1、2020 年高考（理科）数学二模试卷年高考（理科）数学二模试卷 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 AxZ|x1|2，Bx|x24，则 AB（ ） A0，1 B1，0，1 C0，1，2 Dx|1x2 2已知复数 z 满足 ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3”a2”是”x0，ax ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 的部分图象大致为（ ） A B C D 5刘徽（约公元 225 年一 295 年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人 之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割
2、，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个 圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如图所示），当 n 变得很大时，这 n 个等腰 三角形的面积之和近似等于圆的面积， 运用割圆术的思想得到 sin3的近似值为 （ ） A B C D 6若 ab0，则下列不等式恒成立的是（ ） Aa2b2 B（ ） alog b C2a2b Dlog alog b 7 已知 的展开式中所有项的系数和为2， 则展开式中含x项的系数为 （ ） A80 B80 C40 D40 8已知双曲线 ， ，过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足 为点 P，以
3、F 为圆心，FP 为半径作圆，该圆与双曲线交于 M，N 两点，且 M，N，F 三 点共线，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 9正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 在平面 A1B1C1D1上，N 为 C1D1的中点，连接 A1N 且 P 在线段 A1N 上已知 BB12，BM ，则 PM 的最小值为（ ） A1 B 1 C 1 D 10若抛物线 y22px 的焦点为 F，点 A，B 在抛物线上，且 ，弦 AB 的中点 M 在 准线 l 上的射影为 N，则 的最大值为（ ） A1 B2 C D 11在数列an中， ， ， ， ，数列an的 前 n 项和为 Sn，下列结论正确的是（ ）
4、 A数列an为等差数列 Ba1811 Ca173 DS31146 12已知函数 ，且对于任意的 x1，x2（，+）， 当 x1x2时都有 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D1，1 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量 ， ， ， ，若 ，则 14记 nb（moda）表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b，例如 82（mod6）表 示 8 除以 6 后所得的余数为 2执行如图的程序框图，若输入的 n 值为 5，则输出的 n 值 为 15如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一 个
5、点，则此两点均取自阴影部分的概率为 16半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体 现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如 此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中 八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若二十四等边 体的棱长为 2，则其体积为 三、解答题（共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必 考题， 每个试题考生都必须作答.第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答.） （一） 必考题： （共 60 分） 17 已
6、知多面体 PABCD 中， ABCD， BADPAB90， ABPADAPD CD， M 是 PB 的中点 （1）求证：PACM； （2）求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值 18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 A 的大小； （2）若 ，求 cosC 的值 19已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别为左右焦点，直线 l：x my+1 与椭圆 C 交于 M、N 两点，MF1F2NF1F2的重心分别为 G、H，当 m0 时， OMN 的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 时，证明：原点 O 在以 GH 为直径的圆的外部 20近期，湖北省武
7、汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情为了尽快遏制住疫 情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点、争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进 行研究新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一在传染病学中，通常 把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应 的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地 区 10000 名医学观察者的相关信息， 并通过咽拭子核酸检测得到 1000 名确诊患者的信息 如表格： 潜伏期（单位：天） 0，7 （7，14 （14，21 （21，28 人数 800 190 8 2 （1）求这 1000 名确诊
8、患者的潜伏期样本数据的平均数 （同一组数据用该组数据区间的 中点值代表） （2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜 伏期是否超过 7 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 100 名，得到如下列 联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为潜伏期与患者性 别有关 潜伏期7 天 潜伏期7 天 总计 男性患者 12 女性患者 50 总计 100 （3）由于采样不当、标本保存不当、采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能 造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清 学 IgM/IgG 抗体检
