1、专题专题 04 三角比、解三角形的综合应用三角比、解三角形的综合应用 专题点拨专题点拨 1“1”的活用；切弦互化：弦的齐次式可化为切；诱导公式的使用. 2熟悉：整体变换、把所求角表示为已知角的关系、变换的技巧、倍角与半角的相对性.如：2() ()；() 2 2 ， 3是 2 3 的半角. 3在三角形内求值：已知三角形各边角关系，求值时，注意利用内角和为、正余弦定理进行转化，同 时注意挖掘隐含条件根据条件判断三角形形状：主要途径是把条件中的边角关系统一成边边关系或角角 关系. 真题赏析真题赏析 1.已知，则( ). A B C D 【答案】C 【解析】 由 22 10 (sin2cos)() 2
2、 可得 22 22 sin4cos4sincos10 sincos4 ，进一步整理可得 2 3tan8tan30 ，解得tan3或 1 tan 3 ，于是， 2 2tan3 tan2 1tan4 2.在中，BC 边上的高等于，则( ). A B C D 【答案】C 【解析】 设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得 2 10 cos2sin,R2tan 3 4 4 3 4 3 3 4 ABC 4 B = 1 3 BCcos A= 3 10 10 10 10 10 10 - 3 10 10 - 12 sin 342 acc ，则 3 2 2 ac在ABC中，由余弦定理可得 222
3、2222 95 23 22 baccacccc，则 10 2 bc 由余弦定理，可得 222 222 59 10 22 cos 21010 2 2 ccc bca A bc c c ，故选 C 3.设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若， 则 ABC 的形 状为 ( ). A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【答案】B 【解析】，由正弦定理得， ，ABC 是直角三角形 B. 4.如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长 80米. 设点AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和. (1)
4、设计中CD是铅垂方向. 若要求2，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？ (2) 施工完成后，CD与铅垂方向有偏差现在实测得38.12，18.45，求CD的长(结果精确 到0.01米). 【解析】 (1)记 CDh.根据已知得 tantan20， tan h 35， tan h 80， 所以 h 35 2h 80 1（ h 80） 20， 解得 h20 2 28.28.因此，CD 的长至多约为 28.28 米 (2) 在 ABD 中， 由已知， 56.57 ， AB115， 由正弦定理得 BD sin AB sin（）， 解得 BD85.064. 在 BCD 中，由余弦定理得 CD2B
5、C2BD22BC BD cos，解得 CD26.93.所以 CD 的长约为 26.93 米 例题剖析例题剖析 【例 1】若0 2 ，0 2 - ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ，则cos() 2 ( ) coscossinbCcBaA 2 sincossincossinBCCBA 2 sin()sinBCAcoscossinbCcBaA 2 sinsinAAsin1A A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 【答案】C 【解析】cos()cos()() 2442 cos()cos() 442 sin()sin() 442 ， 而 3 (,) 444 ，(,)
6、424 2 ，因此 2 2 sin() 43 ， 6 sin() 423 ， 则 132 265 3 cos() 233339 【变式训练 1】 已知, 为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 (1)求cos2的值； (2)求tan()的值 【解析】(1)因为，所以 因为，所以，因此， (2)因为为锐角，所以 又因为，所以， 因此因为，所以， 因此， 【例 2】化简： 2cos21 2tan（ 4）sin 2（ 4） . 【解析】原式 2cos21 2 sin（ 4） cos（ 4） cos2（ 4） 4 tan 3 sin tan cos 4 sincos 3 22 sincos1
7、 2 9 cos 25 2 7 cos22cos1 25 , (0,) 5 cos() 5 2 2 5 sin()1cos () 5 tan()2 4 tan 3 2 2tan24 tan2 1tan7 tan2tan()2 tan()tan2() 1+tan2 tan()11 2cos21 2sin（ 4）cos（ 4） 2cos2cos2sin2 （cossin）（cossin） cos2sin2 cos2sin21. 【变式训练 2】已知 sin( 42) sin( 42) 1 4，( 4， 2)，求 2sin 2tancot1 的值 【解析】由sin2sin2sin2cos2 4444
