1、2020 年上海市松江区高考数学二模试卷年上海市松江区高考数学二模试卷 一、填空题（共 12 小题） 1若集合 A2，4，6，8，Bx|x24x0，则 AB 2已知复数 z1a+2i，z22+3i（i 是虚数单位），若 z1 z2是纯虚数，则实数 a 3已知动点 P 到定点（1，0）的距离等于它到定直线 l：x1 的距离，则点 P 的轨迹方 程为 4等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a54，a3+a712，则 S7 5若（x+a）8的展开式中 x5项的系数为 56，则实数 a 6已知数列an的首项 a11，且满足| | 0（nN*），数列an的前 n 项和为 Sn， 则 Sn 7
2、用半径为 2 米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器， 则这个容器的容积是 立方米 8若函数 f（x）log2（2x+1）+kx 是偶函数，则 k 9已知等边ABC 的边长为 2 ，点 P 是其外接圆上的一个动点，则 的取值范围 是 10已知函数 f（x）cos（2x ），若对于任意的 x1 ， ，总存在 x2m，n，使得 f（x1）+f（x2）0，则|mn|的最小值为 11 已知集合 An （x1， x2， ， xn） |xi1， i1， 2， ， n， 元素 ln （1， 1， ， 1） 称为集合 An的特征元素 对于 An中的元素 a （a1， a2， ， an） 与 b （b1， b2，
3、， bn），定义：fn（ab）a1b1+a2b2+anbn当 n9 时，若 a 是集合 A9中的 非特征元素，则 f9（l9a）1 的概率为 12已知函数 f（x） ， ， （aR 且 a 为常数）和 g（x）k（kR 且 k 为常 数），有以下命题： 当 k0 时，函数 F（x）f（x）g（x）没有零点； 当 x0 时，h（x）f2（x）+b f（x）+c 恰有 3 个不同的零点 x1，x2，x3，则 x1 x2 x31； 对任意的 k0，总存在实数 a，使得 F（x）f（x）g（x）有 4 个不同的零点 x1 x2x3x4，且|x1|，|x2|，|x4|，|x3|成等比数列 其中的真命题是
4、 （写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13若 O 为坐标原点，P 是直线 xy+20 上的动点，则|OP|的最小值为（ ） A B C D2 14若|xa|1 成立的一个充分不必要条件是 1x2，则实数 a 的取值范围是（ ） A1a2 Ba1 Ca2 Da1 或 a2 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P、Q 两点分别从点 B 和点 A1出发，以相同的速度在棱 BA 和 A1D1上运动至点 A 和点 D1，在运动过程中，直线 PQ 与平
5、面 ABCD 所成角 的变 化范围为（ ） A ， Barctan ，arctan C ，arctan Darctan ， 16已知实数 x1，x2，x1001，1，且 x1+x2+x100，则当 x12+x22+x1002 取得最大值时，x1，x2，x100这 100 个数中，值为 1 的个数为（ ） A50 个 B51 个 C52 个 D53 个 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，APABAD2，E 是侧棱 PB 的中点 （1）求异面直线
6、AE 与 PD 所成的角； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 18已知函数 f（x）2cos2x+2 sinxcosx （1）求 f（x）的最大值和最小正周期 T； （2）在ABC 中，内角 A、B、C 的所对的边分别为 a、b、c，已知 ，且 a1， 求ABC 面积的最大值 19新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产 提供 x（x0，10）（万元）的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护 服 A 公司在收到政府 x （万元） 补贴后， 防护服产量将增加到 （万件） ， 其中 k 为工厂工人的复工率（k0，5.1）A 公司生产 t
