2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题02 函数的性质及其应用(解析版)

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1、专题 02 函数的性质及其应用 专题点拨专题点拨 1建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时,要避免因忽略 函数定义域而导致的错误.研究函数,优先考虑其定义域. 2关于函数的基本性质的综合性问题,要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性,以及图像的对称 性,简化研究的范围,事半功倍. 3处理存在性与恒成立问题时,通常可以通过分离变量,转化为函数最值问题,当分离变量遇到困难 时,可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决. 4涉及函数周期性问题,要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌. 5利用分类讨论方法建立分段函数模型时,要做到不

2、重不漏,分段分析,整体把握; 6掌握常用函数图象变换:平移、对称、翻折和伸缩变换. 真题赏析真题赏析 1(2018上海)设常数aR,函数 2 ( )log ()f xxa若( )f x的反函数的图像经过点(3,1),则a _ 【答案】 7 【解析】 aR,( )f x的反函数的图象经过点(3,1) 2 ( )log ()f xxa的图象经过点(1,3), log(1+ )3a ,解得7a 2(2018上海)设D是含数1的有限实数集,( )f x是定义在D上的函数,若( )f x的图像绕原点逆时针旋 转 6 后与原图像重合,则在以下各项中,(1)f的可能取值只能是( ). A. 3 B 3 2

3、C 3 3 D0 【答案】B 【解析】 由题意得到: 问题相当于圆上由 12 个点为一组, 每次绕原点逆时针旋转 6 后与下一个点会重合, 我们可以通过代入和赋值的方法当 3 (1)3,0 3 f时,此时得到的圆心角为 3 , 6 ,0,然而此时0x 或者1x 时,都有2个y与之对应,而函数的定义就是要求一个x只能对应一个y因此只有当 3 2 x , 此时旋转 6 ,此时满足一个x只会对应一个y,因此选 B 例题剖析例题剖析 【例 1】(2018黄浦区二模)已知函数 2 2 , 10, ( )= 1, 01. xx f x xx (1)求函数( )f x的反函数 1( ) fx ; (2)试问

4、:函数( )f x的图像上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标; 若不存在, 说明理由; (3) 若 方 程 22 ( )2 1|( )2 1| 240f xxf xxax的 三 个 实 数 根 123 xxx、 、满 足 : 123 xxx,且 3221 2()xxxx,求实数a的值 【解析】 (1) 2 2 , 10, ( )= 1, 01. xx f x xx 当 10x 时,( )2 ,0( )2f xxf x且. 由 2yx ,得 1 2 xy ,互换xy与,可得 1 1 ( )(02) 2 fxxx . 当01x时, 2 ( )1,( )0f xxf x且-1.

5、由 2 1yx,得1+xy,互换xy与,可得 1( ) 1+ ( 10)fxxx . 1 1 , 0 ),求区间,,-的最大长度. 【解析】(1) 不等式 7 6 1的解集为 A 7 6 1, 7 6 1 = 76+ 6 = +1 6 0, +1 6 0, 1 0,即(2+ )2 42 0, 解得 1或 3, = ( + )2 4 = 3(1 1 3) 2+ 4 3, 的最大值为23 3 ,此时 = 3 区间,,-的最大长度为23 3 【例 3】(2019 浦东新区一模)已知函数() = 42+16, 2 (1 2) |, 1 16 = (1 2) 4, 2 4, 6.又 2,所以 ,2,6)

6、 (2)若 2,则() = (1 2) | = (1 2) , (1 2) , 2., ()在(,)上是单调递增函数,此时() (0,1); ()在,,2)上是单调递减函数,此时() (1 2) 2,1- 若满足题目要求,则 1 16 (1 2) 2, 2,又 0且 1, 0 0) 7. 已 知 函 数 2 ( )(2 ) (5)fxxxa x的 图 像 关 于 点(2 , 0 )中 心 对 称 , 设 关 于x的 不 等 式 ()( )f xmf x的解集为A,若( 5, 2)A,则实数m的取值范围是 【答案】3m或3m 【解析】函数( )f x的图象关于点( 2,0)中心对称,则( 4)(

