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2020年河北省石家庄二十八中育集团中考数学一模试卷(含答案解析)

1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1下列各数中,最小的数是( ) A0 B1 C1 D 2计算:a2+2a2( ) Aa2 Ba2 C2a2 D0 3如图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其俯视图是( ) A B C D 4PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物,是衡量空气污染程度的重要指 标将 0.0000025 用科学记数法表示为 2.510n,则 n 的值是( ) A5 B6 C7 D8 5如图,130,B60,ABAC,则下列说法正确的是( ) AABCD BADBC CACCD DDAB+D180 6已知(x1)3ax3+bx2

2、+cx+d,则 a+b+c+d 的值为( ) A1 B0 C1 D不能确定 7如图,在直角坐标系中,菱形 OACB 的顶点 O 在原点,点 C 的坐标为(4,0),点 B 的纵坐标是1,则菱形 OACB 的边长为( ) A3 B C5 D 8如果关于 x 的一元二次方程 x2+2xm0 有实数根,则 m 的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 9如图,EF 是ABC 纸片的中位线,将AEF 沿 EF 所在的直线折叠,点 A 落在 BC 边上 的点 D 处,已知AEF 的面积为 7,则图中阴影部分的面积为( ) A7 B14 C21 D28 10 如图, 四边形 ABCD 是O 的内

3、接四边形, 若BOD88, 则BCD 的度数是 ( ) A88 B92 C106 D136 11如图,在正方形 ABCD 中,AB4,E 是 CD 的中点,点 F 在 BC 上,且 FCBC则 AEF 的面积是( ) A5 B6 C7 D8 12 如图, 在等腰ABC 中, ABAC, 把ABC 沿 EF 折叠, 点 C 的对应点为 O, 连接 AO, 使 AO 平分BAC,若BACCFE50,则点 O 是( ) AABC 的内心 BABC 的外心 CABF 的内心 DABF 的外心 13已知 x24x10,则代数式的值是( ) A7 B6 C5 D5 14 用直尺和圆规作 RtABC 斜边

4、AB 上的高线 CD, 以下四个作图中, 作法错误的是 ( ) A B C D 15如图,是反比例函数 y和 y在 x 轴上方的图象,x 轴的平行线 AB 分别与这两 个函数图象相交于点 A,B,点 P 在 x 轴上则点 P 从左到右的运动过程中,APB 的面 积是( ) A10 B4 C5 D从小变大再变小 16如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(3,0),B(3,0),若在直线 yx+m 上存 在点 P 满足APB60,则 m 的取值范围是( ) Am B5m+5 C 2m +2 D2m+2 二、填空题(本大题有 3 个小题,共 10 分17、18 小题 3 分;19 小题有 2 个空

5、,每空 2 分) 17分解因式:ax24a 18不等式30 的最大整数解是 19 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 坐标是 当把坐标系绕点 O 顺时针旋转 30 时,点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是( , );当把坐标系绕点 O 逆时 针选择 30时,点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是( , ) 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 68 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20小丽同学准备化简:(3x26x8)(x22x6),算式中“”是“+, ”中的某一种运算符号 (1)如果“”是“”,请你化简:(3x26x8)(x22x6); (2)若 x22x30,求(3x26x8)(

6、x22x6)的值; (3)当 x1 时, (3x26x8)(x22x6)的结果是8,请你通过计算说明“” 所代表的运算符号 21如图,从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中仼意 三个相邻格子中所填整数之和都相等 8 x y z 5 4 (1)可求得 x ;y ;z (2)第 2019 个格子中的数为 ; (3)前 2020 个格子中所填整数之和为 (4)前 n 个格子中所填整数之和是否可能为 2020?若能,求出 n 的值,若不能,请说明 理由 22为了迎接体育中考,初三 7 班的体育老师对全班 48 名学生进行了一次体能模拟测试, 得分均为整数,满分 10 分,成

