1、第 1 页，共 18 页2019 年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）1. 最小的素数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 下列计算正确的是（ ）A. B. 2+2=4 (2)3=63C. D. 32(3)=35 4622=233. 下列方程中，没有实数根的是（ ）A. B. C. D. 223=0 22+3=0 22+1=0 221=04. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过点（-1 ，0）与（ 0，2），则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是（ ）A. 1B. 2D. 25. 在直角坐标平面内，已知点 M（4，3），以 M
2、 为圆心， r 为半径的圆与 x 轴相交，与 y 轴相离，那么 r 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 05 35 45 346. 如图，已知ABCD 中，E 是边 AD 的中点，BE 交对角线 AC 于点 F，那么 SAFE：S 四边形 FCDE为（ ）A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6二、填空题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）7. 计算： =_|5|+(21)08. 分解因式：2a 2b-8b=_9. 方程 =x 的解是_4310. 不等式组 的解集是_+201011. 已知函数 ，那么 _ （填“”、“=”或“”）()=2 (2) (3)12. 如果将
3、直线 y=3x-1 平移，使其经过点（0，2），那么平移后所得直线的表达式是_13. 在不透明的盒子中装有 4 个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，那么白色棋子的个13数是_14. 某校初三（1）班 40 名同学的体育成绩如表所示，则这 40 名同学成绩的中位数是_成绩（分） 25 26 27 28 29 30人数 2 5 6 8 12 7第 2 页，共 18 页15. 正六边形的中心角等于_度16. 如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点设 ， ，用 、 表示 为_= = 17. 如图，高度相同的两根电线杆
4、 AB、CD 均垂直于地面AF，某时刻电线杆 AB 的影子为地面上的线段 AE，电线杆 CD 的影子为地面上的线段 CF 和坡面上的线段FG已知坡面 FG 的坡比 i=1：0.75，又 AE=6 米，CF=1 米，FG =5 米，那么电线杆 AB 的高度为_米18. 如图，已知 RtABC 中， ACB=90，AC =8，BC=6将ABC绕点 B 旋转得到DBE，点 A 的对应点 D 落在射线 BC 上直线 AC 交 DE 于点 F，那么 CF 的长为_三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）19. 计算： 27+(31)21612+(2+3)1四、解答题（本大题共 6 小题，共 6
5、8.0 分）20. 解方程组： +2=626+92=1.21. 在梯形 ABCD 中，AB CD，BCAB，且ADBD，BD=6，sinA= ，求梯形 ABCD 的面积23第 3 页，共 18 页22. 小明、小军是同班同学某日，两人放学后去体育中心游泳，小明 16：00 从学校出发，小军 16：03 也从学校出发，沿相同的路线追赶小明设小明出发 x 分钟后，与体育中心的距离为 y 米如图，线段 AB 表示 y 与 x 之间的函数关系（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（不要求写出定义域）（2）如果小军的速度是小明的 1.5 倍，那么小军用了多少分钟追上小明？此时他们距离体育中心多少米？2
6、3. 如图，已知ABCD 中，AB=AC，CO AD，垂足为点 O，延长 CO、BA 交于点E，联结 DE（1）求证：四边形 ACDE 是菱形；（2）联结 OB，交 AC 于点 F，如果 OF=OC，求证：2AB 2=BFBO24. 如图，抛物线 y=ax2+4x+c 过点 A（6，0）、B（3， ），与 y 轴交于点 C联结 AB 并延长，交32y 轴于点 D第 4 页，共 18 页（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADC 的面积；（3）点 P 在线段 AC 上，如果OAP 和 DCA 相似，求点 P 的坐标25. 如图，已知 RtABC 中， ACB=90，AC = ，BC=16点 O 在
7、边 BC 上，以 O42为圆心，OB 为半径的弧经过点 AP 是弧 AB 上的一个动点（1）求半径 OB 的长；（2）如果点 P 是弧 AB 的中点，联结 PC，求 PCB 的正切值；（3）如果 BA 平分 PBC，延长 BP、CA 交于点 D，求线段 DP 的长第 5 页，共 18 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据素数的定义，最小的素数是 2， 故选：B 在大于 1 的自然数中，除了 1 和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有 1 与该数本身两个正因数的数）大于 1 的自然数若不是素数素数，则称之为合数本题考查素数的定义，解题的关键是理解素数的定义，属于中考基础题2
