1、若集合 Mx|（x1） （3x）0，Nx|x20，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|x1 Cx|x1 或 x2 Dx|x3 2 （5 分）若复数 za21+（a1）i 是纯虚数，则（ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）已知棱长为 2 的正方体的俯视图是一个面积为 4 的正方形，则该正方体的正视图 的面积不可能等于（ ） A4 B C2 D2+2 4 （5 分）已知函数，则 f（x）的最大值为（ ） A+1 B C+1 D1 5 （5 分）已知圆 C：x2+y22，直线 l：xy+m0，则“l 与 C 相交”是“m2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、也不必要条件 6（5 分） 已知圆的半径为 2， 在圆 C 内随机取一点 M， 则过点 M 的所有弦的长度都大于 的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）若双曲线的一条渐近线被圆（x+3）2+y29 所截 得的弦长为 3，则 E 的离心率为（ ） A B C2 D 8 （5 分）设实数，则展开式中的常数项为（ ） A B203 C D154 9 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是解决该问 题的程序框图，若输出的 s2.25（单位：升） ，则输入的 k 的值为（ ） 第 2 页
3、（共 23 页） A2.25 B4.5 C6.75 D9 10 （5 分）已知函数 f（x）ex+e x+ln（e|x|1） ，则（ ） A B C D 11 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ABCD，则此三棱 锥外接球的半径为（ ） A B C D13 12 （5 分）下列关于三次函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） （xR）叙述正确的是（ ） 函数 f（x）的图象一定是中心对称图形； 函数 f（x）可能只有一个极值点； 当时，f（x）在 xx0处的切线与函数 yf（x）的图象有且仅有两个交点； 当时，则过点（x0，f（x0） ）的切线可能有一条或者三条 A B C D 二、填空
4、题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量，若，则 x 的值为 第 3 页（共 23 页） 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，若目标函数 zabx+y（a0，b0）的最 大值为 12，则 a+b 的最小值为 15 （ 5 分 ） 已 知 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 若 ，则ABC 的面积为 16 （5 分）已知倾斜角为 60的直线过曲线 C：y2x2的焦点 F，且与 C 相交于不同的两 点 A，B（A 在第一象限） ，则|AF| 三、解答题：共三、解答题：
5、共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 （1）求数列an的通项公式； （2）若，设 Tn是数列bn的前 n 项和，求证 18 （12 分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售员 12 月份的产品销售量 作了一次调查，得到如下的频数分布表： 销售量/件 0.10） 10.20） 2
6、0， 30） 30， 40） 40，50） 50， 60） 人数 14 30 16 28 20 12 （1）若将 12 月份的销售量不低于 30 件的销售员定义为“销售达入” ，否则定义为“非 销售达人” ，请根据频数分布表补全以下 22 列联表： 销售达人 非销售达人 总计 男 40 女 30 总计 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为该公司销售员是否为 “销售达人” 与 性别有关 （2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取 6 名，再 从这 6 名“销售达人”中抽取 4 名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为 X，求 X 第 4 页（共 23
7、页） 的分布列和数学期望 附表及其公式： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 k0 2.072 2.706 3.841 K2，na+b+c+d 19 （12 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD2，E 为 CD 中点 （1）在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存 在，说明理由 （2）若二面角 AB1EA1的大小为 30，求 AB 的长 20 （12 分）已知椭圆的离心率为，点 M（a，0） ，N（0，b） ， O（0，0） ，OMN 的面积为 4 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A，B 是 x 轴上不同
8、的两点，点 A 在椭圆 E 内（异于原点） ，点 B 在椭圆 E 外若 过点 B 作斜率存在且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P，Q，且满足PAB+QAB 180求证：点 A，B 的横坐标之积为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）x（lnxa）+1 的最小值为 0 （aR） （1）求 a 的值； （2）设，求证：x1+x2+xn （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面
