1、2020 年高考（理科）数学（年高考（理科）数学（5 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题） 1复数 z （ ） A B C D 2已知全集 UR，集合 Ax|x24，那么UA（ ） A（，2） B（2，+） C（2，2） D（，2）（2，+） 3若等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和，a11，则 a4（ ） A Z B C D2 4如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A B4 C D2 5已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为 ，则该队员每
2、次罚球的命中率 p 为（ ） A B C D 6已知 F1，F2是双曲线 C： ， 的两个焦点，P 是 C 上一点，满足 |PF1|+|PF2|6a，且F1PF2 ，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D 7函数 f（x）ex|lnx|2 的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 8已知函数 f（x） sin（x+）cos（x+）（0，0）为偶函数，且 y f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ，则 f（ ）的值为（ ） A1 B1 C D 9 已知三棱柱 ABCA1B1C1， AB3， AC4， ABAC， AA112， 如果三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面
3、上则球的半径为（ ） A B C D 10已知单位向量 ， ， 满足 ，则 的值为（ ） A B C D1 11在数学中有这样形状的曲线：x2+y2|x|+|y|关于这种曲线，有以下结论： 曲线 C 恰好经过 9 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意两点之间的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 5 其中正确的结论有（ ） A B C D 12已知关于 x 不等式 aexx+b 对任意 xR 和正数 b 恒成立，则 的最小值为（ ） A B1 C D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知实数 x，y 满足约束条件
4、， 则 zx+2y 的最小值为 14 若函数 f （x） ax+lnx 在点 （1， a） 处的切线平行于 x 轴， 则 f （x） 的最大值为 15从 3 名骨科、3 名脑外科和 3 名内科医生中选派 5 人组成一个医疗小组，则骨科、脑外 科和内科医生都至少有 1 人的概率为 16设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn（1）nan ，nN*，则 a9 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
5、c，且满足 csinAacosC，c4 （I）求角 C 的大小； （2）若 ，求ABC 的面积 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PD2，DCBC1，AB2，AB DC，BCD90 （1）求证：ADPB； （2）求平面 DAP 与平面 BPC 所成锐二面角的余弦值 19已知 F（0，1）为平面上一点，H 为直线 l：y1 上任意一点，过点 H 作直线 l 的垂 线 m，设线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P，记点 P 的轨迹为 （1）求轨迹的方程； （2）过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹交千点 A、B，直线 CD 与轨迹交于点 C、
6、D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点 问直线 MN 是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由； 求FMN 的面积的最小值 20根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为 0.25，有大 洪水的概率为 0.05 （1）从该地区抽取的 n 年水文资料中发现，恰好 3 年无洪水事件的概率与恰好 4 年有洪 水事件的概率相等，求 n 的值； （2）今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪 水时要损失 20000 元为保护设备，有以下 3 种方案： 方案 1：修建保护围墙，建设费为 3000 元，但围墙只能防小洪水
7、方案 2：修建保护大坝，建设费为 7000 元，能够防大洪水 方案 3：不采取措施 试比较哪一种方案好，请说明理由 21已知函数 f（x）a（x21）lnx，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求实数 a 的取值范围，使得 f（x）asin（x1） 在区间（l，+）内恒 成立（e2.71828为自然对数的底数） （二）选考题：共 10 分请考生从第 22、23 题中任选一题作答井用 2B 铅笔将答题卡上所选 题目对应的题号右侧方框涂黑， 按所涂题号进行评分； 多涂、 多答， 按所涂的首题进行评分； 不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy
8、中，直线 C1：x2 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，C2极坐标方程为：22cos4sin+40 （1）求 C1的极坐标方程和 C2的普通方程； （2）若直线 C3的极坐标方程为 ，设 C2与 C3的交点为 M，N，又 C1：x 2 与 x 轴交点为 H，求HMN 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|x5| （1）当 a2 时，求证：3f（x）3； （2）若关于 x 的不等式 f（x）x28x+20 在 R 恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符合题目要求的 1复数 z （ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简 解：z ， 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 2已知全集 UR，集合 Ax|x24，那么UA（ ） A（，2） B（2，+） C（2，2） D（，2）（2，+） 【分析】先求出集合 A，由此能求出UA 解：全集 UR，集合 Ax|x24x|2x2， UAx|x2 或 x2（，2）（2，+） 故选：D 【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3若等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和，a11，则 a4（ ） A Z B C D
10、2 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出 解：由题意可得：S9S4，91+36d41+6d，解得 d a4 13 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 4如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A B4 C D2 【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底 面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案 解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知，底面两条对角线的长分别为
11、2 ，2，底面边长为 2 故底面菱形的面积为 2 侧棱为 2 ，则棱锥的高 h 3 故 V 2 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何 体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键 5已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为 ，则该队员每次罚球的命中率 p 为（ ） A B C D 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该队员每次罚 球的命中率 p 解：某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，该队员每次罚球的命中率为 p， 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ， （1p）2 ， 解
12、得 p ， 该队员每次罚球的命中率 p 为 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6已知 F1，F2是双曲线 C： ， 的两个焦点，P 是 C 上一点，满足 |PF1|+|PF2|6a，且F1PF2 ，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】由双曲线的定义及|PF1|+|PF2|6a 可得|PF1|，|PF2|的值，在三角形 PF1F2中由余 弦定理可得 a，c 的关系求出离心率 解：由双曲线的对称性设 P 在第一象限，因为|PF1|+|PF2|6a，由双曲线的定义可得|PF1| 2a+|P
13、F2|， 所以|PF2|2a，|PF1|4a， 因 为 F1PF2 ， 在 三 角 形PF1F2中 ， 由 余 弦 定 理 可 得cos F1PF2 ， 即 ，整理可得：3a2c2，可得 e ， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质，及余弦定理的应用，属于中档题 7函数 f（x）ex|lnx|2 的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】把零点个数问题可化为两个函数的交点，作函数的图象求解即可 解 ： 函 数f （ x ） ex|lnx| 2的 零 点 可 以 转 化 为 ： |lnx| 的 零 点 ； 在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点； 故原函数有两个零点 故
14、选：B 【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题 8已知函数 f（x） sin（x+）cos（x+）（0，0）为偶函数，且 y f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 ，则 f（ ）的值为（ ） A1 B1 C D 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合 f（x）是偶函数，求出 的值，利用 f（x）的 对称轴之间的距离求出函数的周期和 ，代入进行求值即可 解：f（x） sin（x+）cos（x+）2sin（x+ ）， f（x）是偶函数， k ，kZ， 得 k ， 0，当 k0 时， ， 即 f（x）2sin（x ）2sin（x ）2cosx， yf（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
15、 ， ，即 T，即 ， 得 2， 则 f（x）2cos2x， 则 f（ ）2cos（2 ）2cos 2 1， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求出 函数的解析式是解决本题的关键难度不大 9 已知三棱柱 ABCA1B1C1， AB3， AC4， ABAC， AA112， 如果三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上则球的半径为（ ） A B C D 【分析】如图所示，设 BC，B1C1的中点分别为 O，O1设三棱柱 ABCA1B1C1的外接 球的球心为 G，半径为 R可得 G 为线段 OO1的中点利用勾股定理可得：BC 可得
16、 R2BG2OB2+OG2 解：如图所示，设 BC，B1C1的中点分别为 O，O1 设三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的球心为 G，半径为 R 则 G 为线段 OO1的中点 BC 5 则 R2BG2OB2+OG2 R 故选：C 【点评】本题考查了三棱柱的性质、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 10已知单位向量 ， ， 满足 ，则 的值为（ ） A B C D1 【分析】设 BC 的中点为 D，连接 PD；则 PDBC，根据条件得到 P，A，D 三点共线且 PA3PD1；再转化所求数量积求解即可 解：设 BC 的中点为 D，连接 PD； 则 PDBC； 因为单位向量 ， ， 满