9、测，以弥补核酸检测漏诊的缺点现对 10 名核酸检测结果呈阴性的人 员逐一地进行血清检测，记每个人检测出 IgM（IgM 是近期感染的标志）呈阳性的概率 为 p （0p1） 且相互独立， 设至少检测了 9 个人才检测出 IgM 呈阳性的概率为 f （p） ， 求 f（p）取得最大值时相应的概率 p 附： ，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21已知函数 f（x）aex+ex+（a1）x，g（x）（a+1）cosx （1）当 a0 时，直线
10、ykx 与函数 f（x）的图象相切，求 k 的值； （2）若 f（x）g（x）在0，+）上恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：（共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.）选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位 长度建立极坐标系直线 l 的参数方程为 （t 为参数），圆 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的极坐标方程； （2）已知点 M（1，0），直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 选修 4-5：
11、不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 a+b+c1证明： （1） 9； （2）ac+bc+ababc 参考答案 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 AxZ|x1|2，Bx|x24，则 AB（ ） A0，1 B1，0，1 C0，1，2 Dx|1x2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：集合 AxZ|x1|2集合 AxZ|1x30，1，2，Bx|x24 2，2， AB0，1，2， 故选：C 【点评】本题考查了不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2已知复数 z 满足 ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A1+i
12、 B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概 念得答案 解：由 ， 得 z ， 则 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是 基础题 3”a2”是”x0，ax ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出：x0，ax ，由 yx ，（x0），a2 是 a2 的充分不必 要条件，得到答案 解：x0，ax ， 由 yx ，（x0）， 故 a2， a2 是 a2 的充分不必要条件， 故选：A 【点评】考查四个条件的判断，考查了恒成立问题，基础题
13、 4函数 的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数为奇函数，排除 BD，由 ，排除 C 解：因为 f（x）f（x），所以函数 f（x）为奇函数，排除 B，D； 又 ， 故选：A 【点评】本题考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题 5刘徽（约公元 225 年一 295 年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人 之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个 圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如图所示），当 n 变得很大时，这 n 个等腰 三角形的面积之和
14、近似等于圆的面积， 运用割圆术的思想得到 sin3的近似值为 （ ） A B C D 【分析】将一个单位圆分成 120 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 3，由这 1820 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出 sin3的近似值 解：将一个单位圆分成 180 个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为 2， 这 120 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， 120 sin360sin3， sin3 故选：D 【点评】本题考查 3角的正弦值的近似值的求法，考查扇形、单位圆等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 6若 ab0，则下列不等式恒成立的是（ ） Aa2
15、b2 B（ ） alog b C2a2b Dlog alog b 【分析】由 ab0，取 a2，b1 可排除错误选项 解：由 ab0，取 a2，b1 可排除 ABC， 故选：D 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数点单调性，属基础题 7 已知 的展开式中所有项的系数和为2， 则展开式中含x项的系数为 （ ） A80 B80 C40 D40 【分析】先利用赋值法求出 a 的值，然后将原式拆开后转化为求第二个二项式展开式中 系数的问题 解：令 x1 得（1+a）2，所以 a1 故原式 （x 3+x5）（x22）5 x3（x22）5+x5（x22）5 所以要求原式含 x 项的系数，只需求出（x2
16、2）5展开式中含 x4与 x6的系数之和即可 故所求为 故选：D 【点评】 本题考查二项式展开式的应用， 以及系数求法 要注意合理将二项式进行转化， 便于求解和计算属于基础题 8已知双曲线 ， ，过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足 为点 P，以 F 为圆心，FP 为半径作圆，该圆与双曲线交于 M，N 两点，且 M，N，F 三 点共线，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】设 F（c，0），一条渐近线的方程为 bxay0，由点到直线的距离公式可得圆 F 的半径，再由图象可得 F 为 MN 的中点，进而可得 MN 垂直于 x 轴，求得 MN 的长， 可得 ab，再由离心率公
