1、2020 年高考数学二模试卷（理科）年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1 已知集合 AxZ|x23x40， Bx|0lnx2， 则 AB 的真子集的个数为 （ ） A3 B4 C7 D8 2设 zC 且 z0，“z 是纯虚数”是“z2R”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3如图是正态分布 N（0，1）的正态曲线图，下面 3 个式子中，等于图中阴影部分面积的 个数为（ ）注：（a）P（Xa） （1a） A0 B1 C2 D3 4等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1，S3，S2成等差数列，则an的公比 q 等于（ ）
2、 A1 B2 C D 5函数 f（x）|x| 的图象大致为（ ） A B C D 6 如图所示， 在ABC 中， ADDB， 点 F 在线段 CD 上， 设 ， ， y ， 则 的最小值为（ ） A B C6+4 D 7执行如图所示的程序框图，若输入 n10，则输出的 S 的值是（ ） A B C D 8 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 B1C1， C1D1的中点， 点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一点，且 AP平面 EFDB，则 cosAPA1的最小值是（ ） A B C D 9若变量 x，y 满足约束条件 ， ， ， 则 x2y 的最小值是（ ） A3 B5
3、 C3 D5 10已知双曲线 1（a0，b0）与函数 y （x0）的图象交于点 P，若函数 y 的图象与点 P 处的切线过双曲线左焦点 F （4， 0） ， 则双曲线的离心率是 （ ） A B C D 11如图所示，用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一 个蛋巢，将体积为 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体） 离蛋巢底面的最短距离为（ ） A B C D 12已知不等式 对 x（1，+）恒成立，则实数 a 的最小值为（ ） A B Ce D2e 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若顶点在原点的抛物线经过四个点（
4、1，1）， ， ，（2，1），（4，2）中的 2 个 点，则该抛物线的标准方程可以是 14已知向量 （4，2）， （，1），若 2 与 的夹角是锐角，则实数 的取 值范围为 15 若函数 f （x） ， ， 恰有 2 个零点， 则实数 a 的取值范围是 162020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医 疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中， 为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫 前线工作者子女在线辅导功课现随机安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数学、 物理、化学、生物 4 门学
5、科，每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿者辅 导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 三、解答题（共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为 必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c且 sin（A+C） （1）若 ，求角 C 的大小 （2）若 AC 边上的中线 BM 的长为 2，求ABC 面积的最大值 18 如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1中， ABAC， AB3， AC4， 动点P满足 （0） ， 当 时，AB1BP （1）求棱 CC1的长
6、； （2）若二面角 B1ABP 的大小为 ，求 的值 19网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润 如表所示： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代 号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 实体店 纯利润 y （千万） 2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2 根据这 9 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.254； 根据后 5 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.985； （1）如果要用
7、线性回归方程预测该商场 2019 年实体店纯利润，现有两个方案： 方案一：选取这 9 年的数据，进行预测； 方案二：选取后 5 年的数据进行预测； 从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适 附：相关性检验的临界值表： n2 小概率 0.05 0.0 1 3 0.878 0.9 59 7 0.666 0.7 98 （2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的 40%，既 开网店又开实体店的占调查总人数的 20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统 计的店主中随机抽查了 5 位，求只开实体店的人数的分布列及期望 20已知点（1，e），（e， ）在椭
