1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1下列各数中，最小的数是（ ） A0 B1 C1 D 2计算：a2+2a2（ ） Aa2 Ba2 C2a2 D0 3如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A B C D 4PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，是衡量空气污染程度的重要指 标将 0.0000025 用科学记数法表示为 2.510n，则 n 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 5如图，130，B60，ABAC，则下列说法正确的是（ ） AABCD BADBC CACCD DDAB+D180 6已知（x1）3ax3+bx2
2、+cx+d，则 a+b+c+d 的值为（ ） A1 B0 C1 D不能确定 7如图，在直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原点，点 C 的坐标为（4，0），点 B 的纵坐标是1，则菱形 OACB 的边长为（ ） A3 B C5 D 8如果关于 x 的一元二次方程 x2+2xm0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 9如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿 EF 所在的直线折叠，点 A 落在 BC 边上 的点 D 处，已知AEF 的面积为 7，则图中阴影部分的面积为（ ） A7 B14 C21 D28 10 如图， 四边形 ABCD 是O 的内
3、接四边形， 若BOD88， 则BCD 的度数是 （ ） A88 B92 C106 D136 11如图，在正方形 ABCD 中，AB4，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FCBC则 AEF 的面积是（ ） A5 B6 C7 D8 12 如图， 在等腰ABC 中， ABAC， 把ABC 沿 EF 折叠， 点 C 的对应点为 O， 连接 AO， 使 AO 平分BAC，若BACCFE50，则点 O 是（ ） AABC 的内心 BABC 的外心 CABF 的内心 DABF 的外心 13已知 x24x10，则代数式的值是（ ） A7 B6 C5 D5 14 用直尺和圆规作 RtABC 斜边
4、AB 上的高线 CD， 以下四个作图中， 作法错误的是 （ ） A B C D 15如图，是反比例函数 y和 y在 x 轴上方的图象，x 轴的平行线 AB 分别与这两 个函数图象相交于点 A，B，点 P 在 x 轴上则点 P 从左到右的运动过程中，APB 的面 积是（ ） A10 B4 C5 D从小变大再变小 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（3，0），若在直线 yx+m 上存 在点 P 满足APB60，则 m 的取值范围是（ ） Am B5m+5 C 2m +2 D2m+2 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 10 分17、18 小题 3 分；19 小题有 2 个空
5、，每空 2 分） 17分解因式：ax24a 18不等式30 的最大整数解是 19 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 坐标是 当把坐标系绕点 O 顺时针旋转 30 时，点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是（ ， ）；当把坐标系绕点 O 逆时 针选择 30时，点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是（ ， ） 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 68 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20小丽同学准备化简：（3x26x8）（x22x6），算式中“”是“+， ”中的某一种运算符号 （1）如果“”是“”，请你化简：（3x26x8）（x22x6）； （2）若 x22x30，求（3x26x8）（
6、x22x6）的值； （3）当 x1 时， （3x26x8）（x22x6）的结果是8，请你通过计算说明“” 所代表的运算符号 21如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中仼意 三个相邻格子中所填整数之和都相等 8 x y z 5 4 （1）可求得 x ；y ；z （2）第 2019 个格子中的数为 ； （3）前 2020 个格子中所填整数之和为 （4）前 n 个格子中所填整数之和是否可能为 2020？若能，求出 n 的值，若不能，请说明 理由 22为了迎接体育中考，初三 7 班的体育老师对全班 48 名学生进行了一次体能模拟测试， 得分均为整数，满分 10 分，成
7、绩达到 6 分以上（包括 6 分）为合格，成绩达到 9 分以上 （包括 9 分）为优秀，这次模拟测试中男、女生全部成绩分布的条形统计图如下 （1）请补充完成下面的成绩统计分析表： 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率 男生 6.9 2.4 91.7% 16.7% 女生 1.3 83.3% 8.3% （2）男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同 意男生的说法，认为女生的成绩要好于男生，请给出两条支持女生观点的理由； （3）体育老师说，咱班的合格率基本达标，但优秀率太低，我们必须加强体育锻炼，两 周后的目标是：全班优秀率达到 50%如果女生新增优秀人数恰好是男生新