17、足 ， 故 2 3（ ）6 ； P，A，D 三点共线且 PA3PD1； BD ； （ ） （ ） （ ） （1 ） 2+0 ； 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力解 决本题的关键在于得到 P，A，D 三点共线且 PA3PD1 11在数学中有这样形状的曲线：x2+y2|x|+|y|关于这种曲线，有以下结论： 曲线 C 恰好经过 9 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线 C 上任意两点之间的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 5 其中正确的结论有（ ） A B C D 【分析】找出曲线 C 经过的整点有（0，0），
18、（1，0），（1，0），（0，1），（0， 1），（1，1），（1，1），（1，1），（1，1），共 9 个，可判断； 取特殊值，由可知，点（1，1）和（1，1）均在曲线 C 上，计算这两点间的距 离即可判断； 由于图形是对称的， 所以只需考虑第一象限内的部分， 即 x0， y0， 去掉绝对值后， 可把曲线的方程整理成是以 ， 为圆心， 为半径的圆，作出其图形，用分割法计算 其面积，即可得整个曲线 C 的面积，与 5 比较大小即可得解 解：曲线 C 经过的整点有（0，0），（1，0），（1，0），（0，1），（0，1）， （1，1），（1，1），（1，1），（1，1），恰有 9 个点，即正确；
19、 点（1，1）和（1，1）均在曲线 C 上，而这两点间的距离为 2，即错误； 由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可 此时有，x2+y2x+y，整理得， ，是以 ， 为圆心， 为半径 的圆， 作出曲线在第一象限的图形如图所示， 面积 S 圆 ， 故曲线 C 的面积为 ，即正确 故选：A 【点评】本题考查曲线与方程，对于这类题，一般从曲线的中心对称或轴对称上思考， 有时也会用到极限的思想，考查学生的推理论证能力和转化能力，属于中档题 12已知关于 x 不等式 aexx+b 对任意 xR 和正数 b 恒成立，则 的最小值为（ ） A B1 C D2 【分析】不等式 aexx+b，化为不
20、等式 aexxb，设 f（x）aexx，利用导数和函数 最值的关系求出 f（x）minf（lna）1+lnab，可得 ，设 h（a） ， 利用导数求出函数的最小值即可 解：不等式 aexx+b，化为不等式 aexxb， 设 f（x）aexx，f（x）aex1， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在 R 上单调递减， 若 a0 时，令 f（x）aex10，xlna， 在 xlna 时，f（x）0，f（x）为增函数， 在 xlna 时，f（x）0，f（x）为减函数 由题意可得 f（x）minb， 当 a0 时，f（x）在 R 上单调递减，无最小值，不符合题意， 当 a0 时，f（x）minf（ln
21、a）1+lnab， ， 设 h（a） ，则 h（a） ， 当 a（0，1，h（a）0，h（a）递减；a1，+），h（a）0，h（a）递增， h（a）minh（1）1 则 1， 的最小值为 1 故选：B 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的 问题，考查了运算能力和转化思想，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知实数 x，y 满足约束条件 ， 则 zx+2y 的最小值为 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，件即可求出 z 的最小值 解：作出实数 x，y 满足约束条件 ， 对应的平面区域如图： 由
22、 zx+2y 得 y x z，平移直线 y x z， 由图象可知当直线 y x z 经过点 A （ ， 1） 时， 直线的截距最小， 此时 z 最小 即 z 2（1） ， 故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，结合数形结合是解决本题 的关键 14 若函数 f （x） ax+lnx 在点 （1， a） 处的切线平行于 x 轴， 则 f （x） 的最大值为 1 【分析】 先利用切点处切线与 x 轴平行， 求出 a 的值， 然后利用导数研究函数的单调性， 求出最大值 解： ，f（1）a+10，a1 f（x）lnxx，（x0） ， 易知，x（0，1）时，f（x）0，f（
23、x）递增；x（1，+）时，f（x）0，f（x） 递减 f（x）maxf（1）1 故答案为：1 【点评】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值求切线时，抓住切点满 足的两个条件列方程是关键属于基础题 15从 3 名骨科、3 名脑外科和 3 名内科医生中选派 5 人组成一个医疗小组，则骨科、脑外 科和内科医生都至少有 1 人的概率为 【分析】基本事件总数 n 126，骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人包含的基本 事件个数 m 108由此能求出骨科、脑外科和内科医生都至少 有 1 人的概率 解：从 3 名骨科、3 名脑外科和 3 名内科医生中选派 5 人组成一个医疗小组， 基本事件总数
24、n 126， 骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人包含的基本事件个数： m 108 则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 16设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn（1）nan ，nN*，则 a9 【分析】本题可根据公式 an ， ， 可推导出数列a n的递推公式，然后根 据递推公式的特点计算当 n2，且 n 为偶数时，n1 为奇数这种情况下的通项公式，最 后将 a9转化之后代入得到特定情况下的通项公式可计算出答案 解：由题意，当 n1 时，a1S1a1 ，解得 a1 ， 当 n2 时
