北师大版九年级下册数学《2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1》教案

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1、2.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 第第 3 课时课时 二次函数二次函数 y=a(x-h)2的图象与性质的图象与性质 1掌握二次函数 yax2与 ya(x h)2(a0)图象之间的联系;(重点) 2能灵活运用二次函数 ya(x h)2(a0)的知识解决简单的问题(难点) 一、情境导入 二次函数 yax2c(a0)的图象可以 由 yax2(a0)的图象平移得到: 当 c0 时,向上平移 c 个单位长度; 当 c0 时,向下平移c 个单位长度 问题:函数 y (x2)2的图象,能否 也可以由函数 y x2平移得到?本节课我 们就一起讨论 二、合作探究 探究点:二次函数 ya(xh)2

2、的图象 与性质 【类型一】 二次函数 ya(xh)2的图 象 顶点为(2,0),开口方向、形状 与函数 y1 2x 2 的图象相同的抛物线的解 析式为( ) Ay1 2(x2) 2 By1 2(x2) 2 Cy1 2(x2) 2 Dy1 2(x2) 2 解析:因为抛物线的顶点在 x 轴上,所 以可设该抛物线的解析式为 ya(x h)2(a0),而二次函数 ya(xh)2(a0)与 y1 2x 2的图象相同,所以 a1 2,而抛物 线的顶点为(2, 0), 所以 h2, 把 a1 2, h2代入ya(xh)2得y1 2(x2) 2.故选 C. 方法总结: 决定抛物线形状的是二次项 的系数, 二次

3、项系数相同的抛物线的形状完 全相同 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 5 题 【类型二】 二次函数 ya(xh)2的性 质 若抛物线 y3(x 2)2的图象上 的三个点,A(3 2,y1),B(1,y2),C(0, y3) , 则y1, y2, y3的 大 小 关 系 为 _ 解析: 抛物线 y3(x 2)2的对称轴 为 x 2,a30,x 2时,y 随 x 的增大而减小;x 2时,y 随 x 的增大 而增大点 A 的坐标为(3 2,y1), 点 A 在抛物线上的对称点 A的坐标为( 2, y1)10 2,y2y3y1.故答案为 y2y3y1. 方法总结: 函数图象上点

4、的坐标满足解 析式,即点在抛物线上解决本题可采用代 入求值方法, 也可以利用二次函数的增减性 解决 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升” 第 4 题 【类型三】 二次函数 ya(xh)2的图 象与 yax2的图象的关系 将二次函数 y2x2的图象平移 后,可得到二次函数 y2(x1)2的图象, 平移的方法是( ) A向上平移 1 个单位 B向下平 移 1 个单位 C向左平移 1 个单位 D向右平 移 1 个单位 解析: 抛物线y2x2的顶点坐标是(0, 0), 抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1, 0)则由二次函数 y2x2的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y2(x

5、1)2 的图象故选 C. 方法总结: 解决本题要熟练掌握二次函 数的平移规律 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型四】 二次函数 ya(xh)2与三 角形的综合 如图, 已知抛物线 y(x2)2的顶 点为 C,直线 y2x4 与抛物线交于 A、B 两点,试求 SABC. 解析:根据抛物线的解析式,易求得点 C 的坐标; 联立两函数的解析式, 可求得 A、 B 的坐标画出草图后,发现ABC 的面积 无法直接求出, 因此可将其转换为其他规则 图形的面积求解 解: 抛物线 y(x2)2的顶点 C 的坐标 为 (2 , 0) , 联立 两 函数 的 解 析式 ,得 y

6、2x4, y(x2)2,解得 x10, y14, x26, y216. 所以 点 A 的坐标为(6, 16), 点 B 的坐标为(0, 4) 如图,过 A 作 ADx 轴,垂足为 D, 则 SABCS梯形ABODSACDSBOC1 2(OB AD) OD1 2OCOB 1 2CDAD 1 2(4 16)61 224 1 241624. 方法总结:解决本题要明确以下两点: (1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成 的方程组的解; (2)不规则图形的面积通常转 化为规则图形的面积的和差 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 【类型五】 二次函数 ya(xh)2的探 究性

7、问题 某抛物线是由抛物线 y2x2向 左平移 2 个单位得到 (1)求抛物线的解析式, 并画出此抛物线 的大致图象; (2)设抛物线的顶点为 A, 与 y 轴的交点 为 B. 求线段 AB 的长及直线 AB 的解析式; 在此抛物线的对称轴上是否存在点 C,使ABC 为等腰三角形?若存在,求出 这样的点 C 的坐标; 若不存在, 请说明理由 解析:(1)抛物线 y2x2向左平移 2 个单位所得的抛物线的解析式是 y2(x 2)2; (2)根据(1)得出的抛物线的解析式, 即可得出其顶点 A 和 B 点的坐标, 然后根据 A,B 两点的坐标即可求出直线 AB 的解析 式;本题要分三种情况进行讨论解

8、答 解:(1)y2(x2)2,图略; (2)根据(1)得出的抛物线的解析式 y 2(x2)2,可得 A 点的坐标为(2,0), B 点的坐标为(0, 8) 因此在 RtABO 中, 根据勾股定理可得 AB2 17.设直线 AB 的 解析式为 ykx8,已知直线 AB 过 A 点, 则有 02k8,k4,因此直线 AB 的 解析式为 y4x8; 本题要分三种情况进行讨论:当 AB AC 时,此时 C 点的纵坐标的绝对值即为 AB 的长, 因此 C 点的坐标为 C1(2, 2 17), C2(2,2 17);当 ABBC 时,B 点位于 AC 的垂直平分线上,所以 C 点的纵坐标为 B 点的纵坐标

9、的 2 倍,因此 C 点的坐标为 C3(2,16);当 ACBC 时,此时 C 为 AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点 过 B 作 BD 垂直于抛物线的对称轴于 D,那么在 直角三角形 BDC 中,BD2(A 点横坐标的 绝对值),CD8AC,而 BCAC,由此 可根据勾股定理求出 AC17 4 ,因此这个 C 点的坐标为 C4(2,17 4 ) 综上所述, 存在四个点, C1(2, 2 17), C2(2,2 17 ),C3(2,16),C4(2, 17 4 ) 方法总结: 本题主要考查了二次函数图 象的平移及等腰三角形的构成情况, 主要涉 及分类讨论、 数形结合的数学思想方法的运 用 变

10、式训练: 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 三、板书设计 二次函数 ya(xh)2的图象与性质 1二次函数 ya(xh)2的图象与性质 2二次函数 ya(xh)2的图象与 y ax2的图象的关系 3二次函数 ya(xh)2的图象的应用 本节课采用启发式、讨论式结合的教学方 法,以问题的提出、问题的解决为主线,倡 导学生主动参与教学实践活动, 以独立思考 和相互交流的形式,在教师的指导下发现、 分析和解决问题,在引导分析时,给学生留 出足够的思考时间和空间,让学生去联想、 探索, 从真正意义上完成对知识的自我建构. 另外, 在教学过程中, 采用多媒体辅助教学, 直观呈现教学素材, 从而更好地激发学生的 学习兴趣,增大教学容量,提高教学效率.

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