1、2020 年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若集合 Ax|0x21，Bx|1x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 2已知 a 为实数，i 为虚数单位，且 （R 为实数集），则 a（ ） A1 B2 C2 D1 3函数 ， ， 的大致图象为（ ） A B C D 4某人口大县举行“只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题比赛”，分初赛 和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩小于等于 90 分的会被淘汰，某校有 1000 名学生 参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150内，其
2、频率分布直方图如图所示，则 会被淘汰的人数为（ ） A350 B450 C480 D300 5已知 满足 ，则 cos2（ ） A B C D 6等差数列an中，a1+2a710，则 a3+a5+a7（ ） A5 B10 C15 D20 7用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体已知正六面体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4，则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为（ ） A B C D 8如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 ，则 +（ ） A B C D2 9设 f（x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，y R，都有 f（x） f（y） f
3、（x+y）， 若 a1 ，anf（n） （n N *），则数列a n的前 n 项和 Sn的取值范围是（ ） A ，2） B ，2 C ，1） D ，1 10 已知点 （3， 28） 在函数 f （x） xn+1 的图象上， 设 ， bf （ln） ， ， 则 a， b， c 的大小关系为（ ） Abac Babc Cbca Dcab 11已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1作圆 x 2+y2a2 的切线交双曲线右支于点 M，若 tanF1MF22，又 e 为双曲线的离心率，则 e2的值为 （ ） A B C D 12若存在 a0，使得函数 f（x）6a2lnx+4ax 与 g
4、（x）x2b 在这两函数图象的公共点 处的切线相同，则 b 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） 13曲线 yx22xlnx 在点（1，1）处的切线的斜率为 14若向量 ， 与向量 ， 共线，则 15已知点 M（0，2），过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A，B 两点，若 ，则点 B 的横坐标为 16已知 x，y，a 均为正实数，则 的最小值为 三、解答题（本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，又函数 （1）求函数的
5、单调减区间； （2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，又 ，且锐角 C 满足 g（C） 1，若 sinB2sinA，求 a+b 的值 18某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖 的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程 中穿插抽奖活动并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中一 等奖代表队有 6 人 名次 性别 一等奖 代表队 二等奖 代表队 三等奖 代表队 男生 30 ？ 20 女生 30 20 30 （1）求二等奖代表队的男生人数； （2）从前排就坐的三等奖代表队员 5 人
6、（2 男 3 女）中随机抽取 3 人上台领奖，请求出 只有一个男生上台领奖的概率； （3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生2，2内的两个均匀随机 数 x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序若电脑显示“中奖”，则 代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖求代表队队员获得奖品的概率 19如图，在长方体 ABCDHKLE 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 F 在线段 AH 上且 ，BE 与底面 ABCD 所成角为 （1）求证：ACBE； （2）M 为线段 BD 上一点，且 ，求异面直线 AM 与 BF 所成角的
7、余弦值 20已知函数 f（x）axsinx（a R） （1）当 ， 时，f（x）0 恒成立，求正实数 a 的取值范围； （2）当 a1 时，探索函数 F（x）f（x）cosx+a1 在（0，）上的零点个数，并说 明理由 21如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”过椭圆第四 象限内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M 的“下辅助点”已知椭圆 E： 上的点 ， 的下辅 助点为（1，1） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OMN 的面积等于 ，求下辅助点 N 的坐标； （3）已知直线 l：xmyt0 与椭圆 E
8、 交于不同的 A，B 两点，若椭圆 E 上存在点 P， 满足 ，求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值 四、请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，将曲线方程 ，先向左平移 2 个单位， 再向上平移 2 个单位，得到曲线 C （1）点 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，写出曲线 C 的参数方程，并求出 的 最大值； （2） 设直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） ， 又直线 l 与曲线 C 的交点为 E， F， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 EF 的中
9、点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x3|，g（x）|2x+a+b| （1）解不等式 f（x）x2； （2） 当 a0， b0 时， 若 F （x） f （x） +g （x） 的值域为5， +） ， 求证： 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1若集合 Ax|0x21，Bx|1x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|0x21x|1x1， Bx|1x
10、2， ABx|1x2 故选：D 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2已知 a 为实数，i 为虚数单位，且 （R 为实数集），则 a（ ） A1 B2 C2 D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 列式求解 a 值 解： R， 1a0，即 a1 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3函数 ， ， 的大致图象为（ ） A B C D 【分析】利用函数的性质直接可以得出结论 解：当 x+时，f（x）xe|x|+，可排除 AD； 当 x0 时，f（x）xe|x|0，可排除 C
11、故选：B 【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题 4某人口大县举行“只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚扶贫知识政策答题比赛”，分初赛 和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩小于等于 90 分的会被淘汰，某校有 1000 名学生 参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示，则 会被淘汰的人数为（ ） A350 B450 C480 D300 【分析】由频率分布直方图得初赛成绩小于等于 90 分的频率为 0.35，由此能求出能会被 淘汰的人数 解：由频率分布直方图得： 初赛成绩小于等于 90 分的频率为：（0.0025+0.0075+0.0075）200.