7、0)ff ,由此求得4a,所以 232 ( )(2)(45)6310f xxxxxxx, ()( )()( )0f xmf xf xmf x 22 ()( )33(4)63f xmf xm xmxmm, 显 然 0m不舍题意, 当0m时,()( )0f xmf x 22 33(4)630xmxmm , 由题意 22 22 3 ( 5)15(4)630 3 ( 2)6(4)630 mmm mmm 36 33 m m 3m, 当0m时,()( )0f xmf x 22 33(4)630xmxmm , 因为 4 2 2 m ,所以由题意 22 3 ( 2)6(4)630mmm 3m或3m3m,综上,

8、m的取值范围是3m或3m 二、选择题 1. 函数 2 612 ( ) 2 xx f x x ,3,5x的值域为( ) A2,3 B2,5 C 7 ,3 3 D 7 ,4 3 【答案】A 【解析】 f(x)x 4 x24x2 4 x22,3x5,1x23, f(x)2 422,故当 x4 时,f(x)2 即为最小值,又因为 f(3)3,f(5)7 3,故 f(x)在3,5上的值域为 2,3 2. 若函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间0,1上的最大值是 M,最小值是 m,则 Mm( ) A与 b 有关,且与 c 有关 B与 b 有关,但与 c 无关 C与 b 无关,且与 c 无关 D与 b

9、无关,但与 c 有关 【答案】B 【解析】设函数 f(x)=ax2+bx+c 在 x1处取的最大值,在 x2处取的最小值,0x11,0x21,且 x1x2, M=f(x1)=ax12+bx1+c,m=f(x2)=ax22+bx2+c, Mm=ax12+bx1+cax22bx2c=a(x12x22)+b(x1x2), 与 a,b 有关,但与 c 无关. 3. 已知, x yR,且0xy,则( ). A. 11 0 xy B. s i ns i n0xy C. 11 0 22 xy D.lnln0xy 【答案】C 【解析】选项 A 错误:因为 1111 00xy xyxy ;选项 B 错误:三角函

10、数sinyx在 0, 上不是单调的,所以不一定有sinsinxy,举反例如,当20xyy时,sinsin0xy;选项 C 正确:由指数函数 1 ( ) 2 t f t 是减函数,可得 11 00 22 xy xy 11 0 22 xy ;选 项 D 错误:举一个反例如,ex, 1 e y ., x y满足0xy,但lnln0xy. 4. 已知函数 2 1 1 log e x f xx ee ,则使得121f xfx的x的范围是( ) A0,2 B,0 C ,02, D2, 【答案】A 【解析】 由于 fxf x, 所以函数为偶函数, 且在0,上为减函数, 因此 121f xfx, 则需121x

11、x,解得0,2x . 5. 已知定义在R上的函数满足为奇函数,函数关于直线对称,则下列式子 一定成立的是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 (2)fx 为奇函数,所以(2)(2)fxfx ,则( )(4)f xfx 又因为 (3)f x 关 于直线 1x 对称, 所以 ( )f x 关于 4x 对称, 所以(4)(4)fxfx, 则()(4 )(8 )f xf xf x, 于是8为函数 ( )f x 的周期,所以(2)(6)f xf x,故选 B 6定义区间 12 ,x x的长度为 21 xx( 21 xx),函数 2 2 ()1 ( )(,0) aa x f xaR a

12、a x 的定义域与值域都 是 , ()m n nm,则区间 , m n取最大长度时实数a的值为( ) A 2 3 3 B-3 C1 D3 【答案】D 【解析】 由0x ,,0m n 或,0m n , 故函数 2 11a f x aa x 在nm,上单调递增, 则 f mm f nn , 故nm,是方程 2 11a x aa x 的同号的相异实数根, 即 222 10a xaa x 的同号的 相异实数根 2 1 a mn nm,同号,只需 2 310aaa 1a 或3a3a, 2 2114 43 33 nmmnmn a ,mn取最大值为 3 32 此时3a. 7.(2019 浦东新区校级月考)存

