1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1如果电梯上升 5 层记为+5那么电梯下降 2 层应记为（ ） A+2 B2 C+5 D5 2观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 32018 年第二季度，遵义市全市生产总值约为 532 亿元，将数 532 亿用科学记数法表示为 （ ） A532108 B5.32102 C5.32106 D5.321010 4如图，直线 ab，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，BAC 的平分线交直线 b 于点 D，若 150，则2 的度数是（ ） A50 B70 C80 D110 5下列立体图形中，主视图是
2、三角形的是（ ） A B C D 6下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B（xy）2x2y2 C（x2y）3x6y D（x）2 x3x5 7已知一组数据：5，7，10，5，7，5，6这组数据的众数和中位数分别是（ ） A5，6 B5，7 C6，7 D10，7 8如图，AM 为BAC 的平分线，下列等式错误的是（ ） ABAM2CAM BBAMCAM CBACBAM D2CAMBAC 9如图，直线 ykx+3 经过点（2，0），则关于 x 的不等式 kx+30 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 10如图，在ABC 中，ABAC，A30，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与A
3、CE 的平分线相交于点 D，则D 的度数为（ ） A15 B17.5 C20 D22.5 11 已知二次函数 yax2+2ax+3a2+3 （其中 x 是自变量） ， 当 x2 时， y 随 x 的增大而增大， 且当2x1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 12如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB5，BC10，连接 AC、BD， 以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE3，则 AD 的长为（ ） A5 B4 C3 D2 二、填空题（请将答案填在答题卡上对应的答题区域内.每小题 3 分，共 18 分） 131 14如图，在 RtABC
4、中，ACB90，A30，D，E，F 分别为 AB，AC，AD 的 中点若 BC2，则 EF 的长度为 15某单位职工参加献爱心活动，50 名职工的捐款情况统计如下表，则他们捐款金额的平 均数是 元 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 16 已知二次函数 yx24x+k 的图象的顶点在 x 轴下方， 则实数 k 的取值范围是 17每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2019 层的三角形个数为 18如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上 的点 G 处（不与 B、D 重合），折痕为 EF，若 DG2，BG6
5、，则 BE 的长为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答写在答题卡上对应的答 题区域内.共 66 分） 19计算：+（2019）04sin45+|2| 20分解因式：2a3b4a2b2+2ab3 21 如图， 在平面直角坐标系中， 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1， 1） ， B （4， 1） ， C（3，3） （1）将ABC 向下平移 5 个单位后得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后得到A2B2C2，请画出A2B2C2； （3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状（无须说明理由） 22 已知平行四边形
6、ABCD 中， CE 平分BCD 且交 AD 于点 E， AFCE， 且交 BC 于点 F （1）求证：ABFCDE； （2）如图，若165，求B 的大小 23阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随 机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 A 0t0.5 6 0.15 B 0.5t1 a 0.3 C 1t1.5 10 0.25 D 1.5t2 8 b E 2t2.5 4 0.1 合计 1 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1） 表中的 a ， b ， 中位数落在 组， 将频数分布直方
7、图补全； （2）估计该校 2000 名学生中，每周课余阅读时间不足 0.5 小时的学生大约有多少名？ （3）E 组的 4 人中，有 1 名男生和 3 名女生，该校计划在 E 组学生中随机选出两人向全 校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是 1 名男生和 1 名女生的概率 24 某商店经销一种学生用双肩包， 已知这种双肩包的成本价为每个 30 元， 市场调查发现， 这种双肩包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：yx+60（30x 60）设这种双肩包每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，
8、每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42 元，该商店销售这种双肩包每 天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 25如图，在 RtABC 中，C90，点 D 在线段 AB 上，以 AD 为直径的O 与 BC 相 交于点 E，与 AC 相交于点 F，BBAE30 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 AC3，求O 的半径 r； （3）在（1）的条件下，判断以 A、O、E、F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说 明理由 26如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC，ABC90，顶点 A 在第一象限， B，C 在