12、35， 会被淘汰的人数为 10000.35350 故选：A 【点评】本小题主要考查会被淘汰的人数的人数的求法，考查频率分布直方图等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 5已知 满足 ，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由已知结合诱导公式先进行化简，然后结合二倍角余弦公式即可求解 解：因为sin ， 所以 sin ， 则 cos212sin212 故选：A 【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试 题 6等差数列an中，a1+2a710，则 a3+a5+a7（ ） A5 B10 C15 D20 【分析】由等差数列的通项公式可得：a1+2a7103a
13、1+12d，可得 a1 +4d a 5，再利 用性质可得：a3+a5+a73a5 解：由等差数列的通项公式可得：a1+2a7103a1+12d， a1 +4d a 5， 则 a3+a5+a73a510 故选：B 【点评】本小题主要考查等差数列通项公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学 能力，属于基础题 7用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体已知正六面体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4，则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，可得 A1C平面 AB1D1，A1C平面 BC1D，求出正方体的棱 长，再由等体积法求得|A1E
14、|，则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离可求 解：由题意正六面体 ABCDA1B1C1D1是棱长为 4 的正方体， AB1DC1，B1D1BD，AB1B1D1B1，C1DBDD， 平面 AB1D1平面 BC1D， 连接 A1C，可得 A1C平面 AB1D1，A1C平面 BC1D 设垂足分别为 E，F，则平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为|EF| 正方体的棱长为 在三棱锥 A1AB1D1 中，由等体积法求得：|A1 E| 平面 AB1D1与平面 BC1D 间的距离为 故选：C 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考 查计算能力，是中档题 8
15、如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 ，则 +（ ） A B C D2 【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出 ， ，代入 并进行向量的数乘运算便可得出 ，而 ，这样根据平面向量基本定理即可得出关于 ， 的方程组，解 出 ， 便可得出 + 的值 解： ， ， ； ； 由平面向量基本定理得： ； 解得 ， ； 故选：B 【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的 概念，平面向量基本定理 9设 f（x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，y R，都有 f（x） f（y） f（x+y）， 若 a1 ，anf（n） （n N
16、*），则数列a n的前 n 项和 Sn的取值范围是（ ） A ，2） B ，2 C ，1） D ，1 【分析】根据 f（x） f（y）f（x+y），令 xn，y1，可得数列an是以 为首项， 以 为等比的等比数列，进而可以求得 S n，进而 Sn的取值范围 解：对任意 x，y R，都有 f（x） f（y）f（x+y）， 令 xn，y1，得 f（n） f（1）f（n+1）， 即 f（1） ， 数列an是以 为首项，以 为等比的等比数列， anf（n）（ ） n， Sn 1（ ） n ，1） 故选：C 【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意 x，y R，都有 f（x） f
17、（y）f（x+y）得到数列an是等比数列，属中档题 10 已知点 （3， 28） 在函数 f （x） xn+1 的图象上， 设 ， bf （ln） ， ， 则 a， b， c 的大小关系为（ ） Abac Babc Cbca Dcab 【分析】根据题意，将（3，28）代入函数的解析式，计算可得 n 的值，即可得函数的解 析式，分析可得 f（x）在 R 上为增函数，又由 1ln，分析可 得答案 解：根据题意，点（3，28）在函数 f（x）xn+1 的图象上，则有 283n+1，解可得 n 3； 则 f（x）x3+1，易得 f（x）在 R 上为增函数， 又由 1ln， 则有 cab； 故选：D 【