13、在函数()满足,对任意 都有( ) A. (2) = B. (2) = 2+ C. (2+ 1) = | + 1| D. (2+ 2) = | + 1| )(xf)2(xf) 3( xf1x )()2(xfxf)6()2(xfxf 1)2()2(xfxf0) 1()(xfxf 【答案】D 【解析】解:.取 = 0,则2 = 0, (0) = 0; 取 = 2,则2 = 0, (0) = 1; (0) = 0,和 1,不符合函数的定义; 不存在函数(),对任意 都有(2) = ; B.取 = 0,则(0) = 0; 取 = ,则(0) = 2+ ; (0)有两个值,不符合函数的定义; 该选项错误

14、; C.取 = 1,则(2) = 2,取 = 1,则(2) = 0; 这样(2)有两个值,不符合函数的定义; 该选项错误; D.令 + 1 = ,则(2+ 2) = | + 1|,化为(2 1) = |; 令2 1 = ,则 = + 1; () = + 1; 即存在函数() = + 1,对任意 ,都有(2+ 2) = | + 1|; 该选项正确 故选:D 三、解答题 1.(2019松江区一模)已知函数 2 ( ) 21 x f xa (常数aR) (1)讨论函数( )f x的奇偶性,并说明理由; (2)当( )f x为奇函数时,若对任意的2,3x,都有( ) 2x m f x 成立,求m的最大

15、值. 【解析】(1)若)(xf为奇函数,必有(0)10fa 得1a , 当1a 时, 221 ( )1 2121 x xx f x , 2112 ()( ) 2121 xx xx fxf x 当且仅当1a 时,)(xf为奇函数 又 2 (1) 3 fa, 4 ( 1) 3 fa,对任意实数a,都有( 1)(1)ff )(xf不可能是偶函数 (2)由条件可得: 22 2( )2 (1)(21)3 2121 xxx xx mf x 恒成立, 记21 x t ,则由2,3x 得5,9t, 此时函数 2 ( )3g tt t 在5,9t上单调递增, 所以( )g t的最小值是 12 (5) 5 g,

16、所以 12 5 m ,即m的最大值是12 5 . 2.(2019徐汇区一模)已知函数 2 ( ), 2 ax f x x 其中.aR (1)解关于x的不等式( )1f x ; (2)求a的取值范围,使( )f x在区间(0,)上是单调减函数. 【解析】(1)不等式( )1f x 即为 2(1) 10. 22 axax xx 当1a时,不等式解集为(, 2)0, ; 当1a时,不等式解集为(, 2)( 2,) ; 当1a时,不等式解集为2,0 . (2)任取 12 0,xx则 12 12 12 22 ( )() 22 axax f xf x xx 12 12 2(1)() , (2)(2) ax

17、x xx 12 0xx 1212 0,20,20,xxxx 所以要使( )f x在(0,)递减即 12 ( )()0,f xf x只要10a 即1,a 故当1a时,( )f x在区间(0,)上是单调减函数. 3.已知函数axxf 2 )( (1) 若 1 2 )()( bx xfxF是偶函数,且在定义域上axxF)(恒成立,求实数a的取值范围; (2) 当1a时, 令)()()(xfxffx, 问是否存在实数, 使)(x在1,上是减函数, 在0 , 1 上是增函数?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由. 【解析】(1) 1 2 )( 2 bx axxF是偶函数,0b 即 2)( 2 ax

18、xF,Rx 又axxF)(恒成立即 22 2(1)2xaaxa xx 当1x时aR; 当1x时 , 2 23 (1)2 11 x ax xx ,2 32a 当1x时 , 2 23 (1)2 11 x ax xx , 232a,综上: 2 322 32a (2) ( )( ( )( )xf f xf x 42 (2)(2)xx )(x是偶函数, 要使)(x在1,上是减函 数在0 , 1上是增函数,即)(x只要满足在区间, 1上是增函数在1 , 0上是减函数. 令 2 xt ,当 1 , 0x时1 , 0t; , 1x时 , 1t, 由 于, 0x时 , 2 xt 是 增 函 数 记 2 ()(

