1、第十三讲 概率初步 日常生活中， 我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情， 比如抛掷一枚硬币出 现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件， 它们的结果都有不确定性，是无法预知的 尽管无法预知结果， 但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性 的大小，例如： 今天乌云密布，那么明天很有可能下雨； 中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小； 一次投掷 10 枚硬币，出现 10 个正面的可能性非常小 为了能够更准确的描述这种 “可能性的大小” ， 法国数学家费马和帕斯卡在 17 世纪 创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学 （当时他们通过信件讨论
2、了社会 上的两个热点问题掷骰子问题和比赛奖金分配问题） 概率基本概念 概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出 现的可能性相同，所以概率均为；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所 以概率均为 概率是 01 之间用来表示事件可能性大小的一个数值 关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷 1 枚硬币，正面出现的概率为，并 不是说投掷 2 次一定会有 1 次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面 虽然投掷 2 次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比 例越接近一半（例如无论谁投掷 10000 次硬币，正面出现的比例都会很接近 0.5） （这 个
3、特点在概率论中被称为大数定律） 换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性基于此，在 17 世纪概率刚 创始的年代，人们提出了古典概率模型 古典概率模型 古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况 总量”除以“全部情况数量”即可 古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个全部情况的数量是有限个 ” ，下面我们先用几个 简单例子来看一下古典概型的用法： 1A、B、C 排成一排，共有 6 种排法，其中 A 占排头的方法共 2 种，所以 A 站排 头的概率是 2从 3 个男生、2 个女生中，随意选出 2 个人去参加数学竞赛，共有 10 种方法， 其中选出
4、2 个男生的方法数有 3 种，所以选出 2 个男生的概率是 33 个男生、2 个女生站成一排照相共有 120 种站法，其中女生互不相邻的站法 共 72 种，所以 3 男、2 女站成一排，女生互不相邻的概率是 上面的例子都比较简单， 因为计算概率所需要的两个数都非常好算， 接来下我们再 看几个例子， 从这几个例子中， 大家要能体会到古典概型的第二个重要条件等可能等可能 性性 4从 10 个红球、1 个白球中，随意的取出 1 个球，取到红球的概率是 5投掷两枚硬币，出现 2 个正面的概率是，出现 1 正 1 反的概率是，出现 2 反的概率是 6从 3 个红球、2 个白球中，随意取出 2 个球，取到
5、 2 个红球的概率是 例 4 比较简单， 在例 5 中， 从硬币的结果看，只有 3 种情况 “2 正、 1 正 1 反、 3 10 1 4 1 2 1 4 10 11 3 5 3 10 1 3 它所包含的等可能情况数量 某一随机事件发生的概率 全部等可能情况的数量 1 2 1 2 1 6 1 2 2 反” ，但概率都不是，因为这 3 种结果出现的可能性不同，给硬币编上 A 和 B，那 么出现 1 正 1 反有两种情况 “A 正 B 反、 A 反 B 正” ， 而 2 正和 2 反都只有 1 种情况 （投 掷 2 枚硬币共 4 种情况） 而例 6 和例 2 是相同的题目（把红球换成男生，白球换成
6、女生即可） 从这 3 个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果 必须是“等可能”才行（例 4 的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等） 为了 计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例 4，假设红球是 1 号 到 10 号，白球是 11 号，那么显然共有 11 种不同取法，其中有 10 种取到红球，所以概 率是 例题1. 4 个男生、 2 个女生随机站成一排照相， 请问：（1） 女生恰好站在一起的概率是多少？ （2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？ 分析分析对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？ 练习 1、关羽、张
7、飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问： （1）关羽站 在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰 好隔着一个人的概率是多少？ 例题2. 一个不透明的袋子里装着 2 个红球，3 个黄球和 4 个黑球从口袋中任取一个球， 请问： （1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多 少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？ 分析分析首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数 练习 2、北京数学学校从集训队中随机选出 3 个人去参加比赛，已知集训队中共有 4 个男生、3 个女生，请问： （1）选出 3