18、点评】 本题考查函数的单调性的性质以及应用， 注意求出 n 的值， 确定函数的解析式 11已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1作圆 x 2+y2a2 的切线交双曲线右支于点 M，若 tanF1MF22，又 e 为双曲线的离心率，则 e2的值为 （ ） A B C D 【分析】运用双曲线的定义可得|MF1|MF2|2a，设|MF2|t，则|MF1|2a+t，sin MF1F2 ， 然后在三角形 MF1F2中由正、 余弦定理列方程可解得离心率的平方 解：如图：|MF1|MF2|2a，设|MF2|t，则|MF1|2a+t， sinMF1F2 ， 若 tanF1MF22，则 sinF
19、1MF2 ，cosF1MF2 ， 在MF1F2中，由正弦定理得 ，即 ， t a，|MF2| a，|MF1 |（ 2）a， 由余弦定理得 4c25a2+（9+4 ）a 22 a（2 ）a ， 4c2（10+2 ）a 2，c2 a2，e2 ， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是双曲线的离心率的求法，考查圆的性质 的运用，属于中档题 12若存在 a0，使得函数 f（x）6a2lnx+4ax 与 g（x）x2b 在这两函数图象的公共点 处的切线相同，则 b 的最大值为（ ） A B C D 【分析】设公共点为（x，y），然后根据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于 公共点满足的
20、方程组，将 x 消去，得到关于 b，a 的等量关系式，整理成 bh（a）的形 式，求函数的最值即可 解：设公共点为（x，y），（x0），且 ， 所以 （a0），由 得 x22ax3a20， 解得 x3a 或a（舍） 将 x3a 代入 式整理得：b3a26a2ln（3a），（a0） 令 h（a）3a26a2ln（3a），（a0）， 12aln（3a）+1， 令 h（a）0 得， ，且 ， 时， ； ， 时，h（a） 0 故 h（a）在（0， ）上递增，在（ ， ）上递减 故 h（a）maxh（ ） 故 b 的最大值为 故选：C 【点评】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值问题同时考
21、查学生 运用函数与方程思想解决问题的能力与化简运算能力属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.） 13曲线 yx22xlnx 在点（1，1）处的切线的斜率为 1 【分析】先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值即可 解：由已知得 ， 所以 ky|x11 故答案为：1 【点评】本题考查导数的几何意义、导数的计算属于基础题 14若向量 ， 与向量 ， 共线，则 【分析】根据向量共线计算 k 的值，再计算向量的数量积 解： 与 共线，2k14k0，解得 k ， （2， ）， （2）4+（ ）1 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量共线的坐标表示，平面向量的数量积
22、运算，属于中档题 15已知点 M（0，2），过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 AB 交抛物线于 A，B 两点，若 ，则点 B 的横坐标为 【分析】设直线 AB：xky+1，由直线 AB 的方程与抛物线方程联立求得 A、B 坐标之间 的关系，结合 ，求出点 B 的横坐标 解：设直线 AB：xky+1，A（x1，y1 ），B（x2，y2 ）， 由 联立得 y24ky40，y1+y24k ，y1y24 ，F（1，0），M（0，2）， x12（y12）， 又 x1ky1+1，（k2）y1+50由 联立解得：k ， y14，y21x2ky2 +1 故答案为： 【点评】本题主要考查直线与抛物线之间的
23、关系及向量的运算，属于基础题 16已知 x，y，a 均为正实数，则 的最小值为 10 【分析】化简表达式，通过基本不等式以及完全平方式忙着求解表达式的最小值即可 解：x，y，a 均为正实数， 则 3 （a1）2， 3 2 10，当且仅当 y2x 时取等号， （a1）20，当 a1 时，取等号， 所以 的最小值为：10 故答案为：10 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式以及二次函数的最值的应用，考查分 析问题解决问题的能力，是中档题 三、解答题（本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，又函数 （1