17、式计算可得所求值 解：设 F（c，0），一条渐近线的方程为 bxay0， 可得|FP| b， 则圆 F 的圆心为（c，0），半径为 b， 又该圆与双曲线交于 M，N 两点，且 M，N，F 三点共线， 可得 MFN 为直径，F 为 MN 的中点，显然 MN 垂直于 x 轴， 可令 xc，则 yb ，可得圆 F 的直径为 2b，即 ab， 则 e ， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查圆的性质，注意运用数形结合思想，考查 运算能力，属于中档题 9正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 在平面 A1B1C1D1上，N 为 C1D1的中点，连接 A1N 且 P 在线段 A1N 上已知
18、BB12，BM ，则 PM 的最小值为（ ） A1 B 1 C 1 D 【分析】由题意画出图形，可知 M 在平面 A1B1C1D1上以 B1为圆心，以 1 为半径的圆弧 上，由等面积法求出 B1 到 A1N 的距离，减去 1 得答案 解：如图， BB12，BM ，M 在平面 A1B1C1D1上以 B1为圆心，以 1 为半径的圆弧上 连接 B1 N，可得 ， ，过 B1作 B1PA1N，由 ，得 PM 的最小值为 故选：B 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，正 确找出 M 的轨迹是关键，是中档题 10若抛物线 y22px 的焦点为 F，点 A，B 在抛物线
19、上，且 ，弦 AB 的中点 M 在 准线 l 上的射影为 N，则 的最大值为（ ） A1 B2 C D 【分析】设 AFa，BFb，由抛物线定义，2|MN|a+b再由余弦定理可得|AB|2a2+b2 2abcos60，进而根据 a+b2 ，求得|AB|的范围，进而可得答案 解：设 AFa，BFb，由抛物线定义，2|MN|a+b 而余弦定理，|AB|2a2+b22abcos60（a+b）23ab， 再由 a+b2 ，得到|AB| （a+b） 所以 的|最大值为 2 故选：B 【点评】本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用考查了学生综合分析问题和解 决问题的能力 11在数列an中， ， ， ，
20、，数列an的 前 n 项和为 Sn，下列结论正确的是（ ） A数列an为等差数列 Ba1811 Ca173 DS31146 【分析】利用数列的递推公式，通过 n 为奇数和偶数，分别判断数列的特点，然后求解 即可 解：当 n 是奇数时，an+3an+11，即数列的an中偶数项构成以 a22，公差为 1 的等 差数列， a182+1（91）10， 当 n 是偶数时，an+3+an+11，则 an+5+an+31，两式相减可得 an+5an+1，即数列an中的 奇数项从 a3开始，每间隔一项的两项相等，即数列an的奇数项呈周期变化， 在 an+3+an+11 中，令 n2 可得 a5+a31，即 a
21、52， a17a43+5a52， 在数列an中，a5+a31，a7+a91，a27+a291，a31a47+3a33，偶数项构成以 a22，公差为 1 的等差数列， S311+7+3+152 146， 故选：D 【点评】本题考查了数列的递推公式，求和公式，通项公式，考查了运算能力和转化能 力，属于中档题 12已知函数 ，且对于任意的 x1，x2（，+）， 当 x1x2时都有 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D1，1 【分析】先根据不妨设 x1x2，可得 f（x1）x1f（x2）x2，设 g（x）f（x）x， 可得函数 g（x）在 R 上为减函数，根据导数和函数单调
22、性的关系，结合换元法即可求出 a 的范围 解：对于任意的 x1，x2（，+），当 x1x2时都有 成立， 不妨设 x1x2， f（x1）f（x2）x1x2， f（x1）x1f（x2）x2， 设 g（x）f（x）x cos2xa（sinxcosx）x g（x1）g（x2），对 x1，x2（，+），且 x1x2恒成立， g（x）在（，+）上为减函数， g（x） sin2xa（cosx+sinx）1 （cosx+sinx） 21a（cosx+sinx）10， 在（，+）上恒成立， 设 tcosx+sinx sin（x ），t ， ， g（t） t 2at 0，在 t ， 恒成立， 即 2t23at5
23、0 在 t ， 恒成立， ， 解得 a ， 故选：C 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系，以及参数的取值范围，考查了运算能力 和转化能力，属于难题 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量 ， ， ， ，若 ，则 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出 的值 解：已知向量 ， ， ， ，若 ， （ ） （ ） （1） 2+（1） 350，求得 ， 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题 14记 nb（moda）表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b，例如 82（mod6）
24、表 示 8 除以 6 后所得的余数为 2执行如图的程序框图，若输入的 n 值为 5，则输出的 n 值 为 17 【分析】从框图可以看出，它的算法功能是从 5，8，11，14，这些数中找到第一 个被 4 除余数是 1 的整数 解：该框图的功能是从 5，8，11，14，中找出第一个被 4 除余 1 的整数 易知，当 n17 时，满足题意 故答案为：17 【点评】 本题考查程序框图的算法功能判断问题， 要注意循环开始与结束时的 n 的值 属 于基础题 15如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一 个点，则此两点均取自阴影部分的概率为 【分析】设图阴影面积为 1，
25、求出图、的阴影面积，根据相互独立事件的概率公 式计算即可 解：依题意，设图阴影面积为 1，设图 n 的阴影面积为 Sn，则 S11， 则图阴影为图面积的 ，S 2 ， 图阴影为图面积的 ，S 3 ， 分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为 ， 故答案为： 【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，考查推理能力和计算能力， 属简单题 16半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体 现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如 此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱
26、长都相等，其中 八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若二十四等边 体的棱长为 2，则其体积为 【分析】把二十四正多面体放入正方体中，结合图形求出该几何体的体积 解：如图所示，该二十四正多面体是由棱长为 2 的正方体沿各棱中点截去 8 个三棱锥 所得到的， 所以该几何体的体积为： 8 故答案为： 【点评】 本题考查了正方体的性质、 球的体积积计算公式， 考查了推理能力与计算能力， 是中档题 三、解答题（共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必 考题， 每个试题考生都必须作答.第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答.） （
27、一） 必考题： （共 60 分） 17 已知多面体 PABCD 中， ABCD， BADPAB90， ABPADAPD CD， M 是 PB 的中点 （1）求证：PACM； （2）求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】（1）取 PA 的中点 O，则 PADO，推导出 OMDC，从而 O，M，D，C 四点 共面，PAOM，进而 PA面 ODCM，由此能证明 PACM （2）设 AB2，以 PA 的中点 O 为坐标原点，OA，OD，OM 分别为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值 解：（1）证明：取 PA 的中点 O，则
28、 PADO， OMAB，DCAB，OMDC，O，M，D，C 四点共面， OMAB，且 ABPA，PAOM， DOOMO，PA面 ODCM，PACM 解：（2）设 AB2，以 PA 的中点 O 为坐标原点，OA，OD，OM 分别为 x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 B（1，0，2），D（0， ，0），C（0， ，4），P（1，0，0）， （1， ，2）， （1， ，2）， （2，0，2）， 设平面 PBC 的一个法向量为 （x，y，z）， 则 ，令 x1，则 （1， ，1）， sin ， 则直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值
29、的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 A 的大小； （2）若 ，求 cosC 的值 【分析】（1） 依题意， 化简可得 ， 结合A， B的范围即可求得 ； （2）先利用正弦定理化简可得 ，注意 ， ，故利用平方关系 可得 ，通过配角可得 ，展开即可得解 解：（1） ， ， ， 又 sinB0，故 ， 又 A（0，），故 ； （2）由 ，可得 ， ， ， 又 ， ，故 ， 【点评】本题主要考查三角恒等变换以及正弦定理的运用，通过配角求 cosC 是解题的关 键，同时需注
30、意角的范围对三角函数值的影响，属于基础题 19已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， 分别为左右焦点，直线 l：x my+1 与椭圆 C 交于 M、N 两点，MF1F2NF1F2的重心分别为 G、H，当 m0 时， OMN 的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 时，证明：原点 O 在以 GH 为直径的圆的外部 【分析】（1）由离心率及 a，b，c 之间的关系可得 a，b 的关系，设椭圆的方程，将直 线 x1 代入椭圆的方程求出 M，N 的坐标，进而求出弦长|MN|的值，代入面积公式由题 意可得椭圆的参数的值，进而求出椭圆的方程 （2）设 M，N 的坐标，由MF1F2NF1F2的重心分别为
31、G、H，可得 G，H 的坐标，将 直线 l 的方程代入椭圆的方程中求出两根之和及两根之积，进而求出 的表达式， 由 可得数量积大于 0，进而可得GOH ，所以可证原点 O 在以 GH 为直 径的圆的外部 解：（1）由题意可得离心率 e ，c2a2+b2，所以可得 a24b2， 所以椭圆的方程设为： 1， 当 m0 时，直线 l 的方程：x1，将其直线方程代入椭圆中可得 1， 解得 y ，所以|MN|2 ， 所以 SMON 1 |MN| ， 由题意可得 ，解得：b21， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）证明：设 M（x1，y1），N（x2，y2），由题意MF1F2NF1F2的重心分别为 G
32、、H， 所以 G（ ， ），H（ ， ）， 联立直线 l 与椭圆的方程： 整理可得：（4+m 2）y2+2my30， y1+y2 ，y1y2 ， 因为 ，所以 0，所以 0， 所以GOH ， 所以可证原点 O 在以 GH 为直径的圆的外部 【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合和三角形的重心坐标的求法，属于中 档题 20近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情为了尽快遏制住疫 情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点、争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进 行研究新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一在传染病学中，通常 把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到
33、机体出现反应或开始呈现该疾病对应 的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地 区 10000 名医学观察者的相关信息， 并通过咽拭子核酸检测得到 1000 名确诊患者的信息 如表格： 潜伏期（单位：天） 0，7 （7，14 （14，21 （21，28 人数 800 190 8 2 （1）求这 1000 名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数 （同一组数据用该组数据区间的 中点值代表） （2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜 伏期是否超过 7 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 100 名，得到如下列 联表请将