7、绩达到 6 分以上(包括 6 分)为合格,成绩达到 9 分以上 (包括 9 分)为优秀,这次模拟测试中男、女生全部成绩分布的条形统计图如下 (1)请补充完成下面的成绩统计分析表: 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率 男生 6.9 2.4 91.7% 16.7% 女生 1.3 83.3% 8.3% (2)男生说他们的合格率、优秀率均高于女生,所以他们的成绩好于女生,但女生不同 意男生的说法,认为女生的成绩要好于男生,请给出两条支持女生观点的理由; (3)体育老师说,咱班的合格率基本达标,但优秀率太低,我们必须加强体育锻炼,两 周后的目标是:全班优秀率达到 50%如果女生新增优秀人数恰好是男生新

8、增优秀人数 的两倍,那么男、女生分别新增多少优秀人数才能达到老师的目标? 23如图,在ABC 中,BAC90,B60,AB2ADBC 于 DE 为边 BC 上 的一个(不与 B、C 重合)点,且 AEEF 于 E,EAFB,AF 相交于点 F (1)填空:AC ;F (2)当 BDDE 时,证明:ABCEAF (3)EAF 面积的最小值是 (4)当EAF 的内心在ABC 的外部时,直接写出 AE 的范围 24 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去, 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行, 如图所示,图中的线段 y1、y2分别表示小东、小明离 B 地的距离 y1、y2(千米)与所

9、用 时间 x(小时)的关系 (1)写出 y1、y2与 x 的关系式: , ; (2)试用文字说明:交点 P 所表示的实际意义 (3)试求出 A、B 两地之间的距离 (4)求出小东、小明相距 4 千米时出发的时间 25如图,在AOB 中,AOB90,AO6,BO6,以点 O 为圆心,以 2 为半径 作优弧,交 AO 于点 D,交 BO 于点 E点 M 在优弧上从点 D 开始移动,到达点 E 时停止,连接 AM (1)当 AM4时,判断 AM 与优弧的位置关系,并加以证明; (2)当 MOAB 时,求点 M 在优弧上移动的路线长及线段 AM 的长; (3)连接 BM,设ABM 的面积为 S,直接写

10、出 S 的取值范围 26如图,已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过点 P(2,3) (1)求 a 的值和图象的顶点坐标 (2)点 Q(m,n)在该二次函数图象上 当 m2 时,求 n 的值; 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n 的取值范围 直接写出点 Q 与直线 yx+5 的距离小于时 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分110 小题各 3 分,1116 小题各 2 分在每 小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的) 1下列各数中,最小的数是( ) A0 B1 C1 D 【分析】根据正实数都大于 0,负实数都小于

11、0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝 对值大的反而小,进行比较 解:正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大 的反而小, 101, 故选:D 2计算:a2+2a2( ) Aa2 Ba2 C2a2 D0 【分析】根据合并同类项法则,合并同类项时,系数相加减,字母及其指数不变,据此 计算即可得出正确选项 解:a2+2a2(1+2)a2a2, 故选:A 3如图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其俯视图是( ) A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 解:如图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其俯视图是 故选:C

12、 4PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物,是衡量空气污染程度的重要指 标将 0.0000025 用科学记数法表示为 2.510n,则 n 的值是( ) A5 B6 C7 D8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10n,与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 解:0.00000252.5106, n6 故选:B 5如图,130,B60,ABAC,则下列说法正确的是( ) AABCD BADBC CACCD DDAB+D180 【分析】因为 ABAC,所以B

13、AC90,又因为130,B60,则可求得 1BCA30,故 ADBC 解:ABAC, BAC90 130,B60, BCA30 1BCA ADBC 故选:B 6已知(x1)3ax3+bx2+cx+d,则 a+b+c+d 的值为( ) A1 B0 C1 D不能确定 【分析】令 x1,即可求出原式的值 解:把 x1 代入(x1)3ax3+bx2+cx+d, 得 a+b+c+d0 故选:B 7如图,在直角坐标系中,菱形 OACB 的顶点 O 在原点,点 C 的坐标为(4,0),点 B 的纵坐标是1,则菱形 OACB 的边长为( ) A3 B C5 D 【分析】首先连接 AB 交 OC 于点 D,由菱