8、圆上 C： 1（ab0），其中 e 为椭圆的 离心率 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 经过 C 的上顶点且 l 与抛物线 M：y24x 交于 P，Q 两点，F 为椭圆的左焦 点，直线 FP，FQ 与 M 分别交于点 D（异于点 P），E（异于点 Q），证明：直线 DE 的 斜率为定值 21设函数 f（x）ln（x1）+ax2+x+1，g（x）（x1）ex+ax2 （1）若 a0，讨论 g（x）的零点个数； （2）证明：f（x）g（x） 选考题(共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 C1的参
9、数方程为 （t 为参数， 0） ， 曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C2的极坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2的交点分别为 A，B，M（2，0），求|MA|2+|MB|2的最大值及 此时直线 C1的倾斜角 （选修 4-5） 23已知函数 f（x）|2x1|+|x+1| （1）求不等式 f（x）x+2 的解集； （2）若函数 yf（x）的最小值记为 m，设 a0，b0，且有 a+bm求 的 最小值 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 已知集合 AxZ|x23x40， Bx
10、|0lnx2， 则 AB 的真子集的个数为 （ ） A3 B4 C7 D8 【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB 的真子集的个数 解：集合 AxZ|x23x40xZ|1x41，0，1，2，3，4， Bx|0lnx2x|1xe2， AB2，3，4， AB 的真子集的个数为：2317 个 故选：C 【点评】本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 2设 zC 且 z0，“z 是纯虚数”是“z2R”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】zC 且 z0，“z 是纯虚数”“z2R”，
11、反之不成立，例如取 z2即可判断 出结论 解：zC 且 z0，“z 是纯虚数”“z2R”，反之不成立，例如取 z2 “z 是纯虚数”是“z2R”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 3如图是正态分布 N（0，1）的正态曲线图，下面 3 个式子中，等于图中阴影部分面积的 个数为（ ）注：（a）P（Xa） （1a） A0 B1 C2 D3 【分析】根据正态分布 N（0，1）的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是 x0， 欲求图中阴影部分面积， 只须求 P （Xa） ， 再结合对称性进行代换即可求得答案
12、 解：（a）P（Xa）， 图中阴影部分的面积为 P（Xa） （a）， 根据对称性可知阴影部分的面积为 P（Xa） （a） ， 正确， 故选：C 【点评】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键 4等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1，S3，S2成等差数列，则an的公比 q 等于（ ） A1 B2 C D 【分析】 由等差数列的中项性质可得 2S3S1+S2， 再由等比数列的通项公式解方程可得 q 解：S1，S3，S2成等差数列， 可得 2S3S1+S2， 即为 2（a1+a2+a3）a1+a1+a2， 即有 2a1（1+q+q2）a1（2+q）， 化为 2q2+q0，
13、解得 q （q0 舍去）， 故选：D 【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能 力，属于基础题 5函数 f（x）|x| 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 x0 时，其在 x1 处取得 极小值，可排除 B，由此得解 解：因为 f（x）f（x），所以 f（x）是偶函数，排除 C 和 D 当 x0 时， ， ，令 f（x）0，得 0x1；令 f（x） 0，得 x1 所以 f（x）在 x1 处取得极小值，排除 B， 故选：A 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 6 如图所示， 在ABC 中
14、， ADDB， 点 F 在线段 CD 上， 设 ， ， y ， 则 的最小值为（ ） A B C6+4 D 【分析】 用 ， 表示 ， 由C， D， F三点共线得出x， y的关系， 消去y， 得到 关于 x 的函数 f（x），利用导数求出 f（x）的最小值 解： 2x y C，F，D 三点共线， 2x+y1即 y12x由图可知 x0 令 f（x） ，得 f（x） ， 令 f（x）0 得 x 或 x （舍） 当 0x 时，f（x）0，当 x 时，f（x）0 当 x 时，f（x）取得最小值 f（ ） 3+2 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题 7执行如图所示的程