8、 1 s i n4 22 1 2cos4 1 4得 cos4 1 2， 4 2 ，4(，2)，45 3 ，得 5 12. 2sin2tancot1cos2 sin2cos2 sincos cos2 2cos2 sin2 (cos22cot2) 55 cos2cot 66 ( 3 2 2 3)5 3 2 . 【例 3】如图，某广场有一块边长为 1()hm的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的摄像头， 其能够捕捉到图像的角PAQ始终为 45 (其中点P、Q分别在边BC、CD上)， 设PAB， 记t a nt. (1)用t表示PQ的长度，并研究CPQ的周长l是否为定值？ (2)问摄像头能捕捉
9、到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少 2 hm？ 【解析】(1),1,01BPt CPtt 45DAQ， 1 tan(45) 1 t DQ t ， 12 1 11 tt CQ tt 所以 2 2 222 21 (1) 11 tt PQCPCQt tt 故 2 21 1112 11 tt lCPCQPQttt tt 所以CPQ的周长l是定值2 (2) 11 1 221 ABPADQABCD tt SSSS t 正方形 12 2(1)22 21 t t 当且仅当2 1t 时，等号成立 所以摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为22 2 hm 【变式训练 3】(2019 徐汇区一模
10、)我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一 段圆弧AB， 对应的圆心角 3 AOB . 该地区为打击洋垃圾走私， 在海岸线外侧 20 海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证(如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点,A B分别建有监 测站，A与B之间的直线距离为 100 海里. (1)求海域ABCD的面积； (2) 现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点 40 海里，在B点测得其距B点20 19海里. 判 断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由. 陆地 海 域 B C O D A 【解析】(1)100AB （海里） , 3 A
11、OB 则100120AOBOOCOD（海里），（海里） 22 112200 120100 23233 ABCD S (平方海里) 所以，海域ABCD的面积为 2200 3 平方海里. (2)100AB （海里）40,20 19APBP（海里）（海里） 222 40100(20 19) cos 2 40 100 PAB 1 2 3 PAB ， 2 3 PAO 22 2cosPOAPAOAP AOPAO 22 2 401002 40 100cos 3 2039120（海里）（海里） 这艘不明船只没有进入海域ABCD. 【例 4】 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 sincos
12、() 6 bAaB (1)求角B的大小； (2)设2a，3c ，求b和sin(2)AB的值 【解析】 (1)在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，可得sinsinbAaB， 又由 sincos() 6 bAaB，得 sincos() 6 aBaB， 即 sincos() 6 BB，可得tan3B 又因为(0)B，可得 3 B (2)在ABC中，由余弦定理及2a，3c ， 3 B ， 有 222 2cos7bacacB，故7b 由 sincos() 6 bAaB，可得 3 sin 7 A 因为ac，故 2 cos 7 A 因此 4 3 sin22sincos 7 AAA， 2 1
13、cos22cos1 7 AA 所以，sin(2)sin2 coscos2 sinABABAB 4 31133 3 727214 【变式训练 4】(2019 长宁区一模)已知ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，复 数 1 izab， 2 cosicoszAB，(其中i是虚数单位)，且 12 3izz. (1)求证：coscosaB bAc，并求边长c的值； (2)判断ABC的形状，并求当3b 时，角A的大小. 【解析】(1)证明：由余弦定理得 222222 cos,cos 22 acbbca BA acbc ， 则 222222 coscos 22 acbbca aBbAab
14、acbc 222222 22 acbbca cc c 所以 cAbBa coscos 由题意得 (i) (cosicos)3iabAB， 即 ( cos- cos)( coscos)i3iaA bBaBbA， 由复数相等的定义可得 0cos-cosBbAa，且3coscosAbBa ， 即 3c (2)由(1)得 0cos-cosBbAa 由正弦定理得 0cossincossinBBAA， 即 BA2sin2sin 因为 ), 0(A、), 0(B， 所以 BA22 或 BA22， 即 BA 或 2 BA，即BA 或 2 C 所以 ABC知等腰三角形或直角三角形 当BA 时， 3 2 cos
