1、2020 年高考数学三模试卷（理科）年高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|x10，Bx|x22x80，则R（AB）（ ） A2，1 B1，4 C（2，1） D（，4） 2复数 z 的共轭复数 满足 ，则 z（ ） A2+i B2i Cl+2i D12i 3在等差数列an中，前 n 项和 Sn满足 S8S345，则 a6的值是（ ） A3 B5 C7 D9 4 在ABC 中， | | |， AB4， AC3， 则 在 方向上的投影是 （ ） A4 B3 C4 D3 5设 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值是（ ） A0 B3 C4 D5 6 命
2、题 p： 曲线 yx2的焦点为 ， ； 命题 q： 曲线 的渐近线方程为 y2x； 下列为真命题的是（ ） Apq Bpq Cp（q） D （p）（q） 7某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018 年全年总收入与 2017 年全年总收 入相比增长了一倍，实现翻番同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相 应变化如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的 是（ ） A该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 B该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业 2018 年其它费用是
3、 2017 年工资金额的 D该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该 棱锥的外接球的表面积为（ ） A4 B6 C8 D12 9 已知函数 ysinax+b （a0） 的图象如图所示， 则函数 yloga（xb） 的图象可能是 （ ） A B C D 10已知角 的终边经过点（2，3），将角 的终边顺时针旋转 后，角 的终边与单位 圆交点的横坐标为（ ） A B C D 11已知 a2log2 ， ，c5log5 ，则（ ） Aabc Bcab Cbca Dbac 12 若函数 f （x）
4、2x+sinxcosx+acosx 在 （， +） 单调递增， 则 a 的取值范围是 （ ） A1，1 B1，3 C3，3 D3，1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13九章算术中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对 穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？ 题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老 鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚 尺， 天后两只老鼠打穿城 墙 14（x2y+1）（2x+y）6展开式中 x4y3的系数为 15已知点 P 是双曲线 ： ， 左支上
5、一点，F2是双曲线的右焦点，且 双曲线的一条渐近线恰是线段 PF2的中垂线，则该双曲线的离心率是 16在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 ABCD 当 时，三棱锥 ABCD 的体积为 ； 当面 ABD面 BCD 时，ABCD； 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值 以上命题正确的是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， （1）求 A； （2）若 b4，c6，求 sinB 的值 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是菱形，且 CACB1 （1）证明：面
6、CBA1面 CB1A； （2）若BAA160，A1CBCBA1，求二面角 CA1B1C1的余弦值 19已知点 F1为椭圆 的左焦点， ， 在椭圆上，PF1x 轴 （1）求椭圆的方程： （2）已知直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ， 的 大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由 20东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市 民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行， 这给轻轨站停车场带来很大的压力某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车 停车施行收费制度，收费标准如下：4
7、 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增加一 小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小时， 按前述标准重新计费上述标准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一天的 收费情况，现统计 1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次）， 得到下面的频数分布表： T（小时） （0，4 （4，5 （5，6 （6，7 （7，8 （8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位
8、于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概 率 （1）现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研， 记录并统计了停车时长与司机性别的 22 列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？ （2）（i）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率 分布列及期望 E（X）； （ii）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用大于 E（X）的车辆 数，求 P（2）的概率 参考公式：
9、 ，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 21设函数 ，e 为自然对数的底数 （1）求 f（x）的单调区间： （2）若 ax2+x+aexx+exlnx0 成立，求正实数 a 的取值范围 请考生在第 22、23 题中任选一周作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，
