1、复数 z 满足 iz1+2i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）下列命题中真命题的是（ ） A命题：若 x21，则 x1 或 x1 的逆否命题为：若 x1 且 x1，则 x21 B “am2bm2”是“ab”的充要条件 C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 D对于实数 x，y，p：x+y8，q：x2 或 y6，则 p 是 q 的必要不充分条件 4 （5 分）已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a6，3a4，a5成等 差数列，则的值为（ ） A3 B9 C10 D13 5（5 分） 已知抛物线 y
2、x2的焦点与椭圆1 的一个焦点重合， 则 m 的值为 （ ） A B C D 6 （5 分）函数的大致图象是（ ） A B 第 2 页（共 25 页） C D 7 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 8 （5 分） 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大 灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两 个大灯球
3、，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A B C D 9 （5 分）设 alog23，blog34，clog58，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 10 （5 分）函数 f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（3）0，则不等式 xf （x）0 的解集为（ ） A （3，0）（3，+） B （，3）（0，3） C （，3）（3，+） D （3，0）（0，3） 11 （5 分）直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AF，BF 的长分别为 m，n，则 4m+n 的最小值是（ ） A10 B9 C8 D7 12（5分）
4、 已知某几何体的三视图如图所示， 若该几何体的外接球体积为， 则 h （ ） 第 3 页（共 25 页） A B2 C2 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量，若，则实数 k 14 （5 分）二项式（）5的展开式中常数项为 （用数字作答） 15 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11， （n+1）an+1（n1）Sn，则 Sn 16 （5 分）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择
5、一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 （填具体数字） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（a+b+c） （a+bc）3ab （）求角 C 的值； （）若 c2，且ABC 为锐角三角形，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城
6、” ）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所 高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表： 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城”活动中 参与的人数 40 10 9 15 （注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值） 第 4 页（共 25 页） 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的 （）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数； （）在随机抽查的 100 名高中学生中，从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生，求恰有 1 人参与“创城”活动的概率； （）若将表中的参与率
7、视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，求这 3 人参与 “创城”活动人数的分布列及数学期望 19 （12 分） 已知四棱锥中 PABCD， 底面 ABCD 为菱形， ABC60， PA平面 ABCD， E、M 分别是 BC、PD 上的中点，直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为，点 F 在 PC 上移动 （）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD （）求点 F 恰为 PC 的中点时，二面角 CAFE 的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的离心率为，M 是椭圆 C 的上顶点， F1，F2是椭圆 C 的焦点，MF1F2的周长是 6 （）求椭圆 C 的
8、标准方程； （）过动点 P（1，t）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|PA|PB|，过 P 作直线 l，使 l 与直线 AB 垂直，证明：直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标 21 （12 分）已知函数 f（x）x28x+alnx（aR） （）当 x1 时，f（x）取得极值，求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点； （）当函数 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，且 x11 时，总有t（4+3x1 x12）成立，求 t 的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 25 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线
9、C1的参数方程为， （ 为参数） 已知点 Q（4，0） ，点 P 是曲线l上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （2）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若3，求 k 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax+1|+|2x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 0a2，且对任意 xR，恒成立，求 a 的最小值 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年广东省梅州市五华县高三 （上） 期末数学试卷 （理学年广东