9、直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴轴为极轴建立 极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为，曲线 C2的参数方程为 第 5 页（共 23 页） （t 为参数） （1）求 C1的直角坐标方程和 C2的普通方程； （2）若 C1C2相交于 A、B 两点，求AOB 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式|f（x）|2 的解集； （2）记 f（x）的最大值为 m，设 a，b，c0，且 a+2b+3cm，求证： 第 6 页（共 23 页） 2020 年云南省红河州高考数学二诊试卷（理科）年云南省红河州高考数学二诊试
10、卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 Mx|（x1） （3x）0，Nx|x20，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|x1 Cx|x1 或 x2 Dx|x3 【分析】化简集合 M、N，根据并集的定义计算即可 【解答】解：集合 Mx|（x1） （3x）0x|（x1） （x3）0x|1x3， Nx|x20x|x2， 则 MNx|x1 故选：B 【点评】本题考查了集合
11、的化简与运算问题，是基础题 2 （5 分）若复数 za21+（a1）i 是纯虚数，则（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用纯虚数的定义：实部为 0，虚部不为 0 列出不等式组，求出 a；利用复数模 的公式求出复数的模 【解答】解：z 是纯虚数 ，解得 a1， z2i， |z|2， 故选：B 【点评】本题考查纯虚数的定义、考查复数的模的公式 3 （5 分）已知棱长为 2 的正方体的俯视图是一个面积为 4 的正方形，则该正方体的正视图 的面积不可能等于（ ） A4 B C2 D2+2 【分析】由俯视图是面积为 4 的正方形，可见正方体是水平放置的，然后我们变换不同 的视角得到正视图，应该是一
12、个高为 2，底边长在2，上取值的矩形，则正视图面 第 7 页（共 23 页） 积范围为，以此可以求解 【解答】解：俯视图是面积为 4 的正方形，可见正方体的一个面是水平放置的 所以正视图是一个高为 2 的矩形，底边长在区间上取值 故正视图面积范围为所以 C 选项不满足 故选：C 【点评】本题考查了学生对三视图的理解和应用，根据题意判断出正方体水平放置很重 要，考查了学生的空间想象能力 4 （5 分）已知函数，则 f（x）的最大值为（ ） A+1 B C+1 D1 【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式可求 f（x）sin（x+）+1，转 化为正弦函数的性质即可求解最值 【解答】解：1+c
13、osx+sinxsin（x+）+1， 当 x+2k+，即 x2k+，kZ 时，f（x）的最大值为+1， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，转化思想，属于基础题 5 （5 分）已知圆 C：x2+y22，直线 l：xy+m0，则“l 与 C 相交”是“m2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “l 与 C 相交”，解得 m 范围即可判断出关系 【解答】解： “l 与 C 相交”，解得2m2 “l 与 C 相交”是“m2”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了直线与圆的充要条件、不等式对解法、简易逻辑对判断方法，考查 了
14、推理能力与计算能力，属于基础题 6（5 分） 已知圆的半径为 2， 在圆 C 内随机取一点 M， 则过点 M 的所有弦的长度都大于 的概率为（ ） A B C D 第 8 页（共 23 页） 【分析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点 M 在以 O 为圆心，1 为半径的圆的 内部及圆周上，根据与面积有关的几何概率公式可求 【解答】解：如图，要使过点 M 的所有弦都大于 2，|OM|1， 所以点 M 在以 O 为圆心，1 为半径的圆的内部及圆周上， 所以过点 M 的所有弦的长度都大于 2的概率 P 故选：C 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属基础题 7 （5 分）若双曲线的一条渐近线被
15、圆（x+3）2+y29 所截 得的弦长为 3，则 E 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公 式，可得圆心到渐近线的距离为 1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得 到所求值 【解答】解：由圆 C： （x+3）2+y29 可得圆心（3，0） ，半径为 3， 双曲线的一条渐近线为：bxay0， 渐近线被圆（x+3）2+y29 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：， 由弦长公式可得，可得，即4 可得 e2， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点 第 9 页（共
16、23 页） 到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题 8 （5 分）设实数，则展开式中的常数项为（ ） A B203 C D154 【分析】先由积分的几何意义求出 a，再求出二项展开式的通项，让 x 的指数为 0 即可求 出其常数项 【解答】解：因为实数，表示以（0，0）为圆心，1 为半径的圆的上 半圆的面积； 所以：a12 （x）6；其展开式的通项公式为：Tr+1（x）6 r（ ） r（1）r6r x6 3r（r0.1.2，6） ， 令 63r0r2； 展开式中的常数项为： （1）24154 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用以及定积分的应用，二项展开式的通项公式， 二项式系数