19、)( 2)( 2)xH ttt,故)(x与)(tH在区间, 0上有相同的增减性,当二次函数 2 ( )(2)(2)H ttt在区间, 1上是增函数在1 , 0上是减函数,其对称轴方程为1t 2 14 2 . 4.已知函数: 1xa f xaRxa ax 且 . (1) 证明:函数的图像关于点( , 1)a 成中心对称图形; (若函数( )f x在定义域内满足( )(2)2f xfmxn,则说函数图像关于点( , )m n成中心对称图形 ) (2) 当 f x的定义域为 1 ,1 2 aa 时,求证: f x的值域为3, 2 ; (3) 设函数 2 g xxxa f x,求 g x的最小值 【解

20、析】证明 (1) 121 ( )2(2)2 2 xaaxa f xfax axaax 111221 20 xaaxxaaxax axxaax 结论成立. (2) () 11 ( )1 ax f x axax 当 1111 11121 222 axaaxaax ax 时, 2 1 13 xa 即( )f x的值域为 3, 2 解(3) 2 ( )|1|()g xxxaxa 当 22 13 1, ( )1() 24 xaxag xxxaxa 且时 如果 2 1 1a 即 2 1 a时,则函数在),(), 1aaa和上单调递增 2 min ) 1() 1()(aagxg ,如果 min 1113 1

21、, ( )() 2224 aag xga 即当时 而当 2 1 a时,)(xg在 2 1 ax处无定义,故)(xg最小值不存在; 当 22 15 1( )1() 24 xag xxxaxa 时 如果 min 1315 1( )( ) 2224 aag xga 即时 如果 2 min 13 1( )(,1)( )(1)(1) 22 aag xag xg aa 即时在上为减函数 当 2222 353131 (1)()()0(1)()()0 242242 aaaaaaaa时当时 综合得: 当 2 1 a时 g(x)最小值不存在; 当 1 2 a 且 1 2 a 时 , g(x)最小值是a 4 3 ;

22、 当 2 3 2 1 a时 g(x)最小值是 2 ) 1( a;当 2 3 a时 g(x)最小值为 5 4 a. 5.【拔高题】(2018建平中学模拟)已知函数 f(x)=lognx(n0,n1) (1)若 f(x1x2)=10,求 f(x12)+f(x22)的值; (2)设 g(x)=f(),当 x(m,n)时,g(x)的值域为(1,+),试求 m 与 n 的值; (3)当 n=3 时,记 h(x)=f 1(x)+ (m0),如果对于区间1,0上的任意三个实数 r,s,t,都存在以 h(r)、h(s)、h(t)为边长的三角形,求实数 m 的取值范围 【解析】(1)若 f(x1x2)=10,

23、则 lognx1x2=10, 则 f(x12)+f(x22)=lognx12+lognx22=lognx12x22=logn(x1x2)2=2lognx1x2=20 (2)g(x)=f()=logn=logn()=logn(1+), 则 y=1+在(1,+)上为减函数, 当 x(m,n)时,g(x)的值域为(1,+), m=1,n1, 则函数 g(x)在(m,n)上为减函数, 则 g(n)=1,即 logn(1+)=1,得 1+=n,即=n1, 的(n1)2=2,得 n1=,则 n=1 或 n=1(舍) (3)当 n=3 时,记 h(x)=f 1(x)+ =3x+,(m0), 1x0,设 t=