24、）求函数的单调减区间； （2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，又 ，且锐角 C 满足 g（C） 1，若 sinB2sinA，求 a+b 的值 【分析】（1）由函数 f（x）的部分图象可得 A，可求函数的周期，利用正弦函数的周期 公式可求 的值， 又函数图象过点 ， ， 结合范围 0， 可求 ， 可得 f （x） ， g（x）的解析式，进而利用余弦函数的图象和性质可求其单调减区间 （2）由 g（C）1，得 cos2C ，结合范围 0 ，可求 C 的值，由正弦定理 得 ，由余弦定理得 3a2+b2ab，即可解得 a，b 的值，从而得解 解：（1）由函数 f（x）Asin（x
25、+）（A0，0，0）的部分图象可得 A 2， 由于 ，即 T， 则 ， 又函数图象过点 ， ， 则 ， 即 ， ， 又 0， 即 ， 即 ， 则 ， 由 2k2x2k+，k Z，得 kxk ，k Z， 所以函数 g（x）的单调减区间为k，k ，k Z （2）由 g（C）1，得 cos2C ， 因为 0 ， 所以 02C， 所以 2C ，可得 ， 又 sinB2sinA，由正弦定理得 ， 由余弦定理，得 ，可得：3a 2+b2ab， 由 解得 a1，b2， 所以 a+b3 【点评】本题主要考查了由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，余弦函数的图 象和性质以及正弦定理，余弦定理在解三角形中
26、的应用，考查了数形结合思想和函数思 想，属于中档题 18某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖 的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程 中穿插抽奖活动并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就坐，其中一 等奖代表队有 6 人 名次 一等奖 二等奖 三等奖 性别 代表队 代表队 代表队 男生 30 ？ 20 女生 30 20 30 （1）求二等奖代表队的男生人数； （2）从前排就坐的三等奖代表队员 5 人（2 男 3 女）中随机抽取 3 人上台领奖，请求出 只有一个男生上台领奖的概率； （3）抽奖活动中，代
27、表队员通过操作按键，使电脑自动产生2，2内的两个均匀随机 数 x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序若电脑显示“中奖”，则 代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖求代表队队员获得奖品的概率 【分析】（1）先设季军队的男运动员人数为 n，由分层抽样的方法得关于 n 的等式，即 可解得 n （2）设男生为 A1，A2，女生为 B1，B2，B3，随机抽取 3 人，利用列举法写出所有基本事 件和只有一个男生上台领奖基本事件，最后利用概率公式即可计算得解 （3）由框图得到，点（x，y）满足条件 ，其表示的区域是图中阴影部分， 利用几何概型的计算公式即可得到代表队队员获得奖品的概率
28、 解：（1）设代表队共有 n 人，则 ， 所以 n160，则三等奖代表队的男生人数为 160（30+30+20+20+30）30， 故所求二等奖代表队的男生人数为 30 人 （2）设男生为 A1，A2，女生为 B1，B2，B3，随机抽取 3 人，包括的基本事件为 A1A2B1， A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，个数为 10 个， 只有一个男生上台领奖基本事件为 A1B1B2， A1B1B3， A1B2B3， A2B1B2， A2B1B3， A2B2B3， 个数为 6 个，所以只有一个男生上台领奖的概率
29、为 （3）试验的全部结果所构成的区域为 （x，y）|2x2，2y2， 面积为 S4416， 事件 A 表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为 A（x，y）| ， 如图阴影部分的面积为：SA4 ， 这是一个几何概型，所以 p（A） 即代表队队员获得奖品的概率为 【点评】 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、 程序框图、 几何概型等基础知识， 考查运算求解能力，属于中档题 19如图，在长方体 ABCDHKLE 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 F 在线段 AH 上且 ，BE 与底面 ABCD 所成角为 （1）求证：ACBE； （2）M 为线段