7、万件防护服还需投入成本 （20+8x+50t）（万元） （1）将 A 公司生产防护服的利润 y（万元）表示为补贴 x（万元）的函数； （2）对任意的 x0，10（万元），当复工率 k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？ （精确到 0.01） 20（16 分）如图，已知椭圆 ： 经过圆 N：x2+（y+1）24 与 x 轴 的两个交点和与 y 轴正半轴的交点 （1）求椭圆 M 的方程； （2）若点 P 为椭圆 M 上的动点，点 Q 为圆 N 上的动点，求线段 PQ 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆 M 于 A、B 两点，交圆 N 于 C、D 两点，且满足 ，求证：线段 A
8、B 的中点 E 在定直线上 21（18 分）已知函数 f（x）的定义域为 D，若存在实常数 及 a（a0），对任意 xD， 当 x+aD 且 xaD 时，都有 f（x+a）+f（xa）f（x）成立，则称函数 f（x）具有 性质 M（，a），集合 M（，a）叫做函数 f（x）的 M 性质集 （1）判断函数 f（x）x2是否具有性质 M（，a），并说明理由； （2）若函数 g（x）sin2x+sinx 具有性质 M（，a），求 g（x）的 M 性质集； （3）已知函数 yh（x）不存在零点，且当 xR 时具有性质 ， （其中 t0，t 1） ， 若 anh （n） （nN*） ， 求证： 数列an
9、为等比数列的充要条件是 或 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果， 第 16 题每个空格填对得 4 分， 第 712 题每个空格填对得 5 分， 否则一律得零分 1若集合 A2，4，6，8，Bx|x24x0，则 AB 2，4 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 解：A2，4，6，8，Bx|x24x0x|（x（x4）0x|0x4， AB2，4， 故答案为：2，4 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2已知复数 z1a+2i，z22+3i（i 是虚数单位
10、），若 z1 z2是纯虚数，则实数 a 3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 解：z1a+2i，z22+3i， z1 z2（a+2i）（2+3i）（2a6）+（3a+4）i， 由题意， ，解得 a3 故答案为：3 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知动点 P 到定点（1，0）的距离等于它到定直线 l：x1 的距离，则点 P 的轨迹方 程为 y24x 【分析】利用抛物线的定义即可得出 解：动点 M 到点 A（1，0）的距离等于它到直线 x1 的距离， 由抛物线的定义可知：点 M 的轨迹是抛物线， 设方程为 y
11、22px（p0）， ，p2 方程为 y24x 故答案为：y24x 【点评】本题考查了抛物线的定义，属于基础题 4等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a54，a3+a712，则 S7 28 【分析】根据等差数列项的性质求出 a3、a5的值，再计算 S7 解：等差数列an中，a1+a52a34，a3+a72a512， 解得 a32，a56； 所以 S7 28 故答案为：28 【点评】本题考查了等差数列项的性质以及前 n 项和计算问题，是基础题 5若（x+a）8的展开式中 x5项的系数为 56，则实数 a 1 【分析】先写出展开式的通项公式，然后令 x 的指数为 55，解方程求出 a 的值
12、 解：由题意，通项为 ， 令 8k5 得，k3 ，解得 a1 故答案为：1 【点评】本题考查二项式展开式的通项及其应用，同时考查学生利用方程思想解决问题 的意识和运算能力属于基础题 6已知数列an的首项 a11，且满足| | 0（nN*），数列an的前 n 项和为 Sn， 则 Sn 2 【分析】利用行列式，推出数列是等比数列，求出数列的和，然后求解数列的极限即可 解：数列an的首项 a11，且满足| | 0（nN*）， 可得 2an+1an， 所以数列an是首项为 1， 为公比的等比数列，数列的前 n 项和为 S n ， 则 Sn 2 故答案为：2 【点评】本题考查数列的极限的求法，行列式以及
13、等比数列的性质的应用，是基本知识 的考查，基础题 7用半径为 2 米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是 立方 米 【分析】由题意，圆锥的母线长为 l2，由圆锥的底面周长等于半圆弧长列式求圆锥底 面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计算 解：由题意，圆锥的母线长为 l2， 设圆锥的底面半径为 r，则 2r2，即 r1， 圆锥的高 h ， 圆锥的体积 V r 2 h 故答案为： 【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥的体积计算，属于基础题 8若函数 f（x）log2（2x+1）+kx 是偶函数，则 k 【分析】 根据 f （x）是偶函数， 即可得出 f （x） f（x