8、个男生的概率是多少？（2）选出 2 男 1 女的 概率是多少？ 10 11 1 3 例题3. 一次投掷两个骰子，请问： （1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点 数和为 5 的概率是多少？（3）两个骰子点数差是 1 的概率是多少？ 分析分析骰子是一个正方体，每个面上的点数从 1 到 6，可以按题目要求枚举一些 情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案 练习 3、一次投掷 3 枚硬币，请问： （1）出现 3 个正面的概率是多少？（2）出现 1 正 2 反的概率是多少？ 例题4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各 1 个，现在从两个盒子中 各取一个球，那么它们同色的概率
9、是多少？不同色的概率是多少？ 分析分析任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？ 练习 4、 一个不透明的袋子里装着 2 个红球、 3 个黄球和 4 个黑球 从中任取两个球， 请问：取出 2 个黑球的概率是多少？取出 1 红 1 黄的概率是多少？取出 1 黄 1 黑的 概率是多少？ 概率的独立性 如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如： A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的； 甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的； 如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生 概率的乘积 例题5. 神射手和神枪手两人打靶， 已知他们的命中率分
10、别为 0.8 和 0.9， 他们每人开一枪， 那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？ 分析分析理解概率独立性，根据独立性解题即可 需要分步计算的概率问题 有些随机事件， 在发生时有先后顺序， 这时在计算概率时需要分步计算， 这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如： 一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各 2 个， 从中先取出 1 个球， 然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽 到黑球的概率是，所以两次都抽到黑球的概率是 在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球无放回拿球 ”和“有放回拿球有放回拿球 ” 的区别，它关系到每步的概率计算结果例如：
11、一个盒子中装有形状大小相 同的黑球和白球各 2 个，从中先取出 1 个球，然后把它放回去，再从盒子中 取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是 例题6. 3 个人进行抽签， 已知 3 个签中只有一个写有 “中奖” ， 3 个人先后抽取， 那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？ 分析分析分步计算概率即可 111 224 111 236 1 3 1 2 小概率事件之买彩票 彩票市场产生于 16 世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行发展 到今天，世界上已经有 139 个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班 牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、
12、香港、韩国、新加坡、 印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等 发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的各国、各地区的集资目的多种多样，社会 福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标以合法形式、公平原则，重新分配社会的 闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值 目前，彩票的种类随着社会的发展而发展在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票 类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、 即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的 局面2011 年，全国彩票销售规模首次突破了 2000 亿元，达到 2215 亿元，彩票公益金筹 集量达 634 亿元1987 年到
13、 2011 年，我国累计销售彩票达 10951 亿元，累计筹集彩票公益 金 3433 亿元 在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票： 福利彩票：福利彩票是指 1987 年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票福利彩票 早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐） 、乐透型彩票（如 双色球、36 选 5）和数字型彩票(如 3D)三种，后两种均是电脑型彩票 体育彩票：体育彩票是指由 1994 年 3 月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票其 种类主要有即开型彩票（如顶呱刮） 、乐透型彩票(如大乐透、22 选） 截止到 2013 年世界上中得彩票最大额为一个美国 80 多岁的