9、x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧），BC2，AB2，ADC 与ABC 关于 AC 所在的直线对称 （1）当 OB2 时，求点 D 的坐标； （2）若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长； （3）如图 2，将（2）中的四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1，过 点 D1的反比例函数 y （k0）的图象与 BA 的延长线交于点 P问：在平移过程中， 是否存在这样的 k，使得以点 P，A1，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接 写出所有符合题意的 k 的值；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符
10、合题目要求.每小题选出答案后，请 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题 3 分，共 36 分） 1如果电梯上升 5 层记为+5那么电梯下降 2 层应记为（ ） A+2 B2 C+5 D5 【分析】直接利用电梯上升 5 层记为+5，则电梯下降记为负数，进而得出答案 解：电梯上升 5 层记为+5， 电梯下降 2 层应记为：2 故选：B 【点评】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键 2观察下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据等腰三角形，平行四边形、矩形、圆的性质即可判断 解：等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心
11、对称图形，半圆是轴对称图形，矩 形既是轴对称图形又是中心对称图形； 故选：C 【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基 本知识，属于中考常考题型 32018 年第二季度，遵义市全市生产总值约为 532 亿元，将数 532 亿用科学记数法表示为 （ ） A532108 B5.32102 C5.32106 D5.321010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数
12、 解：将数 532 亿用科学记数法表示为 5.321010 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4如图，直线 ab，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，BAC 的平分线交直线 b 于点 D，若 150，则2 的度数是（ ） A50 B70 C80 D110 【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出BADCAD50，进而 得出答案 解：BAC 的平分线交直线 b 于点 D， BADCAD， 直线 ab，150， BADCAD50， 2180505080
13、故选：C 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出BADCAD50是解题关键 5下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图 解：A、C、D 主视图是矩形，故 A、C、D 不符合题意； B、主视图是三角形，故 B 正确； 故选：B 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形 6下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B（xy）2x2y2 C（x2y）3x6y D（x）2 x3x5 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计 算，判断即可 解：x2+x22x2，A 错误；
14、 （xy）2x22xy+y2，B 错误； （x2 y）3 x6y3，C 错误； （x）2 x3x2 x3x5，D 正确； 故选：D 【点评】本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握 它们的运算法则是解题的关键 7已知一组数据：5，7，10，5，7，5，6这组数据的众数和中位数分别是（ ） A5，6 B5，7 C6，7 D10，7 【分析】将这组数据排序后处于中间位置的数就是这组数据的中位数，出现次数最多的 数为这组数据的众数 解：将这组数据重新排列为 5、5、5、6、7、7、10， 所以这组数据的众数为 5、中位数为 6， 故选：A 【点评】本题考查了中位数，众数的
15、意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小） 重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次 数最多的数据，注意众数可以不止一个 8如图，AM 为BAC 的平分线，下列等式错误的是（ ） ABAM2CAM BBAMCAM CBACBAM D2CAMBAC 【分析】根据角平分线定义即可求解 解：AM 为BAC 的平分线， BAM2CAM，BAMCAM，BACBAM，2CAMBAC 故选：A 【点评】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键 9如图，直线 ykx+3 经过点（2，0），则关于 x 的不等式 kx+30 的解集是（ ） Ax2 Bx2
16、Cx2 Dx2 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得到 2k+30，解得 k1.5，然后解不等 式1.5x+30 即可 解：直线 ykx+3 经过点 P（2，0） 2k+30，解得 k1.5， 直线解析式为 y1.5x+3， 解不等式1.5x+30，得 x2， 即关于 x 的不等式 kx+30 的解集为 x2， 故选：B 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使 一次函数 yax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看， 就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 10如图，在ABC