10、P 的极坐标为 ， ，直线 l 过点 P （1）若直线 l 与 OP 垂直，求直线 l 的极坐标方程： （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 ，求直线 l 的倾斜角 选修 45；不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+b|，ab0 （1）当 a1，b1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求 的最小值 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|x10，Bx|x22x80，则R（AB）（ ） A2，1 B1，4 C（2，1） D（，4）
11、 【分析】根据已知求出 A，B，再求 AB，进而求其补集 解：Ax|x10x|x1，Bx|x22x80x|x2 或 x4， ABx|x2 或 x1，则R（AB）（2，1）， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2复数 z 的共轭复数 满足 ，则 z（ ） A2+i B2i Cl+2i D12i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 ，再由共轭复数的概 念得答案 解：由 5，得 ， z2+i 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是 基础题 3在等差数列an中，前 n 项和 Sn满足 S8S345，则 a6的
12、值是（ ） A3 B5 C7 D9 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解 解：因为 S8S3a4+a5+a6+a7+a845， 由等差数列的性质可得，5a645， 则 a69 故选：D 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题 4 在ABC 中， | | |， AB4， AC3， 则 在 方向上的投影是 （ ） A4 B3 C4 D3 【分析】根据平面向量的数量积可得 ，再结合图形求出 在 方向上的投影即 可 解：| | |， 0， ， 又 AB4，AC3， 在 方向上的投影是| |cos ， | | cos（ACB） | | cosACB 3； 如图所示 故选：D 【
13、点评】本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的 应用问题，是基础题目 5设 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值是（ ） A0 B3 C4 D5 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z2x+y 对应的直线进行平 移，可得最优解，然后求解即可 解：作出 x，y 满足约束条件表示的平面区域 ， 得到如图阴影部分及其内部， 其中 A（2，1 ），B（1，1），O 为坐标原点 设 zF（x，y）2x+y，将直线 l：z2x+y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值 z最大值F（ 2，1）22+15 故选：D 【点评】本题
14、给出二元一次不等式组，求目标函数 z2x+y 的最大值，着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题 6 命题 p： 曲线 yx2的焦点为 ， ； 命题 q： 曲线 的渐近线方程为 y2x； 下列为真命题的是（ ） Apq Bpq Cp（q） D （p）（q） 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得 到选项 解：曲线 yx2的焦点为（0， ），所以 P 是假命题；p 是真命题， 曲线 的渐近线方程为 y2x；q 是真命题， 所以pq 是真命题 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用
15、，是 基本知识的考查 7某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018 年全年总收入与 2017 年全年总收 入相比增长了一倍，实现翻番同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相 应变化如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的 是（ ） A该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 B该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的 D该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结
16、合数据进行简单的合情推理逐一检验即可 得解 解：由折线图可知：不妨设 2017 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t 对于选项 A，该企业 2018 年原材料费用为 0.32t0.6t，2017 年工资金额与研发费用的 和为 0.2t+0.1t0.3t，故 A 错误； 对于选项 B， 该企业 2018 年研发费用为 0.252t0.5t， 2017 年工资金额、 原材料费用、 其它费用三项的和为 0.2t+0.15t+0.15t0.5t，故 B 正确； 对于选项 C，该企业 2018 年其它费用是 0.052t0.1t，2017 年原工资金额是 0.2t，故 C 错误； 对于
17、选项 D，该企业 2018 年设备费用是 0.22t0.4t，2017 年原材料的费用是 0.15t， 故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该 棱锥的外接球的表面积为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】 首先把三视图转换为几何体， 进一步求出外接球的半径， 最后求出球的表面积 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为三棱锥体， 所以该几何体的外接球的半径满足（2r）212+22+126， 解得：r ， 所以外接球的表面积为 S 故选：