17、的性质，属于基础题 9 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是解决该问 题的程序框图，若输出的 s2.25（单位：升） ，则输入的 k 的值为（ ） 第 10 页（共 23 页） A2.25 B4.5 C6.75 D9 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n4 时，不满足条 件 n4，退出循环，输出 S 的值为，即可解得 k 的值 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n1，Sk， 满足条件 n4，执行循环体，n2，Sk， 满足条件 n4，执行循环体，n3，S
18、， 满足条件 n4，执行循环体，n4，S， 此时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为， 由题意可得：2.25，解得：k9 故选：D 【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了， 这启示我们要给予高度重视，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）ex+e x+ln（e|x|1） ，则（ ） A B C D 【分析】结合已知可得 f（x）为偶函数，结合导数可判断函数在 x0 时的单调性，然后 结合偶函数的性质及单调性即可比较大小 【解答】解：因为 f（x）ex+e x+ln（e|x|1） ， 则 f（x）ex+e x+ln（e|x|1）f（x） ，
19、 当 x0 时，f（x）ex+e x+ln（ex1） ， 则0 在 x0 时恒成立， 第 11 页（共 23 页） 故 f（x）在（0，+）上单调递增， 因为 f（）f（） ，f（）f（） ，f（）f（log54） ，且 ， 所以 f（）f（）f（log54） 故选：B 【点评】本题主要考查了利用单调性比较函数值的大小，导数的应用及偶函数性质的应 用是求解本题的关键 11 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ABCD，则此三棱 锥外接球的半径为（ ） A B C D13 【分析】把三棱锥 ABCD 放到长方体中，其中三棱锥的棱长为长方体的面对角线，外 接球的直径为长方体的对角线，即可求解 【解答
20、】解：把三棱锥 ABCD 放到长方体中，其中三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的棱长分别为 a，b，c，外接球的半径 R， 则， 则（2R）2a2+b2+c2169， 故 R 故选：C 【点评】本题主要考查了三棱锥外接球的半径求解，解题的关键是借助于长方体进行求 第 12 页（共 23 页） 解 12 （5 分）下列关于三次函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） （xR）叙述正确的是（ ） 函数 f（x）的图象一定是中心对称图形； 函数 f（x）可能只有一个极值点； 当时，f（x）在 xx0处的切线与函数 yf（x）的图象有且仅有两个交点； 当时，则过点（x0，f（x0） ）的
21、切线可能有一条或者三条 A B C D 【分析】三次函数的二次导数，求出导函数值，即可得到对称中心坐标；说明的正误； 利用导函数的零点判断的正误；利用对称中心出的切线由 3 个交点说明的正误；利 用切线方程判断的正误； 【解答】解：由三次函数的性质可知，f（x）的图象一定是中心对称图形，所以正确； 函数 f（x）的导数为：f（x）3ax2+2bx+c，令 f（x）0，方程的解有 2 个不相等 的实数根时，由 2 个极值点，由重根与无根，则没有极值点，所以说可能只有一个极值 点，不正确； 当时，f（x）在 xx0处的切线与函数 yf（x）的图象有且仅有两个交点；函 数的对称中心处的切线与函数有
22、3 个交点， 但是如图： 排除对称中心处的切线， 所以正确； 当时，则过点（x0，f（x0） ）的切线可能有一条或者三条，也可能是 2 条，所 以不正确； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的极值以及对称中心，切线方程的判断与应 第 13 页（共 23 页） 用，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量，若，则 x 的值为 1 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出 x 的值 【解答】解：向量， （2 + ）2 （4，3）（2，2）（2，1） ， 若，则 （2
23、，1） （x，2）2x20， 则 x1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，若目标函数 zabx+y（a0，b0）的最 大值为 12，则 a+b 的最小值为 2 【分析】根据 x，y 满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目 标函数 zabx+y（a0，b0）的最大值为 12，求出 a，b 的关系式，再利用基本不等 式求出+b 的最小值 【解答】解：x，y 满足约束条件的区域是一个四边形，如下图 3 个顶点是（2，0） ， （0，2） ， （4，4） ， 由图易得目标函数在（4，4）取最大
24、值 8， 即 124ab+4，ab2， a+b22，在 ab时是等号成立， a+b 的最小值为 2 故答案为：2 第 14 页（共 23 页） 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函 数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组） 寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后 比较，即可得到目标函数的最优解 15 （ 5 分 ） 已 知 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 若 ，则ABC 的面积为 【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求 C，然后