25、，anSnSn1（1）nan （1）n 1an 1 （1）nan（1） n1a n1 ， 则当 n2，且 n 为偶数时，n1 为奇数， 此时 ananan1 ， 可得 an1 ， a9a101 故答案为： 【点评】本题主要考查数列求递推公式，由递推公式求通项公式并求值的问题考查了 转化与化归思想，分类讨论思想，指数的运算，逻辑思维能力和数学运算能力本题属 中档题 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为
26、 a，b，c，且满足 csinAacosC，c4 （I）求角 C 的大小； （2）若 ，求ABC 的面积 【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据 sinA 不为 0 求出 tanC 的值，利用特殊 角的三角函数值即可求出 C 的度数； （2） 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin （A ） 1， 结合范围 0A ， 可求 A，B 的值，由正弦定理可求 a 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解 解：（1）由正弦定理化简已知等式得：sinCsinAsinAcosC， A 为三角形内角，sinA0， sinCcosC，即 tanC1， 由 C（0，），可得 C ； （2）由
27、（1）可知 B A， ，可得： sinAcos（B ） sinAcos（A） sinA+cosA2sin（A ）2， 可得 sin（A ）1， 0A ， A ， A ，即 A ，此时，B ， 由正弦定理 ，c4，可知 a2 ， SABC acsinB 4sin 6+2 【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用， 正弦定理， 三角形的面积公式在解三角形中的综合应用， 考查了转化思想， 属于中档题 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PD2，DCBC1，AB2，AB DC，BCD90 （1）求证：ADPB； （2）求平面 DAP 与平面 BPC
28、 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1） 在四边形 ABCD 中， 连接 BD， 由已知求解三角形可得 BD ， AD ， 则 AD2+BD2AB2， 得到 ADBD， 再由已知得 PDAD， 由直线与平面垂直的判定可得 AD 平面 PBD，进一步得到 ADPB； （2）由（1）知，DA，DB，DP 两两互相垂直，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DB，DP 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面 PBC 的一个法向量与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 DAP 与与平面 BPC 所成锐二面角 的余弦值 【解答】（1）证明：在四边形 ABCD
29、 中，连接 BD， 由 DCBC1，BCD90，得 BD ， 由 ABDC，BCD90，得ABC90，即 ABBC 又 AB2，可解得 AD ，则 AD2+BD2AB2，ADBD 又 PD底面 ABCD，PDAD， 而 BDPDD，AD平面 PBD， ADPB； （2）解：由（1）知，DA，DB，DP 两两互相垂直 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DB，DP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 B（0， ，0），P（0，0，2），C（ ， ，0） （ ， ，0）， ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，取 y ，得 ， ， ； 又平面 PAD 的一个法向量
30、为 ， ， cos ， 平面 DAP 与平面 BPC 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 19已知 F（0，1）为平面上一点，H 为直线 l：y1 上任意一点，过点 H 作直线 l 的垂 线 m，设线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P，记点 P 的轨迹为 （1）求轨迹的方程； （2）过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹交千点 A、B，直线 CD 与轨迹交于点 C、D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点 问直线 MN 是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点
31、，否则说明理由； 求FMN 的面积的最小值 【分析】（1）设 P 的坐标，由题意可得|PF|PH|，整理可得 P 的轨迹方程； （2）由题意可得直线 BA，CD 的斜率都存在，设直线 AB 的方程与抛物线联立求出两根 之和，进而求出 AB 的中点 M 的坐标，同理可得 N 的坐标，进而求出直线 MN 的斜率， 再求直线 MN 的方程，可得恒过定点； 因为直线 MN 恒过定点，所以得 SFMN |xMxN|，由均值不等式可得FMN 的面积的最小值为 4 解：设 P 的坐标（x，y）由题意可得|PF|PH|， 所以 |y+1|， 整理可得 x24y， 所以轨迹的方程：x24y； （2） 由题意可得
32、直线 AB， CD 的斜率均存在， 设直线 AB 的方程： ykx+1， A （x1， y1） ， B（x2，y2）， 直线与抛物线联立 ，整理可得：x24kx40，x1+x24k，y1+y2k（x1+x2） +24k2+2， 所以 AB 的中点 M（2k，2k2+1）， 同理可得 N（ ， 1）， 所以直线 MN 的斜率为 k ， 所以直线 MN 的方程为：y（2k2+1）（k ）（x2k）， 整理可得 y（k ）x+3，所以恒过定点 Q（0，3） 所以直线恒过定点（0，3）； 从而可得 SFMN |xMxN | |2k |2|k |4， 所以FMN 的面积的最小值为 4 【点评】本题考查求