8、增优秀人数 的两倍，那么男、女生分别新增多少优秀人数才能达到老师的目标？ 23如图，在ABC 中，BAC90，B60，AB2ADBC 于 DE 为边 BC 上 的一个（不与 B、C 重合）点，且 AEEF 于 E，EAFB，AF 相交于点 F （1）填空：AC ；F （2）当 BDDE 时，证明：ABCEAF （3）EAF 面积的最小值是 （4）当EAF 的内心在ABC 的外部时，直接写出 AE 的范围 24 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去， 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行， 如图所示，图中的线段 y1、y2分别表示小东、小明离 B 地的距离 y1、y2（千米）与所
9、用 时间 x（小时）的关系 （1）写出 y1、y2与 x 的关系式： ， ； （2）试用文字说明：交点 P 所表示的实际意义 （3）试求出 A、B 两地之间的距离 （4）求出小东、小明相距 4 千米时出发的时间 25如图，在AOB 中，AOB90，AO6，BO6，以点 O 为圆心，以 2 为半径 作优弧，交 AO 于点 D，交 BO 于点 E点 M 在优弧上从点 D 开始移动，到达点 E 时停止，连接 AM （1）当 AM4时，判断 AM 与优弧的位置关系，并加以证明； （2）当 MOAB 时，求点 M 在优弧上移动的路线长及线段 AM 的长； （3）连接 BM，设ABM 的面积为 S，直接写
10、出 S 的取值范围 26如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过点 P（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 直接写出点 Q 与直线 yx+5 的距离小于时 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分110 小题各 3 分，1116 小题各 2 分在每 小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的） 1下列各数中，最小的数是（ ） A0 B1 C1 D 【分析】根据正实数都大于 0，负实数都小于
11、0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝 对值大的反而小，进行比较 解：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大 的反而小， 101， 故选：D 2计算：a2+2a2（ ） Aa2 Ba2 C2a2 D0 【分析】根据合并同类项法则，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此 计算即可得出正确选项 解：a2+2a2（1+2）a2a2， 故选：A 3如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 解：如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是 故选：C
12、 4PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，是衡量空气污染程度的重要指 标将 0.0000025 用科学记数法表示为 2.510n，则 n 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 解：0.00000252.5106， n6 故选：B 5如图，130，B60，ABAC，则下列说法正确的是（ ） AABCD BADBC CACCD DDAB+D180 【分析】因为 ABAC，所以B
13、AC90，又因为130，B60，则可求得 1BCA30，故 ADBC 解：ABAC， BAC90 130，B60， BCA30 1BCA ADBC 故选：B 6已知（x1）3ax3+bx2+cx+d，则 a+b+c+d 的值为（ ） A1 B0 C1 D不能确定 【分析】令 x1，即可求出原式的值 解：把 x1 代入（x1）3ax3+bx2+cx+d， 得 a+b+c+d0 故选：B 7如图，在直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原点，点 C 的坐标为（4，0），点 B 的纵坐标是1，则菱形 OACB 的边长为（ ） A3 B C5 D 【分析】首先连接 AB 交 OC 于点 D，由菱
14、形 OACB 中，点 C 的坐标是（4，0），点 B 的纵坐标是1，即可求得菱形 OACB 的边长 解：连接 AB 交 OC 于点 D， 四边形 ABCD 是菱形， ABOC，ODCD，ADBD， 点 C 的坐标是（4，0），点 B 的纵坐标是1， OC4，BDAD1， ODCD2， 菱形 OACB 的边长为 故选：D 8如果关于 x 的一元二次方程 x2+2xm0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】要使一元二次方程 x2+2xm0 有实数根，只需0 解：一元二次方程 x2+2xm0 有实数根， 4+4m0， 即 m1 故选：A 9如图，EF 是AB
