1、北师大版北师大版 2019-2020 学年八年级（下）期中数学试卷学年八年级（下）期中数学试卷一一 姓名姓名 座号座号 题号 一 二 三 总分 得分 考后反思（我思我进步） ：考后反思（我思我进步） ： 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1将分式中的 x、y 扩大为原来的 3 倍，则分式的值为（ ） A不变 B扩大为原来的 3 倍 C扩大为原来的 9 倍 D减小为原来的 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ） Ax2xx（x1） Ba（ab）a2ab C（a+3）（a3）a29
2、Dx22x+1x（x2）+1 4已知：直线 AB 和 AB 外一点 C 作法：（1）任意取一点 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁 （2）以 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E （3）分别以 D 和 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F （4）作直线 CF，直线 CF 就是所求的垂线 这个作图是（ ） A平分已知角 B作一个角等于已知角 C过直线上一点作此直线的垂线 D过直线外一点作此直线的垂线 5下列分式中，最简分式是（ ） A B C D 6如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从 A 出发爬到 B，则（ ） A乙比甲先到 B甲比乙先到
3、C甲和乙同时到 D无法确定 7给出以下两个定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 应用上述定理进行如下推理，如图，直线 l 是线段 MN 的垂直平分线 点 A 在直线 l 上， AMAN（ ） BMBN， 点 B 在直线 l 上（ ） CMCN，点 C 不在直线 l 上 这是因为如果点 C 在直线 l 上，那么 CMCN（ ） 这与条件 CMCN 矛盾 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A B C D 8 如图所示， 在 RtACD 和 RtBCE中， 若ADBE， DCEC， 则无法得出的结论是 （ ）
4、AOAOB BE 是 AC 的中点 CAOEBOD DAEBD 9如图，DEF 是由ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A（1，1） B（0，1） C（1，1） D（2，0） 10在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点， 当PCE 的周长最小时，P 点的位置在（ ） AA 点处 BD 点处 CAD 的中点处 DABC 三条高的交点处 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是 cm 12当 x 时，分式的值为零 13如图，点 P
5、是AOB 的角平分线上一点，过点 P 作 PCOA 交 OB 于点 C，过点 P 作 PDOA 于点 D，若AOB60，OC4，则 PD 14化简：（1）a 15如图，在 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE45，将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到ACF，连接 DF，下列结论中：DAF45 ABEACDAD 平分EDFBE2+DC2DE2；正确的有 （填序号） 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16（14 分）（1）解不等式组，并在数轴上表示出解集： （2）分解因式： x（xy）y（yx） 12x3+12x2y3xy2 17（11 分）（1）计
6、算：（）2（） （2）先化简，再求值：（ +），其中 a2 18（6 分）作图题：如图，在边长为 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点和点 D 都在 小方格的顶点上，请按要求作图 （1）平移ABC，使点 A 平移到点 D，得到DEF； （2）请写出第（1）小题平移的过程 19（6 分）分解因式 x24y22x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公 式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式 就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： x24y22x+4y（x+2y）（x2y）2（x2y）（x2y）（x+2y2）这种分解因式 的方法叫分组分解法，利
7、用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：a24ab2+4； （2）ABC 三边 a，b，c 满足 a2abac+bc0，判断ABC 的形状 20（8 分）如图，ABC 为等边三角形，BADACFCBE，求DEC 的度数 21（8 分）如图，小明的家位于一条南北走向的河流 MN 的东侧 A 处，某一天小明从家出 发沿南偏西 30方向走 60m 到达河边 B 处取水，然后沿另一方向走 80m 到达菜地 C 处 浇水，最后沿第三方向走 100m 回到家 A 处问小明在河边 B 处取水后是沿哪个方向行 走的？并说明理由 22（10 分）数学活动问题情境： 如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC90