14、形 OACB 中,点 C 的坐标是(4,0),点 B 的纵坐标是1,即可求得菱形 OACB 的边长 解:连接 AB 交 OC 于点 D, 四边形 ABCD 是菱形, ABOC,ODCD,ADBD, 点 C 的坐标是(4,0),点 B 的纵坐标是1, OC4,BDAD1, ODCD2, 菱形 OACB 的边长为 故选:D 8如果关于 x 的一元二次方程 x2+2xm0 有实数根,则 m 的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】要使一元二次方程 x2+2xm0 有实数根,只需0 解:一元二次方程 x2+2xm0 有实数根, 4+4m0, 即 m1 故选:A 9如图,EF 是AB

15、C 纸片的中位线,将AEF 沿 EF 所在的直线折叠,点 A 落在 BC 边上 的点 D 处,已知AEF 的面积为 7,则图中阴影部分的面积为( ) A7 B14 C21 D28 【分析】根据三角形的中位线定理,结合相似三角形的性质可以求得ABC 的面积,再 根据折叠的性质得到DEF 的面积,从而求解 解:EF 是ABC 的中位线, EFBC,EFBC AEFACB ()2 ABC 的面积28 由折叠的性质得DEF 的面积为 7, 图中阴影部分的面积为 287714 故选:B 10 如图, 四边形 ABCD 是O 的内接四边形, 若BOD88, 则BCD 的度数是 ( ) A88 B92 C1

16、06 D136 【分析】首先根据BOD88,应用圆周角定理,求出BAD 的度数多少;然后根据 圆内接四边形的性质, 可得BAD+BCD180, 据此求出BCD 的度数是多少即可 解:BOD88, BAD88244, BAD+BCD180, BCD18044136, 即BCD 的度数是 136 故选:D 11如图,在正方形 ABCD 中,AB4,E 是 CD 的中点,点 F 在 BC 上,且 FCBC则 AEF 的面积是( ) A5 B6 C7 D8 【分析】首先由四边形 ABCD 是正方形,得出DC90,ADDCCB,又由 DECE,FCBC,证出ADEECF,然后根据相似三角形的对应边成比例

17、与相 似三角形的对应角相等,证明出AEFADE 解:四边形 ABCD 是正方形,AB4, DC90,ADDCCB, DECE2,FCBC1, AE2, DE:CFAD:ECAE:EF2:1, ADEECF, AE:EFAD:EC,DAECEF, AE:EFAD:DE, 即 AD:AEDE:EF, DAE+AED90, CEF+AED90, AEF90, DAEF, ADEAEF, ()2()2, SADE 424, SAEF5, 故选:A 12 如图, 在等腰ABC 中, ABAC, 把ABC 沿 EF 折叠, 点 C 的对应点为 O, 连接 AO, 使 AO 平分BAC,若BACCFE50,

18、则点 O 是( ) AABC 的内心 BABC 的外心 CABF 的内心 DABF 的外心 【分析】连接 OB、OC,根据 ABAC,AO 平分BAC,BAC50,可得 AO 是 BC 的垂直平分线,BAOCAO25,得 OBOC,根据折叠可证明OACOCA 25,得 OAOC,进而 OAOBOC,可得点 O 是三角形 ABC 的外心 解:如图,连接 OB、OC, ABAC,AO 平分BAC, AO 是 BC 的垂直平分线, OBOC, BAC50,AO 平分BAC, BAOCAO25, 根据折叠可知:CFOF,OFECFE50, OFC100, FCO(180100)40, ABAC,BAC

19、50, ACB(18050)65, OCAACBFCO654025, OACOCA25, OAOC, OAOBOC, O 是ABC 的外心 故选:B 13已知 x24x10,则代数式的值是( ) A7 B6 C5 D5 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算,把已知等式变形后代入计算即可 求出值 解:原式 由 x24x10,得到 x24x1,即 x(x4)1,(x2)25, 则原式5, 故选:C 14 用直尺和圆规作 RtABC 斜边 AB 上的高线 CD, 以下四个作图中, 作法错误的是 ( ) A B C D 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解 解: A、 根据垂