17、 中，ABAC，A30，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与ACE 的平分线相交于点 D，则D 的度数为（ ） A15 B17.5 C20 D22.5 【分析】先根据角平分线的定义得到12，34，再根据三角形外角性质得 1+23+4+A，13+D，则 2123+A，利用等式的性质得到D A，然后把A 的度数代入计算即可 解：ABC 的平分线与ACE 的平分线交于点 D， 12，34， ACEA+ABC， 即1+23+4+A， 2123+A， 13+D， DA3015 故选：A 【点评】 本题考查了三角形内角和定理， 关键是根据三角形内角和是 180和三角形外角 性质进行分析 11 已知二次函
18、数 yax2+2ax+3a2+3 （其中 x 是自变量） ， 当 x2 时， y 随 x 的增大而增大， 且当2x1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当 x 2 时，y 随 x 的增大而增大，即可得到 a 的正负情况，最后根据当2x1 时，y 的 最大值为 9 和二次函数的性质，可以求得 a 的值 解：二次函数 yax2+2ax+3a2+3a（x+1）2+2a2+3（其中 x 是自变量）， 该函数的对称轴为直线 x1， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， a0， 又当2x1 时，
19、y 的最大值为 9， x1 时，y9， 即 9a（1+1）2+2a2+3， 解得，a13（舍去），a21， 由上可得，a 的值是 1， 故选：B 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利 用二次函数的性质解答 12如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB5，BC10，连接 AC、BD， 以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E若 DE3，则 AD 的长为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】先判断出ABC 与DBE 相似，求出 BD，最后用勾股定理即可得出结论 解：如图 1， 在 RtABC 中，AB5，BC10， AC5， 连接 BE， BD
20、 是圆的直径， BED90CBA， BACEDB， ABCDEB， ， ， DB3， 在 RtABD 中，AD2， 故选：D 【点评】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本 题的关键 二、填空题（请将答案填在答题卡上对应的答题区域内.每小题 3 分，共 18 分） 131 2 【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案 解：原式312 故答案为：2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键 14如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，D，E，F 分别为 AB，AC，AD 的 中点若 BC2，则 EF 的长度为 1 【分析】根据含 30的
21、直角三角形的性质求出 CD，根据直角三角形的性质求出 CD，根 据三角形中位线定理计算，得到答案 解：ACB90，A30， AB2BC4， ACB90，D 为 AB 的中点， CDAB2， E，F 分别为 AC，AD 的中点， EF 为ACD 的中位线， EFCD1， 故答案为：1 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平 行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键 15某单位职工参加献爱心活动，50 名职工的捐款情况统计如下表，则他们捐款金额的平 均数是 30.6 元 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 【分析】根据加权平
22、均数公式的定义求解即可 解：（54+1016+2015+509+1006）50 （20+160+300+450+600）50 153050 30.6（元） 故他们捐款金额的平均数是 30.6 元 故答案为：30.6 【点评】此题考查了加权平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键 16 已知二次函数 yx24x+k 的图象的顶点在 x 轴下方， 则实数 k 的取值范围是 k4 【分析】先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在 x 轴的下方得出0， 求出即可 解：二次函数 yx24x+k 中 a10，图象的开口向上， 又二次函数 yx24x+k 的图象的顶点在 x 轴下方， （4）241k0
23、， 解得：k4， 故答案为：k4 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛物线与 x 轴的交点，能根据题意 得出（4）241k0 是解此题的关键 17每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2019 层的三角形个数为 4037 【分析】设第 n 层有 an个三角形（n 为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可 得出变化规律“an2n1”，再代入 n2019 即可求出结论 解：设第 n 层有 an个三角形（n 为正整数）， a11，a22+13，a322+15，a423+17， an2（n1）+12n1 当 n2019 时，a20192201914037 故答案为：4037 【
24、点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规 律“an2n1”是解题的关键 18如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上 的点 G 处（不与 B、D 重合），折痕为 EF，若 DG2，BG6，则 BE 的长为 2.8 【分析】作 EHBD 于 H，根据折叠的性质得到 EGEA，根据菱形的性质、等边三角 形的判定定理得到ABD 为等边三角形，得到 ABBD，根据勾股定理列出方程，解方 程即可 解：作 EHBD 于 H， 由折叠的性质可知，EGEA， 由题意得，BDDG+BG8， 四边形 ABCD 是菱形， ADAB，A