15、序框图，若输入 n10，则输出的 S 的值是（ ） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 可得：S （1 ）+ （ ）+ （ ） 1 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 B1C1， C1D1的中点， 点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一点，且 AP平面 EF
16、DB，则 cosAPA1的最小值是（ ） A B C D 【分析】连结 AC、BD，交于点 O，连结 A1C1，交 EF 于 M，连结 OM，则 AO PM，从 而 A1PC1M，由此能求出 cosAPA1的值 解：连结 AC、BD，交于点 O，连结 A1C1，交 EF 于 M，连结 OM， 设正方形 ABCDA1B1C1D1中棱长为 1， 在正方形 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 B1C1，C1D1的中点， 点 P 是底面 A1B1C1D1内一点，且 AP平面 EFDB， AO PM， A1PC1M ， cosAPA1 ，即 cosAPA1的最小值是 故选：C 【点评】本题考查角
17、的余弦函数值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9若变量 x，y 满足约束条件 ， ， ， 则 x2y 的最小值是（ ） A3 B5 C3 D5 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（3，4）， 设 zx2y 得：y x z， 平移直线 y x z，结合图象直线过 A 时，z 最小， z 的最小值是：5， 故选：B 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题 10已知双曲线 1（a0，b0）与函数 y （x0）的图象交于点
18、 P，若函数 y 的图象与点 P 处的切线过双曲线左焦点 F （4， 0） ， 则双曲线的离心率是 （ ） A B C D 【分析】设 P 的坐标为（m， ），求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公 式建立方程关系求出 m4，根据双曲线的定义求出 a，c 即可 解：设 P 的坐标为（m， ），左焦点 F（4，0）， 函数的导数 f（x） ，则在 P 处的切线斜率 kf（m） ， 即 m+42m，得 m4， 则 P（4，2），设右焦点为 A（4，0）， 则 2a|PF|PA| 2（ ）， 即 a ， c4， 双曲线的离心率 e ， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的
19、几何意义，建立切线斜率关系， 求出 a，c 是解决本题的关键考查运算能力 11如图所示，用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一 个蛋巢，将体积为 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体） 离蛋巢底面的最短距离为（ ） A B C D 【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的 4 个 小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案 解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为 1 的正方形， 故经过 4 个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1， 由于鸡蛋的体积为 ，故鸡蛋（球）的半径为 1， 故球心到截面圆的距离为 ， 而垂直折起的
20、4 个小直角三角形的高为 ， 故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为 ， 故选：D 【点评】本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系， 属于中档题 12已知不等式 对 x（1，+）恒成立，则实数 a 的最小值为（ ） A B Ce D2e 【分析】将原不等式化为 exlnexxalnxa 对 x（1，+）恒成立；设函数 f（x） xlnx，即 f（ex）f（xa） 对 x（1，+）恒成立；讨论函数 f（x）的单调性； 解：不等式 对 x（1，+）恒成立； 即 对 x（1，+）恒成立； 即 exlnexxalnxa 对 x（1，+）恒成立； 设函数 f（x）xlnx，则 ； 所
21、以 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； 即 f（ex）f（xa） 对 x（1，+）恒成立； x（1，+）时， ， ； 根据选项，只需讨论 a0 的情况； 当 a0 时，yxa 在 x（1，+）上单调递减， 则 xa（0，1）； 则 exxa，两边取 e 为底的对数，得：xalnx （x1）； 即 （x1） 设函数 ，则 ； 所以 h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减； 则 h（x）最大值h（e）e，即 ae； 故选：C 【点评】本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的 构造思想，对数的等价变形等，属于难题 二、填空题（本大题共
22、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1）， ， ，（2，1），（4，2）中的 2 个 点，则该抛物线的标准方程可以是 x28y 或 y2x 【分析】由题意可设抛物线方程为 y22px（p0）或 x22py（p0），然后分类求解 得答案 解：由题意可得，抛物线方程为 y22px（p0）或 x22py（p0） 若抛物线方程为 y22px（p0），代入（1，1），得 p ， 则抛物线方程为 y2x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意； 若抛物线方程为 x22py（p0），代入（2，1），得 p2， 则抛物线方程为 x28y，此时（2， ）在抛物线上，符
