1、若集合 Mx|（x1） （3x）0，Nx|x20，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|x1 Cx|x1 或 x2 Dx|x3 2 （5 分）若复数 za21+（a1）i 是纯虚数，则（ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）已知棱长为 2 的正方体的俯视图是一个面积为 4 的正方形，则该正方体的正视图 的面积不可能等于（ ） A4 B C2 D2+2 4 （5 分）已知函数，则 f（x）的最大值为（ ） A+1 B C+1 D1 5 （5 分）已知圆 C：x2+y22，直线 l：xy+m0，则“l 与 C 相交”是“m2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、也不必要条件 6（5 分） 已知圆的半径为 2， 在圆 C 内随机取一点 M， 则过点 M 的所有弦的长度都大于 的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）若双曲线的一条渐近线被圆（x+3）2+y29 所截 得的弦长为 3，则 E 的离心率为（ ） A B C2 D 8 （5 分）下列说法正确的有（ ） 在ABC 中，若 AB，则 sinAsinB；若 p：x00，x030，则p：x0，x3 0； 若 pq 为真命题，则 p、q 均为真命题；若 pq 为假命题，则 p 与 q 至少一个为 假命题 A B C D 第 2 页（共 22 页） 9 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题
3、： “今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是解决该问 题的程序框图，若输出的 s2.25（单位：升） ，则输入的 k 的值为（ ） A2.25 B4.5 C6.75 D9 10 （5 分）已知函数 f（x）ex+e x+ln（e|x|1） ，则（ ） A B C D 11 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ABCD，则此三棱 锥外接球的半径为（ ） A B C D13 12 （5 分）已知函数 x2+lnx 在（1，e）上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） Aee3，+） B （ee3，+） C （1，+） D1，+） 二、填空题：本题
4、共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量，若，则 x 的值为 第 3 页（共 22 页） 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，若目标函数 zabx+y（a0，b0）的最 大值为 12，则 a+b 的最小值为 15 （ 5 分 ） 已 知 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 若 ，则ABC 的面积为 16 （5 分）已知倾斜角为 60的直线过曲线 C：y2x2的焦点 F，且与 C 相交于不同的两 点 A，B（A 在第一象限） ，则|AF| 三、解答题；共三、解答题；共 70
5、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 （1）求数列an的通项公式； （2）若，设 Tn是数列bn的前 n 项和，求证 18 （12 分）疫情无情人有情，为了响应国家“不出门，不串门，不聚餐”的号召，自疫情 发生以来，学生主要在家学习，此时学习积极性显得至关重要，为了了解学生的学习积 极性和观看
6、电视节目的相关性， 对某班 50 名学生的学习积极性和观看电视节目情况进行 了调查，得到的统计数据如表所示 学习积极性高 学习积极性一般 总计 不观看电视节目 28 观看电视节目 17 总计 25 50 （1）请把表格数据补充完整，并运用独立性检验的思想方法，判断能否在犯错误的概率 不超过 0.001 的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系？ （2）若从不观看电视节目的 28 人中按照学习积极性进行分层抽样，抽取 7 人，再从这 7 人中随机选取 2 人作为代表发言，求恰有 1 人学习积极性高的概率； 附：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.050 0.010 0.001
7、 第 4 页（共 22 页） k0 3.841 6.635 10.828 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD平面 ABCD， AD2AB2BC，BADABC90 （1）AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM平面 ABCD；若存在，请证明，若不存在， 请说明理由； （2）若PCD 的面积为 8，求四棱锥 PABCD 的体积 20 （12 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，点 M（a，0） ，N（0， b） ，O（0，0） ，OMN 的面积为 4 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A，B 是 x 轴上不同的两点，点 A 在椭
8、圆 E 内（异于原点） ，点 B 在椭圆 E 外若 过点 A 作斜率存在且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P， Q， 且满足PBAQBA， 求证点 A，B 的横坐标之积为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）exx （1）求 f（x）的最小值； （2）求证：exlnx （参考数据：1.65） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，题中任选一题作答如果多做，则按所做的则按所做的 第一题记分第一题记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为