14、） ，从而得出 ，进一步得出 ，从而得出 1kk，解出 k 即可 解：f（x）是偶函数； f（x）f（x）； ； ； （k+1）xkx； （k+1）k； 故答案为： 【点评】考查偶函数的定义，以及对数的运算 9已知等边ABC 的边长为 2 ，点 P 是其外接圆上的一个动点，则 的取值范围 是 2，6 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出点 P 的坐标，求出 ， ，代入数量积公 式得到关于 的三角函数，利用正弦函数的性质得出结论 解：以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示； 因为等边ABC 的边长为 2 ，则 2rr2； 设 A（2，0），B（1， ），P（2cos，2sin）
15、； 则 （2cos2，2sin）， （2cos+1，2sin ）； （2cos2）（2cos+1）+2sin（2sin ） 22cos2 sin 24sin（ ）； 1sin（ ）1， 2 6， 即 的取值范围是2，6 故答案为：2，6 【点评】本题考查了平面向量数量积运算问题，也考查了转化法与数形结合思想的应用 问题，是综合性题目 10已知函数 f（x）cos（2x ），若对于任意的 x1 ， ，总存在 x2m，n，使得 f（x1）+f（x2）0，则|mn|的最小值为 【分析】直接利用函数的关系式的变换求出 ，进一步利用 f（x1） +f（x2）0，求出|mn|的最小值 解：对于任意的 x1
16、 ， ， 所以 ， 故 ， 由于 f（x1）+f（x2）0， 所以 ， 故 x2的范围的最小值可以取： ， 整理得 ， 即|mn|的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 已知集合 An （x1， x2， ， xn） |xi1， i1， 2， ， n， 元素 ln （1， 1， ， 1） 称为集合 An的特征元素 对于 An中的元素 a （a1， a2， ， an） 与 b （b1， b2， ， bn），定义：fn（ab）a1b1+a2b2+anbn当 n9 时，若 a
17、是集合 A9中的 非特征元素，则 f9（l9a）1 的概率为 【分析】利用古典概型计算出概率即可 解：由题设条件知：当 n9 时，若 a 是集合 A9中的非特征元素，则满足的 a 共有 291 511 个， 又满足 f9（l9a）1 的 a 中需有 5 个位置是 1，其余 4 个位置为1，共有 C 126 个， 满足 f9（l9a）1 的概率 p 故答案为： 【点评】本题主要考查满足古典概型的事件的概率的计算，属于基础题 12已知函数 f（x） ， ， （aR 且 a 为常数）和 g（x）k（kR 且 k 为常 数），有以下命题： 当 k0 时，函数 F（x）f（x）g（x）没有零点； 当 x
18、0 时，h（x）f2（x）+b f（x）+c 恰有 3 个不同的零点 x1，x2，x3，则 x1 x2 x31； 对任意的 k0，总存在实数 a，使得 F（x）f（x）g（x）有 4 个不同的零点 x1 x2x3x4，且|x1|，|x2|，|x4|，|x3|成等比数列 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 【分析】先根据不同的 a 画出函数 f（x）的图象，数形结合进行判断即可 解：分别作出 a0，a0，a0 时 f（x）的图象，依次如下： 对于，当 k0 时，问题转化为函数 f（x）图象与 yk 图象交点个数，很明显，当 a 0 时不成立，故错； 对于，令 tf（x），则方程转化为 t2
19、+bt+c0 应有两个不等根 t1，t2，且两直线 yt1， yt2应该和 f（x），x0 的图象有 3 个交点， 结合 x0 时，f（x）的图象可知，t10，t20，此时当 t10 时，x1，当 t20，log2 （x2）log2（x3），则 x2x31，故正确； 对于，要想成立必有 a0，假设|x1|，|x2|，|x4|，|x3|成等比数列 由 a0 时函数图象可知 log2（x1）log2（x2）k，则 x12k，x2 ，则根 据等比数列性质可得 x323k，x425k， 同时 x3，x4满足 ，即 x2kx+a0，故 x3+x4k，所以 23k+25kk，因为该式 左边递减，右边递增，
