1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、填空题 12020 的倒数是 2截至 2020 年 3 月 11 日 09 时，全国累计报告确诊 COVID19 病例 80955 例，累计死亡 病例 3162 例，累计治愈出院 61567 例将数据 80955 用科学记数法表示为 3分解因式：x29x 4如图，用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸 帽的高是 cm 5在AOC 中，OB 交 AC 于点 D，量角器的摆放如图所示，则CDO 的度数为 6如图，将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去若用有序实数对（m，n）表 示第 m 排， 从左到右
2、第 n 个数， 如 （4， 3） 表示实数 3， 则 （8， 6） 表示的实数是 二、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，满分 32 分） 7剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 的是（ ） A B C D 8某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 21，16，17，23，20，20， 23，则这组数据的平均数与中位数分别是（ ） A20 分，17 分 B20 分，22 分 C20 分，19 分 D20 分，20 分 9下列运算正确的是（ ） A（a3）2a29 Ba2 a4a8 C3 D2 10若在实
3、数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 11关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0 12如图，已知 A 为反比例函数 y（x0）的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B若OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 13“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接 雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这 一任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下列方程
4、中正确的是（ ） A B C D 14如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，且 AEBF1， CE、DF 交于点 O下列结论：DOC90，OCOE，tanOCD，S ODCS四边形BEOF中，正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 70 分） 15计算：（2020）0|+（） 1+2sin45 16如图，点 A、E、B、D 在一条直线上，AEDB，ACDF，ACDF 求证：BCEF 17如图，已知ABC 的顶点分别为 A（2，2）、B（4，5）、C（5，1）和直线 m （直线 m 上各点的横坐标都
5、为 1） （1）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）作出点 C 关于直线 m 对称的点 C2，并写出点 C2的坐标； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PC 的值最小，请直接写出点 P 的坐标 18 随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性， 中国移动支付在世界处于 领先水平为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随 机抽样调查，以下是根据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图 移动支付方式 支付宝 微信 其他 人数/人 200 75 请你根据上述统计表和统计图提供的信息完成下列问题： （1）在此次调查中，使
6、用支付宝支付的人数； （2）求表示微信支付的扇形所对的圆心角度数； （3）某天该步行街人流量为 10 万人，其中 30%的人购物并选择移动支付，请你依据此 次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数 19在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成 3 等份）一次， 根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目 （1）转动转盘时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是 ； （2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选 择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率 20如图，在矩形 ABCD 中，AB16，AD12，点 E、F 分别在边 CD
7、、AB 上 （1）若 DEBF，求证：四边形 AFCE 是平行四边形； （2）若四边形 AFCE 是菱形，求菱形 AFCE 的周长 21 某网店专售一款电动牙刷， 其成本为 20 元/支， 销售中发现， 该商品每天的销售量 y （支） 与销售单价 x（元/支）之间存在如图所示的关系 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武汉， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 550 元， 如何确定该款电动牙刷 的售单价？ 22如图，
8、在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 的中点，以 CD 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 E，F 两点，过点 F 作 FGAB 于点 G （1）试判断 FG 与O 的位置关系，并说明理由 （2）若 AC3，CD2.5，求 FG 的长 23如图 1，在ABC 中，ABAC20，tanB，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不与点 B，C 重合）以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线 DE 于点 F，连接 CF （1）求证：ABDDCE； （2）当 DEAB 时（如图 2），求 AE 的长； （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中
9、，是否存在某个位置，使得 DFCF？若存在，求出 此时 BD 的长；若不存在，请说明理由 参考答案 一、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 12020 的倒数是 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 解：2020 的倒数是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键 2截至 2020 年 3 月 11 日 09 时，全国累计报告确诊 COVID19 病例 80955 例，累计死亡 病例3162例， 累计治愈出院61567例 将数据80955用科学记数法表示为 8.0955104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|