10、省梅州市五华县高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|y，则 AB 等于（ ） A （1，3） B0，3） C0，+） D （1，+） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22x30x|1x3， Bx|yx|x0， ABx|x1（1，+） 故选：D 【点评】本题考查并
11、集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）复数 z 满足 iz1+2i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：由 iz1+2i，得 z， 在复平面内 z 对应的点的坐标为（2，1） ，位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）下列命题中真命题的是（ ） A命题：若 x21，则 x1 或 x1 的逆否命题为：若 x1 且 x1，则 x21 B
12、 “am2bm2”是“ab”的充要条件 C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 D对于实数 x，y，p：x+y8，q：x2 或 y6，则 p 是 q 的必要不充分条件 【分析】由原命题的逆否命题和 p 或 q 的否定，可判断 A，由充要条件的定义和 m 是否 第 7 页（共 25 页） 为零，可判断 B，由 pq 的真值表判断 C，由充要条件定义判断 D 【解答】解：命题：若 x21，则 x1 或 x1 的逆否命题为：若 x1 且 x1，则 x21，故 A 正确； 若“am2bm2”当 m0 时，可得“ab” ， 若“ab” ，当 m0 时“am2bm2”不成立，故 B 错误； 根据真值
13、表可知，p 或 q 有一个是假命题则 pq 为假命题，故 C 错误； p：x+y8，q：x2 或 y6，利用逆否命题，由 x2 且 y6，可得 x+y8 而 x+y8 推不出 x2 且 y6，故 p 是 q 的充分不必要条件，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了逆否命题的应用，以及命题的真假性属于基础题 4 （5 分）已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a6，3a4，a5成等 差数列，则的值为（ ） A3 B9 C10 D13 【分析】设各项均为正数的等比数列an的公比为 q0，由 a6，3a4，a5成等差数列， 可得 6a4a6a5，6a4a4（q2q） ，化
14、为 q2q60，q0解得 q，再利用求和公 式即可得出 【解答】解：设各项均为正数的等比数列an的公比为 q0，满足 a6，3a4，a5成等 差数列， 6a4a6a5，6a4a4（q2q） ，q2q60，q0 解得 q3 则32+110 故选：C 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 5（5 分） 已知抛物线 yx2的焦点与椭圆1 的一个焦点重合， 则 m 的值为 （ ） 第 8 页（共 25 页） A B C D 【分析】通过抛物线的表达式可知椭圆的一个焦点，利用长半轴长、短半轴长及半焦距 之间的关系计算即得结论 【解答】解：抛物线
15、 yx2的焦点为（0，） ， m2， m+2， 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题 6 （5 分）函数的大致图象是（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可 【解答】解：f（x）f（x） ，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B， 当 x0 时，f（x）0，排除 D， 当 x+，f（x）+0，排除 C， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，函数值的符号以及极 限思想是解决本题的关键 7 （5 分）要得到函数的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（ ） 第 9
16、 页（共 25 页） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果 【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单 位长度， 可得， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 （5 分） 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大 灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个
17、若在这座楼阁的灯球中，随机选取两 个大灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A B C D 【分析】设大灯下缀 2 个小灯的大灯有 x 个，则大灯下缀 4 个小灯有 360x 个，列出方 程 2x+4（360x）1200，求出大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个，则大灯下缀 4 个小 灯有 240 个在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，基本事件总数 n64620， 至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯包含的基本事件个数m57480， 由此能求出至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率 【解答】解：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种， 一种是大灯下缀 2
18、 个小灯， 另一种是大灯下缀 4 个小灯， 大灯共 360 个， 小灯共 1200 个 大灯下缀 2 个小灯的大灯有 x 个，则大灯下缀 4 个小灯有 360x 个， 则 2x+4（360x）1200， 解得 x120，即大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个，则大灯下缀 4 个小灯有 240 个 在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球， 第 10 页（共 25 页） 基本事件总数 n64620， 至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯包含的基本事件个数m57480， 则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合的性质等基础知识，
