1、上海市嘉定区上海市嘉定区 2020 届高三届高三数学二模试卷数学二模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1已知集合 A2，4，6，8，B1，2，3，则 AB 2线性方程组 2 = 5 3 + = 8的增广矩阵为 3已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆柱的侧面积等于 4在（x2）5的二项展开式中，x3项的系数为 5若实数 x，y 满足 0 1 2 0 ，则 zx+y 的最大值为 6
2、已知球的主视图的面积是 ，则该球的体积等于 7设各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，a2+a36，则 S6 8已知函数 f（x）2+logax（a0 且 a1）的反函数为 yf 1（x） 若 f1（3）2，则 a 9设 zC，z2+90，则|z4| 10 从 4 对夫妇中随机抽取 3 人进行核酸检测， 则所抽取的 3 人中任何两人都不是夫妻的概 率是 （结果用数值表示） 11设 P 是双曲线 x2 2 8 =1 的动点，直线 = 3 + = （t 为参数）与圆（x3）2+y21 相交于 A、B 两点，则 的最小值是 12 在ABC中， 内角A、 B、 C的对边分别为a、
3、b、 c， 若a2+b2+c223bcsinA， 则A 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生分）每题有且只有一个正确选项考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13已知 xR，则“x1”是“|x2|1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14下列函数中，既是（0，+）上的增函数，又是偶函数的是（ ） Ay= 1 By2x Cy1|x| Dylg|x| 15如图，若正方体 ABCDA1B1C1D1
4、的侧面 BCC1B1内动点 P 到棱 A1B1的距离等于它到 棱 BC 的距离，则点 P 所在的曲线为（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 16设数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn是 6 和 an的等差中项若对任意的 nN*，都有 3Sn 1 s，t，则 ts 的最小值为（ ） A2 3 B9 4 C1 2 D1 6 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PC5，PD
5、底面 ABCD （1）求四棱锥 PABCD 的体积； （2）求异面直线 AD 与 BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18设常数 aR，函数 f（x）= 32 + 2x （1）若 f（x）为奇函数，求 a 的值； （2）若( 6) = 3，求方程 f（x）2 在区间0，上的解 19某村共有 100 户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为 2 万元为了调整产业 结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工据估计，若能动员 x（xN*）户农民 从事蔬菜加工， 则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高 2x%， 而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为2( 9 50 )
6、(0)万元 （1）在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员 前 100 户农民的总年收入，求 x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这 100 户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高 于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求 a 的最大值 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点 P（0，2） ，且它的一个焦点与抛物线 y2 8x 的焦点相同直线 l 过点 Q（1，0） ，且与椭圆相交于 A、B 两点 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 l 的一个方向向量为 = (1，2)，求OAB 的面积（其中 O 为坐标原点） ； （3）试问：在