10、10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将数据 80955 用科学记数法表示为 8.0955104 故答案为：8.0955104 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3分解因式：x29x x（x9） 【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为 x，然后提取公因式即可 解：原式x x9 xx（x9）， 故答案为：x（x9） 【点评】本
11、题考查了提公因式法因式分解的知识，解题的关键是首先确定多项式各项的 公因式，然后提取出来 4如图，用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸 帽的高是 4 cm 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长4，根据圆 锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面 圆的半径为 2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高 解：圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长4， 圆锥的底面圆的周长为 4， 圆锥的底面圆的半径为 2， 这个纸帽的高4（cm） 故答案为 4 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面
12、展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底 面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了弧长公式和勾股定理 5 在AOC 中， OB 交 AC 于点 D， 量角器的摆放如图所示， 则CDO 的度数为 95 【分析】通过读数得到COE50，BOE110，则可计算出BOC60，再利 用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出CA25，然后根据三角形内角和 计算CDO 的度数 解：利用量角器得COE50，BOE110， BOC1105060， OAOC， CACOE25， CDO180256095 故答案为 95 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对
13、的圆心角的一半 6如图，将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去若用有序实数对（m，n）表 示第 m 排， 从左到右第 n 个数， 如 （4， 3） 表示实数 3， 则 （8， 6） 表示的实数是 【分析】 （8，6）表示第 8 排第 6 个数是多少？由图所示的排列规律为：m 排有 m 个数， 而数字排列从 1 开始依次按顺序排列，则第 8 排有 8 个数，则第 6 个数是 34 解：由图所示的排列规律为：m 排有 m 个数，而数字排列从 1 开始依次按顺序排列，则 第 8 排有 8 个数， 共排数字有：1+2+3+4+5+6+7+836（个）， 即：第 8 排所排数字为：29，30，31
14、，32，33，34，35，36 则：（8，7）表示的数是 故答案为： 【点评】本题考查了算术平方根和数字的变化规律，解答此类题目的关键是根据题目中 给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，利用规律解决问题 二、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，满分 32 分） 7剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C
15、、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 8某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 21，16，17，23，20，20， 23，则这组数据的平均数与中位数分别是（ ） A20 分，17 分 B20 分，22 分 C20 分，19 分 D20 分，20 分 【分析】根据平均数和中位数的概念求解即可 解：平均数（21+16+17+23+20+2
16、0+23）720（分）， 将这组数据从小到大的顺序排列为：16，17，20，20，21，23，23，处于中间位置的那 个数是 30，中位数是 30 分 故选：D 【点评】考查了平均数和中位数的概念平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以 数据的个数找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位 数 9下列运算正确的是（ ） A（a3）2a29 Ba2 a4a8 C3 D2 【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别 计算后即可确定正确的选项 解：A、（a3）2a26a+9，故错误； B、a2 a4a6，故错误； C、3，故错误； D、2，故正
17、确， 故选：D 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公 式，属于基础知识，比较简单 10若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】 根据二次根式有意义的条件列出不等式， 解不等式， 把解集在数轴上表示即可 解：由题意得 x+20， 解得 x2 故选：D 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是 解题的关键 11关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别
18、式的取值范围，进而可以得到关于 k 的 不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为 0 解：关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 有实数根， b24ac0， 即：9+4k0， 解得：k， 关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 中 k0， 则 k 的取值范围是 k且 k0 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程 根的情况 12如图，已知 A 为反比例函数 y（x0）的图象上一点，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B若OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】再根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义
19、得到|k|2，然后去绝对值即可得 到满足条件的 k 的值 解： ABy 轴， SOAB|k|， |k|2， k0， k4 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任 取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 13“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接 雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这 一任务设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下列方程中正确的是（ ） A B C D 【分析】设原计划每天绿化的面积为