19、考查运算 求解能力，是基础题 9 （5 分）设 alog23，blog34，clog58，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】结合对数的换底公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可 【解答】解：log34log2764，log58log2564， log6427log64250，即 log34log58，即 bc， log23log49log48， log58，log85log840， ，即 log58log48log49， 即 ca， 综上 acb， 故选：B 【点评】本题主要考查对数值的大小比较，结合对数的换底公式进行转化是解决本题的 关键 10 （5 分）函数 f（
20、x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（3）0，则不等式 xf （x）0 的解集为（ ） A （3，0）（3，+） B （，3）（0，3） C （，3）（3，+） D （3，0）（0，3） 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（3）0，结合函数的单调性可得在（0，3） 第 11 页（共 25 页） 上，f（x）0，在（3，+）上，f（x）0，又由 f（x）为奇函数，则在（3，0）上， f（x）0，在（，3）上，f（x）0，又由 xf（x）0或， 分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）为奇函数，则 f（3）f（3）0， 函数 f（x）在（0，+）内是增函数，且 f（3）0，
21、在（0，3）上，f（x）0，在（3，+）上，f（x）0， 又由 f（x）为奇函数，则在（3，0）上，f（x）0，在（，3）上，f（x）0， xf（x）0或，则有3x0 或 0x3， 即不等式的解集为（3，0）（0，3） ； 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到关于 x 的不等式， 属于基础题 11 （5 分）直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AF，BF 的长分别为 m，n，则 4m+n 的最小值是（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】先画出抛物线，作出辅助线，利用三角形相似得出关于 m、n 的式子，化简得到
22、，则 4m+n（4m+n） 1（4m+n） （） ，从而利用基本不等式求出最小值 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 如图所示，过 B 点作 BDAD，作 AMMN，BNMN， 由抛物线的定义可得 AMAFm，BNBFn， ADmn，EF2n， ，化简得：， 4m+n（4m+n） 1（4m+n） （） 2+59， 当且仅当 n2m 时等号成立 所以 4m+n 的最小值为 9 第 12 页（共 25 页） 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的性质，基本不等式的性质及运算，找出 m 与 n 的关系是关 键，属于中档题 12（5分） 已知某几何体的三视图如图所示
23、， 若该几何体的外接球体积为， 则 h （ ） A B2 C2 D 【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，画出其直观图， 根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱 锥的高 h， 【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图 如图： O 为 AC 的中点， 正视图和俯视图都是等腰直角三角形，FO底面 ABC， OBOCOA1，几何体的外接球的球心为 E 是ACD 的外心，半径为 r，该几何体 的外接球体积为， 第 13 页（共 25 页） 外接球的体积 Vr3r2， h2 故选：B 【点评】本题考查了由
24、三视图求几何体外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几 何体的性质，求得外接球的半径 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量，若，则实数 k 【分析】根据向量平行的充要条件可得关于 k 的方程，解出即可 【解答】解：由，得 1（k6）9k0，解得 k， 故答案为： 【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则 x1y2x2y10 14 （5 分）二项式（）5的展开式中常数项为 10 （用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得展开式中的常数项的值
25、【解答】解：二项式（）5的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）r， 令0，求得 r3，可得展开式中常数项为10， 故答案为：10 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 第 14 页（共 25 页） 式，属于基础题 15 （5 分） 设 Sn是数列an的前 n 项和， 且 a11， （n+1） an+1 （n1） Sn， 则 Sn 【分析】由题意可得，nSn是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，写出等比数列的通 项公式得答案 【解答】解：由（n+1）an+1（n1）Sn， 得（n+1） （Sn+1Sn）（n1）Sn， （n+1）Sn+12nSn， 则
26、， nSn是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 则， 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法， 是中档题 16 （5 分）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家， 且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 150 （填具体数字） 【分析】解：根据题意，分 2 步进行分析：，将五个参会国的人员分成 3 组，将 分好的三组对应三个酒店，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将五个参
27、会国的人员分成 3 组， 若分为 1、2、2 的三组，有15 种分组方法； 若分为 1、1、3 的三组，有10 种分组方法； 则一共有 15+1025 种分组方法； ，将分好的三组对应三个酒店，有 A336 种情况， 第 15 页（共 25 页） 则有 256150 种安排方法； 故答案为：150 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考