9、极点，x 轴的正半轴轴为极轴建立 极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （1）求 C1的直角坐标方程和 C2的普通方程； （2）若 C1C2相交于 A、B 两点，求AOB 的面积 第 5 页（共 22 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式|f（x）|2 的解集； （2）记 f（x）的最大值为 m，设 a，b，c0，且 a+2b+3cm，求证： 第 6 页（共 22 页） 2020 年云南省红河州高考数学二诊试卷（文科）年云南省红河州高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试
10、题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 Mx|（x1） （3x）0，Nx|x20，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|x1 Cx|x1 或 x2 Dx|x3 【分析】化简集合 M、N，根据并集的定义计算即可 【解答】解：集合 Mx|（x1） （3x）0x|（x1） （x3）0x|1x3， Nx|x20x|x2， 则 MNx|x1 故选：B 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2 （5 分）若
11、复数 za21+（a1）i 是纯虚数，则（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用纯虚数的定义：实部为 0，虚部不为 0 列出不等式组，求出 a；利用复数模 的公式求出复数的模 【解答】解：z 是纯虚数 ，解得 a1， z2i， |z|2， 故选：B 【点评】本题考查纯虚数的定义、考查复数的模的公式 3 （5 分）已知棱长为 2 的正方体的俯视图是一个面积为 4 的正方形，则该正方体的正视图 的面积不可能等于（ ） A4 B C2 D2+2 【分析】由俯视图是面积为 4 的正方形，可见正方体是水平放置的，然后我们变换不同 的视角得到正视图，应该是一个高为 2，底边长在2，上取值的矩形，则正视
12、图面 第 7 页（共 22 页） 积范围为，以此可以求解 【解答】解：俯视图是面积为 4 的正方形，可见正方体的一个面是水平放置的 所以正视图是一个高为 2 的矩形，底边长在区间上取值 故正视图面积范围为所以 C 选项不满足 故选：C 【点评】本题考查了学生对三视图的理解和应用，根据题意判断出正方体水平放置很重 要，考查了学生的空间想象能力 4 （5 分）已知函数，则 f（x）的最大值为（ ） A+1 B C+1 D1 【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式可求 f（x）sin（x+）+1，转 化为正弦函数的性质即可求解最值 【解答】解：1+cosx+sinxsin（x+）+1， 当 x
13、+2k+，即 x2k+，kZ 时，f（x）的最大值为+1， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，转化思想，属于基础题 5 （5 分）已知圆 C：x2+y22，直线 l：xy+m0，则“l 与 C 相交”是“m2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “l 与 C 相交”，解得 m 范围即可判断出关系 【解答】解： “l 与 C 相交”，解得2m2 “l 与 C 相交”是“m2”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了直线与圆的充要条件、不等式对解法、简易逻辑对判断方法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 6（5 分）
14、 已知圆的半径为 2， 在圆 C 内随机取一点 M， 则过点 M 的所有弦的长度都大于 的概率为（ ） A B C D 第 8 页（共 22 页） 【分析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点 M 在以 O 为圆心，1 为半径的圆的 内部及圆周上，根据与面积有关的几何概率公式可求 【解答】解：如图，要使过点 M 的所有弦都大于 2，|OM|1， 所以点 M 在以 O 为圆心，1 为半径的圆的内部及圆周上， 所以过点 M 的所有弦的长度都大于 2的概率 P 故选：C 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属基础题 7 （5 分）若双曲线的一条渐近线被圆（x+3）2+y29 所截 得的弦长为 3
15、，则 E 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公 式，可得圆心到渐近线的距离为 1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得 到所求值 【解答】解：由圆 C： （x+3）2+y29 可得圆心（3，0） ，半径为 3， 双曲线的一条渐近线为：bxay0， 渐近线被圆（x+3）2+y29 所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：， 由弦长公式可得，可得，即4 可得 e2， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点 第 9 页（共 22 页） 到直线的距离公式，考查运算能力，
16、属于中档题 8 （5 分）下列说法正确的有（ ） 在ABC 中，若 AB，则 sinAsinB；若 p：x00，x030，则p：x0，x3 0； 若 pq 为真命题，则 p、q 均为真命题；若 pq 为假命题，则 p 与 q 至少一个为 假命题 A B C D 【分析】根据正弦定理进行判断； 根据命题的否定 进行判断； 根据复合命题真假关系进行判断； 根据复合命题真假关系进行判断； 【解答】解：，在ABC 中，若 AB，则 ab，由正弦定理得 sinAsinB 正确，故 正确 ，若 p：x00，x030，则p：x0，x30，故正确； ，若 pq 为真命题，可知 p，q 真命题至少一个为真命题，