14、老太太，独中 5.9 亿美元 作业 1. 在一只口袋里装着 4 个红球，5 个黄球和 6 黑球从口袋中任取一个球，请问： （1）这个球是红球的概率有多少？ （2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？ （3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？ 2. 小高与墨莫做游戏：由小高抛出 3 枚硬币，如果抛出的结果中，有 2 枚或 2 枚以上的硬 币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜请问这个游戏公平吗？ 3. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为 0.3，他们每人开一枪，那么他们都 命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？ 4. 连续抛掷 2 个骰子如果已知点数之和大于 9，
15、那么点数之和是 12 的概率有多大？ 5. 6 名小朋友在操场上做游戏他们被老师分成 3 组，每组 2 个人请问：赵倩和孙莉恰 好分到了同一组的概率是多少？ 第十三讲 概率初步 例题：例题： 例1 答案： （1） 1 3 ； （2） 2 3 ； （3）0 详解：若没有任何要求共有 6 6 A种排法， （1）捆绑法：两个女生捆绑当作一人和其他 4 名男生一起排队共 5 5 A种排法，两个女生可互换位置，所以女生站一起的概率是 5 5 6 6 21 3 A A ； （2）总的情况去掉（1）问的情况的即可，所以 12 1 33 ，该问用插空法也 可以； （3）男生无法互不相邻，所以该问概率为 0 例
16、2 答案： （1） 2 9 ； （2） 7 9 ； （3）0、1 详解：共有 9 个球每个球都有可能被取到（1）红球的数量是 2 个，所以取到红球的概 率是 2 9 ； （2）排除法可得： 27 1 99 ； （3）没有绿球，所以绿球出现的概率是 0一定 不是绿球，概率是 1 例3 答案： （1） 1 6 ； （2） 1 9 ； （3） 5 18 详解： （1）两个骰子点数共有6636种情况，其中相同的情况有 6 种，所以概率为 1 6 （2）和为 5 可以是 1+4、2+3、3+2、4+1，共四种，概率为 1 9 ， （3）按第一个骰子的点 数分类，第一个骰子点数为 16 时，第二骰子的点数
17、依次有 1、2、2、2、2、1 种情况 所以概率为 5 18 例4 答案： 1 3 ； 2 3 详解：两个盒子各取一个球放在一起有 33=9 种取法，同色的情况有黑黑、白白、黄 黄三种，所以，同色概率为三分之一，不同色为 1 1 3 = 2 3 例5 答案：0.72；0.02 详解：他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即0.80.90.72；都没命中 的概率是他们分别没命中的概率的乘积，即0.1 0.20.02 例6 答案：一样大 详解：先计算第一个人的中奖概率为 1 3 ，再计算第二个人中奖的概率，首先第一个人要 没有中奖概率为 2 3 ，此时第二个人抽中的概率为 1 2 ，所以，第
18、二个人中奖的概率为 211 323 ，综上，两个人中奖的概率一样大 练习练习： 1. 答案：0.2；0.4；0.3 简答： 45 45 0.2AA； 425 425 ()0.4AAA； 2. 答案： 4 35 ； 18 35 简答：共有七人选出 3 人的的选法总数是 3 7 765 35 32 1 C 种， （1）选出 3 男有 4 种选法，所以，概率为 4 435 35 ； （2）2 男有 6 种选法，1 女有 3 种选法，2 男 1 女共有 18 种选法，所以，概率为 18 35 3. 答案： 1 8 ； 3 8 简答： （1）每枚硬币出现正面的概率为 1 2 ，3 个正面的概率是 111
19、1 2228 ， （2） 投掷 3 枚硬币可能的情况有： 正正正、 正正反、 正反正、 正反反、 反正正、 反正反、 反反正、反反反，共 8 种，其中 1 正 2 反的次数是 3 次，所以，概率为 3 8 4. 答案： 1 6 ； 1 6 ； 1 3 简答：任取 2 球，取法总数为 2 9 36C 种，其中 2 黑的取法有 2 4 6C 种，1 红 1 黑 取法有 23=6 种，1 黄 1 黑有 34=12 种，所以，概率为 1 6 ， 1 6 ， 1 3 作业作业： 6. 答案： （1）； （2）； （3） 简答： （1）任取一个球，全部情况的数量是 15，取到红球的数量是 4，所以概率是；
20、 （2）取到黄球或黑球的数量是 11，所以概率是； （3）任取两个球，全部情况的数 量是，取到两个红球的数量是，所以概率是 7. 答案：公平 简答：每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是，按照这个游戏规则，小高获胜的 概 率 是 ：， 墨 莫 获 胜 的 概 率 是 ，这个游戏对于小高和墨莫来说，获胜的概率都是 一样的，所以这个游戏是公平的. 1235 3235 ()0.3CAAA 1 3 111111311 222222882 C 2 3 111111311 222222882 C 1 2 2 6 105 35 2 4 6C 2 15 105C 11 15 4 15 2 35 11 15 4 15 8. 答案：0.09；0.49 简答：； 9. 答案： 简答：点数和大于 9 的情况有 6 种： （4，6） 、 （5，5） 、 （5，6） 、 （6，4） 、 （6，5） 、 （6， 6） 其中和为 12 的概率为 10. 答案：1/5 简答：赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是 1/5，所以赵倩与孙莉分到一起的概 率是 1/5 1 6 1 6 0.70.70.49 0.3 0.30.09