8、.【答案】C【解析】解：A a2+a2=2a2，此 选项错误； B（2a）3=8a3，此选项错误； C3a2（-a3）=-3a5，此 选项正确； D4a62a2=2a4，此 选项错误； 故选：C 根据合并同类项法则、单项式的乘方、乘法和除法逐一计算可得本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则及单项式的乘方、乘法和除法法则3.【答案】B【解析】解：A、 =（-2）2-4（-3）=160，方程有两个不相等的两个实数根，所以 A 选项错误； B、=（-2）2-43=-80，方程没有 实数根，所以 B 选项正确； C、=（-2）2-41=0，方程有两个相等的两个实数根，所以 C 选项
9、错误； D、=（-2）2-4（-1）=80，方程有两个不相等的两个实数根，所以 D 选项错误 第 6 页，共 18 页故选：B 分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义确定正确选项本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 2-4ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个 实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无 实数根4.【答案】A【解析】解：由题意可得：一次函数 y=kx+b 中，y0 时， 图象在 x 轴上方，x-1， 则关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是 x-1， 故选：A根据一次函数 y=kx+b 的图象
10、经过点（-1，0），且 y 随 x 的增大而增大，得出当x-1 时 ，y0，即可得到关于 x 的不等式 kx+b0 的解集是 x-1此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系5.【答案】D【解析】解：点 M 的坐 标是（4， 3）， 点 M 到 x 轴 的距离是 3，到 y 轴的距离是 4， 点 M（4，3），以 M 为圆心， r 为半径的圆与 x 轴相交，与 y 轴相离， r 的取值范围是 3r4， 故选：D先求出点 M 到 x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直
11、线与圆的位置关系的内容是解此题的关键6.【答案】C【解析】第 7 页，共 18 页解：连接 CE，AEBC，E 为 AD 中点， FEC 面积是AEF 面积 的 2 倍设AEF 面积为 x，则 AEC 面积为 3x，E 为 AD 中点，DEC 面积= AEC 面积=3x 四边形 FCDE 面积为 5x，所以 SAFE：S 四边形 FCDE 为 1：5故选：C 根据 AEBC，E 为 AD 中点，找到 AF 与 FC 的比，则可知AEF 面积与FCE 面积的比，同 时因为 DEC 面积=AEC 面积，则可知四边形 FCDE 面积与AEF 面 积之间的关系本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四
12、边形的性质，解题的关键是通过线段的比得到三角形面积的关系7.【答案】6【解析】解：原式=5+1 =6 故答案为：6直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键8.【答案】2b（a+2）（a-2）【解析】第 8 页，共 18 页解：2a 2b-8b =2b（a2-4） =2b（a+2）（a-2） 故答案为：2b（a+2）（a-2）先提取公因式 2b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能
13、分解为止9.【答案】x=1【解析】解：原方程变形为 4-3x=x2， 整理得 x2+3x-4=0， （x+4）（x-1）=0， x+4=0 或 x-1=0， x1=-4（舍去），x 2=1 故答案为 x=1将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键10.【答案】-2x 1【解析】解：解不等式，得 x-2，解不等式，得 x1，所以，这个不等式组的解集是-2x1，故答案为-2x1分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）第 9
14、 页，共 18 页11.【答案】【解析】解：已知函数 ， = = ， = = ，（ ）2=2，（ ）2= ，2 ， ， ，故答案为：先求出 = ， = ，再利用平方法判断出 ，即可得出结论此题是函数值问题，主要考查了无理数的比较大小的方和分母有理化，比较 是解本题的关键12.【答案】y=3x +2【解析】解：设平移后直线的解析式为 y=3x+b 把（0，2）代入直线解析式得 2=b， 解得 b=2 所以平移后直线的解析式为 y=3x+2 故答案为：y=3x+2根据平移不改变 k 的值可设平移后直线的解析式为 y=3x+b，然后将点（0，2）代入即可得出直线的函数解析式本题考查了一次函数图象与几