7、x 轴上是否存在点 M，使得 为定值？若存在，求出点 M 的坐标 和定值；若不存在，请说明理由 21（18 分） 已知 m 为正整数， 各项均为正整数的数列an满足： an+1= 2 ，为偶数 + ，为奇数 ， 记 数列an的前 n 项和为 Sn来源:学科网 （1）若 a18，m2，求 S7的值； （2）若 m5，S325，求 a1的值； （3）若 a11，m 为奇数，求证： “an+1m”的充要条件是“an为奇数” 答案解析答案解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分
8、） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1已知集合 A2，4，6，8，B1，2，3，则 AB 2 利用交集定义直接求解 集合 A2，4，6，8，B1，2，3， AB2 故答案为：2 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础 题 2线性方程组 2 = 5 3 + = 8的增广矩阵为 125 318 利用二元一次方程组的增广矩阵的定义直接求解 二元一次方程组 2 = 5 3 + = 8的增广矩阵为 125 318 故答案为：1 25 318 本题考查线性方程组的增广矩阵的求法，考查增广矩阵的定义等基础知识，考查运算求 解能力
9、，考查函数与方程思想，是基础题来源:学科网 ZXXK 3已知圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆柱的侧面积等于 4 圆柱的底面半径为 r1，母线长为 l2，其侧面积为 S2rl，由此能求出结果 圆柱的底面半径为 r1，母线长为 l2， 其侧面积为 S2rl2124 故答案为：4 本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 4在（x2）5的二项展开式中，x3项的系数为 40 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项， 令x的指数为3求出展开式中含x3项的系数 （x2）5的展开式的通项为 Tr+1C5rx5 r（2）rC 5r（2）rx5 r 令 5r3
10、得 r2 故展开式中含 x3项的系数是 C52440 故答案为：40来源:Zxxk.Com 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 5若实数 x，y 满足 0 1 2 0 ，则 zx+y 的最大值为 3 先根据不等式组画出可行域，然后把 zx+y 看作 yx+z，找其在 y 轴上的截距最大值 即是 z 的最大值 根据不等式组画出可行域如图中ABO 所示， 目标函数 zx+y 可看作直线 yx+z，把图中的虚线进行平移，可知在点 A 处，直线在 y 轴上的截距最大， 而点 A 的坐标为（2，1） ，所以 Zmax2+13 故答案为：3 本题考查线性规划，考查学生的作图能力和运算能
11、力，属于基础题 6已知球的主视图的面积是 ，则该球的体积等于 4 3 利用球的主视图的面积是 ，求出球的半径，然后求解球的体积 球的主视图的面积是 ， Sr2 r1 = 43 3 = 4 3 故答案为：4 3 本题考查三视图求解几何体的体积，球的体积的求法，是基本知识的考查 7设各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，a2+a36，则 S6 63 由等比数列的通项公式求出公比 q，由此能求出等比数列的前 6 项和 各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，a2+a36， q+q26，且 q0，解得 q2， S6= 1(126) 12 =63 故答案为：63 本
12、题考查等比数列的前 6 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理论证 能力能力与运算求解能力，属于基础题 8已知函数 f（x）2+logax（a0 且 a1）的反函数为 yf 1（x） 若 f1（3）2，则 a 2 由 f 1（3）2，可得 f（2）3，代入可得 32+log a2，解得 a f 1（3）2，f（2）3，代入可得 32+log a2，化为 loga21，解得 a2 故答案为：2 本题考查了互为反函数的性质、 方程的解法， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 9设 zC，z2+90，则|z4| 5 由题设条件解出 Z，进而解决|z4|的问题 由 z2+90z3i，则
13、|z4|3i4|5 故答案为：5 本题主要考查复数的运算，属于基础题 10 从 4 对夫妇中随机抽取 3 人进行核酸检测， 则所抽取的 3 人中任何两人都不是夫妻的概 率是 4 7 （结果用数值表示） 4 对夫妇先选 3 对， 又每对夫妇有两种选法， 利用乘法原理及随机事件概率就可得出结果 解析： 由题知， 首先对 4 对夫妇任意选 3 对， 其 3 人分别为选中 3 对中的每对的任一人， 则有4 3 23种可能，再由随机事件概率得， = 4 323 8 3 = 4 7， 故答案为：4 7 本题主要考查的是乘法原理及概率，数学计算能力，是道基础题 11设 P 是双曲线 x2 2 8 =1 的动
