1、第六讲 直线型计算中的倍数关系 迄今为止，同学们已经学会了很多图形计算面积的方法在计算这些面积的时候，只要 知道相应线段的长度，然后利用公式即可以计算例如计算长方形的面积，只需知道长方形 的长和宽即可利用长方形的面积长 宽进行计算但很多时候，题目中并不给出长和宽， 那怎么来求面积呢？我们来看下面这个例题 例题例题1. 如图，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、 12、16、20 平方米其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米？ 分析分析如果两个长方形的一条边相等，我们可以比较它们的另一条边来求 它们的面积关系，看看下图，能利用左上角的三块面积求出的面积吗？ 对于长方
2、形，我们总结出：如果两个长方形的长（宽）相等，那么它们的面积的比等于 它们宽（长）之比例如：如图所示的长方形 ABCD 与长方形 BEFC 宽 BC 相同，那么 ABCDBEFCAB BE长方形的面积:长方形的面积: 如图，有 7 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为 20，4，6，8，10 平方 厘米求阴影长方形的面积是多少平方厘米？ 从上面的例题可以看出， 求一个图形的面积不一定要通过公式， 有些时候我们也可以利 用图形各部分之间的面积关系进行计算 实际问题中，各图形的形状各异我们很难直接看出面积间的关系，更容易发现的是长 度之间的倍数关系本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系
3、的转化 过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形， 则这两个小三角形面积之比等于 8 4 6 20 10 练 习 1 1 A B C D E F 4 8 12 16 20 该直线分对边所得的两条线段长度之比,这是由两个小三角形有共同的高决定的 例题例题2. 下图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中 点，AD 的长是 AE 长的 3 倍那么三角形 ABE 的面积是多少平 方厘米？ 分析分析你能从图中发现前面讲过的基本图形吗？如何利用其中的 比例关系解题呢？ 如图，三角形 ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 BC 的中点，F 为 BE 中点，如果三角形 AB
4、C 的面积是 120 平方厘米，那么三角形 DEF 的面积是多少？ 在实际问题中， 给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分 比如知道两条线段的 长度关系，却找不到合适的图形引出面积关系此时，我们可以添加适当的辅助线，使得两 个图形之间可以找到一个过渡的量，这个量和两个图形都有比较紧密的联系 例题例题3. 如图，把三角形 DEF 的各边分别向外延长 1 倍后得到三 角形 ABC，已知三角形 DEF 的面积为 1，那么三角形 ABC 的 面积是多少？ 分析分析容易看出，本题也需要通过边长的倍数关系去求三角形 面积之间的关系但是我们所求的是三角形 DEF 的面积，而已知 的是三角形 ABC 的面
5、积，这两个三角形之间一条直接相连的边也 没有那么我们该怎么办呢？ A C B F E D 练 习 2 2 :ABDADCBD DC三角形的面积 三角形的面积 A B C D E A B C D E A B C E D F 如图，把三角形 DEF 的各边分别向外延长 1 倍、2 倍、3 倍后得到三角形 ABC，已知 三角形 DEF 的面积为 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？ 除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外， 我们有时候也利用面积的倍数关系反推出 长度的倍数关系 例题例题4. 如图，E 是 AB 上靠近 A 点的三等分点，梯形 ABCD 的 面积是三角形 AEC 面积的 4 倍，那么
6、梯形的下底长是上底 长的几倍？ 分析分析本题中我们并不知道图形的具体面积，而只知道面 积的倍数关系需要求的则是长度的倍数关系，所以我们考虑如 何利用面积的关系求出长度关系 我们不妨假设三角形 AEC 的面积是“1”份，那么梯形 ABCD 的面积就是“5”份接 着可以看看“E 是 AB 上的三等分点”这个条件能得出什么结论，看看怎么利用求出的面积 来比较梯形的上下底？ 练 习 4 4 D E F A B C 练 习 3 3 B C D E A 如图，将一个长为 18 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且梯形的面积是三角形 的 5 倍，那么三角形底边 BE 的长是多少？ 除了利用长度间的倍数关系
7、外，我们有时候也能从公式入手，寻找图形面 积的倍数关系 例题例题5. 把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米， 结果面积增 加了 50 平方厘米，那么原正方形的面积为多少平方厘米？ 分析分析由于阴影部分是一个不规则图形，我们需要把它转化为规则形 状，可以将它分割成几块如图所示，我们将阴影部分分割为、 三个长方形其中，的长和宽分别为 4、2，可以求出它的面积那 么和的面积能求出来吗？关键是找出它们面积的关系 例题例题6. 如图，直角三角形 ABC 套住了一个正方形 CDEF，E 点恰好 在 AB 边上又已知直角边 AC 长 20 厘米，BC 长 12 厘米，那么 正方形的边长为多少
8、厘米？ 分析分析注意到 EF 垂直于 AC，ED 垂直于 BC我们可以连接 CE， 将三角形 ABC 分成两个三角形，这两个三角形的底都给出了长度，而 它们的高相等我们的目标就是求这个高 A B C D E 2 4 2 4 A C B E F D 欧拉的故事 欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好 几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。欧拉小时候帮助爸爸放羊，他一面 放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。 爸爸的羊群渐渐增多了，达到了 100 只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一 个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长 40 米，宽 15 米，他一算，