33、轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明，均值不 等式的应用，属于中档题 20根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为 0.25，有大 洪水的概率为 0.05 （1）从该地区抽取的 n 年水文资料中发现，恰好 3 年无洪水事件的概率与恰好 4 年有洪 水事件的概率相等，求 n 的值； （2）今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪 水时要损失 20000 元为保护设备，有以下 3 种方案： 方案 1：修建保护围墙，建设费为 3000 元，但围墙只能防小洪水 方案 2：修建保护大坝，建设费为 7000 元，能够防大洪水
34、方案 3：不采取措施 试比较哪一种方案好，请说明理由 【分析】（1）根据独立重复事件的概率分别求出“恰好 3 年无洪水事件的概率”与“恰 好 4 年有洪水事件的概率”，然后列出关于 n 的等式，最后分 n7，n7 和 n7 三种 情况讨论等式是否成立即可得解； （2）用 X1，X2，X3分别表示方案 1，2，3 的损失，然后依次求出每种方案中 Xi（i1， 2，3）的数学期望，并比较大小，取最小者即可 解：（1） ， ， 当 n7 时，左边1，右边1； 当 n7 时，左边1，右边1； 当 n7 时，左边右边1 n7 （2）用 X1，X2，X3分别表示方案 1，2，3 的损失 第一方案：建保护围
35、墙，建设费为 3000 元，但围墙只能防小洪水 无大洪水 有大洪水 概率 0.95 0.05 损失 3000 63000 平均损失 E（X1）30000.95+630000.056000 第二方案：建保护大坝，建设费为 7000 元，能够防大洪水，E（X2）7000 第三方案：不采取措施 无洪水 有小洪水 有大洪水 概率 0.7 0.25 0.05 损失 0 20000 60000 平均损失 E（X3）600000.05+200000.258000 故采取方案一更好 【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期 望的实际应用， 考查学生将理论知识与实际生活相联系
36、的能力和运算能力， 属于基础题 21已知函数 f（x）a（x21）lnx，a一、选择题 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求实数 a 的取值范围，使得 f（x）asin（x1） 在区间（l，+）内恒 成立（e2.71828为自然对数的底数） 【分析】（1）求导可得 ，然后分 a0 和 a0 两种情况讨论即可； （2） 记 ， 分 a0， 0a1 及 a1 三种情况讨论， 综合即可得出答案 解：（1）函数的定义域为 R， ， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）的单调递减区间是（0，+）； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 ，令 f（x）0，解得 ， 故函数 f（x）的单调递减区间是
37、， ，单调递增区间是 ， ； 综上，当 a0 时，函数 f（x）的单调递减区间是（0，+）； 当 a0 时，函数 f（x）的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 ， ； （2）记 ， 当 a0 时，由（1）知，f（x）在（1，+）上单调递减， f（x）f（1）0， 对 x（1，+）恒成立， 又当 x1 时，易知 ex1x，故 ， 从而取 x+1 时， ，00 矛 盾； 当 0a1 时， ， g（1）a10， ， 当 ax210 时， ，取 ，则 ， 从而，由函数零点存在性定理可知，存在 ， ，使得 g（x0）0， 且当 x（1，x0）时，g（x）0，g（x）在（1，x0）单调递减，g（x）g（
38、1）0， 矛盾； 当 a1 时， ， g（x）在（1，+）单调递增，从而，g（x）g（1）0，满足题意 综上，a1 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查分类讨 论思想的运用，考查运算能力，属于中档题 （二）选考题：共 10 分请考生从第 22、23 题中任选一题作答井用 2B 铅笔将答题卡上所选 题目对应的题号右侧方框涂黑， 按所涂题号进行评分； 多涂、 多答， 按所涂的首题进行评分； 不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，C2极坐标方
39、程为：22cos4sin+40 （1）求 C1的极坐标方程和 C2的普通方程； （2）若直线 C3的极坐标方程为 ，设 C2与 C3的交点为 M，N，又 C1：x 2 与 x 轴交点为 H，求HMN 的面积 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果 解：（1）直线 C1：x2，转换为极坐标方程为 cos2 C2极坐标方程为：22cos4sin+40，转换为直角坐标方程为（x1） 2+（y2） 21 （2） 将 代入 C2极坐标方程为： 22cos4sin+40 得到 ， 解得 ， ， 所以 ，
40、由于 H（2，0）到直线 yx 的距离为 ， 所以 SHNM1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|x5| （1）当 a2 时，求证：3f（x）3； （2）若关于 x 的不等式 f（x）x28x+20 在 R 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1） 将 a2 代入， 利用绝对值不等式的性质可得|x2|x5|3， 进而得证； （2）分 a5 及 a5 两种情况讨论，每种情况下都把函数 f（
41、x）化为分段函数的形式， 再根据题意转化为关于 a 的不等式，每种情况解出后最后取并集即可 【解答】（1）证明：当 a2 时，f（x）|x2|x5|， |x2|x5|x2（x5）|3， 3|x2|x5|3，即3f（x）3； （2）解：f（x）|xa|x5|， 当 a5 时， ， ， ， ，则 f（x）maxa5，且 yx28x+20 x28x+16+4（x4）2+44， 要使 f（x）x28x+20 在 R 恒成立，则只需 4a5，则 a9，此时 5a9； 当 a5 时， ， ， ， ， 需要 恒成立， ， 0a5， 综合可知，0a9，即实数 a 的取值范围为0，9 【点评】本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的恒成立问题，考查分类 讨论思想及运算求解能力，属于中档题