24、3x,则t1, 即 y=t+,(t1),由题意得在t1 上恒有 2yminymax即可 当 0m时,函数 h(x)在,1上递增, ymax=1+m,ymin=3m+ 由 2yminymax得 6m+ 1+m,即 5m,得 m此时m 当m时,h(x)在,上递减,在,1上递增, ymax=max3m+.1+m=1+m,ymax=3m+,ymin=2, 由 2yminymax得 41+m,得 此时m 当m1 时,h(x)在,上递减,在,1上递增, ymax=max3m+.1+m=3m+,ymin=2, 由 2yminymax得 43m+ ,得m此时m1 当 m1 时,h(x)在,1上递减, ymax

25、=3m+,ymin=m+1, 由 2yminymax得 2m+23m+ ,得 m此时 1m, 综上m 新题速递新题速递 1(2020宝山区一模)下列函数是偶函数,且在0,)上单调递增的是( ) A 2 ( )log (41) x f xx B( ) | 2cosf xxx C 2 2 1 0 ( ) 00 xx f xx x D | ( )10lgxf x 【分析】由偶函数的定义,及在0,)上单调即可求解; 【解答】解:由偶函数的定义,偶函数的定义域关于原点对称,故D错; 2222 41 :()log (41)loglog (41)log 2 4 x xx x A fxxx 2 2 log (

26、41)( ) xx xxf x ; 2 2222 (2 )11 ( )log (41)loglog (2) log 21 22 x xx xx f xx , 当且仅当 1 2 2 x x , 即0x 时等号成立, 故A 正确; :0B x 时,( )2cosf xxx, 令() 1 2 s i n0f xx , 得(0x, 5 2)(2 66 kk , * 22 )()kkN, 故B不正确; :0C x 时, 2 2 1 2x x ,当且仅当 2 2 1 x x ,即1x 时,等号成立,不满足在0,)上单调递增,故 C不正确; 故选:A 2(2020闵行区一模)若( ) | |3 |f xxa

27、xa,且0x,1上的值域为0,f(1),则实数a的取值范围 是 【分析】结合图象,分类讨论即可得解 【解答】解:结合图象, 当0a 时,显然成立; 当0a 时,( )f x在0,1上递增,最小值为 2 30a ,不成立; 当0a 时,要使值域为0,f(1),则需满足 (1)(0) (1)(2 ) ff ffa ,即 1 4 2222 22 a aa 或 厔 ,故 1 0 4 a ; 综上,实数a的取值范围为 1 0, 4 故答案为: 1 0, 4 3(2020普陀区一模)已知函数 22 ( )(815)()(f xxxaxbxc a,b,)cR是偶函数,若方程 2 1axbxc在区间1,2上有

28、解,则实数a的取值范围是 【分析】由( )f x是偶函数,图象关于y轴对称,可知,3,5 是 2 0axbxc的两个根,根据方程的根与 系数关系可求得a,b,c的关系,然后结合二次函数的性质可求a的范围 【解答】解: 22 ( )(815)()f xxxaxbxc是偶函数,图象关于y轴对称, 令 2 8150xx可得,3x 或5x , 根据偶函数图象的对称性可知,3,5 是 2 0axbxc的两个根, 8 15 b a c a , 15 8 ca ba , 由 2 1axbxc可得, 2 8151axaxa, 1x,2时, 2 8153xx,8, 2 11 1 , 8158 3 a xx 故答

29、案为: 1 1 , 8 3 4(2020虹口区一模)已知函数( )f x的定义域为R,当(0x,2时,( )(2)f xxx,且对任意的xR, 均有(2)2 ( )f xf x,若不等式 15 ( ) 2 f x 在(x ,a上恒成立,则实数a的最大值为 【分析】直接利用关系式的应用和定义域的应用求出结果, 【解答】解:利用转点法,设 0 15 (,) 2 A x,在6x,8上,则 0 15 (2,) 4 x 在4x,6上, 0 15 (4,) 8 x 在2x,4上, 0 15 (6,) 16 x 在0x,2上,即( )(2)f xxx过 0 15 (6,) 16 x , 所以 00 15 (

