1、20202020 年高三年级第三次诊断性测试理科数学年高三年级第三次诊断性测试理科数学试卷试卷 （卷面分值：150 分；考试时间：120 分钟） 注意事项： 1. 本卷分为问卷（4 页）和答卷（4 页） ，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2. 答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2 |20Ax xx， 3 |log1Bxx，则AB （ ） A. 1,2 B. 0,1 C. 0,2 D. 1,3 2. 已
2、知复数z满足1 1 z i z （其中i是虚数单位） ，则1 z（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3. 方程ln40xx 的实根所在的区间为（ ） A. 1,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 4,5 4. 已知 4 sin 45 x ，则sin2x （ ） A. 16 25 B. 16 25 C. 7 25 D. 7 25 5. 已知l，m，n为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. lm，ln，且,m n，则l B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则/ / C. 若m，mn，则/n D. 若/mn，n，则m 6. 有6名男医生、 5名女医
3、生， 从中选出2名男医生、 1名女医生组成一个医疗小组， 则不同的选法共有 （ ） A. 60 种 B. 70 种 C. 75 种 D. 150 种 7. 把函数 sin 6 fxx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到图象 上所有点向右平移 6 个单位长度，得到函数 g x的图象.则下列命题正确的是（ ） A. 函数 g x在区间, 44 kk ，kZ上单调递减 B. 函数 g x在区间, 63 kk ，kZ上单调递增 C. 函数 g x的图象关于直线 2 k x ，kZ对称 D. 函数 g x的图象关于点,0 23 k ，kZ对称 8. 周髀算经中有这样
4、一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、 立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之 和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ） A. 5.5 尺 B. 4.5 尺 C. 3.5 尺 D. 2.5 尺 9. 函数 2 sinln1f xxxx 的大致图象为（ ） A. B. C. D. 10. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧 拉定理可表示为：顶点数表面数棱长数2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形
5、面组成 的凸多面体，例如富勒烯 60 C（结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有 60 个顶点和 32 个面， 其中 12 个为正五边形， 20 个为正六边形.除 60 C外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有 28 C， 32 C， 50 C， 70 C， 84 C， 240 C， 540 C，等，则 84 C结构含有正六边形的个数为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 11. 过双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，2QPPF，若 0OP FQ，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. 7 D. 10 12. 若
6、函数 f x满足 lnf xx fxx，且 11 f ee ，则函数 f x（ ） A. 既无极大值又无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 有极大值无极小值 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为 选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知向量a为单位向量，1,1b ，且0abR，则_. 14. 已知等腰直角三角形OAB的直角顶点O位于原点，另外两个顶点在抛物线 2 6yx上，则OAB的 面积是_. 15. 甲
7、、乙、丙、丁四个人背后有 4 个号码，赵同学说：甲是 2 号，乙是 3 号；钱同学说：丙是 2 号，乙是 4 号；孙同学说：丁是 2 号，丙是 3 号；李同学说：丁是 1 号，乙是 3 号，他们每人都只说对了一半，则丙 背后的号码是_. 16. 已知数列 n a前n项和为 n S，且 2 1 23 nn SSnn ，若 1nn aa ，则首项 1 a的取值范围是_. 三、解答题：第 17-21 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. 17. 在ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ABC的面积 1 4 Sabc，且 2 sinsin2 sinsi
8、n2 sinbBaABCC. （）求角A的大小； （）求ABC面积的最大值. 18. 如图在正方体 1111 ABCDA B C D中，E，F分别是BC，CD的中点，M，N在 1 DD上，且 1 D MMNND. （）证明/MF平面 1 B EN； （）求平面 1 B EN与底面ABCD所成锐二面角的余弦值. 19. “网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了 100 名男性和 100 名女性在“双十一” 活动中用于网购的消费金额，数据整理如下： 男性消费金额频数分布表 消费金额 （单位：元） 0500 5001000 10001500 15002000 20003000 人数