20、显然不是任意正数 k 都成立，故错误 故答案为： 【点评】本题考查分段函数图象作法，考查函数零点与函数图象交点个数之间的转化， 数形结合和思想，属于中档偏难题 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13若 O 为坐标原点，P 是直线 xy+20 上的动点，则|OP|的最小值为（ ） A B C D2 【分析】线段 OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即 可得出 解：原点到直线的距离 d ， 故|OP|的最小值为 ， 故选：B 【点评】本题考查了点
21、到直线的距离公式、转化方法，属于基础题 14若|xa|1 成立的一个充分不必要条件是 1x2，则实数 a 的取值范围是（ ） A1a2 Ba1 Ca2 Da1 或 a2 【分析】|xa|1，化为：1xa1，解得：x 范围根据|xa|1 成立的一个充分 不必要条件是 1x2，即可得出 解：|xa|1，化为：1xa1，解得：a1xa+1 |xa|1 成立的一个充分不必要条件是 1x2， ，等号不能同时成立，解得 1a2 则实数 a 的取值范围是 1a2 故选：A 【点评】 本题考查了不等式的解法、 简易逻辑的判定方法， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 15在正方体 ABCDA1B1C1D1
22、中，P、Q 两点分别从点 B 和点 A1出发，以相同的速度在棱 BA 和 A1D1上运动至点 A 和点 D1，在运动过程中，直线 PQ 与平面 ABCD 所成角 的变 化范围为（ ） A ， Barctan ，arctan C ，arctan Darctan ， 【分析】过 Q 作 QGAD，垂足为 G，连接 PG，则QPG，设正方体的棱长为 a， PBx （0xa） ， 把 tan 用含有 x 的函数表示， 再由配方法求最值， 则 的范围可求 解：如图，过 Q 作 QGAD，垂足为 G，连接 PG， 设正方体的棱长为 a，PBx（0xa），则 AGA1Qx，APax， PG tan 当 x0
23、 或 xa 时，tan 取最小值 1，此时 ； 当 x 时，tan 取最大值 ，此时 arctan 直线 PQ 与平面 ABCD 所成角 的变化范围为 ，arctan 故选：C 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查函数 思想的应用，是中档题 16已知实数 x1，x2，x1001，1，且 x1+x2+x100，则当 x12+x22+x1002 取得最大值时，x1，x2，x100这 100 个数中，值为 1 的个数为（ ） A50 个 B51 个 C52 个 D53 个 【分析】 综合题中条件， 100 个数中应有 48 个1， 51 个 1， 1 个无理数时符
24、合试题要求 解：x1+x2+x100，则当 x12+x22+x1002要取得最大值，只需正负抵消，即有 48 个1，51 个 1，1 个无理数为 3 时符合试题要求， 故选：B 【点评】本题考查数据处理能力和推理能力，属于能力方面的题 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，APABAD2，E 是侧棱 PB 的中点 （1）求异面直线 AE 与 PD 所成的角； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 【分析】（1）连接 AC、BD，两直线交于点 O，
25、连接 EO，利用三角形中位线定理可得： EOPD，于是AEO 就是异面直线 AE 与 PD 所成的角再根据正方形的性质及其已知 条件可得AEO 为等边三角形，即可得出所求角； （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设平面 ECD 的法向量 ， ， ，则由 ，可得 ，利用 d ，即可得出点 B 到平面 ECD 的距离 解：（1）连接 AC、BD，两直线交于点 O，连接 EO， 因为 E、O 分别是 PB、DB 的中点，所以 EOPD， 所以AEO 就是异面直线 AE 与 PD 所成的角 3 分 因为 ABCD 为正方形，且 APABAD2