20、径定理作图的方法可知, CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线, 不符合题意; B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知,CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线,不符 合题意; C、 根据相交两圆的公共弦的性质可知, CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线, 不符合题意; D、无法证明 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线,符合题意 故选:D 15如图,是反比例函数 y和 y在 x 轴上方的图象,x 轴的平行线 AB 分别与这两 个函数图象相交于点 A,B,点 P 在 x 轴上则点 P 从左到右的运动过程中,APB 的面 积是( ) A10 B4 C5 D从小变大再变小 【分

21、析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案 解:x 轴的平行线 AB 分别与这两个函数图象相交于点 A,B, ABy 轴, 点 A、B 在反比例函数 y和 y在 x 轴上方的图象上, SPABSAOBSCOB+SAOC (3+7)5, 故选:C 16如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(3,0),B(3,0),若在直线 yx+m 上存 在点 P 满足APB60,则 m 的取值范围是( ) Am B5m+5 C 2m +2 D2m+2 【分析】作等边三角形 ABE,然后作外接圆,求得直线 yx+m 与外接圆相切时的 m 的值,即可求得 m 的取值范围 解:如图,作等边三角形 ABE,

22、A(3,0),B(3,0), OAOB3, E 在 y 轴上, 当 E 在 AB 上方时,作等边三角形 ABE 的外接圆Q,设直线 yx+m 与Q 相切,切 点为 P,当 P 与 P1重合时 m 的值最大, 当 P 与 P1重合时,连接 QP1,则 QP1直线 yx+m, OA3, OE3, 设Q 的半径为 x,则 x232+(3x)2, 解得 x2, EQAQPQ2, OQ, 由直线 yx+m 可知 ODOCm, DQm,CDm, ODCP1DQ,CODQP1D, QP1DCOD, ,即, 解得 m+2, 当 E 在 AB 下方时,作等边三角形 ABE 的外接圆Q,设直线 yx+m 与Q 相

23、切,切 点为 P,当 P 与 P2重合时 m 的值最小, 当 P 与 P2重合时,同理证得 m 2, m 的取值范围是2m+2, 故选:D 二、填空题(本大题有 3 个小题,共 10 分17、18 小题 3 分;19 小题有 2 个空,每空 2 分) 17分解因式:ax24a a(x+2)(x2) 【分析】先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解:ax24a, a(x24), a(x+2)(x2) 18不等式30 的最大整数解是 x4 【分析】求出不等式的解集,找出解集中的最大整数即可 解:由不等式30 解得:x5, 则不等式的最大整数解是 x4 故答案为:x4 19 在平

24、面直角坐标系 xOy 中, 点 A 坐标是 当把坐标系绕点 O 顺时针旋转 30 时,点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是( 2 , 0 );当把坐标系绕点 O 逆时针 选择 30时,点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是( 1 , ) 【分析】根据题意画出图形,连接 OA,作 ABx 轴于点 B,当把坐标系绕点 O 顺时针 旋转 30时, 相当于把 OA 绕点 O 逆时针旋转 30, 可得点 A 在旋转后的坐标系中的坐 标是(2,0);当把坐标系绕点 O 逆时针旋转 30时,相当于把 OA 绕点 O 顺时针旋 转 30,到 OA,根据勾股定理即可得点 A 在旋转后的坐标系中的坐标 解:如图所示:

25、连接 OA,作 ABx 轴于点 B, 点 A 坐标是 AB1,OB, OA2, AOB30, 当把坐标系绕点 O 顺时针旋转 30时, 相当于把 OA 绕点 O 逆时针旋转 30, 点 A 在旋转后的坐标系中的坐标是(2,0); 当把坐标系绕点 O 逆时针旋转 30时, 相当于把 OA 绕点 O 顺时针旋转 30,到 OA, BOA60,OAOA2, OB1,AB, A(1,) 故答案为:2,0,1, 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 68 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20小丽同学准备化简:(3x26x8)(x22x6),算式中“”是“+, ”中的某一种运算符号 (1)如果