14、点，直线 = 3 + = （t 为参数）与圆（x3）2+y21 相交于 A、B 两点，则 的最小值是 3 根据直线过圆心，把所求数量积进行转化即可求解结论 设圆心为 E（3，1） ， 并且直线过 E， 则 =（ + ） （ + ）= 2 + （ + ）+ = 2 2 = 2 1； 因为 P 为双曲线 x2 2 8 =1 的动点， 所以当 P 为右顶点 K（1，0）时，PE 最小； 即 的最小值是： （31）213； 即 的最小值是 3， 故答案为：3 本题主要考查平面向量数量积的应用以及直线与圆锥曲线的综合，属于中档题目 12在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2+
15、b2+c223bcsinA，则 A 3 利用余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 2bcsin（A+ 6）b 2+c2，结合 基本不等式，正弦函数的性质可求( + 6) = 1，结合 A 的范围即可求解 A 的值 2+ 2+ 2= (2+ 2 2) + 2+ 2= 23， bc（cosA+3sinA）2bcsin（A+ 6）b 2+c2， 又2( + 6) = 2 + 2 2， ( + 6) 1， 可得：( + 6) = 1， A（0，） ，A+ 6（ 6， 7 6 ） ，可得 A+ 6 = 2， 可得 = 3 故答案为： 3 本题主要考查了余弦定理，两角和的正弦函数公式，基本不等式
16、，正弦函数的性质在解 三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生分）每题有且只有一个正确选项考生 应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13已知 xR，则“x1”是“|x2|1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 x1，|x2|有可能大于 1，|x2|11x3，由此能推导出“x1”是“|x2|1” 的必要非充分条件 x1，|x2|有可能大于 1，比如
17、x4，|42|21， |x2|11x3， “x1”是“|x2|1”的必要非充分条件， 故选：B 本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查推理 能力与计算能力，属于基础题 14下列函数中，既是（0，+）上的增函数，又是偶函数的是（ ） Ay= 1 By2x Cy1|x| Dylg|x| 根据基本初等函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的翻折变换法则逐一判断每个选项 即可 函数 = 1 在（0，+）上是减函数，且是奇函数，即 A 不符合题意； 函数 y2x是非奇非偶函数，即 B 不符合题意； 函数 y1|x|在（0，+）上是减函数，即 C 不符合题意； 对于函数 yl
18、g|x|，当 x0 时，有 ylgx，单调递增；而 f（x）lg|x|lg|x|f（x） ， 所以 f（x）是偶函数，即 D 正确 故选：D 本题考查函数的单调性、奇偶性和函数图象的变换法则，熟练掌握基本初等函数的性质 是解题的关键，属于基础题 15如图，若正方体 ABCDA1B1C1D1的侧面 BCC1B1内动点 P 到棱 A1B1的距离等于它到 棱 BC 的距离，则点 P 所在的曲线为（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 由图可得 P 到棱 A1B1的距离即 P 到 B1的距离再由抛物线的定义得答案 P 到棱 A1B1的距离即 P 到 B1的距离 又动点 P 到棱 A1B1的距离等于它
19、到棱 BC 的距离， 平面 BCC1B1内动点 P 到定直线 BC 和定点 B1距离相等 则 P 的轨迹为抛物线的一部分， 点 P 所在的曲线为抛物线 故选：C 本题考查抛物线的定义，考查数形结合的解题思想方法，是基础题 16设数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn是 6 和 an的等差中项若对任意的 nN*，都有 3Sn 1 s，t，则 ts 的最小值为（ ） A2 3 B9 4 C1 2 D1 6 由题先算出 S1，再由4= 6 + 4= 6 + ;1 3= 6 ;1 ( 3 2) = 1 3 (;1 3 2)，得出 Sn 关系式，再分别讨论 n 的奇偶得出范围，由 3Sn 1 的单调
20、 性得出 s，t，即可得出结果 当 n1 时， 1= 1= 1 2， 4 = 6 + 4= 6 + ;1 3= 6 ;1 ( 3 2) = 1 3 (;1 3 2)， * 3 2+是以 1 2为首项， 1 3为公比的等比数列， 3 2 = 1 2 ( 1 3) ;1， 即= 3 2 + 1 2 ( 1 3) ;1若 n 为奇数， (3 2，2-；若 n 为偶数， ,4 3 ， 3 2) 而() = 3 1 是关于 Sn 的单调递增函数，并且(4 3) = 13 4 ，(2) = 11 2 ，故 ts 最小 值是11 2 13 4 = 9 4， 故选：B 本题主要考查的是等差数列的性质，构造等比