15、何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线 y=kx+b（k0）平移时 k 的值不变是解题的关键13.【答案】8【解析】第 10 页，共 18 页解：设白色棋子的个数为 x，根据题意得 = ，解得 x=8，即白色棋子的个数为 8故答案为 8设白色棋子的个数为 x，利用概率公式得到 = ，然后利用比例性质求出x 即可本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数14.【答案】28 分【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是 28 分，28 分，它们的平均数是 28 分， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
16、28 分 故答案为：28 分根据中位数的定义求解即可本题考查了确定一组数据的中位数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数15.【答案】60【解析】解：正六 边形的六条边都相等，正六边 形的中心角= =60故答案为：60根据正六边形的六条边都相等即可得出结论本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键第 11 页，共 18 页16.【答案】 +2 【解析】解：D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DEBC，BC=2DE， = ， =2 ， = + = +2 ，故答案为
17、 +2 利用三角形的中位线定理求出 即可解决问题本题考查平面向量，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型17.【答案】12【解析】解：延长 DG 交 AF 的延长线于点 H，作 GMBH于点 M，i=1：0.75= ， = ，FG=5 米，GM=4 米， FM=3 米，CF=1 米，CM=4 米，AE=CH=6 米，MH=2 米，GMAF，DCAF，GMDC， = ，即 = ，CD=12 米，AB=CD=12 米，故答案为 12延长 DG 交 AF 的延长线于点 H，作 GMBH 于点 M，解 RtMCG，求出 MF与 GM，进一步求出 HM，继而根据平行线分
18、线段成比例的性质求得 CD 的长，第 12 页，共 18 页即可得到 AB 的长此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题注意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解此题是关键，注意数形结合思想的应用也考查了平行投影18.【答案】3【解析】解：如 图，已知 RtABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6AB= ，tanA= ，将ABC 绕点 B 旋转得到DBE，点 A 的对应点D 落在射线 BC 上，直 线 AC 交 DE 于点 F，BD=AB=10，D=A，CD=BD-BC=10-6=4，在 RtFCD 中，DCF=90，tanD= ，即 ，CF=3故答案为：3由题意，可得 BD=
19、AB=10，tanD=tanA= ，所以 CD=4，在 RtFCD 中，DCF=90，tanD= ，即 ，可得 CF=3本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键19.【答案】解： 27+(31)21612+(2+3)1=3 +3-2 +1-4+3 312+3=3 +3-2 +1-4+2-3 3 3=2【解析】根据完全平方公式、负整数指数幂和分母有理化可以解答本题本题考查完全平方公式、负整数指数幂和分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法第 13 页，共 18 页20.【答案】解：由得：（x-3y） 2=1，x-3y=1 或 x-3y=1，所以原方程组变为： ，
20、，+2=63=1 +2=63=1解这两个方程组得： ，=4=1 =165=75所以原方程组的解为 ， 1=41=1 2=1652=75【解析】先由得（x-3y） 2=1，x-3y=1 或 x-3y=1，再把原方程组分解为： ，最后分别解这两个方程组即可此题考查了高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程21.【答案】解：DC AB，AB BC，C=ABC=90，ADBD，ADB=90，A+ABD=90，DBC+ABD=90，A=DBC，sinA= ，23sinA=sinDBC= ，23BD=6， = ， = ，23 23AB=9， DC=4，在 RtDCB 中，由
21、勾股定理得：BC = = =2 ，22 6242 5梯形 ABCD 的面积是 = （4+9）2 =13 12(+)12 5 5【解析】求出 A=DBC，解直角三角形求出 AB 和 DC，根据勾股定理求出 BC，再求出梯形的面积即可第 14 页，共 18 页本题考查了梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出 DC、BA 的长度是解此题的关键22.【答案】解：（1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b，得 ，=60010+=0 =60=600即 y 与 x 之间的函数解析式为 y=-60x+600；（2）小明的速度为：60010=60 米/ 分钟，则小军的速度为：601.5=90 米