25、BDCBDABC60， ABD 为等边三角形， ABBD8， 设 BEx，则 EGAE8x， 在 RtEHB 中，BHx，EHx， 在 RtEHG 中，EG2EH2+GH2，即（8x）2（x）2+（6x）2， 解得，x2.8，即 BE2.8， 故答案为：2.8 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握 翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等是解题的关键 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答写在答题卡上对应的答 题区域内.共 66 分） 19计算：+（2019）04sin45+|2| 【分析
26、】本题涉及二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数 4 个考点在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 解：原式2+14+22+12+23 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决 此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数等 考点的运算 20分解因式：2a3b4a2b2+2ab3 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 解：原式2ab（a22ab+b2） 2ab（ab）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 21 如图
27、， 在平面直角坐标系中， 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1， 1） ， B （4， 1） ， C（3，3） （1）将ABC 向下平移 5 个单位后得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后得到A2B2C2，请画出A2B2C2； （3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状（无须说明理由） 【分析】 （1） 利用点平移的坐标特征写出 A1、 B1、 C1的坐标， 然后描点即可得到A1B1C1 为所作； （2） 利用网格特定和旋转的性质画出 A、 B、 C 的对应点 A2、 B2、 C2， 从而得到A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解
28、答即可 解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求： （2）如图所示，A2B2C2即为所求： （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OBOA1，A1B， 即， 所以三角形的形状为等腰直角三角形 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转 角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形 22 已知平行四边形 ABCD 中， CE 平分BCD 且交 AD 于点 E， AFCE， 且交 BC 于点 F （1）求证：ABFCDE； （2）如图，若165，求B 的大小 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 A
29、BCD，ADBC，BD，得出1 DCE，证出AFB1，由 AAS 证明ABFCDE 即可； （2）由（1）得1DCE65，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出 结果 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，BD， 1BCE， AFCE， BCEAFB， 1AFB， 在ABF 和CDE 中， ABFCDE（AAS）； （2）解： CE 平分BCD， DCEBCE165， BD18026550 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三 角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 23阅读对学
30、生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随 机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 A 0t0.5 6 0.15 B 0.5t1 a 0.3 C 1t1.5 10 0.25 D 1.5t2 8 b E 2t2.5 4 0.1 合计 1 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）表中的 a 12 ，b 0.2 ，中位数落在 1t1.5 组，将频数分布直方图 补全； （2）估计该校 2000 名学生中，每周课余阅读时间不足 0.5 小时的学生大约有多少名？ （3）E 组的 4 人中，有 1 名男生和 3
31、 名女生，该校计划在 E 组学生中随机选出两人向全 校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是 1 名男生和 1 名女生的概率 【分析】（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率； （2）根据每周课余阅读时间不足 0.5 小时的学生的频率，估计该校 2000 名学生中，每周 课余阅读时间不足 0.5 小时的学生数即可； （3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是 1 名男生和 1 名女生的概率 解：（1）抽取的学生数为 60.1540 人， a0.34012 人，b8400.2， 频数分布直方图如下： 故答案为：12，0.2，
32、1t1.5； （2）该校 2000 名学生中，每周课余阅读时间不足 0.5 小时的学生大约有：0.152000 300 人； （3）树状图如图所示： 总共有 12 种等可能的结果，其中刚好是 1 名男生和 1 名女生的结果有 6 种， 抽取的两名学生刚好是 1 名男生和 1 名女生的概率 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题 时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举一般来说，用样本去估 计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确 24 某商店经销一种学生用双肩包， 已知这种双肩包的成本价为每个 30 元， 市场调查发现