26、“”是“”,请你化简:(3x26x8)(x22x6); (2)若 x22x30,求(3x26x8)(x22x6)的值; (3)当 x1 时, (3x26x8)(x22x6)的结果是8,请你通过计算说明“” 所代表的运算符号 【分析】(1)根据整式的加减混合运算法则计算,得到答案; (2)把 x22x30 变形为 x22x3,把原式化简,代入计算即可; (3)把 x1 代入原式,根据有理数的混合运算法则计算即可 解:(1)(3x26x8)(x22x6) (3x26x8)(x212x) 3x26x8x2+12x 2x2+6x8; (2)(3x26x8)(x22x6) 3x26x8x2+2x+6 2

27、x24x2, x22x30, x22x3, 2x24x22(x22x)2624; (3)“”所代表的运算符号是“”, 当 x1 时,原式(368)(126), 由题意得,11(1+26)8, 整理得:1+263, 264 即处应为“” 21如图,从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中仼意 三个相邻格子中所填整数之和都相等 8 x y z 5 4 (1)可求得 x 5 ;y 4 ;z 8 (2)第 2019 个格子中的数为 4 ; (3)前 2020 个格子中所填整数之和为 665 (4)前 n 个格子中所填整数之和是否可能为 2020?若能,求出 n 的值,若不能,

28、请说明 理由 【分析】(1)由题可得,每四个数循环一次,因此找到数的对应即可; (2)20193673,故第 2019 个格子中的数为 4; (3)由循环规律可得:202036731; (4)计算三个格子和为 1,而 2020 能被 1 整除,因此,n 个格子中所填整数之和可以为 2020 解:(1)由题意可得,8,x,y 三个数循环出现, x5;y4;z8 故答案为 5,4,8; (2)20193673, 第 2019 个格子中的数为 4, 故答案为 4 (3)202036731, 673(8+5+4)8665, 前 2020 个格子中所填整数之和为 665 故答案为 665; (4)能 (

29、1)8+5+41,202012020, 202036060; (2)x82020x2028,20283+16085; (3)x8+52020x2023,20233+26071; 前 6060,6071 或 6085 个格子中所填整数之和为 2020 22为了迎接体育中考,初三 7 班的体育老师对全班 48 名学生进行了一次体能模拟测试, 得分均为整数,满分 10 分,成绩达到 6 分以上(包括 6 分)为合格,成绩达到 9 分以上 (包括 9 分)为优秀,这次模拟测试中男、女生全部成绩分布的条形统计图如下 (1)请补充完成下面的成绩统计分析表: 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率 男生 6.

30、9 2.4 7 91.7% 16.7% 女生 7 1.3 7 83.3% 8.3% (2)男生说他们的合格率、优秀率均高于女生,所以他们的成绩好于女生,但女生不同 意男生的说法,认为女生的成绩要好于男生,请给出两条支持女生观点的理由; (3)体育老师说,咱班的合格率基本达标,但优秀率太低,我们必须加强体育锻炼,两 周后的目标是:全班优秀率达到 50%如果女生新增优秀人数恰好是男生新增优秀人数 的两倍,那么男、女生分别新增多少优秀人数才能达到老师的目标? 【分析】(1)本题需先根据中位数的定义,再结合统计图得出它们的平均分和中位数即 可求出答案; (2)本题需先根据以上表格,再结合女生的平均分和

31、方差两方面说出支持女生的观点; (3)根据之前男、女生优秀人数+新增男、女生优秀人数总人数50%,列方程求解 可得 解:(1)由条形统计图可知,男生一共 2+6+8+4+424 人,其中位数是第 12、第 13 个 数的平均数, 第 12、13 两数均为 7,故男生中位数是 7; 女生成绩平均分为:7(分), 其中位数是:7(分); 补充完成的成绩统计分析表如下: 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率 男生 6.9 2.4 7 91.7% 16.7% 女生 7 1.3 7 83.3% 8.3% (2)从平均数上看,女生平均分高于男生; 从方差上看,女生的方差低于男生,波动性小; (3)设男生新