8、，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090）得到ADE，连接 CE，BD探 究 CE与 BD的数量关系； 探究发展： （1）图 1 中，猜想 CE与 BD的数量关系，并证明； （2）如图 2，若将问题中的条件“D，E 分别是边 AB，AC 的中点”改为“D 为 AB 边上 任意一点，DEBC 交 AC 于点 E“，其他条件不变，（1）中 CE与 BD的数量关系 还成立吗？请说明理由； 拓展延伸： （3）如图 3，在ABC 中，ABAC，BAC60，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DEBC，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 60得到ADE，连接 C
9、E，BD，请你 仔细观察，提出一个你最关系的数学问题（例如：CE与 BD相等吗？） 23（12 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，AB20，BC15，点 D 为 AC 边上的 动点，点 D 从点 C 出发，沿 CA 往 A 运动，当运动点 A 时停止，若设点 D 运动的时间为 t 秒，点 D 运动的速度为每秒 2 个单位长度 （1）当 t2 时，求 CD、AD 的长 （2）在 D 运动过程中，CBD 能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求 出 t 的值； （3）求当 t 为何值时，CBD 是等腰三角形？请直接写出 t 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每
10、小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1将分式中的 x、y 扩大为原来的 3 倍，则分式的值为（ ） A不变 B扩大为原来的 3 倍 C扩大为原来的 9 倍 D减小为原来的 【分析】x，y 都扩大为原来的 3 倍就是分别变成原来的 3 倍，变成 3x 和 3y用 3x 和 3y 分别代替式子中的 x 和 y，看得到的式子与原来的式子的关系 【解答】解：用 3x 和 3y 分别代替式子中的 x 和 y 得：3， 则分式的值扩大为原来的 3 倍 故选：B 【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
11、 ） A B C D 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形， 以及轴对称图形的定义即可判断出 【解答】解：A、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也 是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图 形，故此选项错误； C、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故 此选项错误； D、 此图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形， 不是轴对称图形， 故此选项错误 故选：A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义
12、，根据定义得出图形形状是解决 问题的关键 3下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ） Ax2xx（x1） Ba（ab）a2ab C（a+3）（a3）a29 Dx22x+1x（x2）+1 【分析】根据因式分解的意义求解即可 【解答】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 A 符合题意； B、是整式的乘法，故 B 不符合题意； C、是整式的乘法，故 C 不符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键 4已知：直线 AB 和 AB 外一点 C 作法：（1）任意取一点 K，使 K 和 C 在
13、 AB 的两旁 （2）以 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E （3）分别以 D 和 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F （4）作直线 CF，直线 CF 就是所求的垂线 这个作图是（ ） A平分已知角 B作一个角等于已知角 C过直线上一点作此直线的垂线 D过直线外一点作此直线的垂线 【分析】利用基本作图（过一点作直线的垂线）进行判断 【解答】解：利用作法得 CFAB， 所以这个作图为过直线外一点作此直线的垂线 故选：D 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是
14、熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 5下列分式中，最简分式是（ ） A B C D 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断的方法是把 分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化 化为相同的因式从而进行约分 【解答】解：A、，不是最简分式，错误； B、 ，不是最简分式，错误； C、不能化简，是最简分式，正确； D、 ，不是最简分式，错误； 故选：C 【点评】此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为 相反数的因式是比较易忽视的问题在解题中一定要引起注意 6如图，两
15、只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从 A 出发爬到 B，则（ ） A乙比甲先到 B甲比乙先到 C甲和乙同时到 D无法确定 【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论 【解答】解：甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同， 两只蚂蚁同时到达 故选：C 【点评】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解 题的关键 7给出以下两个定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 应用上述定理进行如下推理，如图，直线 l 是线段 MN 的垂直平分线 点 A 在直线 l 上，