28、生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（a+b+c） （a+bc）3ab （）求角 C 的值； （）若 c2，且ABC 为锐角三角形，求 a+b 的取值范围 【分析】 （）化简（a+b+c） （a+bc）3ab，利用余弦定理求得 C 的值； （）由正弦定理求出 a+b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出 A 的取值 范围，从而求出 a+b 的取值范围 【解答】解： （）ABC 中， （a+b+c） （a+bc）3ab， a2+b2c2ab， 由余弦定理得，cosC； 又C（0，） ， C； （）由 c2，
29、C，根据正弦定理得， ， a+b（sinA+sinB） sinA+sin（A） 2sinA+2cosA 4sin（A+） ； 又ABC 为锐角三角形， ， 第 16 页（共 25 页） 解得A； A+， 24sin（A+）4， 综上，a+b 的取值范围是（2，4 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题 18 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城” ）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所 高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表： 学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 “创城”活动中 参与的人数 40 10 9 15
30、（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值） 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的 （）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数； （）在随机抽查的 100 名高中学生中，从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生，求恰有 1 人参与“创城”活动的概率； （）若将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，求这 3 人参与 “创城”活动人数的分布列及数学期望 【分析】 （）由分层抽样性质估计 A 学校参与“创城”活动的人数 （）设事件 A 表示“抽取 A 校高中学生，且这名学生参与创城活动” ，事
31、件 C 表 示“抽取 C 校高中学生，且这名学生参与创城活动” ，则从 A，C 两学校抽出的高中 学生中各随机抽取 1 名学生，恰有 1 人参与“创城”活动的概率：PP（A +）P （A）P（ ）+P（ ）P（C） ，由此能求出结果 （）将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，这 3 人参与“创 城”活动人数 XB（3，） ，由此能求出这 3 人参与“创城”活动人数的分布列及数学 期望 【解答】解： （）该区共 2000 名高中学生， 由分层抽样性质估计 A 学校参与“创城”活动的人数为： 第 17 页（共 25 页） 2000800 （）设事件 A 表示“抽取 A 校
32、高中学生，且这名学生参与创城活动” ， 事件 C 表示“抽取 C 校高中学生，且这名学生参与创城活动” ， 则从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生， 恰有 1 人参与“创城”活动的概率： PP（A +）P（A）P（ ）+P（ ）P（C） （）将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人， 这 3 人参与“创城”活动人数 XB（3，） ， P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P XB（3，） ，E（X）3 【点评】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项 分布、相互独立事件
33、概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 19 （12 分） 已知四棱锥中 PABCD， 底面 ABCD 为菱形， ABC60， PA平面 ABCD， E、M 分别是 BC、PD 上的中点，直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为，点 F 在 PC 上移动 （）证明：无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD （）求点 F 恰为 PC 的中点时，二面角 CAFE 的余弦值 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （）推导出 AEPA，AEAD，从而 AE平面 PAD，由此能证明无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD （
34、）以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 CAFE 的余弦值 【解答】证明： （）四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PA 平面 ABCD， E、M 分别是 BC、PD 上的中点， AEPA，AEAD， PAADA，AE平面 PAD， 点 F 在 PC 上移动，AE平面 AEF， 无论点 F 在 PC 上如何移动，都有平面 AEF平面 PAD 解： （）直线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为，点 F 恰为 PC 的中点时， 以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴
35、，建立空间直角坐标系， 设 AB2，APx，则 E（，0，0） ，M（0，1，） ， （） ，平面 PAD 的法向量 （1，0，0） ， |cos|， 解得 xAP2， C（，1，0） ，A（0，0，0） ，P（0，0，2） ，E（，0，0） ，F（） ， （） ，（） ，（） ， 设平面 ACF 的法向量 （x，y，z） ， 第 19 页（共 25 页） 则，取 x1，得 （1，0） ， 设平面 AEF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y2，得 （0，2，1） ， 设二面角 CAFE 的平面角为 ， 则 cos 二面角 CAFE 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的
36、余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆的离心率为，M 是椭圆 C 的上顶点， F1，F2是椭圆 C 的焦点，MF1F2的周长是 6 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过动点 P（1，t）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|PA|PB|，过 P 作直线 l，使 l 与直线 AB 垂直，证明：直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标 【分析】 （I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆 C 的方程； （）设出直线 MN 的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行 第 20 页（共 25 页）