18、B 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的关系的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 已知函数 ysinax+b （a0） 的图象如图所示， 则函数 yloga（xb） 的图象可能是 （ ） A B C D 【分析】先由函数 ysinax+b 的图象分析可知 0b1 且 ，再结合对数函数的 图象及图象变换法则可得正确答案 解：由函数 ysinax+b（a0）的图象可知 1b+12 且 2 ，即 0b1 且 ， 函数 yloga（xb）相当于减函数 ylogax 向右移动了 b（0b1）个单位， 故选项 C 符合题意 故选：C 【点
19、评】本题考查三角函数及对数函数的图象及性质，考查图象变换法则，考查数形结 合思想，属于基础题 10已知角 的终边经过点（2，3），将角 的终边顺时针旋转 后，角 的终边与单位 圆交点的横坐标为（ ） A B C D 【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出 sin，cos，设角 的终边顺时针旋转 后 得到的角为角 ，则 coscos（ ），再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结 果 解： 角 的终边经过点 （2， 3） ， ， ， 设角 的终边顺时针旋转 后得到的角为角 ， coscos（ ） （cos+sin） （ ） ， 故选：B 【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及两角和
20、与差的三角函数公式， 是基础题 11已知 a2log2 ， ，c5log5 ，则（ ） Aabc Bcab Cbca Dbac 【分析】 把 a， b， c 化为 a ， ， ， 比较得到 ， 所 以 cab 解：a2log2 ， ，c5log5 ， a ， ， ， ， ， ，且 3 1021556， ， cab， 故选：D 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 12 若函数 f （x） 2x+sinxcosx+acosx 在 （， +） 单调递增， 则 a 的取值范围是 （ ） A1，1 B1，3 C3，3 D3，1 【分析
21、】求出 f（x）的导数，由题意可得 f（x）0 恒成立，设 tsinx（1t1）， 即有 2t2+at30，对 t 讨论，分 t0，0t1，1t0，分离参数，运用函数的单 调性可得最值，解不等式即可得到所求范围 解：函数 f（x）2x+sinx cosx+acosx， f（x）32sin2xasinx， 由题意可得 f（x）0 恒成立， 即为 32sin2xasinx0， 设 tsinx（1t1），即有 2t2+at30， 当 t0 时，不等式显然成立； 当 0t1 时，a 2t， 由 y 2t 在（0，1递减，可得 t1 时，取得最小值 1， 可得 a1； 当1t0 时，a 2t， 由 y
22、2t 在1，0）递减，可得 t1 时，取得最大值1， 可得 a1 综上可得 a 的范围是1，1， 故选：A 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参 数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13九章算术中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对 穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？ 题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老 鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚 尺， 6 天后两只老鼠打穿
23、城墙 【分析】 由题意， n 天后两只老鼠打洞之和： Sn ， 由墙厚 ，能求出结果 解：由题意，n 天后两只老鼠打洞之和： Sn ， 墙厚 ， Sn ， 解得 n6 故答案为：6 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题， 注意等比数列的性质的合理运用 14（x2y+1）（2x+y）6展开式中 x4y3的系数为 320 【分析】把（2x+y）6的按照二项式定理展开，可得 x4y3的系数 解： （x2y+1） （2x+y） 6 （x+2y） （64x6+192x5y+240x4y2+160x3y3+60x2y4+12xy5+y6 ） ， x4y3的系数为
24、1602240320， 故答：320 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 15已知点 P 是双曲线 ： ， 左支上一点，F2是双曲线的右焦点，且 双曲线的一条渐近线恰是线段 PF2的中垂线，则该双曲线的离心率是 【分析】 由题意， F1PF2是直角三角形， PF2的斜率为 ， 设|PF1|n， |PF2|m， 则 ， 利用双曲线的定义，结合几何量之间的关系，即可得出结论 解：由题意，F1PF2是直角三角形，PF2的斜率为 ， 设|PF1|n，|PF2|m，则 ， mn2a，m2+n24c2， m2b，n2a， mn2b2， b2a，
25、 c a， e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定PF1F2是直角 三角形，PF2的斜率为 是关键 16在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 ABCD 当 时，三棱锥 ABCD 的体积为 ； 当面 ABD面 BCD 时，ABCD； 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值 以上命题正确的是 【分析】在中，取 BD 中点 O，连结 AO，CO，则 AOCO ，当 时，cos AOC ， 从而 sinAOC ， 点 A 到平面 BCD 的距离 d 由 此能求出三棱锥 ABCD 的体积；在中，过点 A 作 AE平面 B
26、CD，交 BD 于 E，则 AECD，又 CD 与平面 ABD 不垂直，故 AB 与 CD 不垂直；在中，三棱锥 ABCD 外接球的球心为 O，半径为 ，从而三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值 解：在矩形 ABCD 中，AB1，AD2， ACBD ， ABD 沿对角线 BD 翻折，形成三棱锥 ABCD 在中，取 BD 中点 O，连结 AO，CO，则 AOCO ， 当 时，cosAOC ， sinAOC ， 点 A 到平面 BCD 的距离 d 三棱锥 ABCD 的体积为： V ，故错误； 在中，当面 ABD面 BCD 时，过点 A 作 AE平面 BCD，交 BD 于 E， 则 AECD，又