9、15 15 20 30 20 （）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额； （）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过 200 元的消费称作理性消费，试问是否有 5 成 以上的把握认为理性消费与性别有关. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 20. 已知函数 20 x f xa xea. （）求函数 f x的最值； （）当2x时， 2 6f xxx，求实数a的取值范围. 21. O为坐标原点，椭圆C： 22 2
10、2 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 ，椭圆C的右顶点为A.设M，N是 C上位于第二象限的两点，且满足/ONAM，Q是弦AM的中点，射线OQ与椭圆交于点P. （）求证：直线OQ与直线AM斜率的乘积为 1 2 ； （）若 22 9OPON，求椭圆C的标准方程. 选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上托所选题目的题号涂黑. 22. 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，以x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （）求圆C的极坐
11、标方程； （）若直线l： cos sin xt yt （t为参数）被圆C截得的弦长为 2，求直线l的倾斜角. 23. 已知函数 2f xxa，其中2a. （）当4a时，求不等式 61f xx的解集； （）已知关于x的不等式 24fxafx的解集为| 31xx ，求a的值. 20202020 年高三年级第三次诊断性测试答案年高三年级第三次诊断性测试答案 （理科数学理科数学） 一、选择题：每小题 5 分. 1-5：CBBCD 6-10：CBAAD 11-12：CA 二、填空题：每小题 5 分. 13. 2 14. 36 15. 3 16. 1 5 , 4 4 三、解答题： 17.（）由 11 si
12、n 24 SabCabc，2 sinsinsin cba CBA ， 由 2 sinsin2sinsin2sinsinsinbBaABCCbCcC， 即 222 bcabc， 222 1 cos 22 bca A bc ，从而 3 A ； （）由 3 A ，2sin3aA， 从而 22222 32cosabcbcAbcbcbc， 133 3 sinsin 224 ABC SbcAA ， 即ABC面积的最大值为 3 3 4 ，此时ABC是正三角形. 18.（）以A为原点，如图建立空间直角坐标系，不妨取棱长为 6， 则0,6,4M，3,6,0F， 1 6,0,6B，6,3,0E，0,6,2N， 3
13、,0, 4MF ， 1 0, 3,6EB ，6,3,2EN ， 设平面 1 B EN的法向量 1 , ,nx y z，则 360 6320 yz xyz ， 可取 1 4,6,3n ， 1 0MF n，即 1 MFn，/MF平面 1 B EN； （）由（）知平面 1 B EN的法向量 1 4,6,3n ，又面ABCD的法向量 2 0,0,1n ， 平面 1 B EN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 3 61 61 . 19.（）由表格知男性平均消费金额为 0.15 250 0.15 750 0.2 1250 0.3 1750 0.2 25001425x （元） 由频率分布直方图知女性平均消
14、费金额为： (12.5 0.37.5 0.2 12.5 0.2 17.5 0.1522.5 0.127.5 0.05) 100y 1100（元） （）由（）知女性的理性消费区间为900,1300人数为 16 人，男性理性消费区间为1225,1625， 人数为 19 人，2 2列联表为： 女性 男性 合计 理性消费 16 19 35 非理性消费 84 81 165 合计 100 100 200 2 2 200 (16 81 84 19) 0.3117 100 100 35 165 K ，由0.31170.455， 没有 5 成以上的把握认为理性消费与性别有关. 20.（）易知定义域为R，且 3
15、x fxaex， 0fx 得3x， 当0a时， f x在, 3 上递减，在3, 上递增. f x有最小值 3 3 a f e ， 同理，当0a时， f x有最大值 3 3 a f e . （）当2x，有08，aR， 当2x时， 2 2 6 ( )6 (2) x xx f xxxa xe . 设 2 6 ( )(2) (2) x xx g xx xe ，则 2 2 (3)44 ( ) (2) x xxx g x xe ， 由2x和 0gx ，得2 22x ，2 22x （舍） g x在 2,2 22上递增，在 2 22,上递减， 2 2 2 max 2 222g xge ， 2 2 2 2ae
16、. 21.（）由 2 2 e 知 222 22abc，方程可表示为 22 22 1 2 xy bb ， 设 00 ,M x y， 11 ,A x y，则 2222 0101 20xxyy，即 0101 0101 1 2 yyyy xxxx ， 1 2 AMOQ kk ，结论成立； （）设 OP l： 1 yk x，代入 222 22xyb，得 2 2 1 2 1 2 1 2 b x k ， 22 2 1 2 1 2 12 b k y k ， 2 2 1 2 1 21 2 12 k bOP k ， 同理设 ON l： 2 yk x，则 12 1 2 k k ，且 22 22 21 22 2 21
17、 141 22 1 242 kk bb k ON k ， 2 22 1 2 1 2263 239 42 OPObN k b k ， 2 3b ，从而椭圆方程为 22 1 63 xy . 22.（）由圆C的普通方程为： 2 2 314xy即 22 2 320xyxy， 圆C的极坐标方程为4sin 3 ； （）由l：tan , 2 ykx k 或 0 2 x ， 由圆C的圆心 3,1C，2r ，又弦长为 2，圆心C到l的距离3d ， 圆心C到l的距离3d ，l的倾斜角90或150. 23.（）由4a， 61f xx，即为：2216xx * 当1x时， *式即为：336x ，1x符合， 当12x 时， *式即为：56x ，1x不符合， 当2x时， *式即为：336x ，3x符合， 综上，不等式的解集为|1,3x xx； （）由 2232f xaf xxaxa 3 4 , 2 3 42 , 22 4 , 2 a xa a xaax a a x ， 由 24fxafx的解集为| 31xx ， 知424xa的解集即为3, 1 ， 1,13, 1 22 aa ，2 2 a ，即4a.