17、故可以一真一假，故错误； ，若 pq 为假命题，则 p、q 中至少有一个为假命题，不一定均为假命题，故正确 故选：B 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系、全称命题与 特称命题、充分必要条件及复合命题的真假判断，属于中档题 9 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是解决该问 题的程序框图，若输出的 s2.25（单位：升） ，则输入的 k 的值为（ ） 第 10 页（共 22 页） A2.25 B4.5 C6.75 D9 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循
18、环得到的 n，S 的值，当 n4 时，不满足条 件 n4，退出循环，输出 S 的值为，即可解得 k 的值 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n1，Sk， 满足条件 n4，执行循环体，n2，Sk， 满足条件 n4，执行循环体，n3，S， 满足条件 n4，执行循环体，n4，S， 此时，不满足条件 n4，退出循环，输出 S 的值为， 由题意可得：2.25，解得：k9 故选：D 【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了， 这启示我们要给予高度重视，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）ex+e x+ln（e|x|1） ，则（ ） A B 第 11 页（共 2
19、2 页） C D 【分析】结合已知可得 f（x）为偶函数，结合导数可判断函数在 x0 时的单调性，然后 结合偶函数的性质及单调性即可比较大小 【解答】解：因为 f（x）ex+e x+ln（e|x|1） ， 则 f（x）ex+e x+ln（e|x|1）f（x） ， 当 x0 时，f（x）ex+e x+ln（ex1） ， 则0 在 x0 时恒成立， 故 f（x）在（0，+）上单调递增， 因为 f（）f（） ，f（）f（） ，f（）f（log54） ，且 ， 所以 f（）f（）f（log54） 故选：B 【点评】本题主要考查了利用单调性比较函数值的大小，导数的应用及偶函数性质的应 用是求解本题的关键
20、 11 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，ABCD，则此三棱 锥外接球的半径为（ ） A B C D13 【分析】把三棱锥 ABCD 放到长方体中，其中三棱锥的棱长为长方体的面对角线，外 接球的直径为长方体的对角线，即可求解 【解答】解：把三棱锥 ABCD 放到长方体中，其中三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的棱长分别为 a，b，c，外接球的半径 R， 则， 则（2R）2a2+b2+c2169， 第 12 页（共 22 页） 故 R 故选：C 【点评】本题主要考查了三棱锥外接球的半径求解，解题的关键是借助于长方体进行求 解 12 （5 分）已知函数 x2+lnx 在（1，e）上恒成立，
21、则 a 的取值范围是（ ） Aee3，+） B （ee3，+） C （1，+） D1，+） 【分析】x2+lnx 在（1，e）上恒成立ax3+xlnx 在（1，e）上恒成立，令 g（x） x3+xlnx，x（1，e） ，通过 g（x） ，g（x）的单调性的分析，结合题意即可求得 a 的取值范围 【解答】解：函数 x2+lnx 在（1，e）上恒成立x3+axlnx 在（1，e）上恒成立a x3+xlnx 在（1，e）上恒成立， 令 g（x）x3+xlnx，x（1，e） ， 则 g（x）3x2+1+lnx，x（1，e） ， 而 g（x）6x+在（1，e）上单调递减，且 g（1）6+150， g（x
22、）在（1，e）上单调递减，又 g（1）3+120， g（x）x3+xlnx 在区间（1，e）上单调递减，又 g（1）1， a1 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与逻辑思维能 力及运算能力，a 等于 1 的取舍是易错点，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 13 页（共 22 页） 13 （5 分）已知向量，若，则 x 的值为 1 【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出 x 的值 【解答】解：向量， （2 + ）2 （4，3）（2，2）（2，1） ，
23、若，则 （2，1） （x，2）2x20， 则 x1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，若目标函数 zabx+y（a0，b0）的最 大值为 12，则 a+b 的最小值为 2 【分析】根据 x，y 满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目 标函数 zabx+y（a0，b0）的最大值为 12，求出 a，b 的关系式，再利用基本不等 式求出+b 的最小值 【解答】解：x，y 满足约束条件的区域是一个四边形，如下图 3 个顶点是（2，0） ， （0，2） ， （4，4） ， 由图易得目标函数在（4
24、，4）取最大值 8， 即 124ab+4，ab2， a+b22，在 ab时是等号成立， a+b 的最小值为 2 故答案为：2 第 14 页（共 22 页） 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函 数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组） 寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后 比较，即可得到目标函数的最优解 15 （ 5 分 ） 已 知 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 若 ，则ABC 的面积为 【分析】由已知结合正弦定理进行化简可