30、6)(8) 16 xx,解得 0 27 4 x 故答案为: 27 4 5(2020崇明区一模)已知函数( )f x是定义在R上的周期为 2 的奇函数当01x 时, 3 ( )1f xxax, 则实数a的值等于 【分析】 根据函数的周期为2, 奇函数, 又已知当01x 时的解析式, 故( 1)ff (1)且( 1)( 12)fff (1)推出f(1)0,解出即可 【解答】解:函数( )f x是定义在R上的周期为 2 的奇函数 当01x 时, 3 ( )1f xxax, ( 1)ff (1)且( 1)( 12)fff (1), f(1)0,即f(1)1120aa , 2a 故答案为:2 6已知(

31、)f x是定义在R内的偶函数,且它在0,)内单调递增,那么使( 2)ff (a)成立的实数a的取 值范围是 【分析】利用函数是偶函数得到不等式( 2)ff (a)等价为f(2)(|)fa,然后利用函数在区间0,)上 单调递增即可得到不等式的解集 【解答】解:函数( )f x是定义在R上的偶函数,且在区间0,)上单调递增 不等式( 2)ff (a)等价为f(2)(|)fa, 即2|a, 2a或2a, 故答案为:2a 或2a 7(2020闵行区一模)已知函数( )2 2 x x a f x (1)若( )f x为奇函数,求a的值; (2)若( )3f x 在1x,3上恒成立,求实数a的取值范围 【

32、分析】(1)由(0)0f即可求得a; (2)设2xt ,2t,8,则问题等价于 22 39 3() 24 attt ,由二次函数的图象及性质即可得解 【解答】解:(1)函数的定义域为R,函数( )f x为奇函数, 0 0 (0)210 2 a fa ,解得1a ; (2)( )3f x 即为23 2 x x a ,即(32 ) 2 xx a,1x,3, 设2xt ,2t,8,则 22 39 3() 24 attt , 设函数 2 39 ( )(),2,8 24 g ttt ,易知函数( )g t在2,8上单调递减,故( )ming tg(8)40 , 40a ,即实数a的(, 40) 8(20

33、20徐汇区一模)设函数 2 ( )|(f xxxaxR,a为实数) (1)若( )f x为偶函数,求实数a的值; (2)设 1 2 a ,求函数( )f x的最小值(用a表示) 【分析】(1)直接利用函数的性质的应用和函数的恒成立问题的应用求出a的值 (2)利用分类讨论思想的应用求出函数的最小值 【解答】解:(1)若函数( )f x为偶函数,则()( )fxf x对于任意实数恒成立 即: 22 |xxaxxa ,所以| |xaxa恒成立,即0a (2)在 1 2 a 的基础上,讨论xa的符号, 当x a时, 2 ( )f xxxa,所以函数( )f x的对称轴为 1 2 x ,此时 2 ( )

34、 min yf aa 当xa时, 2 ( )f xxxa,所以函数( )f x的对称轴为 1 2 x ,此时 11 ( ) 24 min yfa 又由于 1 2 a 时, 2 1 4 aa,所以函数( )f x的最小值为 1 4 min ya 9(2020杨浦区一模)已知函数( )2 2 x x a f x ,其中a为实常数 (1)若(0)7f,解关于x的方程( )5f x ; (2)判断函数( )f x的奇偶性,并说明理由 【分析】(1)由题意(0)7f,代入即可求解, (2)要判断函数的奇偶 性,只有检验()fx与( )f x的关系即可 【解答】解:(1)由题意(0)17fa , 6a, 6 ( )2 2 x x f x , 由 6 25 2 x x 可得22 x 或23 x , 1x或 2 log 3x , (2)函数定义域R, 当( )f x为奇函数时,()( )fxf x , 2(2) 22 xx xx aa , 1 (1)(2)0 2 x x a, 1a ; 当( )f x为偶函数时,()( )fxf x, 2(2) 22 xx xx aa , 1 (1)(2)0 2 x x a, 1a; 当1a 时,函数( )f x为非奇非偶函数

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