15、2 c A b ，所以 6 A ； 当 2 C时， 3 sin 3 b A c ，所以 3 arcsin 3 A 巩固训练巩固训练 一、填空题一、填空题 1. 己知 cos31 a，则 sin239 tan149 的值是_ 【答案】 1a2 . 【解析】sin239 tan149 sin(270 31 )tan(180 31 )(cos31 )(tan31 )sin31 1a2. 2设 1、2R，且 1 2sin1 1 2sin（22）2，则|1012|的最小值等于_ 【答案】 4 【解析】 1 2sin1 1 3，1， 1 2sin（22） 1 3，1， 1 2sin1 1 2sin（22）
16、1，即 sin1sin(22) 1，1 22k，2 4k，|1012|min 4. 3. (2019 静安区二模)设 的内角 A，B，C的对边为 a，b，.已知 a，b，c依次成等比数列，且 cos( ) = 1 2，延长边 BC 到 D，若 = 4，则 面积的最大值为_ 【答案】 3 【解析】解： cos( ) = 1 2， cos( ) + cos( + ) = 2 = 1 2， = 1 4 ， ，b，c 依次成等比数列， 2= ， 由正弦定理可得，sin2 = 可得，1 4 sin2 = = cos( + ) = cos2 + 3 4 = 0 = 1 2， = 1 3， cos( ) =
17、 1 2， cos( ) = 1，即 = 0 为正三角形，设边长 a， 当且仅当 = 4 即 = 2时取等号 故答案为：3 4.在锐角三角形ABC，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，6cos ba C ab ， 则 t a nt a n t a nt a n CC AB =_ 【答案】4 【解析】 22 6cos6cos ba CabCab ab ， 2222 2222 3 6, 22 abcc abab ab ab tantansincossinsincossinsin() tantancossinsincossinsin CCCBABACAB ABCABCAB 2 1sin cos
18、sinsin C CAB 由正弦定理，得：上式 222 2 22 1 4 1 1 3cos () 6 62 ccc cC ab ab 5.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 若；则 若；则 若；则 若；则 ABC, ,A B C, ,a b c 2 abc 3 C 2abc 3 C 333 abc 2 C ()2ab cab 2 C 若；则 【答案】 【解析】 . . 当时，与矛盾!故(2)正确. 取满足得：. 取满足得： 二、选择题二、选择题 6在ABC中，角A，B，C的对边分别为，若ABC为锐角三角形，且满 足sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的
19、是( ) A B C2AB D2BA 【答案】A 【解析】 由sin(12cos)2sincoscossinBCACAC， 得sin2sincossincossinBBCACB， 即2sincossincosBCAC，所以2sinsinBA，即2ba，选 A 7在中，角所对的边长分别为若，2ca，则( ) A B C D与的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 因为120C，2ca， 所以 222 2coscababC， 222 1 22() 2 aabab 所以 22 ,0, ab abab abab ab . 故选 A. 8.设(0,) 2 ，(0,) 2 ，且 1 sin tan co
20、s ，则( ) A3 2 B2 2 C3 2 D2 2 【答案】B 22222 ()2ab ca b 3 C 222 2 21 cos 2223 abcabab abcCC abab 222222 4()()1 2cos 2823 abcabab abcCC abab 2 C 22232233 cabca cb cab 333 abc 2,1abc()2ab cab 2 C 2,1abc 22222 ()2ab ca b 3 C abc 2ab2ba ABC, ,A B C, ,a b c120C abababab 【解析】由条件得 sin1 sin coscos ，即sincoscos(1
21、sin)， 得sin()cossin() 2 ，又因为 22 ，0 22 ， 所以 2 ，所以2 2 9.如图，在中，是边上的点，且，则的值为 ( ) A B C D 【答案】D 【 解 析 】 设， 则， 在中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，则，在中， 由正弦定理得 4 3 sinsin2 2 3 c cBC CA ，解得 三、三、解答题解答题 10.化简： sincos1 , sin1cos kk kZ kk . 【解析】当 k2n1(nZ)时， 原式 sin（2n） cos（2n） sin（2n2） cos（2n） sin（） cos sin cos（） sin cos sin （cos