22、/ 分钟，设小军用了 a 分钟追上小明，90a=60（a+3），解得，a=6，当 a=6 时，他们距离体育中心的距离是 600-906=60 米，答：小军用了 6 分钟追上小明，此时他们距离体育中心 60 米【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得 y 与 x 之间的函数解析式； （2）根据图象中的数据可以分别得甲乙的速度，从而可以解答本题本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答23.【答案】（1）证明：COBC ，BCE=90，AB=AC，B=ACB，AEC+B=90，ACE+ACB=90，ACE=AEC，AE=AC，AE=AB，四边形 AB
23、CD 是平行四边形，BECD，AB=CD=AE，四边形 AEDC 是平行四边形，AE=AC，四边形 AEDC 是菱形（2）解：连接 OB 交 AC 于 F四边形 AEDC 是菱形，AEC=ACE，OF=OC，OFC=OCF=AFB，AFB=AEO，ABF=OBE，BAFBOE，第 15 页，共 18 页 = ，BABE=BFBO，BE=2BA，2AB2=BFBO【解析】（1）首先证明四边形 AEDC 是平行四边形，再证明 AE=AC 即可解决问题（2）证明BAFBOE，可得 = 解决问题本题考查菱形的性质和判定，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中
24、考常考题型24.【答案】解：（1）将 A（6，0），B（3， ）代入 y=ax2+4x+c，32得， ，36+24+=09+12+=32解得，a=- ，c =-6，12该抛物线解析式为：y=- x2+4x-6；12（2）将 A（6，0），B（3， ）代入 y=kx+b，32得， ，6+=03+=32解得，k=- ，b =3，12yAB=- x+3，12当 x=0 时，y=3，D（ 0， 3）， OD=3，在抛物线 y=- x2+4x-6 中，12当 x=0 时，y=-6，C（0，-6 ），OC =6，DC=OC+OD=9，A（ 6，0），OA=6，SADC= DCOA=27；12（3）由（2）
25、知，OC= OA=6，AOC 为等腰直角三角形，第 16 页，共 18 页OAC=OCA=45，AC= OA=6 ，2 2如图所示，连接 OP，过点 P 作 PHOA 于 H，则PHA 为等腰直角三角形，当DCAOAP 时，= ，即 = ，9662AP=4 ，2HP=HA= AP=4，OH= OA-HA=2，22P（ 2，-4）；当DCAPAO 时，= ，即 = ，9626PA= ，922HP=HA= ，92OH=OA-AH= ，32P（ ，- ），32 92综上所述，点 P 的坐标为（2，-4）或（ ，- ）32 92【解析】（1）将 A（6，0），B（3， ）代入 y=ax2+4x+c，即
26、可求出 a，c 值，进一步写出抛物线解析式；（2）分别求抛物线，直线与坐标轴交点 D，C 的坐标，可直接求出ADC 的面积；第 17 页，共 18 页（3）先求出OAC=OCA=45，再分类讨论OAP 和DCA 相似的两种情况，求出 AP 长度，可利用特殊角进一步求出相关线段的 长度，即可写出点 P 的坐标本题考查了待定系数法求解析式，在二次函数图象中求三角形的面积，三角形相似的判定等，解题的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨论相似情况25.【答案】解：（1）RtABC 中，ACB=90，AC= ，BC=16 ，42AB= =12 ，2+2 2如图 1，过 O 作 OHAB 于 H
27、，则 BH= AB=6 ，12 2BHO=ACB=90，B=B，BHOBCA， ，= = ，6216122OB=9；（2）如图 2，连接 OP 交 AB 于 H，点 P 是弧 AB 的中点，OPAB，AH=BH= AB=6 ，12 2在 RtBHO 中， OH= = =3，22 92(62)2PH=9-3=6，点 P 是弧 AB 的中点， = ，PCB=PBA，PCB 的正切值=PBA 的正切值 = = = ；6923（3）如图 3，过 A 作 AEBD 于 E，连接 CP，BA 平分PBC，AC BC，AE=AC=4 ，2AED=ACB=90，D=D，ADEBDC， = ，设 DE=x，第
28、18 页，共 18 页 = ，42+4216AD= ，482在 RtACB 与 RtAEB 中， ，=RtACBRtAEB（HL），BE=BC=16，CD2+BC2=BD2，（ 4 + ） 2+162=（16+ x） 2，2482解得：x= ，327AD= ，BD=16+ = ，3627 3271447CD= ，6027BC 是 的直径，CPBD，CP= = = ，6027161447 2023PD= = 2216021【解析】（1）根据勾股定理得到 AB= =12 ，如图 1，过 O 作 OHAB 于H，根据相似三角形的性质 即可得到结论；（2）如图 2，连接 OP 交 AB 于 H，根据垂径定理得到OPAB，AH=BH= AB=6 ，得到 PH=9-3=6，根据圆周角定理得到PCB=PBA，根据三角函数的定义即可得到结论 ；（3）如图 3，过 A 作 AEBD 于 E，连接 CP，根据角平分线的性质得到AE=AC=4 ，根据相似三角形的性质得到 AD= ，根据全等三角形的性质得到 BE=BC=16，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出 辅助线是解题的关键