20、 x 万平方米，根据工作时间工作总量工作效率 结合提前 30 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程 解：设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则实际工作每天绿化的面积为（1+25%）x 万平方米， 依题意得： 故选：A 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程找到关键描述语，找到合适的等量关系是 解决问题的关键 14如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，且 AEBF1， CE、DF 交于点 O下列结论：DOC90，OCOE，tanOCD，S ODCS四边形BEOF中，正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由正方形 ABCD
21、 的边长为 4，AEBF1，利用 SAS 易证得EBCFCD， 然后全等三角形的对应角相等，易证得DOC90正确；由线段垂直平分线的性 质与正方形的性质，可得错误；易证得OCDDFC，即可求得正确；由易证 得正确 解：正方形 ABCD 的边长为 4， BCCD4，BDCF90， AEBF1， BECF413， 在EBC 和FCD 中， ， EBCFCD（SAS）， CFDBEC， BCE+BECBCE+CFD90， DOC90； 故正确； 若 OCOE， DFEC， CDDE， CDADDE（矛盾）， 故错误； OCD+CDF90，CDF+DFC90， OCDDFC， tanOCDtanDFC
22、， 故正确； EBCFCD， SEBCSFCD， SEBCSFOCSFCDSFOC， 即 SODCS四边形BEOF 故正确 故选：C 【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及 三角函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应 用 三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 70 分） 15计算：（2020）0|+（） 1+2sin45 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值 解：原式1+3+ 4 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16如图，点 A、
23、E、B、D 在一条直线上，AEDB，ACDF，ACDF 求证：BCEF 【分析】已知 AEDB，则 AE+EBDB+EB，可得 ABDE，由 ACDF，得AD， 结合已知 ACDF 可证明ABCDEF，利用全等三角形的性质证明结论 【解答】证明：AEDB， AE+EBDB+EB， 即 ABDE， ACDF， AD， 在ABC 和DEF 中， ACDF，AD，ABDE， ABCDEF， ABCDEF， BCEF（内错角相等，两直线平行） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质关键是由已知相等相等，公共线段求对 应边相等，证明全等三角形 17如图，已知ABC 的顶点分别为 A（2，2）、B（4，
24、5）、C（5，1）和直线 m （直线 m 上各点的横坐标都为 1） （1）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）作出点 C 关于直线 m 对称的点 C2，并写出点 C2的坐标； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PC 的值最小，请直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）直接利用关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案 解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求， 其中点 A1的坐标为（2，2）； （2）如图所示：，C2（7，1）； （3）如图所示：点 P
25、 为所求，P（4，0） 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置 是解题关键 18 随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性， 中国移动支付在世界处于 领先水平为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随 机抽样调查，以下是根据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图 移动支付方式 支付宝 微信 其他 人数/人 225 200 75 请你根据上述统计表和统计图提供的信息完成下列问题： （1）在此次调查中，使用支付宝支付的人数； （2）求表示微信支付的扇形所对的圆心角度数； （3）某天该步行街人流量为 10 万人，其中 30%
26、的人购物并选择移动支付，请你依据此 次调查获得的信息估计一下当天使用微信支付的人数 【分析】（1）根据其他的百分比和人数可以求得本次调查的人数，从而可以求得使用支 付宝支付的人数； （2）根据表格中的数据可以求得表示微信支付的扇形所对的圆心角度数； （3）根据表格中的数据可以求得使用微信支付的人数 解：（1）本次调查的人数为：7515%500， 用支付宝支付的人数为：50020075225， 故答案为：225； （2）表示微信支付的扇形所对的圆心角度数是：360144， 即表示微信支付的扇形所对的圆心角度数是 144； （3）1030%1.2（万人）， 答：当天使用微信支付的有 1.2 万人
27、【点评】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答 19在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成 3 等份）一次， 根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目 （1）转动转盘时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是 ； （2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选 择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率 【分析】（1）根据转动转盘一共有 3 种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概 率； （2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放 回实验还是
28、不放回实验，此题为放回实验列举出所有情况，求出即可 解：（1）转动转盘一共有 3 种可能， 转盘指针指向歌曲“3”的概率是：； 故答案为：； （2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以） B A 4 5 6 1 1，4 1，5 1，6 2 2，4 2，5 2，6 3 3，4 3，5 3，6 共有 9 种，它们出现的可能性相同由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅 长的歌曲“1”， 所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件 A）的结果有 2 种， 所以 P（A） （说明： 通过枚举、 画树状图或列表得出全部正确情况得； 没有说明等可能性扣 （1 分） ） 【点评】
29、此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质注意树状图法与列 表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图 法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比 20如图，在矩形 ABCD 中，AB16，AD12，点 E、F 分别在边 CD、AB 上 （1）若 DEBF，求证：四边形 AFCE 是平行四边形； （2）若四边形 AFCE 是菱形，求菱形 AFCE 的周长 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得 AB 平行且等于 CD，然后根据 DEBF，可得 AF 平行且等于 CE，即可证明四边形 AFCE 是平行四边形； （2） 根据四边形 AF