26、， 所以 所以AEO60 （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， APABAD2，点 E 是棱 PB 的中点， B（2，0，0），P（0，0，2），E（1，0，1），D（0，2，0），C（2，2，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 ECD 的法向量 ， ， ， 则由 得 取 z2，得 ， ， ， 点 B 到平面 ECD 的距离： 【点评】本题考查了正方形的性质、异面直线所成的角、点到直线的距离公式、法向量 的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18已知函数 f（x）2cos2x+2 sinxcosx （1）求 f
27、（x）的最大值和最小正周期 T； （2）在ABC 中，内角 A、B、C 的所对的边分别为 a、b、c，已知 ，且 a1， 求ABC 面积的最大值 【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得 f（x），进而得出 f（x）的最大值和最小正 周期 T （2）由 得 ，根据 A（0，），可得 A利用余弦定理、结合 基本不等式的性质可得 bc 的最大值，即可得出ABC 面积的最大值 解 ： （ 1 ） f（x）max3， （2）由 得 ， 因为 A（0，），所以 ，得 ， 因为 a1，由余弦定理，得 ， 由 1b2+c2bc2bcbcbc 得 bc1，当且仅当 bc 时取得等号 ABC 面积 ， ABC
28、面积的最大值为 【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不 等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产 提供 x（x0，10）（万元）的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护 服 A 公司在收到政府 x （万元） 补贴后， 防护服产量将增加到 （万件） ， 其中 k 为工厂工人的复工率（k0，5.1）A 公司生产 t 万件防护服还需投入成本 （20+8x+50t）（万元） （1）将 A 公司生产防护服的利润 y（万元）表示为补贴 x（万
29、元）的函数； （2）对任意的 x0，10（万元），当复工率 k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？ （精确到 0.01） 【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可 （2） 若对任意的 x0， 10， 公司都不产生亏损， 得到 在 x0， 10恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果 解：（1）y80t（20+8x+50t）30t208x， ，x0，10 （2）若对任意的 x0，10，公司都不产生亏损， 则 在 x0，10恒成立， 即 ，记 tx+2，则 t2，12， 此时 ， 由于函数 在 t2，12单调递增， 所以当 t2，12时， ， ， 即当工厂
30、工人的复工率达到 0.65 时，对任意的 x0，10，公司都不产生亏损 【点评】本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查 转化思想以及计算能力，是中档题 20（16 分）如图，已知椭圆 ： 经过圆 N：x2+（y+1）24 与 x 轴 的两个交点和与 y 轴正半轴的交点 （1）求椭圆 M 的方程； （2）若点 P 为椭圆 M 上的动点，点 Q 为圆 N 上的动点，求线段 PQ 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆 M 于 A、B 两点，交圆 N 于 C、D 两点，且满足 ，求证：线段 AB 的中点 E 在定直线上 【分析】（1）由圆 N 的方程可得
31、 x，y 轴的交点坐标，再由题意椭圆过圆 Nx，y 轴的交 点，求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）因为|PQ|PN|+|NQ|PN|+2，求出 PN 的最大值即可，因为 N 的坐标（0，1）， 设 P 的坐标，代入椭圆的方程，求出 P 的横纵坐标的关系，求出 PN 的表达式，由 P 的 纵坐标的范围求出 PN 的最大值，进而求出 PQ 的最大值； （3）设直线 l 的方程，及 A，B，C，D 的坐标，联立直线与椭圆，与圆的方程，求出两 根之和，及两根之积，因为 ，可得 A，B，C，D 的坐标之间的关系，可得 AB 的中点 E 的坐标，可得中点 E 在直线 上 解：（1）在方程 x