9、面 积正好是 600 平方米，平均每一头羊占地 6 平方米。正打算动工的时候，他发现 他的材料只够围 100 米的篱笆，不够用。若要围成长 40 米，宽 15 米的羊圈，其 周长将是 110 米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就 要再添 10 米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于 6 平方米。 小欧拉却向父亲说， 不用缩小羊圈， 也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。 他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，没有理会他。小欧拉急了，大声说：“只 要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。” 父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚信
10、， 他一定有两全齐美的办法。父亲终于同意让儿子试试看。 小欧拉见父亲同意了， 站起身来， 跑到准备动工的羊圈旁。 他以一个木桩为中心， 将原来的 40 米边长截短，缩短到 25 米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎 么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原 来 15 米的边长延长，又增加了 10 米，变成了 25 米。经这样一改，原来计划中 的羊圈变成了一个 25 米边长的正方形。 然后， 小欧拉很自信地对爸爸说： “现在， 篱笆也够了，面积也够了。” 父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不 少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大
11、了一些。父亲心里感到非常高兴！ 作业1. 如图，一个长方形被分成了四个小长方形，长方形 A 的面 积是 45 平方米，长方形 B 的面积是 15 平方米，长方形 C 的面 积为 15 平方米，则长方形 D 的面积是多少？ 作业2. 如图， D 为 AB 边上的三等分点， 已知三角形 ACD 面 积为 12，则三角形 BCD 面积是多少？ 作业3. 如图，D、E 分别为 AB、BC 边上的三等分点，已知三 角形 ABC 面积为 72，则三角形 CDE 面积是多少？ 作业4. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC，已知三角形 DEF 的面积为 1，那么三角形 ABC
12、的面积 是多少？ 作业5. 点 B 是正方形一条边上的四等分点连接 AB、BC，点 D、E 又是 AB、BC 的四等分点，连接 CD、DE如果正方形 边长为 24 厘米， 那么：（1） 三角形 ABC 的面积是多少？ （2） 三角形 CDE 的面积是多少？ A B C D A B C D A B C D E A B C E D F A B C D E 24 厘米 第六讲 直线型计算中的倍数关系 例题1. 答案：如图所示 详解：长方形一边确定，面积的倍数关系与另一邻边的倍数关系相同 例题2. 答案：30 详解：ABD 与ADC 的面积比是 1:1，可求出ABD 的面积是 90 平方厘米ABE 与
13、BDE 的面积比是 1:2，那么ABE 的面积是901230平方厘米 例题3. 答案：7 详解：连结 AE、BF、CD，由等高三角形可以推出图中的 7 个小三角形面积相等 例题4. 答案：3 倍 详解：设AEC 的面积是 1 份，那么有梯形的面积是 4 份，ABC 的面积是 3 份所 以ACD 的面积是 1 份而ADC 与ABC 的高相同，所以底的比等于面积的比，即 AD:BC=1:3 例题5. 答案：49 详解：设正方形边长为 a，则有242450aa，a=7 例题6. 答案：7.5 详解：连结 CE，将三角形切成两个小三角，设正方形边长为 a 厘米可列 方程20 12220122aa，a=
14、7.5 A B C E D F 1 1 1 1 1 1 1 4 8 12 16 20 8 24 10 30 练习1. 答案：15 简答：先求出面积为 6 的长方形下面长方形的面积，应该是84612 平方厘米再 求阴影部分的面积，20 102， 468 12215 练习2. 答案：15 平方厘米 简答：因为 D 是 AB 的中点，可知BDC 的面积是ABC 面积的一半，120260E 点是BC的中点， F是BE的中点， 那么DEF的面积是BCD的四分之一，60415 练习3. 答案：18 简答：如图所示，连结 AF、BD 和 CE根据等高三角形的性质可以求出其他三角形的 面积 练习4. 答案：6
15、 简答：如图所示，连结 EF，使得 ABEF 是一个长方形那么长方形 CDFE 的面积是长 方形 ABEF 的两倍，所以 EC 是 BE 的两倍，BE 长为 6 作业1. 答案：5 简答：长方形 A 的面积是长方形 B 的面积的 3 倍，因此长方形 C 的面积也是长方形 D 的面积的 3 倍，因此长方形 D 的面积为 5 A B C D E F D E F A B C 1 1 2 2 3 3 6 8 4 6 20 10 作业2. 答案：24 简答： BD 长度是 AD 长度的 2 倍， 因此三角形 BCD 面积也是三角形 ACD 面积的 2 倍， 因此三角形 BCD 面积为 24 作业3. 答
16、案：16 简答：由 D、E 分别为 AB、BC 边上的三等分点，可求得三角形 BCD 面积为 48，三角 形 CDE 面积为 16 作业4. 答案：19 简答： 如图所示， 连接 AE、 BF、 CD 由2A DD F，2BEED， ，可知三角形 ADE，三角形 BEF，三角形 CEF 的面积 都是 2， 而三角形 ABE、 三角形 CBF、 三角形 ACD 的面积都是 4 三 角形 ABC 的面积是444222119 作业5. 答案：288；162 简答：ABC 的面积是正方形面积的一半，即 2 24 288 2 平方厘米；BCD 的面积是 ABC 的 3 4 ，即 3 288216 4 平方厘米；CDE 的面积是三角形 BCD 的 3 4 ，即 3 216162 4 平方厘米 2CFFE A B C E D F