30、 BD 上一点，且 ，求异面直线 AM 与 BF 所成角的余弦值 【分析】（1）推导出 DEAC，ACBD，从而 AC平面 BDE由此能证明 ACBE （2） 推导出DBE 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角， DBE ， 在 DE 上取一点 G， 使 DG DE，连接 FG，则四边形 FBCG 为平行四边形，BFCG，在 BD 上取一点 N， 使 DNBM，推导出 AMCN，从而GCN（或其补角）为异面直线 AM 与 BF 所成的 角，由余弦定理能求出异面直线 AM 与 BF 所成角的余弦值 解：（1）证明：因为在长方体 ABCDHKLE 中，有 DE平面 ABCD， 所以 DEAC，
31、 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD， 又 BDDED，从而 AC平面 BDE 而 BE平面 BDE，所以 ACBE （2）因为在长方体 ABCDHKLE 中，有 BE 与平面 ABCD 所成角为 ， 由（1）知DBE 为直线 BE 与平面 ABCD 所成的角， 所以DBE ，所以 由 AD3 可知 ， 所以 AH3 ，又 2 ，即 AF AH， 故 ，在 DE 上取一点 G，使 DG DE， 连接 FG，则在长方体 ABCDHKLE 中，有 FGADBC， 且 FGADBC，所以四边形 FBCG 为平行四边形， 所以 BFCG，在 BD 上取一点 N，使 DNBM， 因为 BM
32、，BD3 ，所以 DNBM ， 所以在正方形 ABCD 中，ONOM，所以CONAOM， 所以CNOAMO，所以 AMCN， 所以GCN（或其补角）为异面直线 AM 与 BF 所成的角， 在GNC 中，GCBF ， 在AMB 中，由余弦定理得 AM ， 则 CNAM ，又 GN 2 ， 在GNC 中，由余弦定理得： cosGCN 故异面直线 AM 与 BF 所成角的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知函数 f（x）axsinx（a R） （1）当 ， 时，f（x）0
33、恒成立，求正实数 a 的取值范围； （2）当 a1 时，探索函数 F（x）f（x）cosx+a1 在（0，）上的零点个数，并说 明理由 【分析】（1）由已知分离参数后构造函数，转化为求解函数的最值或范围，结合导数可 求； （2）由已知结合导数分析函数的性质，然后结合函数的零点判定定理可求 解：（1）因为 ，所以 ， 令 ， ， 再令 m（x）xcosxsinx，m（x）cosxxsinxcosxxsinx0， 所以 m（x）在（0， ）上单调递减，所以 m（x）m（0）0 所以 g（x）0，则 g（x）在（0， ）上单调递减，所以 g（x）g（ ） ， 所以 a ，又 a0，即正实数 a 的取
34、值范围是（0， （2）F（x）f（x）cosx+a1axsinxcosx+a1， 则 ， 因 x （0，），故 ， ， 又 a1，故 F（x）0 对 x （0，）恒成立，即 F（x）在区间（0，）单调递增； 又 F（0）a2，F（）a（1+）0， 故当 1a2 时，F（0）a20，此时 F（x）在区间（0，）内恰好有 1 个零点； 当 a2 时，F（0）a20，此时 F（x）在区间（0，）内没有零点 【点评】本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题及利用导数，结合函数的 性质及零点判定定理求解函数的零点个数问题， 体现了转化思想及分类讨论思想的应用 21如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴
35、为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”过椭圆第四 象限内一点 M 作 x 轴的垂线交其“辅助圆”于点 N，当点 N 在点 M 的下方时，称点 N 为点 M 的“下辅助点”已知椭圆 E： 上的点 ， 的下辅 助点为（1，1） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OMN 的面积等于 ，求下辅助点 N 的坐标； （3）已知直线 l：xmyt0 与椭圆 E 交于不同的 A，B 两点，若椭圆 E 上存在点 P， 满足 ，求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值 【分析】（1）直接根据定义先求得 a，进而得到 b 即可； （2）设点 N（x0，y0）（y01），则点 M（x0，y1）（y10），根据椭圆方程以
36、及面积 可得 x0y1 ，将其与 联立得到 N 坐标； （3） 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 联立 ， 结合韦达定理得 ， 因为 且 P 在椭圆上可得 4t2m2+2，表示出三角形面积结合基本不等式即可求 其最小值 解： （1）椭圆 ： 上的点（1， ）的下辅助点为（1，1）， 辅助圆的半径为 R ，椭圆长半轴为 aR ， 将点（1， ）代入椭圆方程 中，解得 b1， 椭圆 E 的方程为 ； （2）设点 N（x0，y0）（y01），则点 M（x0，y1）（y10），将两点坐标分别代入辅 助圆方程和椭圆方程可得， x02+y022， ，故 y0 22y 1 2，即 y