23、合题意 抛物线的标准方程可以是 x28y 或 y2x 故答案为：x28y 或 y2x 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题 14已知向量 （4，2）， （，1），若 2 与 的夹角是锐角，则实数 的取 值范围为 （1 ，2）（2，1 ） 【分析】 先求出 2 与 的坐标， 再根据 2 与 不共线， 且它们乘积为正值， 求出实数 的取值范围 解：向量 （4，2）， （，1）， 2 （4+2，4）， （4，1）， 若 2 与 的夹角是锐角，则 2 与 不共线，且它们乘积为正值， 即 ，且（ 2 ） （ ）（4+2，4） （4，1）20+422 0， 求得 1 1
24、，且 2， 故答案为：（1 ，2）（2，1 ） 【点评】 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角， 两个向量平行的性质， 两个向量坐标形式的运算，属于基础题 15若函数 f（x） ， ， 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ， 1）2e，+） 【分析】分四种情况讨论当 a0 时，当 0a2 时，当 a2 时，当 a2 时，图象使得 符合函数 f（x）有两个零点 解：当 a0 时，不满足题意， 当 0a2 时，要使函数函数 f（x）恰有 2 个零点，即 ， 当 a2 时，满足题意， 当 a2 时，a22a4，要使函数函数 f（x）恰有 2 个零点，即 ea0所以 ae， 综上所
25、述：实数 a 的取值范围是 ，1）2e，+） 故答案为： ，1）2e，+） 【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和 运算能力以及分类能力，属于中档题 162020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医 疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中， 为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫 前线工作者子女在线辅导功课现随机安排甲、乙、丙 3 名志愿者为某学生辅导数学、 物理、化学、生物 4 门学科，每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿者辅 导
26、，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 【分析】根据题意，由排列组合公式分析 3 名志愿者辅导 4 门学科的情况数目，在分析 其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案 解：根据题意，要求甲、乙、丙 3 名志愿者每名志愿者至少辅导 1 门学科，每门学科由 1 名志愿者辅导，则必有 1 人辅导 2 门学科； 则有 C42A336636 种情况， 若甲辅导数学，有 C32A22+C31A2212 种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ， 故答案为： 【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题 三、解答题（共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤第 172
27、1 题为 必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c且 sin（A+C） （1）若 ，求角 C 的大小 （2）若 AC 边上的中线 BM 的长为 2，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1） 由三角形的面积公式， 余弦定理化简已知等式可求 cosB ， 结合范围 B （0，），可得 B ，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 sin（C ）1，进而结 合范围 C（0，），可得 C 的值 （2）延长 BM 到 D，使得 BMMD，连接 AD，在ABD 中，由余弦定理，基本不等式 可求得 ac321
28、6 ，进而根据三角形的面积公式即可求解 解：（1）由于 sin（A+C） ， 可得：sinB ， 所以 ，可得 cosB ， 所以由 B（0，），可得 B ， 由 ，可得 sinBsinC ， 可得： sinC ， 可得 sinC1+cos（ C），可得 sin（C ）1， 因为 C（0，），可得 C （ ， ），可得 C ， 可得 C （2）延长 BM 到 D，使得 BMMD，连接 AD， 在ABD 中，有 ABc，ADa，BAD ， 由余弦定理可得 16a2+c22ac （ ），即 16a2+c2 ac， 可得 16 aca2+c22ac， 可得 ac3216 ， 当且仅当 ac2 2 时
29、取等号， 可得ABC 的面积 S acsinB ac84 ，当且仅当 ac2 2 时取等 号，即ABC 面积的最大值是 84 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基 本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应 用，属于中档题 18 如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1中， ABAC， AB3， AC4， 动点P满足 （0） ， 当 时，AB1BP （1）求棱 CC1的长； （2）若二面角 B1ABP 的大小为 ，求 的值 【分析】（1）以点 A 为坐标原点，AB，AC，AA1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标 系，利