34、列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为潜伏期与患者性 别有关 潜伏期7 天 潜伏期7 天 总计 男性患者 38 12 50 女性患者 42 8 50 总计 80 20 100 （3）由于采样不当、标本保存不当、采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能 造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清 学 IgM/IgG 抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点现对 10 名核酸检测结果呈阴性的人 员逐一地进行血清检测，记每个人检测出 IgM（IgM 是近期感染的标志）呈阳性的概率 为 p （0p1） 且相互独立， 设至少检测了 9 个人才检测出 IgM
35、 呈阳性的概率为 f （p） ， 求 f（p）取得最大值时相应的概率 p 附： ，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）由频数分布表中的数据和平均数的计算公式求解即可； （2）先补充完整 22 列联表，再利用 K2的公式计算其观测值，并与附表中的临界值对 比即可作出判断； （3）先利用独立事件求概率的方法表示出 f（p） ， 再采用换元法， 令 1px （0，1） ， 则 f（p）g（x）（1x2）x8，对 g（x）求导，借助导
36、数求具体函数最值的方法解答 即可得解 解：（1） （2）补充完整的 22 列联表如下所示， 潜伏期7 天 潜伏期7 天 总计 男性患者 38 12 50 女性患者 42 8 50 总计 80 20 100 2.706， 不能有 90%的把握认为潜伏期与患者性别有关 （3）由 f（p）p（1p）8+p（1p）9，化简得 f（p）p（1p）8（2p）， 令 1px（0，1），则 p1x，f（p）（1x）x8（1+x）（1x2）x8， 令 g（x）（1x2）x8，x（0，1），则 g（x）2x7（45x2）， 令 g（x）0，则 ；令 g（x）0，则 ， g（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递
37、减， g（x）有唯一的极大值为 ，也是最大值 当 ，即 时，f（p）取得最大值 【点评】本题考查平均数的求法、独立性检验、独立事件的概率和导数处理函数的最值 问题等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、对数据的分析能力和 运算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）aex+ex+（a1）x，g（x）（a+1）cosx （1）当 a0 时，直线 ykx 与函数 f（x）的图象相切，求 k 的值； （2）若 f（x）g（x）在0，+）上恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（1） a0 时， f （x） e xx， f （x） ex1， 设切点为 A （x 0， x0） ， kf （x
38、0） 1可得切线方程为：y（ 1）x把点 A 代入解得：x0，可得 k （2）f（x）g（x）在 x0，+）上恒成立，即 aex+ex+（a1）x（a+1）cosx0 在 x0，+）上恒成立令 h（x）aex+ex+（a1）x（a+1）cosx，x0，+）利 用 h（ ），可得 a0h（x）ae xex+（a1）+（a+1）sinx，对 a 分类讨论即可 得出 解：（1）a0 时，f（x）exx，f（x）ex1， 设切点为 A（x0， x0），kf（x0） 1 切线方程为：y（ 1）x 把点 A 代入可得： x0（ 1）x0，解得：x01， ke1 （2）f（x）g（x）在 x0，+）上恒成立
39、，即 aex+ex+（a1）x（a+1）cosx0 在 x0，+）上恒成立 令 h（x）aex+ex+（a1）x（a+1）cosx，x0，+） h（ ）a （a1） 0，可得 a（ ） 0，可得 a0 h（x）aexex+（a1）+（a+1）sinx， a1 时，当 x0，时，aexex0，a10，（a+1）sinx0，h（x）0 h（x）在 x0，上单调递增 当 x（，+）时，h（x）aexex+（a1）（a+1）exex2ee2 0，h（x）在 x（，+）上单调递增 h（x）h（0）0 在 x0，+）上恒成立 0a1 时，h（x）aexex+（a1）（a+1）aexex2h（0）2 （a1
40、）0 令 aexex20，解得 xln h（ln ）0，存在 x0（0， ），使得 h（x0）0， 当 x（0，x0）时，h（x）0，函数 h（x）在 x（0，x0）单调递减，x（0，x0）， h（x）h（0）0 0a1 时不成立 综上可得：a1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不 等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位 长度建立极坐标系直线 l 的参数方程为 （t 为参数），圆 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）写出直线 l 的普通方程和
41、圆 C 的极坐标方程； （2）已知点 M（1，0），直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 xy 10 圆 C 的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程为：（x2）2+y2 4转换为极坐标方程为：4cos （2）把直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入（x2）2+y24， 得到 ， 所以 ，t1t23， 所以|MA|MB| 【点评】本题考查的知识要点：参数
42、方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一 元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且满足 a+b+c1证明： （1） 9； （2）ac+bc+ababc 【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证； （2）ac+bc+ababc）（1a）（1b）（1c），再利用基本不等式即可求证 【解答】证明：（1） ， 当且仅当 时，等号成立； （2）a，b，c 为正数，且满足 a+b+c1， c1ab，1a0，1b0，1c0， ac+bc+ababc（a+bab）c+ab（a+bab）（1ab）+ab（b1）（a1） （a+b）（1a）（1b）（1c） ， ac+bc+ababc ，当且仅当 时，等号成立 【点评】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式的证明，涉及代数恒等变形等数 学运算，充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察，属于中档 题