27、CD 与平面 ABD 不垂直，故 AB 与 CD 不垂直，故错误； 在中，OAOBOCOD ， 三棱锥 ABCD 外接球的球心为 O，半径为 ， 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为定值故正确 故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力，是中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， （1）求 A； （2）若 b4，c6，求 sinB 的值 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围 0A，0B 即 可解得 A 的值 （2）法一：由余弦定
28、理可得 a 的值，由正弦定理可求 sinB 的值；法二：由正弦定理及 三角函数恒等变换的应用可求 ，结合范围 0B，可求 sinB 的值 解：（1）由 asinB 及正弦定理可得 ， 因为 A+B+C， 所以 ， 又 ， 所以 ， 因为 0A，0B， 所以 ， ， 所以 ， 因此 ，即 （2）法一：由余弦定理可得 ， 所以 ， 由正弦定理得 ，得 ； 法二：由正弦定理及 A+B+C，得 ， 代入数据得 ，即 ， 结合 cos2B+sin2B1，得 ， 因为 0B， 可得 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中 的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题
29、18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是菱形，且 CACB1 （1）证明：面 CBA1面 CB1A； （2）若BAA160，A1CBCBA1，求二面角 CA1B1C1的余弦值 【分析】（1）设 AB1与 A1B 交于 O，连接 OC，先证明 AB1平面 CA1B，再根据面面垂 直的判定定理证明出结论即可； （2） 由 A1CBC， 故 COA1B， 又 （1） 知 OCAB1， AB1A1BO， 故 OC平面 ABB1A1， 以 O 为原点，分别以 OA，OB，OC 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 CA1B1 和平面 C1A1B1的法向量，利用夹角公式求出
30、即可 解：（1）证明：设 AB1与 A1B 交于 O，连接 OC， 因为侧面 ABB1A1是菱形，所以 AB1A1B， 又 CACB1，所以 OCAB1，又 A1BCOO， 故 AB1平面 CA1B，又 AB1平面 CAB1， 故平面 CBA1平面 CB1A； （2）由 A1CBC，故 COA1B，又（1）知 OCAB1，AB1A1BO， 故 OC平面 ABB1A1，以 O 为原点，分别以 OA，OB，OC 为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系， 由 A1CBCBA12，OC ， 则 ， ， ， ， ， ，A1（0，1，0），B（0，1，0）， 由 ， ， ，得 ， ， ， 所以 ， ， ，
31、 ， ， ， ， ， ， 设平面 CA1B1的法向量为 ， ， ， 由 ，得 ， ， ， 设平面 C1A1B1的法向量为 ， ， ， 由 ，得 ， ， ， 故 cos ， ，又二面角为锐角， 故二面角 CA1B1C1的余弦值为 【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查了向量法求二面 角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题 19已知点 F1为椭圆 的左焦点， ， 在椭圆上，PF1x 轴 （1）求椭圆的方程： （2）已知直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ， 的 大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由 【分析】
32、（1） 由 PF1x 轴， 及点 P 的坐标可得 F1的坐标， 即 c 的值， 将 P 的坐标代入， 由 a，b，c 之间的关系的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）对直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时由原点到直线的距离 可得直线 l 的方程，代入椭圆中求出 A，B 的坐标，进而可得数量积 的值为 0，可 得AOB ；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根 之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积 的表达式，可 得恒为 0，即AOB 恒为定值 解：（1）因为 PF1x 轴，又 ， 在椭圆上，可得 F1（1
33、，0）， 所以 c1， 1，a2c2+b2， 解得 a22，b21， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）当直线 l 的斜率不存在时，由原点 O 到直线 l 的距离为 ，可得直线 l 的方程为： x ，代入椭圆可得 A（ ， ），B（ ， ）或 A（ ， ），B（ ， ）， 可得 0，所以AOB ； 当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为：ykx+m，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由原点 O 到直线 l 的距离为 ，可得 ，可得 3m22（1+k2）， 直线与椭圆联立 ，整理可得（1+2k 2）x2+4kmx+2m220， 16k2m24（1+2k2）（2m22）0，将代入中可
34、得16m2+80， x1+x2 ，x 1x2 ，y1y2k2x1x2+km（x1+x2）+m2 m2 ， 所以 x1x2+y1+y2 ， 将代入可得， 0， 所以AOB ， 综上所述AOB 恒成立 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题 20东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市 民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行， 这给轻轨站停车场带来很大的压力某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车 停车施行收费制度，收费标准如下：4 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超过 6
35、小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增加一 小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小时， 按前述标准重新计费上述标准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一天的 收费情况，现统计 1000 辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次）， 得到下面的频数分布表： T（小时） （0，4 （4，5 （5，6 （6，7 （7，8 （8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概 率 （1）现在用分