25、结合余弦定理可得 a，代入三角形的 面积公式即可求解 【解答】解：因为， 由正弦定理可得，sinCcosAsinAsinCsinBsin（A+C）sinAcosC+sinCcosA， 所以 cosCsinC 即 tanC， 所以 C150， 由余弦定理可得，cosC， 整理可得， （a+5） （a2）0， 解可得，a2 则ABC 的面积 S 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，和差角公式在求解 三角形中的应用，属于中档试题 16 （5 分）已知倾斜角为 60的直线过曲线 C：y2x2的焦点 F，且与 C 相交于不同的两 第 15 页（共 23 页） 点 A，
26、B（A 在第一象限） ，则|AF| 【分析】确定过点 F 作倾斜角为 60的直线方程为 yx+，代入抛物线方程，求得 交点 A 的坐标即可 【解答】解：过点 F（0，）作倾斜角为 60的直线方程为 yx+，代入抛物线方 程， 可得，解得，则 xA， 则|AF| 故答案为： 【点评】本题考查了抛物线的定义，考查了计算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生
27、根据要求作答.（一（一）必考题：共）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 （1）求数列an的通项公式； （2）若，设 Tn是数列bn的前 n 项和，求证 【分析】本题第（1）题根据公式 an进行计算可得数列an的通项 公式；第（2）题根据第（1）题的结果进行计算可得，然后根据不等式 在求和时进行逐项放缩，再应用裂项相消法计算可证得不等式成立 【解答】 （1）解：由题意，当 n1 时，a1S11， 当 n2 时，anSnSn1 n2； 当 n1 时，a1112也满足上式 ann2，nN* （2）证明：由（1）知， 第 16 页（共 23 页） Tnb1+b2+
28、bn + + 1+ 1 故得证 【点评】本题主要考查根据数列前 n 项和公式求通项公式，以及数列与不等式的综合问 题，考查了转化与化归思想，分类讨论思想，放缩法，逻辑推理能力和数学运算能力， 本题属中档题 18 （12 分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售员 12 月份的产品销售量 作了一次调查，得到如下的频数分布表： 销售量/件 0.10） 10.20） 20， 30） 30， 40） 40，50） 50， 60） 人数 14 30 16 28 20 12 （1）若将 12 月份的销售量不低于 30 件的销售员定义为“销售达入” ，否则定义为“非 销售达人” ，请根据频数分布表
29、补全以下 22 列联表： 销售达人 非销售达人 总计 男 40 女 30 总计 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为该公司销售员是否为 “销售达人” 与 性别有关 （2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取 6 名，再 从这 6 名“销售达人”中抽取 4 名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 附表及其公式： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 第 17 页（共 23 页） k0 2.072 2.706 3.841 K2，na+b+c+d 【分析】 （1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
30、（2） 由题意知随机变量 X 的可能取值， 计算对应的概率值， 写出分布列， 求出数学期望 【解答】解： （1）根据频数分布表补全 22 列联表如下； 销售达人 非销售达人 总计 男 40 30 70 女 20 30 50 总计 60 60 120 计算 k2的观测值为3.4292.706， 所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为该公司销售员是否为 “销售达人” 与性别有 关； （2）由题意知抽取的 6 名“销售达人”中有 4 名男职工，2 名女职工， 所以 X 的可能取值为 2，3，4； 计算 P（X2）， P（X3）， P（X4）， 所以 X 的分布列为： X 2 3 4 P 数学
31、期望为 E（X）2+3+4 【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是 中档题 19 （12 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD2，E 为 CD 中点 第 18 页（共 23 页） （1）在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存 在，说明理由 （2）若二面角 AB1EA1的大小为 30，求 AB 的长 【分析】 （1）如图所示，分别取 AB1，AA1的中点 F，P，连接 FP，DP利用三角形中 位线定理可得四边形 EDPF 是平行四边形 再利用线面平行的判定定理即可证明 DP平 面 B1A
32、E （2）建立空间直角坐标系，设 ABt设平面 A1B1E 的法向量为 （x，y，z） ，可得 0，得出 同理可得平面 AB1E 的法向量 ，再利用向量夹角公式即 可得出 【解答】 解：（1） 如图所示， 分别取 AB1， AA1的中点 F， P， 连接 FP， DP 则 FPA1B1， DEA1B1，DEFP，四边形 EDPF 是平行四边形 DPFE又 DP平面 B1AE，FP平面 B1AE，DP平面 B1AE 此时 APAA11 （2）建立空间直角坐标系，设 ABt A（0，0，0） ，B1（t，0，2） ，E（，2，0） ，A1（0，0，2） ， （t，2，2） ，（，2，0） ，（t，