15、C 纸片的中位线，将AEF 沿 EF 所在的直线折叠，点 A 落在 BC 边上 的点 D 处，已知AEF 的面积为 7，则图中阴影部分的面积为（ ） A7 B14 C21 D28 【分析】根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得ABC 的面积，再 根据折叠的性质得到DEF 的面积，从而求解 解：EF 是ABC 的中位线， EFBC，EFBC AEFACB （）2 ABC 的面积28 由折叠的性质得DEF 的面积为 7， 图中阴影部分的面积为 287714 故选：B 10 如图， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， 若BOD88， 则BCD 的度数是 （ ） A88 B92 C1
16、06 D136 【分析】首先根据BOD88，应用圆周角定理，求出BAD 的度数多少；然后根据 圆内接四边形的性质， 可得BAD+BCD180， 据此求出BCD 的度数是多少即可 解：BOD88， BAD88244， BAD+BCD180， BCD18044136， 即BCD 的度数是 136 故选：D 11如图，在正方形 ABCD 中，AB4，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FCBC则 AEF 的面积是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】首先由四边形 ABCD 是正方形，得出DC90，ADDCCB，又由 DECE，FCBC，证出ADEECF，然后根据相似三角形的对应边成比例
17、与相 似三角形的对应角相等，证明出AEFADE 解：四边形 ABCD 是正方形，AB4， DC90，ADDCCB， DECE2，FCBC1， AE2， DE：CFAD：ECAE：EF2：1， ADEECF， AE：EFAD：EC，DAECEF， AE：EFAD：DE， 即 AD：AEDE：EF， DAE+AED90， CEF+AED90， AEF90， DAEF， ADEAEF， （）2（）2， SADE 424， SAEF5， 故选：A 12 如图， 在等腰ABC 中， ABAC， 把ABC 沿 EF 折叠， 点 C 的对应点为 O， 连接 AO， 使 AO 平分BAC，若BACCFE50，
18、则点 O 是（ ） AABC 的内心 BABC 的外心 CABF 的内心 DABF 的外心 【分析】连接 OB、OC，根据 ABAC，AO 平分BAC，BAC50，可得 AO 是 BC 的垂直平分线，BAOCAO25，得 OBOC，根据折叠可证明OACOCA 25，得 OAOC，进而 OAOBOC，可得点 O 是三角形 ABC 的外心 解：如图，连接 OB、OC， ABAC，AO 平分BAC， AO 是 BC 的垂直平分线， OBOC， BAC50，AO 平分BAC， BAOCAO25， 根据折叠可知：CFOF，OFECFE50， OFC100， FCO（180100）40， ABAC，BAC
19、50， ACB（18050）65， OCAACBFCO654025， OACOCA25， OAOC， OAOBOC， O 是ABC 的外心 故选：B 13已知 x24x10，则代数式的值是（ ） A7 B6 C5 D5 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，把已知等式变形后代入计算即可 求出值 解：原式 由 x24x10，得到 x24x1，即 x（x4）1，（x2）25， 则原式5， 故选：C 14 用直尺和圆规作 RtABC 斜边 AB 上的高线 CD， 以下四个作图中， 作法错误的是 （ ） A B C D 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解 解： A、 根据垂
20、径定理作图的方法可知， CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线， 不符合题意； B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，不符 合题意； C、 根据相交两圆的公共弦的性质可知， CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线， 不符合题意； D、无法证明 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线，符合题意 故选：D 15如图，是反比例函数 y和 y在 x 轴上方的图象，x 轴的平行线 AB 分别与这两 个函数图象相交于点 A，B，点 P 在 x 轴上则点 P 从左到右的运动过程中，APB 的面 积是（ ） A10 B4 C5 D从小变大再变小 【分
21、析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案 解：x 轴的平行线 AB 分别与这两个函数图象相交于点 A，B， ABy 轴， 点 A、B 在反比例函数 y和 y在 x 轴上方的图象上， SPABSAOBSCOB+SAOC （3+7）5， 故选：C 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（3，0），若在直线 yx+m 上存 在点 P 满足APB60，则 m 的取值范围是（ ） Am B5m+5 C 2m +2 D2m+2 【分析】作等边三角形 ABE，然后作外接圆，求得直线 yx+m 与外接圆相切时的 m 的值，即可求得 m 的取值范围 解：如图，作等边三角形 ABE，
22、A（3，0），B（3，0）， OAOB3， E 在 y 轴上， 当 E 在 AB 上方时，作等边三角形 ABE 的外接圆Q，设直线 yx+m 与Q 相切，切 点为 P，当 P 与 P1重合时 m 的值最大， 当 P 与 P1重合时，连接 QP1，则 QP1直线 yx+m， OA3， OE3， 设Q 的半径为 x，则 x232+（3x）2， 解得 x2， EQAQPQ2， OQ， 由直线 yx+m 可知 ODOCm， DQm，CDm， ODCP1DQ，CODQP1D， QP1DCOD， ，即， 解得 m+2， 当 E 在 AB 下方时，作等边三角形 ABE 的外接圆Q，设直线 yx+m 与Q 相