37、 求解即可 【解答】解： （）由于 M 是椭圆 C 的上顶点，由题意得 2a+2c6， 又椭圆离心率为，即， 解得 a2，c1 又 b2a2c23， 所以椭圆 C 的标准方程 证明： （）当直线 AB 斜率存在，设 AB 的直线方程为 ytk（x1） ， 联立，得（3+4k2）x2+8k（tk）x+4（tk）2120， 由题意，0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 因为|PA|PB|，所以 P 是 AB 的中点 即 ，得，4kt+30 又 lAB，且 k0，l 的斜率为， 直线 l 的方程为 把代入可得： 所以直线 l 恒过定点 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 的方程
38、为 x1， 此时直线 l 为 x 轴，也过 综上所述直线 l 恒过点 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用，联立方程转化为一元二次方 程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键 21 （12 分）已知函数 f（x）x28x+alnx（aR） （）当 x1 时，f（x）取得极值，求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点； 第 21 页（共 25 页） （）当函数 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，且 x11 时，总有t（4+3x1 x12）成立，求 t 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，求出 a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点 即可； （）
39、求出函数极值点，问题转化为2lnx1+0，根据 0x11 时， 0.1x12 时，0即 h（x）2lnx+（0x2） ，通过讨论 t 的范围求出函数的单调性，从而确定 t 的范围即可 【解答】解： （I）f（x）2x8+， （x0） ，当 x1 时，f（x）取得极值， f（1）28+a0，解得 a6， 此时，f（x）x28+6lnx，f（x）2x8+， 令 f（x）0，解得：x3 或 x1，令 f（x）0，解得：1x3， 故 f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+）递增， 故 x1 是极大值点； （II）当函数 f（x）在（0，+）内有两个极值点 x1，x2（x1x2）且 x1
40、1 时， 则 u（x）2x28x+a0 在（0，+）上有两个不等正根 ，0a8 x1+x24，x1x2，0x1x2， x24x1，a2x1x22x1（4x1） ，可得 0x12 t（4+3x1x ）成立，即t（4x1） （x1+1） ， 即t（x1+1） ，即t（x1+1）0， 即2lnx1+0，且 0x11 时，0 第 22 页（共 25 页） 1x12 时，0即 h（x）2lnx+（0x2） h（x） （0x2） ， t0 时，h（x）0h（x）在（0，2）上为增函数，且 h（1）0， x（1，2）时，h（x）0，不合题意舍去 t0 时，h（x）0同不合题意舍去 t0 时， （i）0 时，
41、解得 t1，h（x）0， 在（0，2）内函数 h（x）为减函数，且 h（1）0，可得：0x1 时，h（x）0 1x2 时，h（x）0， 2lnx+0 成立 （ii）0 时，1t0，h（x）分子中的二次函数对称轴 x1，开口向下， 且函数值2（t+1）0，即 amin，2， 则 x（1，a）时，h（x）0，h（x）为增函数，h（1）0，h（x）0，故舍去 综上可得：t 的取值范围是 t1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分
42、）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为， （ 为参数） 已知点 Q（4，0） ，点 P 是曲线l上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （2）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若3，求 k 的值 【分析】 （1）消去 得曲线 C1的普通方程为：x2+y24；设出 M 的坐标后利用中点公式 得到 P 的坐标后代入 C1德轨迹 C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2） 如图： 取 AB 的中点 M， 连 CM， CA， 在两个直角三角形中， 根据勾股定理解得 CM
43、， OM 后可得斜率 【解答】解： （1）消去 得曲线 C1的普通方程为：x2+y24， 第 23 页（共 25 页） 设 M（x，y）则 P（2x4，2y）在曲线 C1上，所以 （2x4）2+（2y）24，即（x2） 2+y21，即 x2+y24x+30， C2轨迹的极坐标方程为：24cos+30 （2）当 k0 时，如图：取 AB 的中点 M，连 CM，CA， 在直角三角形 CMA 中，CM2CA2（AB）21AB2， 在直角三角形 CMO 中，CM2OC2OM24（AB）24AB2， 由得 AB，OM，CM， k 当 k0 时，同理可得 k 综上得 k 【点评】本题考查了参数方程化成普通
44、方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax+1|+|2x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 0a2，且对任意 xR，恒成立，求 a 的最小值 【分析】 （1）a1 时，f（x）|x+1|+|2x1|； 解法一，作函数 f（x）的图象，利用图象可以求得 f（x）3 的解集； 解法二，利用分段讨论法去掉绝对值，再求出不等式 f（x）3 的解集； 第 24 页（共 25 页） （2）由 0a2，利用分段讨论法去掉绝对值，判断 f（x）的单调性， 从而求出 f（x）的最小值与对应 a 的最小值 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x+1|+|2x1|， 即； 解法一：作函数 f（x）|x+1|+|2x1|的图象，它与直线 y3 的交点为 A（1，3） ，B （1，3） ， 如图所示； 所以，f（x）3 的解集为（，1）（1，+） ； 解法二：原不等式 f（x）3 等价于或或， 解得：x1 或无解或 x1， 所以，f（x）3 的解集为（，1）（1，+） ； （2）由 0a2，得，a+20，且 a20； 所以 f（x）|ax+1|+|2x1|，