32、增优秀人数为 x 人, 则:2+4+x+2x4850%, 解得:x6, 故 6212(人) 答:男生新增优秀人数为 6 人,女生新增优秀人数为 12 人 23如图,在ABC 中,BAC90,B60,AB2ADBC 于 DE 为边 BC 上 的一个(不与 B、C 重合)点,且 AEEF 于 E,EAFB,AF 相交于点 F (1)填空:AC 2 ;F 30 (2)当 BDDE 时,证明:ABCEAF (3)EAF 面积的最小值是 (4)当EAF 的内心在ABC 的外部时,直接写出 AE 的范围 【分析】(1)先解直角三角形 ABC,求得 AC 的值,再在直角三角形 AEF 中,利用互余 关系求得

33、F 即可; (2)先利用等腰三角形的“三线合一“性质证明 ABAE,再利用 ASA 证明ABC EAF; (3)先在AEF 中,由三角函数求得 EFAE,再利用三角形的面积公式得出 S EAF AE2,然后由当 AEBC 时,AE 最短,SEAF最小,求得 AE 的值,则EAF 面 积的最小值可得; (4)当EAF 内心恰好落在 AC 上时,设EAF 的内心为 N,连接 EN,利用三角形的 内心性质证明ABE 是等边三角形,从而可知 AEAB2,由(1)可知 AC2,从 而可得当EAF 的内心在ABC 的外部时,AE 的范围 解:(1)BAC90,B60,AB2,tanB, ACAB tanB

34、2tan602; AEEF, AEF90, EAFB60, F90EAF906030 故答案为:2,30; (2)证明:当 BDDE 时, ADBC 于 D, ABAE, AEF90,BAC90, AEFBAC, 又EAFB, ABCEAF(ASA); (3)AEF90,EAF60,tanEAF, EFAE tanEAFAE tan60AE, SEAFAE EF AEAE AE2, 当 AEBC 时,AE 最短,SEAF最小,此时AEB90,sinB, AEAB sinB2sin602, SEAFAE23, EAF 面积的最小值是, 故答案为:; (4)当EAF 内心恰好落在 AC 上时,设E

35、AF 的内心为 N,连接 EN,如图: N 是EAF 的内心, AN 平分EAF,EN 平分AEF, EACAEF6030, BAC90, BAEBACEAC903060, 又B60, ABE 是等边三角形, AEAB2, E 为 BC 上的一点,不与 B、C 重合,由(1)可知 AC2, 当EAF 的内心在ABC 的外部时, 故答案为: 24 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去, 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行, 如图所示,图中的线段 y1、y2分别表示小东、小明离 B 地的距离 y1、y2(千米)与所用 时间 x(小时)的关系 (1)写出 y1、y2与 x 的关系式

36、: y15x+20 , y23x ; (2)试用文字说明:交点 P 所表示的实际意义 (3)试求出 A、B 两地之间的距离 (4)求出小东、小明相距 4 千米时出发的时间 【分析】(1)需求直线 y1的解析式,因为它过点(2.5,7.5),(4,0),利用待定系 数法即可求出其解析式再利用待定系数法即可求出 OP 的解析式; (2) 因为小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去, 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行,所以交点 P(2.5,7.5)的意义是经过 2.5 小时后,小东与小明在距离 B 地 7.5 千米处相遇; (3)需求直线 y1的解析式,因为它过点(2.5,7.5)

37、,(4,0),利用待定系数法即可 求出其解析式然后令 x0,求出此时的 y 值即可; (4)根据题意列方程解答即可 解:(1)设 y1k1x+b,根据题意得: ,解得, y15x+20, 设 y2k2x,根据题意得:2.5k27.5,解得 k23, y23x 故答案为:y15x+20,y23x (2)交点 P 所表示的实际意义是: 经过 2.5 小时后,小东与小明在距离 B 地 7.5 千米处相遇 (3)y15x+20,当 x0 时,y120 故 AB 两地之间的距离为 20 千米 (4)根据题意得 5x+3x204 或 5x+3x20+4, 解得 x2 或 x3 即出发 2 小时或 3 小时