30、CE 是菱形， 可得 AECE， 然后设 DEx， 表示出 AE， CE 的长度， 根据相等求出 x 的值，继而可求得菱形的边长及周长 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为矩形， ABCD，ABCD， AFCE， CECDDE，AFABBF，DEBF， AFCE， AFCE， 四边形 AFCE 是平行四边形； （2）四边形 AFCE 是菱形， AECECFAF， ABCD，AB16， CD16， 设 AECEx，则 DECDCE16x， 矩形 ABCD， D90， 在 RtADE 中，AD2+DE2AE2 又x0，AD12， 122+（16x）2x2， 解得 x12.5， C菱形AFCE4
31、12.550 答：菱形 AFCE 的周长为 50 【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相 等的性质以及菱形四条边相等的性质 21 某网店专售一款电动牙刷， 其成本为 20 元/支， 销售中发现， 该商品每天的销售量 y （支） 与销售单价 x（元/支）之间存在如图所示的关系 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武汉， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 550 元， 如何确定该款电
32、动牙刷 的售单价？ 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电动牙刷每天的销售利润为 w 元，根据“总利润每支的利润销售量”可 得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出 z10x2+600x8000200 10x2+600x8200，求出 z550 时的 x 的值，再利用二次函数的图象和性质求解可得 解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 将（30，100），（35，50）代入 ykx+b， 得， 解得， y 与 x 的函数关系式为 y10x+400； （2）设该款电动牙刷每天的销售利润为 w 元，
33、 由题意得 w（x20） y （x20）（10x+400） 10x2+600x8000 10（x30）2+1000， 100， 当 x30 时，w 有最大值，w 最大值为 1000 答： 该款电动牙刷销售单价定为 30 元时， 每天销售利润最大， 最大销售利润为 1000 元； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元， 由题意可得 z10x2+600x8000200 10x2+600x8200， 令 z550，即10x2+600x8200550， 10（x260x+900）250， x260x+90025， 解得 x125，x235， 画出每天剩余利润 z 关于销售单价 x 的函数关系图象如解图
34、， 由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于 25 元，且不高于 35 元时，可保证 捐款后每天剩余利润不低于 550 元 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式， 理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式 22如图，在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 的中点，以 CD 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 E，F 两点，过点 F 作 FGAB 于点 G （1）试判断 FG 与O 的位置关系，并说明理由 （2）若 AC3，CD2.5，求 FG 的长 【分析】（1）如图，连接 OF，根据直角三角形的性质得到 CDBD，得到DBC D
35、CB，根据等腰三角形的性质得到OFCOCF，得到OFCDBC，推出OFG 90，于是得到结论； （2）连接 DF，根据勾股定理得到 BC4，根据圆周角定理得到DFC 90，根据三角函数的定义即可得到结论 解：（1）FG 与O 相切， 理由：如图，连接 OF， ACB90，D 为 AB 的中点， CDBD， DBCDCB， OFOC， OFCOCF， OFCDBC， OFDB， OFG+DGF180， FGAB， DGF90， OFG90， FG 与O 相切； （2）连接 DF， CD2.5， AB2CD5， BC4， CD 为O 的直径， DFC90， FDBC， DBDC， BFBC2， s
36、inABC， 即， FG 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三 角形，正确的作出辅助线是解题的关键 23如图 1，在ABC 中，ABAC20，tanB，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不与点 B，C 重合）以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线 DE 于点 F，连接 CF （1）求证：ABDDCE； （2）当 DEAB 时（如图 2），求 AE 的长； （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DFCF？若存在，求出 此时 BD 的长；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根
37、据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 （2）解直角三角形求出 BC，由ABDCBA，推出，可得 DB ，由 DEAB，推出，求出 AE 即可 （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DFCF作 FHBC 于 H， AMBC 于 M， ANFH 于 N 则NHMAMHANH90， 由AFNADM， 可得tanADFtanB， 推出 ANAM129， 推出 CHCMMH CMAN1697，再利用等腰三角形的性质，求出 CD 即可解决问题 【解答】（1）证明：ABAC， BACB， ADE+CDEB+BAD，ADEB， BADCDE， BADDCE （2）解：如图 2 中，作
38、 AMBC 于 M 在 RtABM 中，设 BM4k，则 AMBM tanB4k3k， 由勾股定理，得到 AB2AM2+BM2， 202（3k）2+（4k）2， k4 或4（舍弃）， ABAC，AMBC， BC2BM2 4k32， DEAB， BADADE， ADEB，BACB， BADACB， ABDCBA， ABDCBA， ， DB， DEAB， ， AE （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DFCF 理由：作 FHBC 于 H，AMBC 于 M，ANFH 于 N则NHMAMHANH 90， 四边形 AMHN 为矩形， MAN90，MHAN， ABAC，AMBC，
39、 AB20，tanB BMCM16， BC32， 在 RtABM 中，由勾股定理，得 AM12， ANFH，AMBC， ANF90AMD， DAF90MAN， NAFMAD， AFNADM， tanADFtanB， ANAM129， CHCMMHCMAN1697， 当 DFCF 时，由点 D 不与点 C 重合，可知DFC 为等腰三角形， FHDC， CD2CH14， BDBCCD321418， 点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DFCF，此时 BD18 【点评】本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角 三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问 题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题