32、2+（y+1）24 中，令 y0，x0，解得 ， 令 x0，y0，解得 y1，b1 椭圆 M 方程为： ； （2）因为|PQ|PN|+|NQ|PN|+2， 设 P（x，y），N（0，1），则 ， 时， ， ； （3）解法一：设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， ， ， ， ， ， x3x1x2x4，y3y1y2y4x1+x2x3+x4，y 1+y2y3+y4， 设 l：ykx+m（k0），代入 得： 即： ， ， 代入 x2+（y+1）24 得：x2+（kx+m+1）24， 即（k2+1）x2+2k（m+1）x+（m+1）240， ， ， ， y1+y2
33、k（x1+x2）+2m3k2+2m3（ m ）+2m1， ， ， 所以中点 E 在直线 上 解法二：设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， ， ， ， ， x3x1x2x4，y3y1y2y4， x1+x2x3+x4，y1+y2y3+y4， E 也是弦 CD 的中点，ENDC，ENAB， |AN|BN| ， ， ， 代入化简，得：（y1y2）（y1+y21）0，y1y20，y1+y21， ， 所以点 E 在直线 上 【点评】本题考查椭圆、圆的性质，及直线与椭圆的综合，和直线过定点的求法，属于 中难题 21（18 分）已知函数 f（x）的定义域为 D，若存在实
34、常数 及 a（a0），对任意 xD， 当 x+aD 且 xaD 时，都有 f（x+a）+f（xa）f（x）成立，则称函数 f（x）具有 性质 M（，a），集合 M（，a）叫做函数 f（x）的 M 性质集 （1）判断函数 f（x）x2是否具有性质 M（，a），并说明理由； （2）若函数 g（x）sin2x+sinx 具有性质 M（，a），求 g（x）的 M 性质集； （3）已知函数 yh（x）不存在零点，且当 x一、选择题时具有性质 ， （其 中 t0， t1） ， 若 anh （n） （nN*） ， 求证： 数列an为等比数列的充要条件是 或 【分析】 （1）若函数 f（x）x2具有 M 性质
35、，则存在实常数 及 a（a0），使得（x+a） 2+（xa）2x2对任意的 x 都成立，即：2x2+2a2x2，解出即可判断出结论 （2）由题意：存在实常数 及 a（a0），使得 g（x+a）+g（xa）g（x）对任意 的 x 都成立即：sin2（x+a）+sin（x+a）+sin2（xa）+sin（xa）（sin2x+sinx） 化简，得：（2cos2a）sin2x+（2cosa）sinx0 对任意的 x 都成立，令 ，得： 2cosa0，代入可得：2cos2a0，解出即可得出 （3）证法一：由函数 yh（x）不存在零点，且具有性质 ， 知，对任意的 n 2， nN*， 都有 ， 代入化简可
36、得： ， 记 ，则 n2，nN *，分别证明充分性，必要性即可得出 证法二： 由函数 yh （x） 不存在零点， 且具有性质 ， 知， 对任意的 n2， nN*， 都有 即 ， 变形可得如下两式 ，或 ，进行迭代即可证明结论 解：（1）若函数 f（x）x2具有 M 性质，则存在实常数 及 a（a0），使得（x+a） 2+（xa）2x2对任意的 x 都成立 即：2x2+2a2x2，2，a0，不合题意，舍去 函数 f（x）x2不具有 M 性质 （2）由题意：存在实常数 及 a（a0）， 使得 g（x+a）+g（xa）g（x）对任意的 x 都成立 即：sin2（x+a）+sin（x+a）+sin2（
37、xa）+sin（xa）（sin2x+sinx） 化简，得：（2cos2a）sin2x+（2cosa）sinx0（1）对任意的 x 都成立 在（1）中令 ，得：2cosa0，代入（1），得：2cos2a0 所以 ， 解得 或 所以 ， ， ， ， （3）证明：证法一：由函数 yh（x）不存在零点，且具有性质 ， 知， 对任意的 n2，nN*，都有 即 ， 记 ，则 n2，nN * 充分性：当 时，b1t，反复代入式得 b2t，b3t，bnt， 即对任意的 nN*，都有 ， 数列an是以 a1为首项，t 为公比的等比数列 同理，当 时，数列an是以 a1 为首项， 为公比的等比数列（16 分） 必要性：若数列an是等比数列，不妨设 ，则 又由知 ， ， ， 即 st 或 ，即 或 （18 分） 证法二： 由函数 yh（x）不存在零点，且具有性质 ， 知， 对任意的 n2，nN*，都有 即 对变形可得如下两式 由得 由得 得： （16 分） 当 时， ，当 时， ，此时an是等比数列； 当 且 时，显然an不是等比数列 （18 分） 【点评】本题考查了新定义、等比数列的通项公式性质、迭代法、充要条件、分类讨论 方法、等价转化方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题