23、切，切 点为 P，当 P 与 P2重合时 m 的值最小， 当 P 与 P2重合时，同理证得 m 2， m 的取值范围是2m+2， 故选：D 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 10 分17、18 小题 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分） 17分解因式：ax24a a（x+2）（x2） 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解：ax24a， a（x24）， a（x+2）（x2） 18不等式30 的最大整数解是 x4 【分析】求出不等式的解集，找出解集中的最大整数即可 解：由不等式30 解得：x5， 则不等式的最大整数解是 x4 故答案为：x4 19 在平
24、面直角坐标系 xOy 中， 点 A 坐标是 当把坐标系绕点 O 顺时针旋转 30 时，点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是（ 2 ， 0 ）；当把坐标系绕点 O 逆时针 选择 30时，点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是（ 1 ， ） 【分析】根据题意画出图形，连接 OA，作 ABx 轴于点 B，当把坐标系绕点 O 顺时针 旋转 30时， 相当于把 OA 绕点 O 逆时针旋转 30， 可得点 A 在旋转后的坐标系中的坐 标是（2，0）；当把坐标系绕点 O 逆时针旋转 30时，相当于把 OA 绕点 O 顺时针旋 转 30，到 OA，根据勾股定理即可得点 A 在旋转后的坐标系中的坐标 解：如图所示：
25、连接 OA，作 ABx 轴于点 B， 点 A 坐标是 AB1，OB， OA2， AOB30， 当把坐标系绕点 O 顺时针旋转 30时， 相当于把 OA 绕点 O 逆时针旋转 30， 点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是（2，0）； 当把坐标系绕点 O 逆时针旋转 30时， 相当于把 OA 绕点 O 顺时针旋转 30，到 OA， BOA60，OAOA2， OB1，AB， A（1，） 故答案为：2，0，1， 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 68 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20小丽同学准备化简：（3x26x8）（x22x6），算式中“”是“+， ”中的某一种运算符号 （1）如果
26、“”是“”，请你化简：（3x26x8）（x22x6）； （2）若 x22x30，求（3x26x8）（x22x6）的值； （3）当 x1 时， （3x26x8）（x22x6）的结果是8，请你通过计算说明“” 所代表的运算符号 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算，得到答案； （2）把 x22x30 变形为 x22x3，把原式化简，代入计算即可； （3）把 x1 代入原式，根据有理数的混合运算法则计算即可 解：（1）（3x26x8）（x22x6） （3x26x8）（x212x） 3x26x8x2+12x 2x2+6x8； （2）（3x26x8）（x22x6） 3x26x8x2+2x+6 2
27、x24x2， x22x30， x22x3， 2x24x22（x22x）2624； （3）“”所代表的运算符号是“”， 当 x1 时，原式（368）（126）， 由题意得，11（1+26）8， 整理得：1+263， 264 即处应为“” 21如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中仼意 三个相邻格子中所填整数之和都相等 8 x y z 5 4 （1）可求得 x 5 ；y 4 ；z 8 （2）第 2019 个格子中的数为 4 ； （3）前 2020 个格子中所填整数之和为 665 （4）前 n 个格子中所填整数之和是否可能为 2020？若能，求出 n 的值，若不能，
28、请说明 理由 【分析】（1）由题可得，每四个数循环一次，因此找到数的对应即可； （2）20193673，故第 2019 个格子中的数为 4； （3）由循环规律可得：202036731； （4）计算三个格子和为 1，而 2020 能被 1 整除，因此，n 个格子中所填整数之和可以为 2020 解：（1）由题意可得，8，x，y 三个数循环出现， x5；y4；z8 故答案为 5，4，8； （2）20193673， 第 2019 个格子中的数为 4， 故答案为 4 （3）202036731， 673（8+5+4）8665， 前 2020 个格子中所填整数之和为 665 故答案为 665； （4）能 （
29、1）8+5+41，202012020， 202036060； （2）x82020x2028，20283+16085； （3）x8+52020x2023，20233+26071； 前 6060，6071 或 6085 个格子中所填整数之和为 2020 22为了迎接体育中考，初三 7 班的体育老师对全班 48 名学生进行了一次体能模拟测试， 得分均为整数，满分 10 分，成绩达到 6 分以上（包括 6 分）为合格，成绩达到 9 分以上 （包括 9 分）为优秀，这次模拟测试中男、女生全部成绩分布的条形统计图如下 （1）请补充完成下面的成绩统计分析表： 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率 男生 6.