16、 AMAN（ ） BMBN， 点 B 在直线 l 上（ ） CMCN，点 C 不在直线 l 上 这是因为如果点 C 在直线 l 上，那么 CMCN（ ） 这与条件 CMCN 矛盾 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A B C D 【分析】本题是一道阅读理解题，考查对线段的垂直平分线的性质与判定的区分，解答 时一定要认真阅读文字，正确写出理由 【解答】解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填； 第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填； 应用了垂直平分线的性质，填 应所以填， 故选：D 【点评】本题考查了垂直平分线的性质及判定；前提是在线段垂直平分线上，
17、应使用性 质；最后得到线段垂直平分线，应使用判定，分清这点是正确解答本题的关键 8 如图所示， 在 RtACD 和 RtBCE中， 若ADBE， DCEC， 则无法得出的结论是 （ ） AOAOB BE 是 AC 的中点 CAOEBOD DAEBD 【分析】 根据题意和全等三角形的全等及其性质， 可以判断各个选项中的结论是否成立， 从而可以解答本题 【解答】解：在 RtACD 和 RtBCE 中， ， RtACDRtBCE（HL）， ACBC，AB， AEBD，故选项 D 正确， 在AOE 和BOD 中， ， AOEBOD（AAS），故选项 C 正确， OAOB，故选项 A 正确， 点 E 不
18、一定是 AC 的中点，故选项 B 错误， 故选：B 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三 角形的性质与判定解答 9如图，DEF 是由ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A（1，1） B（0，1） C（1，1） D（2，0） 【分析】 利用旋转的性质， 旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上， 则作线段 AD、 BE、FC 的垂直平分线，它们相点 P（0，1）即为旋转中心 【解答】解：作线段 AD、BE、FC 的垂直平分线，它们相交于点 P（0，1），如图， 所以DEF 是由ABC 绕着点 P 逆时针旋转 90得到的 故选：B 【点评】本题
19、考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60， 90，180解决本题的关键是利用旋转的性质确定旋转中心 10在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点， 当PCE 的周长最小时，P 点的位置在（ ） AA 点处 BD 点处 CAD 的中点处 DABC 三条高的交点处 【分析】连接 BP，根据等边三角形的性质得到 AD 是 BC 的垂直平分线，根据三角形的 周长公式、两点之间线段最短解答即可 【解答】解：连接 BP， ABC 是等边三角形，D 是 B
20、C 的中点， AD 是 BC 的垂直平分线， PBPC， PCE 的周长EC+EP+PCEC+EP+BP， 当 B、E、E 在同一直线上时， PCE 的周长最小， BE 为中线， 点 P 为ABC 的重心，即也是ABC 的三条高的交点， 故选：D 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的 交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是 （a+4） cm 【分析】直接利用完全平方公式得出答案 【解答】解：一个正方形的
21、面积是（a2+8a+16）（a+4）2cm2， 此正方形的边长是：a+4 故答案为：a+4 【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键 12当 x 3 时，分式的值为零 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出 x 的值 【解答】解：由分式的值为零的条件得：|x|30，x30， 解得：x3 故答案为：3 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，注意掌握若分式的值为零，需同时具备两个 条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0这两个条件缺一不可 13如图，点 P 是AOB 的角平分线上一点，过点 P 作 PCOA 交 OB 于点 C，过点 P 作 PDOA 于点 D，若AOB
22、60，OC4，则 PD 2 【分析】 在OCP 中， 由题中所给的条件可求出 OP 的长， 根据直角三角形的性质可知， 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故 PDOP 【解答】解：AOB60，点 P 是AOB 的角平分线上一点， PODPOC30， 又PCOA， PCBAOB60，POC30， PCO18060120， POCOPC30， OCP 为等腰三角形， OC4，PCE60， PC4，CE2，PE2， 可求 OP4， 又PDOP， PD2 故答案为 2 【点评】本题主要考查角平分线和等腰三角形的判定及计算技巧借助于角平分线和等 腰三角形求解角的