25、求 C，然后结合余弦定理可得 a，代入三角形的 面积公式即可求解 【解答】解：因为， 由正弦定理可得，sinCcosAsinAsinCsinBsin（A+C）sinAcosC+sinCcosA， 所以 cosCsinC 即 tanC， 所以 C150， 由余弦定理可得，cosC， 整理可得， （a+5） （a2）0， 解可得，a2 则ABC 的面积 S 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，和差角公式在求解 三角形中的应用，属于中档试题 16 （5 分）已知倾斜角为 60的直线过曲线 C：y2x2的焦点 F，且与 C 相交于不同的两 第 15 页（共 22 页
26、） 点 A，B（A 在第一象限） ，则|AF| 【分析】确定过点 F 作倾斜角为 60的直线方程为 yx+，代入抛物线方程，求得 交点 A 的坐标即可 【解答】解：过点 F（0，）作倾斜角为 60的直线方程为 yx+，代入抛物线方 程， 可得，解得，则 xA， 则|AF| 故答案为： 【点评】本题考查了抛物线的定义，考查了计算能力，属于中档题 三、解答题；共三、解答题；共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
27、 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 （1）求数列an的通项公式； （2）若，设 Tn是数列bn的前 n 项和，求证 【分析】本题第（1）题根据公式 an进行计算可得数列an的通项 公式；第（2）题根据第（1）题的结果进行计算可得，然后根据不等式 在求和时进行逐项放缩，再应用裂项相消法计算可证得不等式成立 【解答】 （1）解：由题意，当 n1 时，a1S11， 当 n2 时，anSnSn1 n2； 当 n1 时，a1112也满足上式 ann2，nN* （2）证明：由（1）知， 第 16 页（共 22 页）
28、Tnb1+b2+bn + + 1+ 1 故得证 【点评】本题主要考查根据数列前 n 项和公式求通项公式，以及数列与不等式的综合问 题，考查了转化与化归思想，分类讨论思想，放缩法，逻辑推理能力和数学运算能力， 本题属中档题 18 （12 分）疫情无情人有情，为了响应国家“不出门，不串门，不聚餐”的号召，自疫情 发生以来，学生主要在家学习，此时学习积极性显得至关重要，为了了解学生的学习积 极性和观看电视节目的相关性， 对某班 50 名学生的学习积极性和观看电视节目情况进行 了调查，得到的统计数据如表所示 学习积极性高 学习积极性一般 总计 不观看电视节目 28 观看电视节目 17 总计 25 50
29、 （1）请把表格数据补充完整，并运用独立性检验的思想方法，判断能否在犯错误的概率 不超过 0.001 的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系？ （2）若从不观看电视节目的 28 人中按照学习积极性进行分层抽样，抽取 7 人，再从这 7 人中随机选取 2 人作为代表发言，求恰有 1 人学习积极性高的概率； 附：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）根据题意补充列联表，计算观测值，对照数表得出结论； （2）由题意计算抽取的 7 人中学习积极性高和学习积极性一般的人数，利用列举法求出 第
30、17 页（共 22 页） 基本事件数，计算所求的概率值 【解答】解： （1）根据题意，补充列联表如下； 学习积极性高 学习积极性一般 总计 不观看电视节目 20 8 28 观看电视节目 5 17 22 总计 25 25 50 根据表中数据，计算 K211.68810.828， 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节 目有关系； （2）由题意知抽样比例为4， 所以抽取的 7 人中，学习积极性高的有5 人，记为 a、b、c、d、e； 学习积极性一般的有 752 人，记为 F、G； 从这 7 人中随机选取 2 人，基本事件为： ab、ac、ad、ae、a
31、F、aG、bc、bd、be、bF、bG、cd、ce、cF、cG、 de、dF、dG、eF、eG、FG 共 21 种； 其中恰有 1 人学习积极性高的基本事件为： aF、aG、bF、bG、cF、cG、dF、dG、eF、eG 共 10 种； 故所求的概率值为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问 题，是基础题 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD平面 ABCD， AD2AB2BC，BADABC90 （1）AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM平面 ABCD；若存在，请证明，若不存在， 请说明理由； （
32、2）若PCD 的面积为 8，求四棱锥 PABCD 的体积 第 18 页（共 22 页） 【分析】 （1）当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM平面 ABCD运用面面垂直的性质 定理和判定定理，即可得证； （2）设 ABa，运用三角形的勾股定理和线面垂直的性质，可得 a4，求得 PM 和四边 形 ABCD 的面积，由棱锥的体积公式可得所求 【解答】解： （1）当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM平面 ABCD 证明：由PAD 是等边三角形，可得 PMAD， 而平面 PAD平面 ABCD， AD 为平面 PAD 和平面 ABCD 的交线， 可得 PM平面 ABCD， 又 PM平面 P