30、9 2.4 7 91.7% 16.7% 女生 7 1.3 7 83.3% 8.3% （2）男生说他们的合格率、优秀率均高于女生，所以他们的成绩好于女生，但女生不同 意男生的说法，认为女生的成绩要好于男生，请给出两条支持女生观点的理由； （3）体育老师说，咱班的合格率基本达标，但优秀率太低，我们必须加强体育锻炼，两 周后的目标是：全班优秀率达到 50%如果女生新增优秀人数恰好是男生新增优秀人数 的两倍，那么男、女生分别新增多少优秀人数才能达到老师的目标？ 【分析】（1）本题需先根据中位数的定义，再结合统计图得出它们的平均分和中位数即 可求出答案； （2）本题需先根据以上表格，再结合女生的平均分和
31、方差两方面说出支持女生的观点； （3）根据之前男、女生优秀人数+新增男、女生优秀人数总人数50%，列方程求解 可得 解：（1）由条形统计图可知，男生一共 2+6+8+4+424 人，其中位数是第 12、第 13 个 数的平均数， 第 12、13 两数均为 7，故男生中位数是 7； 女生成绩平均分为：7（分）， 其中位数是：7（分）； 补充完成的成绩统计分析表如下： 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率 男生 6.9 2.4 7 91.7% 16.7% 女生 7 1.3 7 83.3% 8.3% （2）从平均数上看，女生平均分高于男生； 从方差上看，女生的方差低于男生，波动性小； （3）设男生新
32、增优秀人数为 x 人， 则：2+4+x+2x4850%， 解得：x6， 故 6212（人） 答：男生新增优秀人数为 6 人，女生新增优秀人数为 12 人 23如图，在ABC 中，BAC90，B60，AB2ADBC 于 DE 为边 BC 上 的一个（不与 B、C 重合）点，且 AEEF 于 E，EAFB，AF 相交于点 F （1）填空：AC 2 ；F 30 （2）当 BDDE 时，证明：ABCEAF （3）EAF 面积的最小值是 （4）当EAF 的内心在ABC 的外部时，直接写出 AE 的范围 【分析】（1）先解直角三角形 ABC，求得 AC 的值，再在直角三角形 AEF 中，利用互余 关系求得
33、F 即可； （2）先利用等腰三角形的“三线合一“性质证明 ABAE，再利用 ASA 证明ABC EAF； （3）先在AEF 中，由三角函数求得 EFAE，再利用三角形的面积公式得出 S EAF AE2，然后由当 AEBC 时，AE 最短，SEAF最小，求得 AE 的值，则EAF 面 积的最小值可得； （4）当EAF 内心恰好落在 AC 上时，设EAF 的内心为 N，连接 EN，利用三角形的 内心性质证明ABE 是等边三角形，从而可知 AEAB2，由（1）可知 AC2，从 而可得当EAF 的内心在ABC 的外部时，AE 的范围 解：（1）BAC90，B60，AB2，tanB， ACAB tanB
34、2tan602； AEEF， AEF90， EAFB60， F90EAF906030 故答案为：2，30； （2）证明：当 BDDE 时， ADBC 于 D， ABAE， AEF90，BAC90， AEFBAC， 又EAFB， ABCEAF（ASA）； （3）AEF90，EAF60，tanEAF， EFAE tanEAFAE tan60AE， SEAFAE EF AEAE AE2， 当 AEBC 时，AE 最短，SEAF最小，此时AEB90，sinB， AEAB sinB2sin602， SEAFAE23， EAF 面积的最小值是， 故答案为：； （4）当EAF 内心恰好落在 AC 上时，设E
35、AF 的内心为 N，连接 EN，如图： N 是EAF 的内心， AN 平分EAF，EN 平分AEF， EACAEF6030， BAC90， BAEBACEAC903060， 又B60， ABE 是等边三角形， AEAB2， E 为 BC 上的一点，不与 B、C 重合，由（1）可知 AC2， 当EAF 的内心在ABC 的外部时， 故答案为： 24 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去， 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行， 如图所示，图中的线段 y1、y2分别表示小东、小明离 B 地的距离 y1、y2（千米）与所用 时间 x（小时）的关系 （1）写出 y1、y2与 x 的关系式
36、： y15x+20 ， y23x ； （2）试用文字说明：交点 P 所表示的实际意义 （3）试求出 A、B 两地之间的距离 （4）求出小东、小明相距 4 千米时出发的时间 【分析】（1）需求直线 y1的解析式，因为它过点（2.5，7.5），（4，0），利用待定系 数法即可求出其解析式再利用待定系数法即可求出 OP 的解析式； （2） 因为小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去， 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行，所以交点 P（2.5，7.5）的意义是经过 2.5 小时后，小东与小明在距离 B 地 7.5 千米处相遇； （3）需求直线 y1的解析式，因为它过点（2.5，7.5）