23、度数和边长从而求得最后结果 14化简：（1）a a1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分即可得到结果 【解答】解：原式a（a+1）a1， 故答案为：a1 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15如图，在 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE45，将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到ACF，连接 DF，下列结论中：DAF45 ABEACDAD 平分EDFBE2+DC2DE2；正确的有 （填序号） 【分析】根据旋转的性质可得出BAECAF，由BAC90、DAE45可 得出CAD+C
24、AF45，即可判断； 根据旋转的性质可得出BAECAF，不能推出BAECAD，即可判断； 根据DAEDAF45，根据角平分线定义即可判断； 根据全等三角形的判定求出AEDAFD，推出 DEDF，求出DCF90，根 据勾股定理推出即可 【解答】解：在 RtABC 中，ABAC， BACB45， 由旋转，可知：CAFBAE， BAD90，DAE45， CAD+BAE45， CAF+BAEDAF45，故正确； 由旋转，可知：ABEACF，不能推出ABEACD，故错误； EADDAF45， AD 平分EAF，故正确； 由旋转可知：AEAF，ACFB45， ACB45， DCF90， 由勾股定理得：CF
25、2+CD2DF2， 即 BE2+DC2DF2， 在AED 和AFD 中， ， AEDAFD（SAS）， DEDF， BE2+DC2DE2， 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角 形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16（14 分）（1）解不等式组，并在数轴上表示出解集： （2）分解因式： x（xy）y（yx） 12x3+12x2y3xy2 【分析】（1）根据解不等式，可得每个不等式的解集，根据不等式组的解集是不 等式的公共部分，可得答案 （2）根据提公因式法，可分解因式； 首先提
26、取公因式3x，再利用完全平方公式进行分解即可 【解答】解：（1）， 解不等式，得 x1， 解不等式，得 x4， 在数轴上表示如图 ， 故不等式组的解集是 x1 ， 解不等式，得 x1， 解不等式，得 x2， 在数轴上表示如图 故不等式组的解集是1x2 （2）x（xy）y（yx）（xy）（x+y）； 12x3+12x2y3xy2 3x（4x24xy+y2） 3x（2xy）2 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提 取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解， 同时因式分解要彻底， 直到不能分解为止 同 时考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集 17
27、（11 分）（1）计算：（）2（） （2）先化简，再求值：（ +），其中 a2 【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出即可； （2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可 【解答】解：（1）原式（） ； （2）原式 ， 当 a2时，原式 【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关 键，注意运算顺序 18（6 分）作图题：如图，在边长为 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点和点 D 都在 小方格的顶点上，请按要求作图 （1）平移ABC，使点 A 平移到点 D，得到DEF； （2）请写出第（1）小题平移的过程
28、【分析】（1）根据平移变换的性质可得； （2）由平移前后对应点的位置即可得 【解答】解：（1）如图所示：DEF 即为所求； （2）由图知，需将ABC 向右平移 6 个单位，向下平移 2 个单位 【点评】本题主要考查平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质 19（6 分）分解因式 x24y22x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公 式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式 就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： x24y22x+4y（x+2y）（x2y）2（x2y）（x2y）（x+2y2）这种分解因式 的方法叫分组分解法，利用这种方法解
29、决下列问题： （1）分解因式：a24ab2+4； （2）ABC 三边 a，b，c 满足 a2abac+bc0，判断ABC 的形状 【分析】（1）应用分组分解法，把 a24ab2+4 分解因式即可 （2）首先应用分组分解法，把 a2abac+bc0 分解因式，然后根据三角形的分类方 法，判断出ABC 的形状即可 【解答】解：（1）a24ab2+4 a24a+4b2 （a2）2b2 （a+b2）（ab2） （2）a2abac+bc0， a（ab）c（ab）0， （ab）（ac）0， ab0 或 ac0， ab 或 ac， ABC 是等腰三角形 【点评】 此题主要考查了因式分解的方法和应用， 要熟练
30、掌握， 注意分组分解法的应用 20（8 分）如图，ABC 为等边三角形，BADACFCBE，求DEC 的度数 【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABACBC，BACABCACB， BADACFCBE， BACBADABCCBEACBACF， CAFABEBCE， ACFCBEBAD（ASA）， AFBDCE，ADBECF， ADAFBEBDCFCE， DFDEEF， DEF 是等边三角形， DEFDFEEDF60， 点 C、点 F、点 E 三点共线， DEC120 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质