21、数列及函数的性质，是道综合题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤 17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PC5，PD底面 ABCD （1）求四棱锥 PABCD 的体积； （2）求异面直线 AD 与 BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （1）由题意，在PCD 中又勾股定理可求 PD4，即四棱锥的高为 4，利用四棱锥的体 积公式即可求解； （2）由 ADBC，可得PBC 即为异面直线 AD 与 BP 所成角，
22、由题意利用线面垂直的 判定和性质可得 BCPC，即PCB= 2，可求 = 5 3，即可求解异面直线 AD 与 BP 所成角的大小 （1）由题意，在PCD 中，PC5，CD3，PDCD， PD= 2 2= 52 32=4， 四棱锥的高为 4， 四棱锥 PABCD 的体积为： = 1 3 32 4 = 12 （2）ADBC， PBC 即为异面直线 AD 与 BP 所成角， BCCD，BCPD，PDCDD，可得 BC平面 PCD， 又 PC平面 PCD， BCPC，即PCB= 2， PC5，BC3， = 5 3， = 5 3 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空
23、间 思维能力的培养 18设常数 aR，函数 f（x）= 32 + 2x （1）若 f（x）为奇函数，求 a 的值； （2）若( 6) = 3，求方程 f（x）2 在区间0，上的解 （1）由 f（x）为奇函数时，必有 f（0）0，可得 a0 （2） 由已知利用特殊角的三角函数值可求 a2， 利用三角函数恒等变换的应用可求 f （x） ， 进而可求 sin（2x+ 6）= 1 2，结合正弦函数的图象可求 x 的值，即可得解在区间0，上 的解 （1）当 f（x）为奇函数时，必有 f（0）= 3sin0+a0，可得 a0 当 a0 时，f（x）= 3sin2x，利用正弦函数的性质可知其为奇函数，符合题
24、意，可得 a 的值为 0 （2）因为( 6) = 3( 3) + 2( 6) = 3 2 + 3 4 = 3 = 2， 所以() = 32 + 22 = 32 + 2 + 1 = 2(2 + 6) + 1， 由() = 2 (2 + 6) = 1 2 2 + 6 = 6 + 2，或2 + 6 = 5 6 + 2， 可得：xk，或 = 3 + ( )， 所以在区间0，上的解为 *0， 3 ，+ 本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和 性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题 19某村共有 100 户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为 2 万元为了调
25、整产业 结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工据估计，若能动员 x（xN*）户农民 从事蔬菜加工， 则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高 2x%， 而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为2( 9 50 )(0)万元 （1）在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员 前 100 户农民的总年收入，求 x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这 100 户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高 于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求 a 的最大值 （1）由题中条件： “从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前 100 户农民的总年收
26、 入”得到一个不等关系，列不等式得 x 的取值范围； （2）问题先转化成一个不等关系，然后转化为恒成立问题解决 （1）由题意得（100x）2（1+2x%）200， 解得：0x50 （2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为 2 （a 9 50）万元，从事蔬菜种植农民的年总收 入为 2（100x） （1+2x%）万元， 即2( 9 50 ) (100 ) 2(1+ 2%)恒成立，其中 0x50， 即 100 + 4 25 + 1恒成立， 又因为100 + 4 25 + 1 2400 25 + 1 = 9，当且仅当 x25 时等号成立， 所以 amax9 本题主要考查函数在实际生活中的应用、恒成立问题的