37、，（4，0），利用待定系数法即可 求出其解析式然后令 x0，求出此时的 y 值即可； （4）根据题意列方程解答即可 解：（1）设 y1k1x+b，根据题意得： ，解得， y15x+20， 设 y2k2x，根据题意得：2.5k27.5，解得 k23， y23x 故答案为：y15x+20，y23x （2）交点 P 所表示的实际意义是： 经过 2.5 小时后，小东与小明在距离 B 地 7.5 千米处相遇 （3）y15x+20，当 x0 时，y120 故 AB 两地之间的距离为 20 千米 （4）根据题意得 5x+3x204 或 5x+3x20+4， 解得 x2 或 x3 即出发 2 小时或 3 小时
38、小东、小明相距 4 千米 25如图，在AOB 中，AOB90，AO6，BO6，以点 O 为圆心，以 2 为半径 作优弧，交 AO 于点 D，交 BO 于点 E点 M 在优弧上从点 D 开始移动，到达点 E 时停止，连接 AM （1）当 AM4时，判断 AM 与优弧的位置关系，并加以证明； （2）当 MOAB 时，求点 M 在优弧上移动的路线长及线段 AM 的长； （3）连接 BM，设ABM 的面积为 S，直接写出 S 的取值范围 【分析】（1）由已知AMO 边长用勾股定理的逆定理可证明AMO90，即可得到 AM 与优弧相切 （2）由已知可知OAB60，ABO30，根据当 MOAB 时，分AOM
39、60 或BOM30用解三角形即可解答 （3）由图易知ABM 的 AB 边最小高为 M 在 D 时，最大高为 M 在过 O 垂直于 AB 的直 线上，用解三角形即可求出最小高和最大高，进而求出ABM 的面积为 S 的取值范围 解：（1）结论；AM 与优弧相切 理由如下：AO6，OM2，AM， OM2+AM2OA2， AMO90， AM 与优弧相切 （2）在AOB 中，AOB90，AO6，BO6， tanOAB， OAB60，ABO30， 当 MOAB 时，M 点位置有两种情况： 如解图 1，过 M 点作 MFAO，交 AO 于 F， FOM60， OM2， OFOM cos6021，MFOM s
40、in60， AFOAOF5， AM 的弧长， 如解图 2，过 M 点作 MFAO，交 AO 延长线于 F， 同理可得：MOF60，OF1，MF，AM7， AM .的弧长 ， 综上所述： 当MOAB时， 点M在优弧上移动的路线长为时， 线段AM的长； 点 M 在优弧上移动的路线长为时，线段 AM 的长； （3）由（2）可知OAB60，ABO30，AB12如解图 3， 由图可知，ABM 的 AB 边最小高为 M 在 D 时， OD2，AO6， AD4 DH1AD sinOAB ， ABM 的面积为 S 的最小值为 M 在过 O 垂直于 AB 的直线上，ABM 的 AB 边的高最大， OH2OA s
41、inOAB， ABM 的 AB 边的高最大值为 OM+OH22+3， ABM 的面积为 S 的最大值为12+18 ABM 的面积为 S 取值范围为： 26如图，已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过点 P（2，3） （1）求 a 的值和图象的顶点坐标 （2）点 Q（m，n）在该二次函数图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 直接写出点 Q 与直线 yx+5 的距离小于时 m 的取值范围 【分析】（1）把 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中，即可求解； （2）令 x2，求函数的值即为 n 值；由|m|2，即可求 n 的
42、范围；求出过 Q 点 与 yx+5 的直线，分别求两条直线与 x 轴的交点坐标，A（5，0），B（m2m3， 0），由等腰直角三角形的性质可得 d|m2+m+2|，即可求 m 的范围 解：（1）把 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中， a2， yx2+2x+3（x+1）2+2 图象的顶点坐标为（1，2）； （2）Q（m，n）在该二次函数图象上， 当 m2 时，n22+22+311； 点 Q 到 y 轴的距离小于 2， |m|2， 2m2， 2n11； Q（m，m2+2m+3）， 直线 yx+5 与 x 轴的交点 A（5，0）， 过点 Q 与 yx+5 平行的直线为 yx+m2+m+3， yx+m2+m+3 与 x 轴的交点 B（m2m3，0）， AB|m2+m+2|， 过点 B 作 BCAC 交直线 yx+5 于点 C， RtABC 是等腰三角三角形， dAB|m2+m+2|， d， |m2+m+2|， m1 或 0m