31、和全等三角 形的判定和性质解答 21（8 分）如图，小明的家位于一条南北走向的河流 MN 的东侧 A 处，某一天小明从家出 发沿南偏西 30方向走 60m 到达河边 B 处取水，然后沿另一方向走 80m 到达菜地 C 处 浇水，最后沿第三方向走 100m 回到家 A 处问小明在河边 B 处取水后是沿哪个方向行 走的？并说明理由 【分析】 首先根据勾股定理逆定理得出ABC90， 然后再判断 ADNM， 可得NBA BAD30，再根据平角定义可得MBC180903060，进而得到答 案 【解答】解：AB60，BC80，AC100， AB2+BC2AC2， ABC90， ADNM， NBABAD30
32、， MBC180903060， 小明在河边 B 处取水后是沿南偏东 60方向行走的 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长 a，b，c 满 足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 22（10 分）数学活动问题情境： 如图 1，在ABC 中，ABAC，BAC90，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（090）得到ADE，连接 CE，BD探 究 CE与 BD的数量关系； 探究发展： （1）图 1 中，猜想 CE与 BD的数量关系，并证明； （2）如图 2，若将问题中的条件“D，E 分别是边 AB，AC 的中点”改为“D 为
33、 AB 边上 任意一点，DEBC 交 AC 于点 E“，其他条件不变，（1）中 CE与 BD的数量关系 还成立吗？请说明理由； 拓展延伸： （3）如图 3，在ABC 中，ABAC，BAC60，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DEBC，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 60得到ADE，连接 CE，BD，请你 仔细观察，提出一个你最关系的数学问题（例如：CE与 BD相等吗？） 【分析】（1）如图 1 中，结论：CEBD只要证明DABEAC 即可； （2）结论不变，证明方法类似； （3）结论：DABEAC，DDBDEC，BDDCDE， 四边形 ADDE 是菱形（答案不唯一） 【解答】解：（1）
34、如图 1 中，结论：CEBD 理由：ABAC，ADDB，AEEC， ADAE，ADAE，DAEBAC90， DABEAC， 在DAB 和AC 中， ， DABEAC， BDCE （2）如图 2 中，结论不变 理由：ABAC， ABCACB， DEBC， ADEABC，AEDACB， ADEAED， ADAE，ADAE，DAEBAC90， DABEAC， 在DAB 和AC 中， ， DABEAC， BDCE （3）如图 3 中，结论：DABEAC，DDBDEC，BDD CDE，四边形 ADDE 是菱形（答案不唯一） 理由：ADE，ADD，ABC 都是等边三角形， DAAD，DABDAC60，AB
35、AC， DABDAC 由 DDDE，DDBDEC120BDEC， 可得DDBDEC， BDDCDE， ADDDDEAE， 四边形 ADDE 是菱形 【点评】本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考 压轴题 23（12 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，AB20，BC15，点 D 为 AC 边上的 动点，点 D 从点 C 出发，沿 CA 往 A 运动，当运动点 A 时停止，若设点 D 运动的时间为 t 秒，点 D 运动的速度为每秒 2 个单位长度 （1）当 t2 时，求 CD、AD
36、的长 （2）在 D 运动过程中，CBD 能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求 出 t 的值； （3）求当 t 为何值时，CBD 是等腰三角形？请直接写出 t 的值 【分析】（1）根据 CD速度时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出 AC，再 根据 ADACCD 代入数据进行计算即可得解； （2）分CDB90时，利用ABC 的面积列式计算即可求出 BD，然后利用勾股定 理列式求解得到 CD，再根据时间路程速度计算；CBD90时，点 D 和点 A 重合，然后根据时间路程速度计算即可得解； （3）分CDBD 时，过点 D 作 DEBC 于 E，根据等腰三角形三线合一的性质可得 CEB
37、E，从而得到 CDAD；CDBC 时，CD6；BDBC 时，过点 B 作 BF AC 于 F，根据等腰三角形三线合一的性质可得 CD2CF，再由（2）的结论解答 【解答】解：（1）t2 时，CD224， ABC90，AB20，BC15， AC25， ADACCD25421； （2）CDB90时，SABCACBDABBC， 即25BD2015， 解得 BD12， 所以 CD9， t924.5（秒）； CBD90时，点 D 和点 A 重合， t25212.5（秒）， 综上所述，t4.5 或 12.5 秒； （3）CDBD 时，如图 1，过点 D 作 DEBC 于 E， 则 CEBE， CDADAC2512.5， t12.526.25； CDBC 时，CD15，t1527.5； BDBC 时，如图 2，过点 B 作 BFAC 于 F， 则 CF9， CD2CF9218， t1829， 综上所述，t6.25 或 7.5 或 9 秒时，CBD 是等腰三角形 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角 形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观