33、0，0） ， 设平面 A1B1E 的法向量为 （x，y，z） ，则 0，tx+2y2z 0，tx0，取 （0，1，1） 同理可得平面 AB1E 的法向量 （4，t，2t） ， cos30，解得：t2 |AB|2 第 19 页（共 23 页） 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的性质、方程的解法，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆的离心率为，点 M（a，0） ，N（0，b） ， O（0，0） ，OMN 的面积为 4 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A，B 是 x 轴上不同的两点，点 A 在椭圆 E 内（异于原点） ，点 B 在椭圆 E 外若
34、过点 B 作斜率存在且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P，Q，且满足PAB+QAB 180求证：点 A，B 的横坐标之积为定值 【分析】 （1）由离心率及OMN 的面积的面积和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值， 进而求出椭圆的标准方程； （2）由题意设 A，B 的坐标，可得直线 PQ 的斜率存在且不为 0，设直线 PQ 的方程，与 椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意满足PAB+QAB180可得 PA，QA 的 倾斜角互为补角，即斜率之和为 0，求出斜率之和的表达式，可得点 A，B 的横坐标之积 为定值 【解答】解： （1）由题得 e，即 c2a2，b2a2，Sab4，解
35、得 a2 16，b24， 所以椭圆 E 的标准方程为：； （2）证明：设 A（n，0） ，B（m，0） ， 由题意可得直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为：xty+m，P（x1，y1） ，Q（x2， y2） ， 联立直线与椭圆的方程：，整理可得： （4+t2）y2+2tmy+m2160， 第 20 页（共 23 页） 4t2m24（4+t2） （m216）0，m24t2+16， y1+y2， y1y2， x1x2 t2y1y2+tm （ y1+y2） +m2 ； 因为PAB+QAB180，所以 kPAkQA，即 kPA+kQA0， 而kPA+kQA+0， 所以 2t（m216）+
36、（mn） （2tm）0，因为 t0， 所以 m216m2+mn0， 所以可得 mn16， 即证点 A，B 的横坐标之积为定值 16 【点评】 本题考查求椭圆的标准方程， 及PAB+QAB180可得直线的倾斜角互为补 角，和直线与椭圆的综合，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x（lnxa）+1 的最小值为 0 （aR） （1）求 a 的值； （2）设，求证：x1+x2+xn 【分析】 （1）线对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值， 结合已知即可求； （2）结合（1）可知，lnx1，进行赋值可得 ln1，从而可得 ，然后结合数列的求和可证 【解答】解： （1
37、）函数的定义域（0，+） ，f（x）lnx+1a， 令 f（x）lnx+1a0 可得，xea 1， 当 0xea 1，f（x）0，函数单调递减，当 xea1 时，f（x）0，函数单调递 第 21 页（共 23 页） 增， 故当 xea 1 时，f（x）minf（ea 1）（a1）ea1aea1+10， 解可得，a1； （2）证明：由（1）可得，xlnxx+10 即 xlnxx1， （当 x1）时取等号） ， 因为 x0， 所以 lnx1， 则 ln10， ， x1+x2+xn 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解函数最值，还考查了函数与数 列交汇知识的应用，属于难题 （二）选考题
38、：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴轴为极轴建立 极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （1）求 C1的直角坐标方程和 C2的普通方程； （2）若 C1C2相交于 A、B 两点，求AOB 的面积 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）
39、 利用一元二次方程根和系数关系式的应用和点到直线的距离公式的应用及三角形的 面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）已知曲线 C1的极坐标方程为，转换为 ，转换为直角坐标方程为 x+y20 曲线 C2的参数方程为（t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x28y， 第 22 页（共 23 页） （2）根据题意，直线和曲线建立方程组为：，整理得 x2+8x160， 设 A（x1，y2）B（x2，y2） 所以 x1+x28，x1x216， 所以|AB|16， 原点（0，0）到直线 x+y20 的距离 d， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的
40、距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式|f（x）|2 的解集； （2）记 f（x）的最大值为 m，设 a，b，c0，且 a+2b+3cm，求证： 【分析】 （1）取绝对值化为分段函数，即可求出不等式的解集； （2）根据柯西不等式即可证明 【解答】解： （1）f（x）|x+1|x2|， 不等式|f（x）|2，则2f（x）2， ，解得x， 故不等式|f（x）|2 的解集为（，） ； 证明： （2）由（1）可得（x）的最大值为 3m， a+2b+3c3， +（+） （a+2b+3c）（a+2b+3c） 23， 当且仅当 a1，b，c时取等号 第 23 页（共 23 页） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题