36、层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研， 记录并统计了停车时长与司机性别的 22 列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？ （2）（i）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率 分布列及期望 E（X）； （ii）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用大于 E（X）的车辆 数，求 P（2）的概率 参考公式： ，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.40 0.25 0.15
37、 0.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【分析】（1） 作出 22 列联表， 求出 ， 从 而没有超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关 （2）（i）由题意知：X 的可取值为 5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由 此有求出 X 的分布列和数学期望 （ii）由题意得 ，从而 B（3， ），由此能求出 P（ 2）的概率 解：（1）22 列联表如下： 男 女 合计 不超过 6 小时 10 30 40 6 小时以上 20 40 60 合计 30 70 100 根据上表数据代入公式可得 ， 所以
38、没有超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关 （2）（i）由题意知：X 的可取值为 5，8，11，15，19，30， ， ， ， ， ， 所以 X 的分布列为： X 5 8 11 15 19 30 P（X） （ii）由题意得 ， B（3， ）， 【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的 求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21设函数 ，e 为自然对数的底数 （1）求 f（x）的单调区间： （2）若 ax2+x+aexx+exlnx0 成立，求正实数 a 的取值范围 【分析】（1） 函数 ， e 为自然对数的底数 f （
39、x） ， 对 a 分类讨论即可得出单调性 （2）ax2+x+aexx+exlnx0 成立 xlnx，由（1）可得：0a1x1 时，函数 y 取得最大值 ，令 g（x）xlnx，（x0），利用导数研究 其单调性即可得出 xlnx1进而得出 a 的取值范围 解：（1）函数 ，e 为自然对数的底数 f（x） ， a1 时，0 1，可得：函数 f（x）在（， ）上单调递减，在（ ，1） 上单调递增，在（1，+）上单调递减 a1 时，f（x） ，函数 f（x）在（，0）上单调递减，在（0，1）上单 调递增，在（1，+）上单调递减 0a1 时，x 0，函数 f（x）在（，0）上单调递减，在（0，1）上单调
40、 递增，在（1，+）上单调递减 （2）ax2+x+aexx+exlnx0 成立 xlnx，x（0，+） 由（1）可得：0a1 x1 时，函数 y 取得最大值 ， 令 g（x）xlnx，（x0），g（x）1 ，可得 x1 时，函数 g（x）取得极小值 即最小值 xlnx1 xlnx，成立 1，解得 a 0a 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论 方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为 ， ，直线 l
41、过点 P （1）若直线 l 与 OP 垂直，求直线 l 的极坐标方程： （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 ，求直线 l 的倾斜角 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 求出结果 （2） 利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦函数 的值的应用求出结果 解：（1）P 的极坐标为 ， ，转换为直角坐标为（ ， ）， 所以直线 OP 的斜率为 ，直线 l 的斜率为 ， 所以直线 l 的方程为 ，整理得 ， （2）把直线的方程转换为参数方程为 （t 为参数），代入曲线 C 的 方程为 的方程为 所以 ， 则：co
42、s2+2sin22，由于 cos2+sin21， 所以 sin1（负值舍去）， 所以 ， 故直线的倾斜角为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三 角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 45；不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+b|，ab0 （1）当 a1，b1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求 的最小值 【分析】（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，然后对 x 分类去绝对值，化为关于 x
43、的一 元一次不等式求解，取并集得答案； （2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0 时等号成立可得 f（x） 的最小值为|b+a|2结合 ab0，得|b+a|a|+|b|2，则 ，展开后利用基本不等式求最值 解：（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3， 当 x1 时，可得 x1+x+13，解得 1x ； 当1x1 时，可得x+1+x+13，得 23 成立； 当 x1 时，可得x+1x13，解得 x1 综上所述，原不等式的解集为x| x ； （2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0 时等号成立 f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|2 又ab0，|b+a|a|+|b|2， 当且仅当 时，等号成立， 的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化 思想方法，是中档题