22、）1； 当 k2n(nZ) 时， 原式sin（2n） cos（2n） sin（2n） cos（2n） sin （cos） sin cos 1. 综上，原式1. 11.的内角，的对边分别为，已知的面积为 ABCDAC,23ABADABBD2BCBDsinC 3 3 3 6 6 3 6 6 ABcADc 2 3 c BD 4 3 c BC ABD 222 2 4 1 3 cos 23 ccc A c 2 2 sin 3 A ABC 6 sin 6 C ABCABCabcABC 2 3sin a A B A C D (1)求；(2)若，求的周长 【解析】(1)由题设得，即 由正弦定理得故 (2)由题
23、设及(1)得 所以，故由题设得，即 由余弦定理得，即，得 故的周长为 12.如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 33海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45 ，B 点 北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号， 位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船 立即即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ 【解析】由题意知 5 33AB=海里，906030 ,45 ,DBADAB 105ADB在DAB中，由正弦定理得 sinsin DBAB DABADB sin5(33) sin455(33) sin45 sins
24、in105sin45cos60sin60cos45 ABDAB DB ADB = 5 3(13) 10 3 (13) 2 (海里). sinsinBC6coscos1BC 3a ABC 2 1 sin 23sin a acB A 1 sin 23sin a cB A 1sin sinsin 23sin A CB A 2 sinsin 3 BC 121 cos()coscossinsin 632 BCBCBC 2 3 BC 3 A 2 1 sin 23sin a bcA A 8bc 22 9bcbc 2 ()39bcbc33bc ABC333 又30(9060 )60 ,20 3DBCDBAAB
25、CBC 海里， 在DBC中，由余弦定理得 222 2cosCDBDBCBD BCDBC = 1 300 12002 10 320 3900 2 CD30(海里)，则需要的时间 30 1 30 t (小时) 答：救援船到达 D 点需要 1 小时 新题速递新题速递 (2020静安区一模)某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处， 测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21方向， 且塔顶的仰角为18， 此人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达B处， 此时测得塔底位于北偏西39方向， 则该塔的高度约为( ) A265 米 B279 米 C292 米 D306 米 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的
26、边角关系，即可求出该塔的高度 【解答】解：如图所示， ABC中，1000AB ，213960ACB ，903951ABC ； 由正弦定理得， 1000 sin51sin60 AC ， 所以 1000 sin51 sin60 AC ； Rt ACD中，18CAD， 所以 1000 sin5110000.7771 tan18tan180.3249292 sin600.8660 CDAC (米)； 所以该塔的高度约为 292 米 故选：C 2(2020青浦区一模)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点 坐标是 3 ( 5 ， 4) 5 ，则sin2 【分析】直接利用单
27、位圆求出三角函数的值，进一步利用三角函数关系式的变换求出结果 【解答】解：角的终边与单位圆的交点坐标是 3 ( 5 ， 4) 5 ， 所以 3 cos 5 ， 4 sin 5 ， 所以 3424 sin22sincos2() 5525 故答案为： 24 25 3(2020虹口区一模)在ABC中，8a ，6b ， 1 cos 3 A ，求： (1)角B； (2)BC边上的高 【分析】(1)直接利用同角三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果 (2)利用和角公式的运用求出sinC，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解：(1)在ABC中，8a ，6b ， 1 cos 3 A ，所以角A为钝角，由 22 sincos1AA，解得 2 2 sin 3 A 利用正弦定理的应用 sinsin ab AB ，解得 2 sin 2 B ，所以 4 B (2)根据(1)的结论， 2 222142 sinsin()sincoscossin() 32236 CABABAB 所以 1142 sin8 6164 2 226 ABC SabC ， 由于 11 164 28 22 ahh ，解得42h ， 故BC边上的高为42