30、用向量法能求出棱 CC1的长 （2）求出平面 PAB 的一个法向量，和平面 ABB1的一个法向量，由已知条件利用向量法 能求出 的值 解：（1）以点 A 为坐标原点，AB，AC，AA1分别为 x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系， 设 CC1m，则 B1（3，0，m）， B（3，0，0），P（0，4，m）， 所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ，2 分 当 时，有 ， ， ， ， 解得 ，即棱 CC1的长为 4 分 （2）设平面 PAB 的一个法向量为 （x，y，z）， 则由 ，得 ，即 ， 令 z1，则 ， 所以平面 PAB 的一个法向量为 ， ， ，6 分 又平面 ABB1与 y 轴垂直
31、，所以平面 ABB1的一个法向量为 ， ， ， 因二面角 B1ABP 的平面角的大小为 ， 所以|cos ， | | |， 结合 0，解得 10 分 【点评】本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法 的合理运用，是中档题 19网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润 如表所示： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代 号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 实体店 纯利润 y （千万） 2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2 根据这 9 年
32、的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.254； 根据后 5 年的数据，对 x 和 y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为 0.985； （1）如果要用线性回归方程预测该商场 2019 年实体店纯利润，现有两个方案： 方案一：选取这 9 年的数据，进行预测； 方案二：选取后 5 年的数据进行预测； 从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适 附：相关性检验的临界值表： n2 小概率 0.05 0.0 1 3 0.878 0.9 59 7 0.666 0.7 98 （2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的
33、 40%，既 开网店又开实体店的占调查总人数的 20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统 计的店主中随机抽查了 5 位，求只开实体店的人数的分布列及期望 【分析】（1）选取方案二更合适，理由是中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受 到了强烈的冲击，2019 年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经 不能作为预测后续数据的依据中相关系数|r|越接近 1，线性相关性越强， 根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值 0.9850.959，从而有 99%的把握认为 y 与 x 具有线性相关关系 （2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了 1 位，开网店的概率为 ，
34、开实体店的概率为 ，设只开实体店的店主人数为 ，则 0，1，2，3，4，5，B （5， ），由此能求出 的分布列和 E（） 解：（1）选取方案二更合适，理由如下： 中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击， 从表格中可以看出从 2014 年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势， 可以预见，2019 年的实体店纯利润收入可能会接着下跌， 前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据 相关系数|r|越接近 1，线性相关性越强， 根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值 0.9850.959， 有 99%的把握认为 y 与 x 具有线性相关关系 （2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主
35、中随机抽查了 1 位， 开网店的概率为 ，开实体店的概率为 ， 设只开实体店的店主人数为 ，则 0，1，2，3，4，5，B（5， ）， P（0） ， P（1） ， P（2） ， P（3） ， P（4） ， P（5） ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P B（5， ），E（）5 2 【点评】本题考查方案的确定，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查 线性回归方程、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中 档题 20已知点（1，e），（e， ）在椭圆上 C： 1（ab0），其中 e 为椭圆的 离心率 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 经过 C 的上