27、解法求不等式恒成立的参数的 取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方 法，体现知识的交汇 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 =1（ab0）过点 P（0，2） ，且它的一个焦点与抛物线 y2 8x 的焦点相同直线 l 过点 Q（1，0） ，且与椭圆相交于 A、B 两点 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 l 的一个方向向量为 = (1，2)，求OAB 的面积（其中 O 为坐标原点） ； （3）试问：在 x 轴上是否存在点 M，使得 为定值？若存在，求出点 M 的坐标和 定值；若不存在，请说明理由 （1）由抛物线的方程可得焦点坐标，由题意可得椭圆的 c 值，再
28、由椭圆过的定点可得 b 的值，又由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由直线 l 的一个方向向量为 =（1，2） ，可得直线 l 的方程，与椭圆联立可得 A，B 的坐标，进而求出面积； （3）分直线 l 的斜率为 0 和不为 0 两种情况讨论，当直线 l 的斜率不为 0 设直线 l 的方 程，与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积 ，要使之为定值，则 需使分子、分母的多样性系数成比例，求出定点，进而求出 的值当斜率为 0 时，求出 A，B 的坐标，求出数量积也为定值 （1）由椭圆过（0，2） ，可得 b2，再由抛物线的方程 y28x 可得焦点为（2，0） ， 所以由题意可得
29、椭圆的焦点（2，0） ，又 a2b2+c2， 可得 = = 2 = 22， 故椭圆方程为 2 8 + 2 4 = 1 （2）由直线 l 的方向向量（1，2） ，可得直线 l 的斜率为 2，又过（1，0） ， 所以可得 l 的方程：y2x2，将直线与椭圆联立得(16 9 ， 14 9 )，B（0，2） ， 故 SOAB= 1 2|OQ|yAyB|= 1 21| 14 9 +2|= 16 9 （3）假设存在这样的点 M（a，0） ， 当直线斜率不为 0 时，设：l：xmy+1，M（a，0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将 l 与椭圆联立得（m2+2）y2+2my70， = (1 )
30、(2 ) + 12 = (2+ 1)12+ (1 )(1+ 2) + (1 )2= (2+ 1) 7 2+2 + (1 ) 2 2+2 + (1 )2 = 2(28)+2245 2+2 ，由于该式为定值， 故2(2 8) = 22 4 5 = 11 4 ，定值为 7 16 当直线斜率为 0 时，(22，0)，(22，0)， = (22 11 4 )(22 + 11 4 ) = 7 16 来源:Z_xx_k.Com 综上，定点(11 4 ，0)，定值 7 16 本题考查求椭圆的方程的方法及直线与椭圆的综合，以及数量积为定值的性质，属于中 档题 21（18 分） 已知 m 为正整数， 各项均为正整
31、数的数列an满足： an+1= 2 ，为偶数 + ，为奇数 ， 记 数列an的前 n 项和为 Sn （1）若 a18，m2，求 S7的值； （2）若 m5，S325，求 a1的值； （3）若 a11，m 为奇数，求证： “an+1m”的充要条件是“an为奇数” 来源:学+科+网 （1）根据数列的递推关系，求出数列的前 7 项，然后进行求解即可； （2）根据条件，分别讨论当 a1是奇数，是偶数时，对应的前三项和是否满足条件即可； （3）根据充要条件的定义，利用定义法和数学归纳法进行证明 （1）a18，m2，则前 7 项为 8，4，2，1，3，5，7，故 S730 （2）设 k 是整数 若 a12
32、k1，a22k+4，a3k+2则 a1+a2+a35k+525k4， 此时 a17 若 a14k，a22k，a3k，则 a1+a2+a37k25，此时 k 不存在 若 a14k2，a22k1，a32k+4，则 a1+a2+a38k+125k3，此时 a110 故 a17 或 a110 （3）证明：充分性：若 an为奇数，则 an+1an+mm； 必要性：先利用数学归纳法证：anm（an为奇数） ；an2m（an为偶数） a11m，a21+m2m，3= 1+ 2 成立； 假设 nk 时，akm（ak为奇数） ；ak2m（ak为偶数） 当 nk+1 时，当 ak是偶数，:1= 2 ；当 ak是奇数，ak+1ak+m2m，此时 ak+1是偶数 综上，由数学归纳法得 anm（an为奇数） ；an2m（an为偶数） 从而若 an+1m 时，必有 an+1是偶数进而若 an是偶数，则 an2an+12m 矛盾， 故 an只能为奇数 本题主要考查数列递推关系的应用，根据条件利用分类讨论思想以及结合数学归纳法进 行推理证明是解决本题的关键难度大综合性较强