33、MC，可得平面 PCM平面 ABCD； （2）设 ABa，可得 BCa，AD2a， 连接 MC，可得 MCABMDa，则 CDa，PD2a， 由 PMMC，可得 PC2a， 而PCD 的面积为aa28，可得 a4， 四棱锥 PABCD 的体积为 VS四边形ABCDPM （4+8） 4432 【点评】本题考查空间面面垂直的判定和性质的运用，考查棱锥的体积的求法，考查运 算求解能力和推理能力，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，点 M（a，0） ，N（0， b） ，O（0，0） ，OMN 的面积为 4 第 19 页（共 22 页） （1）求椭圆 E 的标准方程；
34、（2）设 A，B 是 x 轴上不同的两点，点 A 在椭圆 E 内（异于原点） ，点 B 在椭圆 E 外若 过点 A 作斜率存在且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P， Q， 且满足PBAQBA， 求证点 A，B 的横坐标之积为定值 【分析】 （1）由题意的离心率及三角形 OMN 的面积和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的 值，进而求出椭圆的方程； （2）设 A，B 的坐标，由题意设直线 PQ 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积， 由PBAQBA，可得 kPB+kQB0，求出 kPB+kQB的表达式，使其得以 0，可得 AB 的 横坐标之积为定值 【解答】解： （1）有题意可得
35、：，4，而 a2b2+c2， 解得：a216，b24， 所以椭圆的标准方程为：1； （2）有题意设 A（m，0） ，B（n，0） ， 当直线 PQ 的斜率不为 0 时，设直线 PQ 的方程为：xty+m，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程：整理可得（4+t2）y2+2tmy+m2160，y1+y2 ，y1y2， 因为PBAQBA，所以 kPB+kQB0 而 kPB+kQB+0， 即 y1（ty2+mn）+y2（ty1+mn）0，2ty1y2+（mn） （y1+y2）0，即 2t（m216） +（mn） （2tm）0 可得 t（m216m2+mn）0，即 t（mn
36、16）0， 当 mn16，不论 t 为何值，都成立 当直线 PQ 为 x 轴时，mn16 也成立， 所以可证 A，B 的横坐标之积为定值 16 第 20 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了求椭圆方程的方法和由角相等得两条直线的倾斜角互为补角， 及直线与椭圆的综合，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exx （1）求 f（x）的最小值； （2）求证：exlnx （参考数据：1.65） 【分析】 （1）求出原函数的导函数，考查的原函数的单调区间，进一步求得最小值； （2） 由 （1） 知， f （x） exx0， 即， 则 exlnx， 令 g（x），利用导数求其最小值即可证明
37、 exlnx 【解答】 （1）解：由 f（x）exx，得 f（x）， 则当 x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， f（x）的极小值也是最小值为 f（）0； （2）证明：由（1）知，f（x）exx0，即， 则 exlnx， 令 g（x），则 g（x）（x0） 当 x（0，）时，g（x）0，g（x）单调递减， 当 x（，+）时，g（x）0，g（x）单调递增， exlnx 【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，运用第一问的结论 第 21 页（共 22 页） 证明第二问是关键，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 1
38、0 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题第一题记分记分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴轴为极轴建立 极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （1）求 C1的直角坐标方程和 C2的普通方程； （2）若 C1C2相交于 A、B 两点，求AOB 的面积 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2） 利用一元二次方程根和系数
39、关系式的应用和点到直线的距离公式的应用及三角形的 面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）已知曲线 C1的极坐标方程为，转换为 ，转换为直角坐标方程为 x+y20 曲线 C2的参数方程为（t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x28y， （2）根据题意，直线和曲线建立方程组为：，整理得 x2+8x160， 设 A（x1，y2）B（x2，y2） 所以 x1+x28，x1x216， 所以|AB|16， 原点（0，0）到直线 x+y20 的距离 d， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运
40、算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 第 22 页（共 22 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式|f（x）|2 的解集； （2）记 f（x）的最大值为 m，设 a，b，c0，且 a+2b+3cm，求证： 【分析】 （1）取绝对值化为分段函数，即可求出不等式的解集； （2）根据柯西不等式即可证明 【解答】解： （1）f（x）|x+1|x2|， 不等式|f（x）|2，则2f（x）2， ，解得x， 故不等式|f（x）|2 的解集为（，） ； 证明： （2）由（1）可得（x）的最大值为 3m， a+2b+3c3， +（+） （a+2b+3c）（a+2b+3c） 23， 当且仅当 a1，b，c时取等号 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题