36、顶点且 l 与抛物线 M：y24x 交于 P，Q 两点，F 为椭圆的左焦 点，直线 FP，FQ 与 M 分别交于点 D（异于点 P），E（异于点 Q），证明：直线 DE 的 斜率为定值 【分析】（1）由椭圆过两个点及 e 与 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭 圆的方程； （2） 由题意可得直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 PF 的方程与抛物线联立求出两根之 和及两根之积， 可得点 D 的坐标， 同理可得 E 的坐标， 求出直线 DE 的斜率可得为定值 解：（1）由题意可得 解得：a22，b21， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）证明：由题意可得直线 l 的斜率
37、存在且不为 0，设直线 l 的方程为：ykx+1，设 P （x1，y1），Q（x2，y2）， 联立直线 l 与抛物线的方程 ， 整理可得： y 2y+10， 1k0 即 k1， 且 k0， y1+y2 ，y1y2 ， 由（1）可得左焦点 F（1，0），所以直线 FP 的方程为：y （x+1）， 联立直线 PF 与抛物线的方程： 整理可得：y2 y+40，所以 y1yD4，所以 yD ， 所以 D 的坐标（ ， ）， 同理可得：E 的坐标（ ， ）， 所以 kDE 1， 所以可证得直线 DE 的斜率为定值 1 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题 21设函数 f（x）ln
38、（x1）+ax2+x+1，g（x）（x1）ex+ax2 （1）若 a0，讨论 g（x）的零点个数； （2）证明：f（x）g（x） 【分析】（1）求导可得 g（x）x（ex+2a），然后分 a0 及 a0 讨论即可得出零点 个数； （2） 令 H （x） g （x） f （x） ， 连续求导后， 可得 ，且 ，结合 H（x0）1+x0x010，即可得证 解：（1）由题意，g（x）xex+2axx（ex+2a）， 当 a0 时，则函数 g（x）（x1）ex，此时函数 g（x）有唯一的零点 x1； 当 a0 时，令 g（x）0，易知当 x（，0）时，g（x）0，g（x）递减， 当 x（0，+）时，g
39、（x）0，g（x）递增， g（x）ming（0）1，故函数 g（x）最多有两个零点， 当 x0 时，可得 exe01 且 x10，故（x1）exx1， g（x）ax2+x1，故 x时，g（x）0， g（x）在（，0）有一个零点； 当 x0 时，g（1）a0，故 g（x）在（0，+）上有一个零点； 综上可知，当 a0 时，g（x）有唯一零点，当 a0 时，g（x）有两个零点； （2）证明：令 H（x）g（x）f（x）（x1）exln（x1）x1，x1，则 ， 令 ，可得 t（x）在（1，+）上是增函数，且 ， ， t（x）在（1，+）上有唯一零点 x0（1，2）， 当 x（1，x0）时，H（x）
40、0，H（x）递减，当 x（x0，+）时，H（x）0，H （x）递增， 故 ，且 ， H（x0）1+x0x010， H（x）H（x0）0，即得证 【点评】本题考查利用导数研究函数的零点以及不等式的证明，考查分类与整合思想， 转化思想等数学思想，考查运算求解，逻辑推理等数学能力，属于中档题 选考题(共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 C1的参数方程为 （t 为参数， 0） ， 曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C2的极坐标方程； （
41、2）设曲线 C1与曲线 C2的交点分别为 A，B，M（2，0），求|MA|2+|MB|2的最大值及 此时直线 C1的倾斜角 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 （2） 利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函 数性质的应用求出结果 解：（1）曲线 C2的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程 为（x+1）2+（y1）23 转换为极坐标方程为 2+2cos2sin10 （2）把直线 C1的参数方程为 （t 为参数，0），代入（x+1）2+ （y1
42、）23， 得到（2+tcos+1）2+（tsin1）23， 整理得 t22（sin+cos）t10， 所以 t1+t22（cos+sin），t1 t21， 则：|MA|2+|MB|2 4（1+2sincos）+24sin2+6，当 时， |MA|2+|MB|2的最大值 10 此时直线 C1的倾斜角为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 （选修 4-5） 23已知函数 f（x）|2x1|+|x+1| （1）求不等式
43、f（x）x+2 的解集； （2）若函数 yf（x）的最小值记为 m，设 a0，b0，且有 a+bm求 的 最小值 【分析】（1）将函数 f（x）化为分段函数的形式，再作出函数 f（x）的图象及函数 y x+2 的图象，观察图象即可得解； （2）易知 ，再利用柯西不等式即可求得最小值 解：（1） ， ， ， ， 作出函数 f（x）的图象及函数 yx+2 的图象如下， 由图可知，不等式的解集为0，1； （2）由图可知，函数 yf（x）的最小值为 ，即 ， ， ， ，当且仅 当“ ”时取等号， 的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值，考查数形结合思想 及计算能力，属于基础题