37、0 y1， 又 SOMN x0（y1y0） ，则 x0y1 ， 将 x0y1 与 联立可解得 或 ， 下辅助点 N 的坐标为（ ， ）或（ ， ）； （3）由题意可设 A（x1，y1），B（x2，y2） 联立 整理得（m2+2）y2+2mty+t220，则8（m2+2t2）0 根据韦达定理得 ， 因为 所以 ， 因为点 P 在椭圆 E 上，所以 ， 整理得 ，即 4t2m2+2， 在直线 l：xmyt0 中，由于直线 l 与坐标轴围成三角形，则 t0，m0 令 x0，得 ，令 y0，得 xt 所以三角形面积为 当且仅当 m22，t21 时，取等号，此时240 所以直线 l 与坐标轴围成的三角形
38、面积的最小值为 【点评】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查通性 通法的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，将曲线方程 ，先向左平移 2 个单位， 再向上平移 2 个单位，得到曲线 C （1）点 M（x，y）为曲线 C 上任意一点，写出曲线 C 的参数方程，并求出 的 最大值； （2） 设直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） ， 又直线 l 与曲线 C 的交点为 E， F， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 EF 的中点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程 【分析】 （1）
39、 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 （2）利用中点坐标公式的应用和直线垂直的充要条件的应用求出结果 解：（1）将曲线方程 ，先向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单 位，得到曲线 C 的方程为 ，也即 ， 故曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）； 又点 M（x，y）为曲线 C 上任意一点， 所以 2cos 4cos（ ） 所以 的最大值为 4； （2） 由 （1） 知曲线 C 的直角坐标方程为 ， 又直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），所以直线 l 的普通方程为 x+2y40， 所以有
40、 ，解得 或 所以线段 EF 的中点坐标为（ ， ）， 即线段 EF 的中点坐标为（2，1），直线 l 的斜率为 ， 则与直线 l 垂直的直线的斜率为 2， 故所求直线的直角坐标方程为 y12（x2）， 即 2xy30，将 xcos，ysin 代入， 得其极坐标方程为 2cossin30 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点 坐标公式，直线与曲线位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能 力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x3|，g（x）|2x+a+b| （1）解不等式 f（x）x2； （2） 当 a0，
41、 b0 时， 若 F （x） f （x） +g （x） 的值域为5， +） ， 求证： 【分析】 （1）由题意可得|2x3|x2，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集， 可得所求解集； （2）由 a0，b0，根据绝对值三角不等式，化简可得 F（x）的最小值，可得 a+b 的 值，再由乘 1 法和基本不等式，即可得证 【解答】 （1）解：不等式 f （x）x2化为|2x3|x2，等价于 或 ， 即为 或 或 ， 解得 x ，或 x3 或 1x ， 所以不等式 f（x）x2的解集为x|x1 或 x3； （2）证明：由 a0，b0，根据绝对值三角不等式可知 F（x）f（x）+g（x）|2x 3|+|2x+a+b|32x|+|2x+a+b| |32x+2x+a+b|a+b+3|a+b+3， 又 F（x）f（x）+g（x）的值域为5，+），可得 a+b+35，即 a+b2，即（a+2）+ （b+2）6， 故 （a+2） + （b+2） （ ） （2 ） （2+2 ） ， 当且仅当 ，即 ab1 时取等号时， 由基本不等式可得 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查均值不等式 的运用：证明不等式，主要考查分类讨论思想和转化思想、化简运算能力和推理能力， 属于中档题
