1、山东省济南市山东省济南市 20202020 届高三二模数学试题届高三二模数学试题 本试卷共 6 页,22 小题,满分 150 分考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上 无效。 3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 1 : 3 VSh（其中 S 为锥体的底面积 h 为锥体的高） 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,
2、共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.已知 为第四象限角,则 5 cos 13 ，则 sin= 12125 13131212 5 ABCD 2.已知 x,yR集合1,2 , , , 1 2 x ABx yAB 则 xy= A.-1 11 .1 22 BCD 3.已知抛物线 2 4xy的焦点为 F,点 P 在抛物线上且横坐标为 4,则|PF|= A.2 B.3C.5 D.6 4.十项全能是由跑、跳、投等 10 个田径项目组成的综合性男子比赛项目,按照国际田径联合 会制定的田径运动全能评分表计分,然后将各个单项的得分相加,总分多者为优胜.下面是某 次全能比赛中甲、乙
3、两名运动员的各个单项得分的雷达图. 下列说法错误的是 A.在 100 米项目中,甲的得分比乙高 B.在跳高和标枪项目中,甲、乙的得分基本相同 C.甲的各项得分比乙更均衡 D.甲的总分高于乙的总分 5.已知函数 2 21,1 |1|,1 xxx f x xx 若 2 43,f afa则实数 a 的取值范围是 .4,1A ., 41,B .1,4C ., 14,D 6.任何一个复数izba(其中 a,bR,i 为虚数单位)都可以表示成zr cosisin(其 中 r0,)R的形式,通常称之为复数 z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现: (sin ()cos nn rirnN ,我们称这个结论为棣莫
4、弗定理.由棣莫弗定理可知,“n 为偶 数”是“复数 44 m cosisin 为纯虚数的是 A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知点 A,B,C 均在半径为2的圆上,| 2AB 若则AC BC的最大值为 .3+2 2A .22 2B C.4 D.2 8.在三棱锥 P-ABC 中,2BCABAC，若该三棱锥的体积为2 3,则其外接球表面积的最小 值为 A.5 B. 49 12 C. 64 9 D. 25 4 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的
5、得 3 分,有选错的得 0 分. 9.已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及 格线,120 分为优秀线下列说法正确的是 附:随机变量 服从正态分布 2 ,N u则 0.6826,22=0.9544PuP， 330.9974P u A.该市学生数学成绩的期望为 100 B.该市学生数学成绩的标准差为 100 C.该市学生数学成绩及格率超过 0.8 D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 10.已知圆锥的顶点为 P,母线长为 2,底面半径为3,A,B 为底面圆周上两个动点,则下列说法 正确的是 A.圆锥的高为 1 B.三角形 PA
6、B 为等腰三角形 C.三角形 PAB 面积的最大值为3 D.直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6 11.已知实数,xy z，满足 1 ln y xe z ,则下列关系式中可能成立的是 AxyzB.xzyC.zxyD.zyx 12.已知函数 3 ,0,|0x, 288 f xsinff xf 其中， 恒成立,且)f x（区间, 12 24 上单调,则下列说法正确的是 A.存在 ,使得 f x是偶函数 3 .0 4 B ff C. 是奇数 D. 的最大值为 3 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.5G 指的是第五代移动通信技术,比第四代移动通信技术的数据传输速率
7、快数百倍,某公司 在研发 5G 项目时遇到一项技术难题,由甲、乙两个部门分别独立攻关,已知甲部门攻克该技 术难题的概率为 0.6,乙部门攻克该技术难题的概率为 0.5.则该公司攻克这项技术难题的概率 为 14.能够说明“若 11 ab ,则 ab”是假命题的一组整数 a,b 的值依次为 15.已知函数 1 , x f xea x若 f x有两个零点,则实数 a 的取值范围是 16.已知 F1,F2分别是双曲线 C: 22 22 0( 1 xy a ab 0)b 的左,右焦点,过点 F1向一条渐近线 作垂线,交双曲线右支于点P,直线F2P与y轴交于点Q(P,Q在x轴同侧),连接 1, QF若 1
8、 PQF的 内切圆圆心恰好落在以 F1F2为直径的圆上,则 12 FPF的大小为 ;双曲线的离心率为 (第一空 3 分,第二空 2 分) 四、解答题:本题共 6 小题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.(10 分) 2020 年 4 月 21 日,习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研,在镇中心小学的课堂上向 孩子们发出了“文明其精神,野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01 中学生疫情期 间居家体育锻炼的情况,从全市随机抽 1000 名中学生进行调查,统计他们每周参加体育锻炼 的时长,右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图. (1)已知样本中每周体育锻炼时长不足
9、 4 小时的体育锻炼的中学生有 100 人,求直方图中 a,b 的值； (2)为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况,利用分层抽样的方法从10,12)和 12,14两组中共抽取了 6 名中学生参加线上座谈会,现从上述 6 名学生中随机抽取 2 名在会 上进行体育锻炼视频展示,求这 2 名学生来自不同组的概率。 18.(12 分) 已知ABC中,三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. (1)证明coscos;aBbAc 2coscos 2cos2 coscos2 coscoscos cbabCcB AbAaCa BAAosA （ ）在，这三个 条件 中任选一个补充在下面问题
10、中,并解答 若 a=7,b=5, 求ABC的周长 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 19.(12 分) 如图,三棱维 P-ABC 中,平面 PAB平面 2,4560PABPBABACBACABC ，D 是棱 AB 的中点,点 E 在棱 PB 上 点 G 是BCD的重心。 (1)若 E 是 PB 的中点,证明GE/面 PAC; (2)是否存在点 E,使二面角 E-CD-G 的大小为30若存在，求BF BP的值;若不存在,请说明理由 20.(12 分) 如图 1,杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于 1261 年所著的详解九章算法中列出的一张 图表,如图 2,把杨辉三角左对齐排列,将同一条
11、斜线上的数字求和,会得到一个数列an,其中 123 1,1,2aaa设数列an的前 n 项和为 Sn (1)求 a8的值,并写出 12 , nnn a aa 满足的递推关系式(不用证明); (2)记 2022 am用 m 表示 2020 S 21.(12 分) 已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 的左顶点和下顶点分别为, ,| 2 5A BAB 过椭圆焦 点且与长轴垂直的弦的长为 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 M 为椭圆 C 上一动点(M 不与 A,B 重合),直线 AM 与 y轴交于点 P,直线 BM 与 x 轴交 于点 Q,证明:| |AQBP为定值。 22.(12 分) 已知函数 ln ax x f x e 存在唯一的极 (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 120 ,x xx证明: 2 12 1 (2)1 lo(g aa x xx x xeex ）