33、， 这种双肩包每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）有如下关系：yx+60（30x 60）设这种双肩包每天的销售利润为 w 元 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42 元，该商店销售这种双肩包每 天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案 解：（1）w（x30） y （x+60）（x30） x2+30x+60x1
34、800 x2+90x1800， w 与 x 之间的函数解析式 wx2+90x1800； （2）根据题意得：wx2+90x1800（x45）2+225， 10， 当 x45 时，w 有最大值，最大值是 225 （3）当 w200 时，x2+90x1800200， 解得 x140，x250， 5042，x250 不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为 40 元 【点评】 本题考查了二次函数的应用； 得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键； 利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法 25如图，在 RtABC 中，C90，点 D
35、在线段 AB 上，以 AD 为直径的O 与 BC 相 交于点 E，与 AC 相交于点 F，BBAE30 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 AC3，求O 的半径 r； （3）在（1）的条件下，判断以 A、O、E、F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说 明理由 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出BOE60，进而得出 BEO90，即可得出结论； （2） 先求出AEC60， 利用锐角三角函数求出 AE， 最后用三角函数即可得出结论； （3）先判断出AOF 是等边三角形，得出 OAAF，AOF60，进而判断出OEF 是等边三角形，即可判断出四边相等，即可得出结论 解：（
36、1）如图 1， 连接 OE，OAOE， BAEOEA， BAE30， OEA30， BOEBAE+OEA60， 在BOE 中，B30， OEB180BBOE90， OEBC， 点 E 在O 上， BC 是O 的切线； （2）如图 2，BBAE30， AECB+BAE60， 在 RtACE 中，AC3，sinAEC， AE2， 连接 DE，AD 是O 的直径， AED90， 在 RtADE 中，BAE30，cosDAE， AD4， O 的半径 rAD2； （3）以 A、O、E、F 为顶点的四边形是菱形，理由：如图 3， 在 RtABC 中，B30， BAC60， 连接 OF，OAOF， AOF
37、是等边三角形， OAAF，AOF60， 连接 EF，OE， OEOF， OEB90，B30， AOE90+30120， EOFAOEAOF60， OEOF， OEF 是等边三角形， OEEF， OAOE， OAAFEFOE， 四边形 OAFE 是菱形 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角 三角函数， 等边三角形的判定和性质， 菱形的判定， 求出AEC60是解本题的关键 26如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC，ABC90，顶点 A 在第一象限， B，C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧），BC2，AB2，ADC 与ABC 关于 AC
38、 所在的直线对称 （1）当 OB2 时，求点 D 的坐标； （2）若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长； （3）如图 2，将（2）中的四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1，过 点 D1的反比例函数 y （k0）的图象与 BA 的延长线交于点 P问：在平移过程中， 是否存在这样的 k，使得以点 P，A1，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接 写出所有符合题意的 k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）如图 1 中，作 DEx 轴于 E，解直角三角形清楚 DE，CE 即可解决问题； （2）设 OBa，则点 A 的坐标（a，2），
39、由题意 CE1DE，可得 D（3+a， ），点 A、D 在同一反比例函数图象上，可得 2a（3+a），清楚 a 即可； （3） 分两种情形： 如图 2 中， 当点 A1在线段 CD 的延长线上， 且 PA1AD 时， PA1D 90 如图 3 中，当PDA190时分别求解； 解：（1）如图 1 中，作 DEx 轴于 E ABC90， tanACB， ACB60， 根据对称性可知：DCBC2，ACDACB60， DCE60， CDE906030， CE1，DE， OEOB+BC+CE5， 点 D 坐标为（5，） （2）设 OBa，则点 A 的坐标（a，2）， 由题意 CE1DE，可得 D（3+a
40、，）， 点 A、D 在同一反比例函数图象上， 2 a（3+a）， a3， OB3 （3）存在理由如下： 如图 2 中，当点 A1在线段 CD 的延长线上，且 PA1AD 时，PA1D90 在 RtADA1中，DAA130，AD2 ， AA1 4， 在 RtAPA1中，APA160， PA， PB， 由（2）可知 P（3，）， k10 如图 3 中，当PDA190时作 DMAB 于 M，A1NMD 交 MD 的延长线于 N PAKKDA190，AKPDKA1， AKPDKA1， ，AKDPKA1， KADKPA1， KPA1KAD30 PDA1D， 四边形 AMNA1是矩形， A1NAM ， PDMDA1N， PMDN，设 DNm，则 PMm， P（3，+m），D1（9+m，）， P，D1在同一反比例函数图象上， 3（+m）（9+m）， 解得 m3， P（3，4）， k12 【点评】本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直 角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了 可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
