1、江苏省南通市基地学校江苏省南通市基地学校 2020 届高三第三次大联考届高三第三次大联考 数学试题含附加题数学试题含附加题 参考公式: 柱体的体积公式: 柱体 Sh,V其中 S 为柱体的底面积,h 为高. 锥体的体积公式: 椎体 1 S , 3 Vh其中 S 为锥体的底面积,h 为高. 一填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分把答案填写在答题卡相应位置 1.已知集合 A=0,2,B=-1,0,则集合 AB=_. 2.若复数 z=i (a+2i)的模为 4,其中 i 是虚数单位,则正实数 a 的值为_. 3.右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值为_. 4.某工厂有 A,
2、B,C 三个车间,共 270 名工人,各车间男女工人人数如下表: 车间 A 车间 B 车间 C 女工人 20 60 a 男工人 40 30 b 现用分层抽样的方法在全厂抽取 54 名工人,则应在车间 C 抽取的工人人数为_. 5.一只口袋内装有形状大小完全相同的 4 只小球,其中 2 只白球2 只红球,从中一次随机摸出 2 只球,则摸出 的 2 只球颜色不同的概率为_. 6.设 xR,则“ 2 4x”是“24 x ”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”和“既不充分也不必 要”之一) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 2 2 1 4 y x的渐近线与圆: 22 5xy相交
3、于 A,B,C,D 四点,则四边形 ABCD 的面积为_. 8.已知直线 y=ex-1 是曲线 x yea的一条切线,则实数 a 的值为_. 9.如图,在直三棱柱 111 ABCA B C中,ACB=90 ,D 为 1 AA的中点设四面体 11 CB CD的体积为 V1,直三棱柱 111 ABCA B C的体积为 2, V则 1 2 V V 的值为_. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B,F 分别为椭圆 C： 2 22 2 1 xy ab (ab0)左顶点上顶点和左焦点(如图), 过点 F 作 x 轴的垂线与椭圆交于 M,N 两点,直线 BN 与 x 轴交于点 D.若 OA=2O
4、D,则椭圆 C 的离心率为_. 11.已知等差数列 n a的前 n 项和为, n S若 2 2, n Sn则 1 125 () n n aa 的最小值为_. 12.已知函数 2 2 ,2 ( ) 1 1,2 2 xxx f x xx ，则关于 x 的不等式1fxfx 的解集为_. 13.如图,在四边形 ABCD 中,A0B BCAD DC, AC4,AB BD2BD，则对角线 BD 的长为_. 14.已知函数 2| | 4 ( ) ln(1), ( )=|x|+a-2 x f xeg x.若存在 an,n+1(nZ),使得关于 x 的方程 f(x)=g(x)有四个不 相等的实数解,则 n 的最
5、大值为_. 二解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明证明过程或演算 步骤 15.(本小题满分 14 分) 如图,EA平面 ABC,DCEA,EA=2DC,F 是 EB 的中点 (1)求证:DC平面 ABC; (2)求证:DF平面 ABC. 16.(本小题满分 14 分) 已知锐角三角形 ABC 中, 31 sinC, si 5 n() 5 A B. (1)求证:tanA=2tanB; (2)若 AB 边上的高为 2,求边 AB 的长 17.(本小题满分 14 分) 如图,某地有一块半径为 R 的扇形 AOB 公园,其中 O 为扇形所在圆的圆心,AOB=1
6、20 ,OA,OB,AB为公园原 有道路为满足市民观赏和健身的需要,市政部门拟在AB上选取一点 M,新建道路 OM 及与 OA平行的道路 MN(点 N 在线段 OB 上),设AOM=. (1)如何设计,才能使市民从点 O 出发沿道路 OM,MN 行走至点 N 所经过的路径最长?请说明理由; (2)如何设计,才能使市民从点 A 出发沿道路, AM,MN 行走至点 N 所经过的路径最长?请说明理由 18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过点(2, 2),( 2,2),且与直线 2 20xy相切. (1)求圆 C 的方程; (2)设 P 是直线 l:x=4 上的
7、任意一点,过点 P 作圆 C 的切线,切点为 M,N. 求证:直线 MN 过定点(记为 Q); 设直线 PQ 与圆 C 交于点 A,B,与 y 轴交于点 D.若,DAQA DBQB求 + 的值. 19.(本小题满分 16 分) 设函数 1 ( )n ( ,. )lf xaxbx a b x R (1)当 b=-1 时,函数 f(x)有两个极值,求 a 的取值范围; (2)当 a+b=1 时,函数 f(x)的最小值为 2,求 a 的值; (3)对任意给定的正实数 a,b,证明:存在实数 0, x当 0 xx时,f(x)0. 20.(本小题满分 16 分) 已知a n 是各项都为正数的数列,其前
8、n 项和为, n S且 1 2. nn n Sa a (1)求证: 2 S n 为等差数列; (2)设 ( 1) , n n n b a 求b n 的前 n 项和为 n T (3)求集合 2 2 * 1 ( , )|, 22 p m mp T T m pm pN. 20202020 届高三基地学校第三次大联考数学届高三基地学校第三次大联考数学( (附加题附加题) ) 21.选做题本题包括 ABC 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题 评分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. A.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 A 的逆矩阵
9、 1 52 31 A，求点 P(1,2)在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 Q 的坐标. B.选修 4-4:坐标系与参数方程-(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知两条曲线的极坐标方程分别为 sin()1 3 与 =2,它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的 中点 M 的极坐标. C.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 a,b,cR,且 a+b+c=3， 222 2,a6bc求 a 的取值范围. 必做题第2223题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或 演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,已知三棱锥 P-
10、ABC 中,PA平面 ABC,ABAC,且 PA=1,AB=AC=2,点 D 满足, 0ADAC1. (1)当 1 2 时,求二面角 P-BD-C 的余弦值; (2)若直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 2 5 , 15 求 的值. 23.(本小题满分 10 分) 某高速公路全程设有N*2 (4,)n nn个服务区.为加强驾驶人员的安全意识,现规划在每个服务区的入口处 设置醒目的宣传标语 A 或宣传标语 B. (1)若每个服务区入口处设置宣传标语 A 的概率为 2 , 3 入口处设置宣传标语 B 的服务区有 X 个,求 X 的数学期 望; (2)试探究全程两种宣传标语的设置比例,使得长途司机在走该高速全程中,随机选取3个服务区休息,看到相同 宣传标语的概率最小,并求出其最小值.
