1交于 O，P 两点，l2与 C2交于 O，Q 两点，求|OP|OQ|取得最大值时点 P 的极坐 第 22 页（共 23 页） 标 【分析】 （）根据坐标方程之间的转化，分别求出 C1和 C2的参数方程即可； （）设出 P，Q
39、的极坐标，表示出|OP|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出 P 的 极坐标即可 【解答】解： （）在直角坐标系中，曲线 C1的直角坐标方程为（x2）2+y24 所以 C1参数方程为为参数） （3 分） 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（y2）24 所以 C2参数方程为为参数） （6 分） （）设点 P 极坐标为（1，） ，即 14cos， 点 Q 极坐标为，即（8 分） 则 （10 分） ， 当时|OP|OQ|取最大值， 此时 P 点的极坐标为（12 分） 【点评】本题考查了坐标方程之间的转化，考查三角函数的性质，是一道中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（
40、x）|2x+1|+|x4| （1）解不等式 f（x）6； （2）若不等式 f（x）+|x4|a28a 有解，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）6 的解集； （2）利用绝对值不等式求出 f（x）+|x4|的最小值，问题化为关于 a 的不等式，求解集 即可 【解答】解： （1）由已知得当时，不等式 f（x）6 化为3x+36， 解得 x1，所以取； 当时，不等式 f（x）6 化为 x+56， 第 23 页（共 23 页） 解得 x1，所以取； 当 x4 时，不等式 f（x）6 化为 3x36， 解得 x3，不合题意，舍去； 综上知，不等式 f（x）6 的解集为1，1 （2）由题意知，f（x）+|x4|2x+1|+|2x8|（2x+1）（2x8）|9， 当且仅当x4 时取等号； 由不等式 f（x）+|x4|a28a 有解，则 a28a9， 即（a9） （a+1）0，解得 a1 或 a9； 所以 a 的取值范围是（，1）（9，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是 中档题