38、小东、小明相距 4 千米 25如图,在AOB 中,AOB90,AO6,BO6,以点 O 为圆心,以 2 为半径 作优弧,交 AO 于点 D,交 BO 于点 E点 M 在优弧上从点 D 开始移动,到达点 E 时停止,连接 AM (1)当 AM4时,判断 AM 与优弧的位置关系,并加以证明; (2)当 MOAB 时,求点 M 在优弧上移动的路线长及线段 AM 的长; (3)连接 BM,设ABM 的面积为 S,直接写出 S 的取值范围 【分析】(1)由已知AMO 边长用勾股定理的逆定理可证明AMO90,即可得到 AM 与优弧相切 (2)由已知可知OAB60,ABO30,根据当 MOAB 时,分AOM

39、60 或BOM30用解三角形即可解答 (3)由图易知ABM 的 AB 边最小高为 M 在 D 时,最大高为 M 在过 O 垂直于 AB 的直 线上,用解三角形即可求出最小高和最大高,进而求出ABM 的面积为 S 的取值范围 解:(1)结论;AM 与优弧相切 理由如下:AO6,OM2,AM, OM2+AM2OA2, AMO90, AM 与优弧相切 (2)在AOB 中,AOB90,AO6,BO6, tanOAB, OAB60,ABO30, 当 MOAB 时,M 点位置有两种情况: 如解图 1,过 M 点作 MFAO,交 AO 于 F, FOM60, OM2, OFOM cos6021,MFOM s

40、in60, AFOAOF5, AM 的弧长, 如解图 2,过 M 点作 MFAO,交 AO 延长线于 F, 同理可得:MOF60,OF1,MF,AM7, AM .的弧长 , 综上所述: 当MOAB时, 点M在优弧上移动的路线长为时, 线段AM的长; 点 M 在优弧上移动的路线长为时,线段 AM 的长; (3)由(2)可知OAB60,ABO30,AB12如解图 3, 由图可知,ABM 的 AB 边最小高为 M 在 D 时, OD2,AO6, AD4 DH1AD sinOAB , ABM 的面积为 S 的最小值为 M 在过 O 垂直于 AB 的直线上,ABM 的 AB 边的高最大, OH2OA s

41、inOAB, ABM 的 AB 边的高最大值为 OM+OH22+3, ABM 的面积为 S 的最大值为12+18 ABM 的面积为 S 取值范围为: 26如图,已知二次函数 yx2+ax+3 的图象经过点 P(2,3) (1)求 a 的值和图象的顶点坐标 (2)点 Q(m,n)在该二次函数图象上 当 m2 时,求 n 的值; 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2,请根据图象直接写出 n 的取值范围 直接写出点 Q 与直线 yx+5 的距离小于时 m 的取值范围 【分析】(1)把 P(2,3)代入 yx2+ax+3 中,即可求解; (2)令 x2,求函数的值即为 n 值;由|m|2,即可求 n 的

42、范围;求出过 Q 点 与 yx+5 的直线,分别求两条直线与 x 轴的交点坐标,A(5,0),B(m2m3, 0),由等腰直角三角形的性质可得 d|m2+m+2|,即可求 m 的范围 解:(1)把 P(2,3)代入 yx2+ax+3 中, a2, yx2+2x+3(x+1)2+2 图象的顶点坐标为(1,2); (2)Q(m,n)在该二次函数图象上, 当 m2 时,n22+22+311; 点 Q 到 y 轴的距离小于 2, |m|2, 2m2, 2n11; Q(m,m2+2m+3), 直线 yx+5 与 x 轴的交点 A(5,0), 过点 Q 与 yx+5 平行的直线为 yx+m2+m+3, yx+m2+m+3 与 x 轴的交点 B(m2m3,0), AB|m2+m+2|, 过点 B 作 BCAC 交直线 yx+5 于点 C, RtABC 是等腰三角三角形, dAB|m2+m+2|, d, |m2+m+2|, m1 或 0m